CC BY
21
CALCULATION OF THE SWITCHING SURFACE FOR ELECTRIC DIRECT DRIVE BASED ON
THE CONTACTLESS TORQUE MOTOR
O.V. Goryachev, I.A. Shigin, M.A. Kuzmin
The main advantage of direct drives is the possibility of increasing accuracy due to the absence of backlash, reducing the reduction of dry friction moments and other undesirable factors introduced by the gearbox, as well as eliminating the need for additional maintenance of the complex mechanics. However, the exclusion of the gearbox from the kinematic scheme creates new requirements for the positioning accuracy of the drive, and, consequently, for the drive control system. The article is devoted to the consideration of the issues of creating and implementing quasi-optimal control in terms of speed for a digital servo electric direct drive, taking into account the sampling of signals in digital control systems in time and in a parameter, as well as nonlinearities associated with saturation of the magnetic circuit material and limitation of the developing torque.
Key words: switching surface, quasi-optimal control, state observer, electric direct drive, built-in torque motor.
Goryachev Oleg Vladimirovich, doctor of technical science, professor, ovg@sau.tsu.tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Shigin Ilya Alexandrovich, department head, i.tula999@yandex.ru, Russia, Tula, The JSC «KBP named after Academician A.Shipunov»,
Kuzmin Maxim Alexandrovich, postgraduate, max95. k@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 62-51
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-11-26-33
ЦИФРОВОЙ СКОЛЬЗЯЩИЙ РЕЖИМ В СЛЕДЯЩЕМ ПРИВОДЕ С ЛИНЕЙНЫМИ ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ
Н.Н. Макаров, Е.В. Плыкина
Рассмотрено применение цифрового режима скольжения для линейной системы с линейной поверхностью переключений. Под цифровым скользящим режимом понимается дискретное по времени управление, которое выводит изображающую точку в фазовом пространстве на поверхность переключений к началу следующего цикла управления. Приведены условия существования такого режима и конечные соотношения для вычисления управляющего воздействия, реализующего скользящий режим движения. Рассмотрен пример реализации такого режима в электрическом следящем приводе. Результаты моделирования демонстрируют перспективность использования цифрового скользящего режима в проектировании следящих приводов.
Ключевые слова: следящая система, дискретное управление, скользящий режим.
Известно, что применение в следящей системе релейного регулятора, работающего в скользящем режиме [1,2], позволяет обеспечить не только высокую, при определённых условиях идеальную, точность слежения, но и грубость системы по отношению к параметрам объекта управления. В частности, оптимальные по быстродействию системы [2], в полной мере обладают указанными свойствами. При практической реализации оптимальных по быстродействию регуляторов возникают, однако, некоторые трудности. Первая из них связана с тем, что для управления необходимо использовать полный вектор состояния системы, вторая обусловлена
нелинейностью используемых обратных связей. Наконец, прямое применение оптимального управления с цифровым регулятором, работающим в дискретном времени, чревато возникновением нерегулярных колебаний с периодом, кратным дискрете времени этого регулятора [3]. В [4] сделана попытка преодоления указанных трудностей за счёт формирования особого режима движения, названного авторами «цифровым скользящим режимом». Суть этого режима заключается в вычислении на каждом шаге дискретности такого значения управляющего воздействия, при котором к началу следующего такта времени фазовая точка оказывается на поверхности переключений. В настоящей статье этот подход получает дальнейшее развитие.
Цифровой скользящий режим с релейными связями. Будем рассматривать линейную стационарную систему, описываемую дифференциальным уравнением в пространстве состояний
х = А • х + В • и, (1)
У = С • х,
где х = {х ) - вектор состояния; и - скалярное управляющее воздействие; у - скалярный вы-I и и
ходной сигнал; А, В, С - постоянные матрицы соответствующих размерностей. Управляющее воздействие будем полагать ограниченным:
| и |< и.
Будем использовать релейное управление, задаваемое выражением
и = и • (g(X))
где g(x) - гладкая скалярная функция состояния. В такой системе может возникнуть скользящий режим движения, характеризующийся тем, что фазовая точка будет перемещаться по поверхности переключений, описываемой уравнением
g (х ) = 0.
Введём в рассмотрение производную по времени функции g(x) в силу уравнений (1):
V(х, и) = ( А • х + В • и(х). (2)
где Vg(х) = | ^(х) 1 - градиент к поверхности переключений.
^ ; I ¿х 1„
Достаточные условия существования скользящего режима можно записать следующими соотношениями:
g(х) = 0, V(х,и)<0, V(х,-и)>0. (3)
Поскольку при скользящем режиме фазовая точка остаётся на поверхности переключений, такое движение равносильно движению с эквивалентным управлением ие(х), при котором
V (х, ие ) = 0. (4)
Подставив (2) в (4), получим
(А • х )•Vg ( х) + (В V (х ))• ие = 0,
откуда
и
(х) = - В • Vg (х)
и условие существования скользящего режима можно записать таким образом:
( А • х )•Vg ( х )
< и. (5)
В V(х)
Преобразуем эти условия для цифрового скользящего режима. Обозначим
Н (ёТ) = еАТ
фундаментальную матрицу системы (1), кроме того
ёТ
О (ёТ ) = | Н (ёТ -т)В • ёт
0
Тогда
x (t + dT, u ) = H (dT) • x (t) + G ( dT) • ы, (6)
где ы - постоянное на интервале t+dT) управляющее воздействие.
Условием существования определённого выше цифрового скользящего режима будет существование такого ы(х), что
g (Н (Т )• х + О (dT )• ы ( х )) = 0, |ы (х)| < и.
Выражение (7) имеет более конструктивный вид, если поверхность переключений линейна,
g ( х ) = 5 • х
(7)
где S - вектор соответствующей разме
рности. Тогда (7) превращается в условие S '• H (dT )•
< U
"-VV5
(t) = U • sign sin (-^ • tj , x(t + T) = -x(t) Vt > 0.
S '• G (dT)
Это условия «в малом». Желательно иметь условия, обеспечивающие возникновение скользящего режима из любых начальных условий, или хотя бы определить область фазового пространства, в котором фазовые траектории сходятся к поверхности переключений. Одним из таких условий будет невозможность возникновения в системе, которая является, по условию, релейной, автоколебаний. Для этой цели воспользуемся методом фазового годографа релейной системы, разработанного Н.В. Фалдиным [5, 6]. Пусть входом (разомкнутой) системы является релейный периодический сигнал с полупериодом Т. В такой системе возможен периодический симметричный процесс x(t),
( W
и (t ) = U • sign T V v1
Пусть такой процесс установился. В моменты времени t* = 2 • к • T реле переключается с отрицательного на положительное значение (с минуса на плюс). Значение вектора состояния в эти моменты времени, которое будет зависеть от Т, называется значением фазового годографа для полупериода Т.
X *(T ) = x (t *) (8)
Таким образом, фазовый годограф релейной системы представляет собой векторную функцию скалярного аргумента Т (полупериода колебаний). Легко видеть, что построение фазового годографа может быть сведено к решению уравнения
(E + H (T)) • X * (T) = -G (T) • U
В случае, когда в системе при релейном управлении и = -U • sign(S • x) имеют место автоколебания с полупериодом Т, должно выполняться равенство
S • X*(T) = 0.
Это условие является необходимым условием существования автоколебаний, и если оно не выполняется ни при каком Т > dT, автоколебания в системе невозможны и, следовательно, должен возникнуть скользящий режим. Это условие может быть дополнено [5] следующим образом: ни при каких Т > dT не выполняются условия:
d^X *(Т)
S • X*(T) = 0 л S--^ < 0,
dT
(9)
здесь dT - это не дискрета времени, а символ дифференцирования.
Пример. В качестве объекта управления используем электродвигатель постоянного тока ЭДМ-10 с независимым возбуждением, модель которого приведена на рис. 1. Это типичная модель электродвигателя постоянного тока с инерционной нагрузкой и редуктором.
Дифференциальные уравнения привода запишем в форме (1). Вектор состояния положим сле-( У ^
дующим образом: x =
Omd Phin
A =
B =
(_ R
L Cm Jpr
0
( Cm 1 L О О
Ce
" L Trp Jpr
1 K
( 89 1
О О
(_1429 _112.7 01
0 = 1635 _337.6 0
v 0 0.0125 0,
(10)
C = (0 0 1).
Замкнём систему (10) релейной обратной связью по выходу:
u = _U •sign(g(x)), g(x) = C -x, (11)
и выясним, какой характер движения при этом возможен. Как следует из условия (5) скользящий режим невозможен в принципе. Значит, остаётся два варианта, автоколебания или расходящийся процесс.
Для оценки возможности автоколебаний построим фазовый годограф и проверим условие (9). На рис. 2 изображён график C • X* (T), из которого видно, что в системе возможны автоколебания с частотой примерно 125 Гц.
Рис. 1. Модель объекта управления: и - управляющее напряжение, и < и = 27 V; I - ток в обмотке управления; Шй - момент, развиваемый двигателем; Отй - угловая скорость двигателя; Отп - угловая скорость нагрузки; РЫп - угол поворота нагрузки;
Я=0.9 О, Ь=0,00063 Н - сопротивление и индуктивность обмотки управления;
Ст=0.056 Ыт/Л, Се=0.071 Уя - коэффициенты момента и противо-эдс двигателя; 1рт=3.425е-5 kg•m2 - приведённый к валу двигателя момент инерции двигателя с нагрузкой;
Тгр=0.01156- коэффициент вязкого трения; К=80 - коэффициент передачи
редуктора
Надо заметить, что автоколебания достаточно высокой частоты по своим свойствам близки к скользящему режиму, поскольку изображающая точка в фазовом пространстве не удаляется ото поверхности переключений больше, чем на амплитуду автоколебаний, которая невелика.
Если в законе управления вместо выходной координаты использовать ошибку слежения, получится следящая система с высокой точностью слежения за воспроизводимыми входными сигналами. Что подтверждается моделированием. Схема Simulink-модели приведена на рис. 3.
На рис. 4 приведены в укрупнённом масштабе по времени графики сигнала ошибки и управляющего напряжения в схеме рис. 3 при входном сигнале 1.2 sin(t).
Данные моделирования хорошо совпадают с теоретическим результатом, полученным методом фазового годографа.
Ошибка не превышает полутора миллирадиан. Однако управляющее напряжение постоянно принимает максимально возможное значение, что приводит при технической реализации к большим непроизводительным энергетическим потерям. Этого позволяет избежать реализация цифрового скользящего режима.
Рис. 2 График C • X *(Т )
Рис. 3. Схема моделирования автоколебательной следящей системы: и, г - напряжение и ток в управляющей обмотке двигателя; Отй, Отп - угловые скорости двигателя и нагрузки; Шй - момент, Развиваемый двигателем; РЫп - угол поворота нагрузки
хЮ
4.4 4.42 4.44 4.4G
4.5 4.52 4.54 4.56
30 20 10 0 ■10 ■20 ■30
Contr
' Contr
4.4
4.42
4.44
4.4G
4.48
Рис. 4. Ошибка и управляющее напряжение в режиме слежения Поверхность переключений зададим равенством
С • х = 0, (12)
Но теперь надо учесть наличие входного сигнала. То есть в этом выражении переменная х должна рассматриваться как ошибка. Обозначим входной сигнал у(0. Тогда (12) приобретает смысл равенства выходного сигнала входному. После подстановки в (6) получаем
С •(( (Т )• х + О (dT )• ы ) = у (/ + dT ),
откуда
= у ( + dT )- С • Н (dT )• х (/)
u =-
C • G (dT ) 30
Для рассматриваемой системы для dT=0.01:
( _0.0013 _0.00071 01 ( 1.22132 1
H (dT ) = 0.0103 0.00554 0 , G (dT ) = 5.84213
V0.0000304 0.000027 1J V0.000542J
С = (0 0 1).
Упреждённое значение входного сигнала будем оценивать, предполагая его гладкость, по первому приближению, используя формулу численного дифференцирования первого порядка:
У( + ёТ) 2• У(г)-У(г -ёТ).
Окончательно получаем
= 2 • У (г)-У (г - ёТ )-С • Н (ёТ )• х (13)
и = С • О (ёТ)
где х - текущий вектор состояния объекта управления; С • Н (ёТ) = (0.000030427771950 0.000026663991692 1); С • О(ёТ) = 5.419426438е-04.
На рис. 5 представлена схема моделирования привода с управлением (13).
Япе Wave
Рис. 5. Схема моделирования привода с законом управления (13)
На рис. 5 блок Memory выдаёт вектор из текущего и предыдущего входных сигналов, в блоке Control вычисляется управляющий сигнал по формуле (13). Текст программы этого блока приведён ниже.
function u = fcn(x, y) %#codegen
CH=[0.000030427771950 0.000026663991692 1.];
CG=0.00054194264;
u=0;
y0=y(2); %Текущий вход
y1=y(1); %Предыдущий вход (минус такт)
yp=2*y0-y1; %Предсказанный входной сигнал
u=(yp-CH*x)/(CG);
end
На рис. 6 представлены графики ошибки слежения и управляющего сигнала при воспроизведения входного сигнала 1.2 sin(t) с управлением (13). Видно, что колебательная составляющая отсутствует в обоих графиках, а ошибка слежения не превышает 0.2 мрад или менее 0.02% по амплитуде.
к 10 Error
Заключение. В настоящей статье рассмотрен цифровой скользящий режим [4] с линейным объектом управления и линейной поверхностью переключений. Приведены условия существования такого режима и соответствующие формулы расчёта управляющего сигнала. Разобран пример моделирования следящего электропривода, работающего под управлением, формируемым по методу цифрового скользящего режима. Результаты моделирования показали очень хорошие результаты, что позволяет сделать вывод о целесообразности дальнейшего теоретического исследования указанного режима, а также рекомендовать его к использованию в промышленности.
Список литературы
1. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. М.: Наука. 1974. 272 с.
2. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем управления. М. Наука, 1981. 331 с.
3. Феофилов С.В., Козырь А.В., Анализ периодических движений в цифровых автоколебательных системах управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. Т. 19, № 8. С. 587-594.
4. Макаров Н.Н., Руднев С.А., Плыкина Е.В. Применение цифрового скользящего режима в следящем приводе // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2020. Вып. 11. С. 262-267.
5. Фалдин Н.В. Синтез релейных систем методом фазового годографа // Известия вузов. Приборостроение. 1982. № 7. С. 32-36.
6. Макаров Н.Н. Алгоритм численного построения фазового годографа релейной системы / Н.В.Фалдин, Н.Н. Макаров, С.А. Руднев и др. // Газовые приводы и системы управления. Тула: изд-во ТулПИ, 1983. С. 138-143.
Макаров Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор, octobrius@,yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Плыкина Екатерина Викторовна, аспирант, plykina000katy@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
DIGITAL SLIDING MODE IN TRACKING DRIVE WITH LINEAR FEEDBACK
N.N. Makarov, E.V. Plykina
The application of the digital sliding mode for a linear system with a linear switching surface is considered. The digital sliding mode is understood as a time-discrete control that brings the representing point in the phase space to the switching surface to the beginning of the next control cycle. The conditions for the existence of such a mode and the final relations for calculating the control action that implements the sliding mode of motion are given. An example of the implementation of such a mode in an electric servo drive is considered. The simulation results demonstrate the promise of using the digital sliding mode in the design of servo drives.
Key words: servosystem, sampling control, sliding mode.
32
Makarov Nikolay Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, octobrius@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Plykina Ekaterina Viktorovna, postgraduate, plykina000katy@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 62-503.5
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-11-33-41
СИНТЕЗ ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ АВТОНОМНЫМ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМ ПРИВОДОМ
А.В. Козырь, А.В. Бутрин
Рассматриваются вопросы проектирования цифровой системы управления автономным гидроприводом. В работе формируются технически обоснованные требования к динамическим характеристикам привода. Построена математическая модель гидропривода, рассматривается структурная и параметрическая коррекция регулятора, обеспечивающего желаемые требования к скорректированной системе. Проводится моделирование замкнутого привода в системе МагЬаЬ. Разработана конструкция нагружающего стенда и система сбора данных с датчиков в режиме реального времени и отображения их в системе моделирования МагЬаЬ.
Ключевые слова: автономный гидропривод, цифровая система управления, Маг1аЬ.
В настоящее время в качестве исполнительного элемента в контуре управления беспилотным летательным аппаратом (ЛА) широкое применение нашли электрогидравлические автономные приводы (АГП). Достоинство таких устройств обусловлено тем, что такой привод имеет малые габариты при сравнительно высоком развиваемом усилии, что является важным качеством в малогабаритных летательных аппаратах. Однако проектирование системы управления таким приводом связано с целым рядом специфических трудностей, таких как нестационарность параметров объекта управления в случае изменения температуры в широком диапазоне значений, нелинейность математического описания привода: зона нечувствительности, трение, ограничение скорости перемещения выходных звеньев, жесткие механические ограничители [1], высокий порядок математической модели привода. Указанные нелинейности могут приводить к возникновению устойчивых и неустойчивых предельных циклов в замкнутом контуре системы управления. При этом одной из основных проблем, определяющих базовые параметры и функциональную структуру привода, является обеспечение устойчивости и управляемости ЛА в области малых входных сигналов управления [2].
Основным требованием к системе регулирования АГП в контуре управления ЛА является обеспечение устойчивости и динамической точности привода в области малых входных сигналов. В настоящее время практически все системы реализуются в цифровом виде, а также происходит модернизация уже имеющихся систем управления на новую элементную базу цифровых вычислительных систем. Таким образом, на этапе разработки цифровой системы управления АГП важно иметь методику синтеза и полунатурный стенд, позволяющий проводить оценку качества разработанной системы управления.
В работе рассматривается АГП, общая функциональная схема замкнутого привода приведена на рис. 1.
Рассмотрим кратко принцип работы АГП. На первом этапе включается электродвигатель, который через специальную муфту приводит во вращение аксиально-поршневой насос. Далее управляющий сигнал подаётся на поляризованный поворотный электромагнит, который в свою очередь отклоняет распределительную втулку первого каскада гидроусилителя. Пол-зушка смещается влево или вправо, рабочая жидкость (РЖ) поступает в одну из двух полостей силового цилиндра. Перемещение штока гидроцилиндра можно отслеживать благодаря механизму обратной связи, реализованной с помощью реечного механизма с пружинным люфтовы-бирающим механизмом, который кинематически связан с валом переменного резистора.
