CC BY
119
Стручев Денис Александрович, магистрант, nedrf@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
STUDY AND OPTIMIZATION OF MANAGEMENT FUNCTIONS OF SERVO DRIVE.
D. A. Struchev
This paper examines the servo drive, in which the control using pulse width modulation means microcontroller. Presents the results of the experiment efficiency of the algorithm for the microcontroller and optimization of the control function.
Key words: microcontroller, servo drive, the PWM, control.
Struchev Denis Aleksandrovich, magister, nedrfamail. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 629.7.06(082)
МЕТОДИКА СИНТЕЗА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДА РОБОТА, ИНВАРИАНТНОГО К ПАРАМЕРИЧЕСКИМ И ВНЕШНИМ ВОЗМУЩЕНИЯМ
И.К. Хапкина
Рассмотрен синтез следящего электропривода многозвенного манипуляторами. Предложен метод синтеза систем управления электроприводом, инвариантного к параметрическим и внешним возмущениям с использованием скользящего режима. Построен релейный регулятор, предложены обратные связи и методика расчета их параметров. Предложена схема технической реализация регулятора.
Ключевые слова: робот, электропривод, инвариантность, скользящий режим, точность.
Производительность роботов в значительной степени определяется быстродействием приводов его звеньев. Кроме того, скорость выполнения технологических задач роботами должна соответствовать скоростям другого оборудования, функционирующего совместно с роботом. Для обеспечения заданного быстродействия робота должна быть разработана эффективная система автоматического регулирования скорости работы приводов робота, отвечающих за выполнение конкретных задач. Современные роботы в большинстве своем оснащаются электроприводами, так как именно для данного типа приводов задача управления решается наиболее просто. Главным элементом электроприводов является электродвигатель, преобразующий электрическую энергию в механическую. Задача
управления скоростью электропривода сводится к задаче управления частотой вращения и положением вала электродвигателя с манипуляционной нагрузкой. Роботы работают в неустановившихся режимах, перемещают изменяющиеся инерционные нагрузки и это предъявляет повышенные требования к способности адаптации их приводов к переменным нагрузкам [1].
Приводы являются силовыми, исполнительными элементами роботов и при наличии обратных связей (по положению и скорости) говорят о следящих приводах, которые представляют собой, по существу, следящие системы. Следящие приводы используются в роботах с позиционным и контурным управлением. Следящие приводы роботов должны обладать необходимой мощностью, обеспечивать требуемую точность отработки программных воздействий, иметь заданные динамические характеристики, стабильно работать в условиях изменяющихся моментов инерции и внешних возмущений, обеспечивать точность слежения за входным воздействием при перемещении с «вытянутой» рукой, с объектом и без объекта манипулирования.
Основой системы электрического привода постоянного тока является электродвигатель. Именно типом электродвигателя, развиваемой частотой вращения, мощностью и моментом на валу определяются динамические возможности электропривода. Серийные электродвигатели, выпускаемые промышленностью, как правило, являются высокооборотными. Выходной вал исполнительного устройства следящей системы, однако, должен иметь незначительную частоту вращения. Понижение частоты вращения вала электродвигателя осуществляется с помощью многоступенчатого редуктора. Кроме того, в регулируемом электроприводе всегда имеется кинематическая цепь, связывающая выходной вал двигателя с валом тахогенератора (или сельсина-датчика). Эта кинематическая цепь является частью цепи жесткой обратной связи следящей системы. Для регистрации угла поворота исполнительного устройства на выходном валу установлен цифровой датчик. Очевидно, кинематические цепи редуктора, тахогенера-тора и цифрового датчика существенно повышают момент инерции и увеличивают нагрузку на привод.
Питание электродвигателей постоянного тока осуществляется по якорной цепи и цепи возбуждения. За счет изменения напряжения в цепях питания осуществляется регулирование частоты вращения электродвигателя. Принципиально управление электродвигателем может осуществляться как по якорной цепи, так и по цепи возбуждения. Однако наиболее распространенной схемой управления двигателей с независимым возбуждением является управление током якоря при неизменном потоке возбуждения.
Динамические процессы в электродвигателе с независимым возбуждением и управляемым напряжением якорной обмотки достаточно полно
описываются линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Кинематические цепи силового редуктора, тахогенератора и цифрового датчика в первом приближении считаются безинерционными, и при динамической модели учитываются лишь их передаточные числа. Однако в действительности все элементы механических звеньев, находящиеся под действием усилий и моментов, деформируются. Кроме того, в кинематических цепях редукторов следящих систем имеются зазоры. Упругие деформации и зазоры в механических звеньях следящего привода оказывают существенное влияние на динамику работы электропривода. Зазоры в кинематических цепях увеличивают время регулирования и зачастую являются причиной возникновения в системе автоколебаний. Увеличивают колебания и время регулирования упругие деформации валов кинематической цепи. Сухое и вязкое трение в кинематических цепях оказывает демпфирующее воздействие на динамику работы кинематических передач. Кроме того, потери на трение в силовой цепи, в цепи обратной связи существенно влияют на точность работы системы. Поэтому при динамической модели электрического привода математическое описание движения кинематических звеньев должно учитывать все перечисленные выше факторы.
Необходимо отметить, что динамические процессы в механических звеньях кинематической передачи достаточно полно описываются колебательным звеном, где демпфирование осуществляется вязким и сухим трением. Свободный ход в кинематических цепях, приведенный к моментам зацепления, описывается зоной нечувствительности.
Сложность математического описания объекта регулирования оказывает существенное влияние на весь ход решения задачи синтеза следящей системы. Поэтому выбор динамической модели электрического привода является важным моментом, определяющим сложность и трудоемкость дальнейшего решения задачи. В то же время динамическая модель объекта регулирования должна полно отражать протекающие в нем процессы. Только в этом случае может быть разработан регулятор, технически реализуемый и обеспечивающий высокое качество регулирования в реальной системе.
Введем обозначения: Мт - пусковой момент двигателя; ит - максимальное напряжение управления; Тэ = — - электромагнитная постоян-
Кя
ная времени; J1 - момент инерции двигателя; Мс1 - момент сухого трения ведущего элемента; Ь1 - свободный ход силовой цепи; № - коэффициент жесткости силовой цепи; J2 - момент инерции ведомого вала; И2 - коэффициент вязкого трения на ведомом валу; Мс2 - момент сухого трения ведомого элемента; Ь2 - свободный ход в измерительной цепи; ти2 - коэффициент жесткости измерительной цепи; J3 - момент инерции цифрового датчика; ИЗ - коэффициент вязкого трения в цифровом датчике; Мс3 - мо-
188
мент сухого трения в цифровом датчике; ти3 - коэффициент жесткости кинематической цепи тахогенератора; J4 - момент инерции тахогенерато-ра; И4 - коэффициент вязкого трения тахогенератора; Мс4 - момент сухого трения тахогенератора; Кtg - коэффициент передачи тахогенератора ; и -сигнал управления; Utg - напряжение тахогенератора; От1 - частота вращения двигателя; От2 - частота вращения ведомого элемента; От3 - частота вращения цифрового датчика; От4 - частота вращения тахогенерато-ра; Ц[Н - угол скручивания ведущего вала; 0/г2 - угол скручивания ведомого вала; 0/13 - угол скручивания вала цифрового датчика; 0/14 - угол скручивания второго вала цифрового датчика; 0]\5 - угол скручивания вала тахогенератора; М - момент, развиваемый двигателем.
7 М + м = ^ (и - ^ О) ' Л и,/ О-т '
Л О
J1—г=м -МЙ -МЙ - ма л
J2 = ЛДЙ2 Й - ^А -Мс2 Л
Jз = >"^4 - ЬА - мсЪ Л
J 4 ЛО± = Мй5 - ^А - МС4
Л й А Й4
О. -П2
dt ^ 2
[Дй - Ь, Дй2 = Мед + Ь, I0 ,
r.
при Дй > b при Дй1 < - b при |ДйЙ £ b
dt
при Дй3 > b2 при Дй3 < —b2 при |Дйэ| £ b
M
Дйз - b2, Дй4 = ^Дйз + b2, 0 ,
^ = гтг П4
Mde1sign О., при |ц| > ¿О.
Mnisign (m -тДй2 -т3дй5), при £ ж. M-тДй2 -Мй, при |о.| £ ¿О. и
M-тй-Мй! £ m п. Мдв2 sign ц, при 1 >¿0
МП2sign (тДй2 -m2Дй4 -h2W2), при |П2| £Ж2 и
|ЛДЙ2 ДЙ4 ->MП тдй2 -m2Дй4 -h2n2, при |n2| £ ¿О2 и
|т.Дй2 -m Дй4 - ¿А| £ M п
Mär3sign W3, при |W3| > ¿W3
МП3sign (т2Дй4 -hA), при |n3| £Ж3 и
|тДй4 - ¿А| > M
П3
mДй4 -hjW3, при |П3| £Ж3 и
т2Дй4 - £ MП3
'Md,4 sign П4, при |Q„ | > ¿W4
МП4 sign (тЙ - h4W4), при |n4| £Ж„ и
\тдй - hAl > MП4 Мй - h4W4, при |П4| £Ж„ и
Im, ДЙ5 - h4WJ £ MП4
M
M „, =
Уравнения движения электрического привода с редуктором, тахо-генератором и цифровым датчиком имеют следующий вид:
Динамическая модель электрического привода, представленная системой уравнений (1), достаточно полно описывает процессы, протекающие в системе, однако является достаточно сложной. Ее трудно применить для синтеза управляющего устройства следящей системы. Поэтому на первом этапе синтеза воспользуемся упрощенной динамической моделью электропривода, сохранив его наиболее существенные особенности. Предположим, что механическая часть электропривода состоит из абсолютно жестких, недеформируемых элементов и не содержит воздушных зазоров. Тогда движение электропривода можно рассматривать на выходном валу двигателя, к которому приведены все внешние моменты, а также все инерционные массы механических звеньев [2]. Полученная в результате упрощенная математическая модель электропривода представляет собой дифференциальное уравнение II порядка и в основном отражает протекающие в нем процессы (1) (рис. 1).
Рис. 1. Упрощенная динамическая модель электрического привода постоянного тока
В то же время процедура синтеза регулятора объекта II порядка достаточно проста:
тМ + м М
Ж
и.
и - ит о
тт \
о
т у
Ж о
Упр ^ = М - М
иг = ^ о
(1а)
М_
М^щп О ,
МпМ, при |О| < ¿О, и |М| >Мп М, при |О| < ¿О, и |М| < Мп
Однако использование при синтезе упрощенной динамической модели требует последующего анализа системы с учетом более полного математического описания объекта регулирования. Необходимо рассмотреть влияние факторов, неучтенных на I этапе синтеза, на динамику функционирования системы и на основе полученных результатов скорректировать параметры и структуру регулятора.
Кроме того, при синтезе следящих систем роботов необходимо учитывать ряд ограничений, связанных с режимом работы электрического привода. При этом с позиции механической прочности двигателя могут ограничиваться момент на его валу и максимально допустимые обороты. Весьма существенным является ограничение по нагреву. Очевидно, при решении задачи синтеза регулируемого электропривода регулятор должен создаваться на основании всего комплекса требований, предъявляемых к системе. Однако в настоящее время математическая теория оптимального синтеза систем регулирования пока еще не в состоянии однозначно решать задачи подобного рода.
Из обширного комплекса требований, предъявляемых к следящим приводам систем наведения, основными являются требования минимума статической и динамической ошибок системы. Поэтому решение при синтезе следящих приводов роботов необходимо искать в классе систем, структурно обеспечивающих высокую динамическую точность. Выполнение дополнительных требований в таком случае может быть обеспечено соответствующим выбором параметров регулятора.
Одним из классов систем, структурно обеспечивающих высокую динамическую точность, являются системы, работающие в скользящем режиме. Кроме того, за счет преднамеренного введения скользящего режима в ряде случаев удается повысить степень астатизма системы, а следовательно, и улучшить качество воспроизведения входного воздействия.
Поэтому задачу синтеза привода робота высокой точности сформулируем как задачу синтеза скользящего режима с заданными динамическими характеристиками.
<
<
В работах, посвященных исследованию скользящих режимов [1 -2], показано, что если функция управления формируется из регулируемой величины и ее производных, то движение в скользящем режиме не зависит от параметров объекта и определяется только коэффициентами уравнения поверхности переключения. Кроме того, движение в скользящем режиме инвариантно к действию возмущений. Указанное свойство систем, работающих в скользящем режиме, используется для построения САР, нечувствительных к изменениям параметров и инвариантных к внешним возмущениям. Требуемые динамические характеристики (заданная точность, быстродействие) при этом обеспечиваются выбором коэффициентов уравнения поверхности переключения. Запишем уравнения объекта регулирования (1а) в координатах ошибки: х1 = g - О,
Х2 =
_ dx1 _ dg dW dt dt dt
при отсутствии возмущающего воздействия:
M.
Х2 =-
T3 JnpWn
-x - — +
1 T
d_g + 1 dg + Mm dt2 T dt TJ W.
g
M
T J U
пр^ m
U
(2)
Как показывает система уравнений (2), рассматриваемый объект регулирования является устойчивым.
Известно, что идеальное слежение возможно только за таким входным воздействием, которое удовлетворяет неравенству:
g =
d2g 1 dg
+ —
- + -
M.
dt2 Тэ dt T3JnpWm
g
<
M
T J U
1 э° прu m
U
(3)
Потребуем выполнения более "жесткого" неравенства:
M_ U
g <
TjJpUm K
(4)
где K > 1.
Будем синтезировать систему с линейными обратными связями. В качестве управления выберем релейное управление следующего вида:
U = U0 • Sign (С1Х1 + С2Х2 ) (5)
Как видно из (5), переключение управления U будет осуществляться на прямой:
Cixi + С 2 Х2 = 0 (6)
Параметры с1 и с2 линии переключения будем выбирать так, чтобы при любых входных воздействиях на прямой (6) существовал скользящий режим.
Условия существования скользящего режима в системе имеют следующий вид:
Х2 + ^X2 I = _и0 > 0 [C1 X2 + C2X2 ]и = + ^ < 0 При подстановке в (7) значения X2 из (2) получим (8):
(7)
с1х2 + c2
с1х2 + с2
М.
ТI и
и0 + Е
М
ТI О 1 Т
> 0
М
Т I и
э пр т
и0 + Е _
М
1
_1п х__х
ТI о 1 т 2
э пр т э
< 0
(8)
Условия существования скользящего режима (8) в системе должны выполняться при любых входных сигналах, удовлетворяющих (3). Следовательно, всегда должны выполняться неравенства
С1Х2 + С2
С1Х2 + С2
М
Т I и
э пр т
и
М
Т I и
э пр т
и
К _ 1 _ К
К _ 1
М
1
_1п х__х
ТI О 1 Т 2
э пр т э
> 0
М
К
х
х
ТI О 1 Т 2
э пр т э
(9)
< 0
Подставляя в (9) вместо х2 значения уравнения линии скольжения (6), получим неравенство, определяющее гарантированный отрезок скольжения при любом входном сигнале, удовлетворяющем (3):
N <
Мт Т I и
и
К _ 1 К
1 Мт 2
—сс +-т— с2
Т ТI О 2
э э пр т
(10)
Вывод фазовой точки на режим скольжения обеспечивается подбором параметров и0, с\ и с2. Так как рассматриваемый объект устойчив, от-
ношение — может быть выбрано равным
с
С- = 1
С 2 Тэ
(11)
Величина напряжения на выходе релейного усилителя и0 выбираем из условия (3). Однако физически не может быть выбрана больше напряжения питания управляющей обмотки ит. Тогда согласно (11) при ио=ит, Е = 0 длина гарантированного отрезка скольжения будет определяться максимальной частотой вращения, развиваемой двигателем:
1
х
2
1
2
с
2
2
с
X (12)
Таким образом, при — = — скользящий режим в следящем приводе
С2 Тэ
робота возникает при любых возможных начальных условиях в системе.
*
Если в некоторый момент t фазовая точка системы попала на гарантированный отрезок скольжения, то независимо от изменения входного сигнала g(t) дальнейшее ее движение будет происходить по прямой переключения (6).
с
Уравнение (6) имеет устойчивое решение при — > 0:
С2
- ^ t
х = Ве С2
С1 t С1 t (13)
--1 с — t
X = В'е с2 Ве с2 , С2
где В определяется значением х1 в момент выхода системы на гарантированный отрезок скольжения.
Из (13) видно, что статическая и динамическая ошибки системы асимптотически стремятся к нулю, тем быстрее, чем больше отношение
с
—. Это означает, что в скользящем режиме слежения система идеально
С2
воспроизводит входной сигнал g(t)=const, g(t)=at, a=const.
Запишем уравнение поверхности переключений в реальных координатах системы:
<-">+С:0Н=о (14)
Из (8) видно, что в уравнение поверхности переключений входит производная входного сигнала. Реализация чистой производной входного сигнала существенно усложняет структуру регулятора. Поэтому желатель-
- ( ¿Е Л
но поучить сигнал, пропорциональный I -е\, от одной из измеряемых
координат системы. Обозначим:
= z (15)
Л
Как показывает неравенство (12), при выполнении условия (11) скользящий режим в системе является устойчивым на всей фазовой плоскости. Отсюда следует, что система практически мгновенно выходит на скользящий режим движения. В соответствии с (13) статическая и динамическая ошибки системы при движении по отрезку скольжения асимптотически стремятся к нулю. Поэтому для системы с объектом второго порядка
на отрезке скольжения справедливо равенство (16):
Т^З = е (16)
Е Л2 Л
где характеризует инерционность скорости изменения выходного сигнала по отношению к скорости изменения входного сигнала.
с
Продифференцируем (15) по t и домножим на —:
c2 d2g c2 de _ c2 dz c1 dt2 c1 dt c1 dt
Сложим уравнение (17) с (15):
C2 dig+dg _ Ci—_e=C2 d.z+z
c dt 2 dt c dt c dt
(17)
(18)
с
Подставляя в (18) значение £из (16), получим при Т = — диффе-
Е с
ренциальное уравнение, связывающее £с г:
с2 Се с2 Сг
—2— = + г (19)
с1 dt с1 dt
Дифференциальное уравнение (19) может быть записано в операторной форме:
с2
Р
I (Р) с1
e( p)
(20)
p +1
Зависимости (19) и (20) полностью определяют структуру обратной связи системы, работающей в скользящем режиме, структурная схема которой приведена на рис. 3:
Рис. 2. Принципиальная структурная схема следящей системы, работающей в скользящем режиме
195
c
c
2
c
Известно [3] , что скользящий режим в системе линеаризует характеристику реле. При этом релейная система превращается в линейную систему с бесконечно большим коэффициентом усиления. Это свойство релейной системы может быть использовано для оценки поведения при обработке различных входных и возмущающих воздействий.
Будем считать релейный элемент звеном с бесконечно большим коэффициентом усиления. Тогда коэффициент передачи релейного элемента при малых значениях £ может быть представлен в виде
и = КР ит, (21)
где Кр ® ¥ при £ ® ¥.
Составим передаточную функцию следящей системы, представленной на рис. 3:
Ф(Р) _К'и'К ■М- (?> +1)_, (22)
(Т, p +1)(7> +1) + KrU„M"RgTgP
p m
' m m
UK
JpP+MMr+Kз KpUmMr (TgP +1)
m
Kз = Ky • K m
Так как при скользящем режиме сигнал на входе релейного элемента £ близок к нулю, то динамические свойства следящей системы определяются вырожденной передаточной функцией, полученной из (23) при
Кр ®¥ .
я Т Р + 1 ФВ (Р) = кт ' --(24)
КК^рР2 + т,Р +1
С помощью аналогичных рассуждений получим вырожденную передаточную функцию системы по возмущающему воздействию:
В кт р
ФВ (Р) =-, кт'г -ч (25)
KK.
P2 + Tp +1
ТУ- TS прг gr
V K3Km J
Как видно из (24) и (25), вырожденное уравнение системы имеет устойчивое решение, следовательно, в синтезированной системе выполняются условия устойчивости скользящего режима. Вырожденные передаточные функции (24) и (25) полностью описывают движение системы по отрезку скольжения и могут использоваться для оценки точности синтезируемой системы. Определим ошибку системы от воздействия постоянного момента трения f (t )= Mg 1(t). На основании теоремы о конечном значении получим
DX = limxf (t) = limp • F(p)• ФВ (p), (26)
p ®0 f p ®0
где F(p) - изображение по Лапласу возмущающего воздействия f(t):
M
F (p) = . P
При подстановке в (26) значений F(p) и ФВ(p) получим:
M RT p DXf = lim p --g ^-^ = 0 (27)
p ®0 p
KK_
Jnpp2 + Tgp+1
_ K , K
Таким образом, за счет скользящего режима в системе достигается инвариантность ее к воздействию постоянного внешнего возмущения f (t ) = Mg -1(t).
Оценим точность следящей системы при отработке типовых входных воздействий.
Пусть на систему действует постоянный входной сигнал
H
g (t) = н - i(t), тогда получим G(p) = —. Статическую ошибку системы мож-
p
но найти по зависимости
DX1 = limpHФвх (p), (28)
p ®0 p
где Фвх (p) = 1 - ФВ (p) - вырожденная передаточная функция ошибки системы.
В результате получим:
RJ,
KK"nvl
g g Jnpp2
DX1 = lim H m-= 0 (29)
p ®0 RJn
" прГ ■ 'g.
g g "np + Tgp + 1
Kз Km
Таким образом, синтезированная система идеально воспроизводит ступенчатый входной сигнал.
Определим установившуюся ошибку системы при входном сигна-
V
ле, изменяющемся с постоянной скоростью g (t) = V -1, G = —.
p
По теореме о конечном значении:
R T 2 J p
V V KK np DX2 = lim — Ф (p) = lim--„ 3 m-= 0 (30)
p®0 p p®0 p Rglg
KK
"npp2 + Tgp +1
Из (30) следует, что синтезированная система идеально воспроизводит сигнал, изменяющийся с постоянной скоростью.
Динамическую ошибку системы при отработке входного сигнала, изменяющегося с постоянным ускорением, найдем по зависимостям:
а
ЛХЪ = Нш — Фх (р), (31)
р ® р
я т 2
J р
а к к пр я т
ЛХз = 1® -= а^р (32)
р р р2 + Тр +1
к к пр я
з т
Таким образом, квадратичный входной сигнал g (г) = аг2 отрабатывается системой с ошибкой
^Хз =ЛгКН (33)
а К зкт
Из (33) может быть найдена добротность следящей системы по ускорению:
Б =(34)
а ЛХ3 ^¿р
На основании проведенного исследования можно утверждать, что синтезированная следящая система робота устойчива и имеет высокую динамическую точность.
Для режима обработки ступенчатых входных сигналов основными являются требования высокой динамической точности, быстродействия и равномерности частоты вращения. Анализ осциллограмм, полученных с помощью моделирования ЭВМ, свидетельствует о том, что электропривод практически идеально воспроизводит минимальный входной сигнал g0 = 0.03°/ с, а также гармонические сигналы в широком диапазоне частот.
Список литературы
1. Зенкевич С.Л., Ющенко А.С. Основы управления манипуляционными роботами: учебник для вузов. 2-е изд., исправ. и доп. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 480 с.
2. Пшихопов В.Х. Оптимальное по быстродействию траекторное управление электромеханическими манипуляционными роботами // Известия вузов. Электромеханика. 2007. № 1. С. 51 - 57.
3. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974. 272 с.
Хапкина Ирина Константиновна, канд. техн. наук, доц., ¡¡'¡псоиМхатаИ.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет
METHOD OF SYNTHESIS ELECTRIC DRIVE CONTROL SYSTEM ROBOTS,
INVARIANT TO PARAMERICHESKIM AND EXTERNAL DISTURBANCES
I.K. Khapkina
The synthesis of the tracking actuator multilink manipulators. The method of synthesis of control systems Power invariant to parametric and external perturbations using sliding mode. Built relay control, offered feedback and method of calculation of their parameters. A scheme for the technical implementation of the controller.
Key words: robot, electric, invariance, the sliding mode, the accuracy.
Khapkina Irina Konstantinovna, candidate of technical sciences, docent, irin-constxamail. ru, Russia, Tula, Tula State University
