ПРИМЕНЕНИЕ ЦИФРОВОГО СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА В СЛЕДЯЩЕМ ПРИВОДЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-51

ПРИМЕНЕНИЕ ЦИФРОВОГО СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА

В СЛЕДЯЩЕМ ПРИВОДЕ

Н.Н. Макаров, С. А. Руднев, Е.В. Плыкина

Целью работы является формирование и сравнение разных вариантов реализации цифрового закона управления следящим приводом, сочетающих высокую точность слежения с низкой параметрической чувствительностью. Определяется особый режим движения - цифровой скользящий режим, обеспечивающий движение по поверхности переключений при дискретном времени.

Ключевые слова: следящая система, цифровой регулятор, оптимальное управление, скользящий режим.

1. Введение. Известно, что высокие результаты по точности показывает закон управления, оптимальный по быстродействию [1, 2]. При определённых условиях он обеспечивает идеальное слежение за сигналами из заданного класса. С другой стороны, оптимальный по быстродействию закон управления оказывается релейным, управляющий сигнал и, значения которого ограничены по модулю, \u \ < А, принимает только крайние значения +A или -А и конкретное его значение определяется положением изображающей точки по отношению к некоторой поверхности (гиперповерхности), называемой поверхностью переключений. Слежение в такой системе возможно только в скользящем режиме, когда изображающая точка движется по поверхности переключений.

2. Оптимальный по быстродействию следящий привод. Динамику автономного привода будем описывать упрощённой моделью второго порядка:

x1 = X2,

1 ( ) (1)

x2 = T '(K ' U - Х2 Ъ

где Х1 - выходная координата привода, и -управляющее воздействие, ограниченное про модулю: |u| < A.

К системе (1) применима теорема о числе переключений [2], согласно которой оптимальное по времени управление, приводящее систему из произвольного начального состояния в положение равновесия (x1 = 0, Х2 = 0)задаётся равенством:

u(xb Х2) = A • Sign(s(xb x2)\

s(x1, Х2 )=f(x2)-xj.

Здесь x1 = f(x2) - уравнение линии переключений, которая является объединением траекторий, приходящих в положение равновесия с постоянным управлением, равным +А и -А. Качественно фазовый портрет системы с таким управлением представлен на рис. 1. На этом рис. изображена линия переключений (жирная) и траектории, приходящие на эту линию с управлением и = Аи достигающие положения равновесия с управлением и = - А. Симметричные траектории отсутствуют.

Рис. 1. Фазовый портрет оптимальной системы

262

На рис. 2 приведена структурная схема уже следящей системы, в которой управление формируется по формуле (2) с заменой фазовых координат на координаты в пространстве ошибок.

Рис. 2. Оптимальная по времени следящая система

На рис. 2 У1 и У2 - входной сигнал и его производная, Е1 и Е2 - ошибка слежения и её производная соответственно. В этой системе возможноидеальное слежение, при котором ошибка слежения тождественно равна нулю.Выпишемусловиясуществования такого режима, для чего перепишем (1) в ошибках:

е1 = У1 - *1,

¿2 = У2 - x2,

¿1 = ¿2, (3)

¿2 = у2 - Х2 = У2 -К •и + Т(У2 -¿2 )•

Пусть теперь имеет место идеальное слежение, то есть в^) ° 0, а следовательно тождественно равны нулю и все производные ошибки. Тогда из (3) следует, что:

Т У2 +1У2 |, (4)

Ф ) =

КI

Т

если только правая часть (4) не превосходит по модулю А,

1

У2 + ТУ2

< А, то есть в

системе достаточно ресурсов управления, существует такое управление и(г), при котором реализуется идеальное слежение. Покажем, что (2) как раз и является таким управлением.Подставим (2) в (4) и, учитывая условие ¿1(/) ° 0, получим

и(в1, ¿2) = -А • Мв1, ¿2 Л (5)

^¿Ь ¿2 )= ¿1 -Ф(в2 )

При управлении (5) в системе возникает скользящий режим [3], если окажутся выполненными следующие условия:

^(¿1, ¿2 ) = 0, ), ¿2 (г))

ёг

ёсМ), ¿2 (г))

> о,

(6)

и = А

ёг

< о,

и = - А

Для оптимальных по времени линий переключения эти условия всегда выполняются [2], при этом одно из двух неравенств оказывается равенством. То есть скользящий режим оказывается на грани срыва. Причём это относится к любой точке линии переключений в пространстве ошибок.

Цифровая реализация оптимального регулятора. Далее управление (2) требуется реализовать с использованием цифрового регулятора. Такая реализация сопровождается двумя эффектами - дискретизацией времени и дискретизацией уровня.

Однако последней можно пренебречь, поскольку современные контроллеры имеют достаточно высокую разрядность, так что влияние дискретизации по уровню значительно меньше влияния погрешностей датчиков. А вот дискретизация времени сказывается значительно сильнее на характер движения. Таким образом, далее используется управление с квантованием по времени и непрерывным уровнем управляющего сигнала. Если непосредственно реализовать зависимость (2) в дискретном времени, в системе возникают нерегулярные колебания [4].

Для реализации следящей системы будем рассчитывать и подавать на вход системы такое управление, чтобы заставить фазовую точку системы попадать к началу следующего такта на линию переключения, реализуя тем самым практически скользящий режим. Такой режим движения назовём цифровым скользящим режимом. Рассмотрим три варианта реализации закона цифрового скользящего режима.

1. С использованием уравнений движения объекта управления и значений параметров системы;

2. С допущением, что изменение состояния системы за такт управления - линейная функция только управления, причём параметры этой функции мало изменяются от такта к такту;

3. С допущением, что изменение за такт состояния системы есть линейная функция текущего состояния системы и управления, причём параметры этой функции достаточно медленно меняются, чтобы можно было считать их постоянными на протяжении двух - трёх тактов.

В качестве модельного примера для численных иллюстраций методов будем использовать объект управления, структурная схема которого представлена на рис. 2. За меру точности (качество управления) примем среднеквадратичное отклонение выходного сигнала от входного в установившемся процессе слежения. В качестве входного сигнала будет использоваться некоторая типовая синусоида. Предсказание значений интересующих нас величин будем осуществлять экстраполяцией по первой производной. Параметры модели имеют следующие числовые значения:

К = 5; Т = 0.0068; А = 24; ёг = 0.0001; у(* ) = 0.3 • ьт(г).

Первый вариант. Воспользуемся следующим приёмом. Сформируем закон управления для автономной системы, при отсутствии входного сигнала, а при входном сигнале будем использовать в этом законе вместо переменных состояния ошибку.

Исходное состояние системы в момент времени х^к), Х2 (г^), ) .В первом приближении состояние в следующий, к+1-й момент времени в соответствии с (3) и (5) окажется:

х1(гк+1 )= х1(гк )+ х2 (гк )•ёг, К

х2 (гк+1) = х2 (гк ) + ^К • и(гк )- Т Х2 (гк ^ •ёг,

Ъ(гк+1) = Ъ(гк ) + ГХ2(гк ) + У(х2 (гк )) • (К • и(гк )- Т Х2 (гк ^

• ёг.

где ёг - такт времени; у. ) = ё^(х2) .Из требования равенства нулю с(гк+1) находим

ёх2

значение управления, заменив координату на ошибку:

и(гк) = К' ¿2(гк) + УТ^)' ^¿2(гк^ёг. (7)

Моделирование показало достаточно высокую точность слежения - среднеквадратичная ошибка в установившемся режиме составила 4е-7 или менее 0,0002 % амплитуды. Мгновенная ошибка не превышала 1е-6 или менее 0,0003 % амплитуды. При этом с(г) практически остаётся равной нулю, а управление оказывается гладким (см. рис. 3).

Рис. 3. Управляющий сигнал и функция переключения в режиме слежения. Первый вариант

Для вычисления управления по формуле (7) требуется только текущие значения ошибки и её первой производной. Однако в формулу (7) входят в явном виде параметры объекта управления, что не позволяет надеяться на инвариантность к этим параметрам.

Второй вариант. Он основан на предположении, что за один квант времени достаточно мало изменяется состояние как объекта в целом, так и значения управляющих величин, и можно изменение о за такт достаточно точно предсказать по первому приближению. Это соображение позволяет рассчитывать на приблизительное выполнение равенств:

) = Ы'к -1) = -1 -2)

и(*к) и(*к-1) и(*к-2) откуда получается выражение для управления, содержащее некоторый элемент сглаживания,

в = 2. °(*к )-^к-1) + -1) - Ъ^к-2 )

фк ) = -3

и (}к-1) ъ(*к)

В '

и

(}к-2 )

(8)

Моделирование с управлением (8) дало следующие результаты: среднеквадратичная ошибка в установившемся режиме составила 2.4е-6, 0,0008 % амплитуды, мгновенная ошибка не превышает 7е-6, 0,002 % амплитуды. При этом (рис. 4) управление, хотя и имеет колебательную составляющую, связанную с частотой квантования, амплитуда этих колебаний невелика и весьма далека от предельного значения управления А.

10 -о =.

3

Рис. 4. Управление и функция переключений в режиме слежения. Второй вариант

265

Параметры объекта управления при вычислении управления не используются, используются только ошибка слежения и её производная в текущий и два предыдущих момента времени. Это позволяет надеяться на инвариантность системы к параметрам. Действительно, даже двукратное изменение постоянной времени Т и коэффициента передачи К не привело ни к увеличению ошибки слежения, ни к изменению характера управляющего воздействия.

Третий вариант. Если во втором варианте использовалось предположение, что изменение значения функции переключений зависит только от величины управляющего сигнала, причём эта зависимость линейна, то в реальности дело обстоит иначе. Упомянутую зависимость, которую по-прежнему вполне обоснованно можно считать линейной, запишем в виде:

+1)'-'Фк) = С1 • е\{*к) + С2 • е2(*к) + С3 • ).

Входящие в него коэффициенты С1,С2,Сзможносчитать достаточно медленно меняющимися со временем, практически постоянными на протяжении трёх интервалов дискретизации. Тогда должны быть справедливы равенства:

С1 • е1('к-1) + с2 • е2('к-1) + С3 • и('к-1)= о^к)-^к-1),

С • е^к-2)+С2 • е2(1к-2)+Сз • п(1к-2) = о('к-1 Ь°('к-2), (9)

С1 • е1 (/к-3 ) + С2 • е2 -3 ) + С3 • и(?к-3 ) = °(/к-2 ) - °(/к-3 ), представляющие собой систему линейных алгебраических уравнений относительно вектора С = (С1, С2, С3), которую можно записать в матрично- векторной форме: Н • С = В,

и (*к-1) ^ и ^к-2) , в = и (гк-3 )у

Н =

( е1</к-1) е2 ^к-1) е1</к-2 ) е2 (*к-2 ) е\(Ь-3 ) е2 (гк-3 )

' °(*к )-^к-1 ) <5(1к-1 )-^к - 2 ) - 2 )-^к-3 )у

Решая эту систему, находим текущее значение вектора С, и вычисляем управле-

ние:

и

) = -77"(С1 • е&к)+ С2 • е2(Ч-1)+)). (10)

С3

Естественно было бы ожидать, что такое управление, также свободное от использования параметров объекта управления, покажет результаты лучше, чем во втором варианте. Однако моделирование дало противоположные результаты. Характер управления отражён на рис. 5. Среднеквадратическое отклонение составило 5е-5, то есть чуть меньше 0,02 % амплитуды, а мгновенная ошибка в отдельные моменты достигала 1.25е-3, или 0,4 % амплитуды. Управление содержит существенную нерегулярную составляющую с частотой квантования и достигает порой предельных значений. Почему прицеливание в линию переключений в третьем варианте оказалось таким неточным, предстоит разбираться в будущих исследованиях.

1—1

П л

Рис. 5. Управление и функция переключений в режиме слежения. Третий вариант

266

Заключение. Проведённые исследования показали, что режим движения, названный нами «цифровой скользящий режим», заключающийся в том, чтобы на каждом такте цифрового управления постараться попасть на линию переключений, обладает всеми позитивными свойствами скользящего режима и позволяет создавать следящие системы, обеспечивающие высокую точность слежения за достаточно гладкими сигналами при практической инвариантности к параметрам объекта управления.

Список литературы

1. Фельдбаум А. А. Оптимальные процессы в системах автоматического управления // Автоматика и телемеханика, 1953, № 6. С. 712-768.

2. Иванов В. А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем управления. М. Наука, 1981. 331 с.

3. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. М. Наука, 1974. 272 с.

4. Феофилов С.В., Козырь А.В. Анализ периодических движений в цифровых автоколебательных системах управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. Т. 19. № 8. С. 587-594.

Макаров Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор, octobrius@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Руднев Сергей Александрович, д-р техн. наук, профессор, octobriusayandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Плыкина Екатерина Викторовна, инженер, octobriusayandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE USE OF DIGITAL SLIDING MODE IN THE TRACKING DRIVE N.N. Makarov, S.A. Rudnev, E. V. Plykina

The aim of the work is to create and compare different options for implementing the digital law of tracking drive management, combining high accuracy of tracking with low parametric sensitivity. A special mode of movement is defined - a digital sliding mode that provides movement on the surface of switches at discrete time.

Key words: tracking system, digital controller, optimal control, sliding mode.

Makarov Nikolay Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, octobriusayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Rudnev Sergey Alexandrovich, doctor of technical sciences, professor, octobriusayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Plykina Ekaterina Viktorovna, engineer, octobriusayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University