CC BY
86
УДК 621.62.83
Н.Н. Макаров, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-38-35 (Россия, Тула, ТулГУ),
А.А. Парамонова, асп., (4872) 39-59-12, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
АЛГОРИТМ СИНТЕЗА РЕЛЕЙНОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ, РАСПОЛОЖЕННОЙ НА ВОЗДУШНОМ НОСИТЕЛЕ
Рассматривается синтез релейного регулятора, обеспечивающего возникновение и существование устойчивого скользящего режима и минимизацию гарантированной точности системы. Приведен алгоритм расчета параметров регулятора. Рассмотрено применение предлагаемой методики для системы слежения, расположенной на беспилотном летательном аппарате.
Ключевые слова: скользящий режим, гарантированная точность, следящая система, воздушный носитель.
В настоящее время одним из основных направлений развития средств наблюдения и обнаружения является их размещение на воздушных носителях. Причем в последнее время отчетливо обозначился перенос акцента воздушной разведки с пилотируемых летательных аппаратов на беспилотные (БЛА) с возложением на них значительной доли разведывательных задач. На БЛА устанавливаются различные средства наблюдения, среди которых главную роль играют оптико-электронные системы и радиолокационные станции с синтезированием апертуры антенны видовой разведки.
В связи с малой инерционностью БЛА в полете оказываются сильно подверженными внешним возмущениям как со стороны ветровых воздействий, так и со стороны самих приборов наблюдения при их движении. В то же время изображение, получаемое с помощью средств разведки, должно быть четким, ясным, иметь высокое разрешение, а автосопровождение цели должно вестись с высокой точностью. Поэтому проблема обеспечения движения линии визирования прибора по заданной траектории независимо от движения основания остается актуальной.
Обеспечить высокую точность слежения и наведения на цель в условиях качки воздушного носителя и вариаций параметров объекта управления позволяет релейный закон управления, работающий в скользящем режиме.
Для синтеза регулятора необходимо располагать линейной математической моделью объекта управления. Причем для пригодности синтезированного закона, упрощенная модель должна как можно более точно отражать характеристики рассматриваемой системы. Поэтому сначала, как правило, описывают поведение объекта управления в нелинейной форме, с учетом влияния возмущений различного рода, перекрестных связей кана-
лов, а затем полученную модель линеаризуют и приводят к требуемому виду.
Математическое описание опорно-поворотного устройства (ОПУ), установленного на воздушном носителе, было предложено в [1], в нем учитывались возмущающие моменты, вызываемые влиянием движения ОПУ на положение воздушного носителя, упругость и трение в механических передачах. Произведем упрощение, линеаризацию и декомпозицию математической модели этой системы.
Будем полагать, что вращение нагрузки осуществляет двигатель постоянного тока независимого возбуждения, управляющее напряжение которого не превышает значение номинального. Тогда уравнения движения нагрузки в абсолютной системе координат без учета люфта редуктора, представленные в операторной форме, примут вид:
(и(^) - се ■ (а
г(*) = (и(*) - Се • (аДбвс (*) - аНос(*) “ ^ *
Тэм * + 1
МДв(*) = См ■К*X
М нагр( * ) с
^ абс/ ч
а Дв (*) а абс ( *)
нагр *
к
р
г
+ с
1
\
1-----
к р V р
а нос(* ),
(1)
3Дв ■ * а Дв (* ) = МДв( * )
М нагр( * ) кр
2 абс
3нагр ■ * а нагр (*) = Мнагр (*) — М
нагр
сопрот
(*),
d
где г - ток якоря двигателя, А; * = — - оператор дифференцирования;
dt
и - напряжение, подаваемое на двигатель, В; Се - коэффициент противо-ЭДС двигателя, В ■ с/рад; юДвс - угловая скорость якоря двигателя, рад/с;
анос - скорость поворота носителя относительно оси, параллельной оси вращения нагрузки, рад/с; Я - сопротивление цепи якоря, Ом; Тэм - электромагнитная постоянная времени двигателя, с; Мдв- момент, создаваемый двигателем, Н ■ м ; См - коэффициент момента двигателя, Н ■ м/А; Мнагр - момент реакции нагрузки на двигатель, Н ■ м ; с - коэффициент жесткости безынерционного упругого элемента, Н ■ м/рад; аДвс - угол поворота якоря двигателя, рад; ан^р - абсолютный угол поворота нагрузки,
рад; кр - передаточное отношение редуктора; а нос- угол поворота носителя относительно оси, параллельной оси вращения нагрузки, рад;
3Дв , 3нагр
моменты инерции якоря двигателя и нагрузки, кг • м
2
- момент сопротивления, приложенный к валу нагрузки (сумма
сопрот
моментов трения, неуравновешенности, момента от взаимовлияния движений носителя и нагрузки).
Из (1) путем несложных алгебраических преобразований получим зависимость изменения абсолютной угловой скорости нагрузки от задающего и возмущающих воздействий:
,абс /■ „\ _ тл т , иг („\ ~ Г „\ Т/ГЛ (М
г\*/ 'М сопрот'
нагр(^) ^ЗВ(£) • и(£) + ^нос(£) •®нос(£) ^сопрот
1
(s), (2)
- передаточная функция систе-
мы по задающему воздействию; ^сопрот( £)
Ьз £ 3 + Ь2 £ 2 + + Ьо
3+ 3+ 3+ ,
а 4 £ + аз £ + а2 £ + аі£ + ао
- передаточная функция системы по возмущающему воздействию;
^нос(£)
2
с2 £ + сі£ + Со
4 , 3 , 2 ,
а4£ + аз £ + а2£ + аі£ + ао
- передаточная функция системы,
определяющая влияние движения носителя на нагрузку.
В этих выражениях приняты следующие обозначения:
к р 3 Дв 3 нагрТэм а 4 =-------------------; аз
к р 3 Дв 3 нагр
сК
м
сК
м
а2
к р 3 нагр Се
+
к р 3 Дв +
3
Ьз
к р 3 ДвТэм
нагр кр
к р 3 Дв
Т.
эм
К
; аі
м
к р 3 Дв К м
+ ■
ь
к р Се
+ ■
эм
с • К м с • К м
кр Км
3 нагр
кр Км
Ьо
ао Секр ;
1
кр Км
с2=
(кр - 1)3Дв Тэм (кр - 1)3Д:
Км
; с1 =
Км
; со кр Се ; Км
С
м
R
р е м
мм Для расчета релейного регулятора будем рассматривать движение системы, определяемое только задающим воздействием. Тогда, осуществив переход от описания системы в виде (2) к описанию с помощью переменных состояния, поведение объекта управления с регулятором представим системой линейных дифференциальных уравнений в виде:
х = Ах + Ьи, у = Сх и = £\§п (^ g + КТ х)
(з)
где А - собственная матрица системы; х — вектор состояния следящей системы; Ь - вектор формирования управления (и); С - постоянная матри-
з4
с
с
ца; у - выходной сигнал системы; g - вектор входного сигнала; К, Ь - векторы параметров регулятора.
За критерий точности слежения положим гарантированную точность (ГТ, [2]), понимаемую как максимум модуля ошибки слежения е(?)
за сигналами у(?) из заданного класса V на заданном интервале времени Т при нулевых начальных условиях:
Неопределенный характер входного воздействия обусловливает необходимость учитывать класс входных сигналов уже на стадии синтеза регулятора. Наиболее адекватный и гибкий учёт класса входных сигналов обеспечивает метод гарантированной точности [2], в котором предполагается, что входной сигнал является выходом некоторой вспомогательной системы - задающего устройства (ЗУ), на вход которого поступает управление, ограниченное по модулю.
Существуют два подхода к построению задающего устройства: с использованием частотного спектра входного сигнала, и по известным фазовым ограничениям на значение сигнала и его производных.
Рассмотрим второй подход и случай, когда сам сигнал неограничен, а ограничены две его производные. Тогда в качестве задающего устройства достаточно применить звено второго порядка, последовательно соединённое с интегратором:
где Wзy — передаточная функция ЗУ; а, у — параметры ЗУ.
Тип звена выбирается из тех соображений, чтобы область достижимости задающего устройства как можно более полно охватывала все траектории реального сигнала при различных начальных фазах, но при этом, по возможности, не захватывала лишнего.
Определим параметры ЗУ. В соответствии с [3] предельные отклонения по производной л;1тах от выходного сигнала ЗУ и его второй производной *2тах имеют вид
ГТ(У,Т) = тах
V Ц )еГ
тах тах е(^) V ^)еУ 0<г <Т
(4)
Х1 тах
V и
и
Решая систему уравнений (6 - 7) с учетом заданных ограничений по скорости и ускорению входного сигнала, находим значения а, у.
Входным сигналом ЗУ должна служить дельта-функция Дирака, которую невозможно реализовать точно. Однако тот же самый процесс для выбранного ЗУ возникнет, если на вход системы подать единичную ступенчатую функцию, а порядок системы понизить на единицу.
Одним из способов описания скользящих режимов является использование так называемого эквивалентного управления (и экв) [4]. Если в системе (3) существует скользящий режим, то в каждый момент времени выполняется равенство
ЬTg + КТ х = 0, откуда эквивалентное управляющее воздействие
_ ЬТ . КТ л
иэкв т g Т Ах.
КТЬ КТЬ
Тогда движение в скользящем режиме может быть описано следующей системой:
ЬТ КТ
х =Ах +Ьиэкв,иэкв ~ Т g Т Ах, (8)
КТЬ КТЬ
причём в каждой точке решения этой системы выполняются условия суще-
ствования скользящего
КТх
режима:
+ ІТ £ < 0, КТх
и =1
КТх + I £ = 0.
+ 1Тё > 0, и=-1 (9)
Условия (9) являются необходимыми и достаточными условиями существования скользящего режима. Вместо них при синтезе регулятора могут быть использованы достаточные условия в виде
\иэкв| < 1, КТЬ < 0. (10)
Расчёт регулятора, по сути, сводится к решению задачи условной параметрической оптимизации. Выбираются такие параметры регулятора К, Ь, которые обеспечивают наименьшую гарантированную точность для системы (8) при воспроизведении сигналов из заданного класса, при этом выполняются неравенства (10). Чтобы наделить движение в скользящем режиме желаемыми динамическими свойствами, можно ввести дополнительные требования к качеству регулирования (время регулирования, степень устойчивости и другие оценки, известные из теории линейных систем), которые в поставленной задаче оптимизации будут задавать ограничения на значения рассчитываемых параметров.
Для линейных стационарных систем задача вычисления ГТ сводится к задаче о накоплении отклонений линейной системой, и может быть вычислена как интеграл модуля весовой функции ошибки расширенной системы, состоящей из последовательно включённых ЗУ и следящей системы [2]:
Т
ГТ(Т) = | |^оо |л,
о
где w(t) - весовая функция расширенной системы от входа ЗУ до сигнала
ошибки следящей системы.
Максимальное значение эквивалентного управления при воспроизведении сигналов из заданного класса определяется как предельное отклонение некоторого искусственно организованного выхода расширенной системы и вычисляется таким же образом, как и гарантированная точность.
Расчетная схема для вычисления коэффициентов релейного регулятора методом гарантированной точности представлена на рис. 1. Начальные условия при расчете полагаются нулевыми. Матрицы ^зу, ^эу, Сзу, получают путем преобразования (5) в векторно-матричную форму и приведения их к базису объекта управления.
Рис. 1. Схема для расчета параметров релейного регулятора
Используемые условия существования скользящего режима являются условиями «в малом», поэтому окончательная проверка работоспособности регулятора должна выполняться моделированием при различных начальных отклонениях на основе полной математической модели системы.
Рассмотрим применение предложенного алгоритма для синтеза системы управления ОПУ стабилизированной платформы, расположенной в носовом отсеке беспилотного летательного аппарата. Механическая система выполнена по схеме двухосной системы наведения и стабилизации. Основание ОПУ жестко закреплено на корпусе БЛА. К основанию подвешен
азимутальным привод, который вращается относительно основания с помощью моментного двигателя, статор которого жестко связан с основанием, а с ротором жестко связана поворотная платформа. На поворотной платформе установлен угломестный привод, который вращается относительно платформы с помощью моментного двигателя, нагрузкой которого является прибор наблюдения.
Приводы азимутального и угломестного каналов наведения реализованы на таких двигателях, которые позволяют выполнять повороты объекта регулирования в заданных режимах с требуемыми техническими характеристиками, что исключает необходимость установки редукторов. Это позволяет избавиться от люфтов в механических передачах, уменьшить массу и габариты ОПУ, последнее приобретает особую значимость при использовании ОПУ на воздушных носителях.
Произведем синтез регулятора для азимутального привода. Параметры рассматриваемой системы: тип двигателя - 3ДБМ70-0.16-1.5-3, осе-
Аз Аз Аз 2 11
вые моменты инерции нагрузки Зх = Зу = = 0,0075 кг • м ; коэффи-
циент жесткости в механической передаче двигатель-нагрузка
7 Аз
с = 10 Н • м/рад; момент сухого трения Мсухтр = 0,014 Н • м; величина
смещения центра масс нагрузки относительно оси вращения двигателя 1 Аз л ^ Аз о ^
I = 1,2 мм ; масса азимутального привода т = 3,5 кг ; осевые моменты
тг тт д ^БЛА л 2 гБЛА л * 2 тБЛА ^ 2
инерции БЛА Зх = 4 кг • м , Зу = 14 кг • м = 11кг • м .
В силу малой инерционности нагрузки математическое описание системы в пространстве состояний представляется системой линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Подставив в уравнение (2) параметры объекта управления, получим
г0 1 Л (0 Л / ч
х + и, у = (1 0 )х,
х
V6,2942J
■ Т
где х = (в, в) , в - угол поворота платформы, в - частота вращения платформы; g = (g, g) - заданные угол и скорость поворота нагрузки.
Исходя из заданных значений максимальных угловой скорости и
ускорения ютах = 30°/с, втах = 50° /с , по уравнениям (6), (7) определяем параметры задающего устройства: а = 0,742; у = 1,576. С учетом найденных значений а и у составляем уравнение ЗУ в векторно-матричной форме:
(0 2 Л (0 Л
ч-1,5172 -1,48^
V 0,5 J
и ЗУ, ё 0 = (1 0 )& •
Область достижимости рассчитанного ЗУ построена по уравнениям, предложенным в [3], и представлена на рис. 2, откуда видно, что граница
области достижимости совпадает с заданными максимальными значениями первой и второй производной входного сигнала системы, то есть параметры задающего устройства рассчитаны верно.
Скорость, град/с
Рис. 2. Область достижимости ЗУ
T
Произведем расчет коэффициентов регулятора: K = (K1,K2) ,
T ^
L = (L1, L 2) . В качестве дополнительных условий введем ограничение по степени устойчивости (п > 3) и показателю колебательности (ц < 3).
Задачу параметрической оптимизации легче всего решить численными методами. В данном случае был использован симплекс-метод в модификации Нелдера - Мида. Для эффективного численного решения задачи оптимизации необходимо хорошее начальное приближение. Оно было найдено путем расчета коэффициентов линейного регулятора (обратная связь по скорости и по положению), удовлетворяющих указанным выше требованиям по п и ц.
Наименьшее значение гарантированной точности (17,8763 угл. минут) с учетом введенных выше ограничений было достигнуто при коэффициентах релейного регулятора: L1 = -K1 = 125,75; L2 = -K2 = 2,475. При этом показатель колебательности ц = 3,3136, степень устойчивости П = 8,1278.
Как видно из полученных характеристик, оптимизированная методом гарантированной точности система имеет хорошие динамические свойства и обеспечивает достаточную гарантированную точность, причем полученное значение не будет превышено при отслеживании данной системой любого сигнала из заданного класса.
Для проверки результатов проведем моделирование полученной системы. Исследуем ее реакцию на эквивалентную синусоиду, соответствующую максимальным значениям скорости и ускорения входного сигнала системы: g = 18°- эт(1,667?).
Рассмотрим упрощенную линеаризованную систему. График ошибки отработки эквивалентного гармонического сигнала представлен на
рис. 3. Амплитуда ошибки слежения составила 1,1 • 10 4 угловых минут, что более чем в 105 раза меньше значения гарантированной точности. Это свидетельствует о том, что эквивалентная синусоида не может служить оценкой точности слежения за реальными входными сигналами, и гарантированная точность является более надёжной оценкой.
Для оценки работоспособности рассчитанного регулятора в реальной механической системе определим реакцию на эквивалентный сигнал полной нелинейной математической модели системы с учетом как внутренних, так и внешних возмущений, действующих на ОПУ. Примем, что качка носителя происходит по гармоническому закону: юнос = 6,283° • Бт(2тс/), эквивалентное значение момента, действующего со
стороны угломестного привода, составляет 0,0157 Н • м.
-4
х 10
Рис. 3. Установившаяся ошибка слежения за эквивалентным гармоническим сигналом при неподвижном носителе
График ошибки слежения представлен на рис. 4. Амплитуда ошибки слежения составила 6,5 • 10 4 угловых минут, это говорит о том, что скользящий режим в системе возникает и является устойчивым. Синтезированная система является частично инвариантной к ограниченным возмущающим воздействиям и изменениям параметров объекта управления.
Таким образом, используя метод гарантированной точности для расчёта релейного регулятора, работающего в скользящем режиме, были обеспечены одновременное существование скользящего режима для определённого класса входных сигналов и высокая точность слежения.
x 10
Рис. 4. Установившаяся ошибка слежения за эквивалентным гармоническим сигналом при качке носителя
Полученный результат показывает, что предложенный алгоритм расчета регулятора позволяет синтезировать системы, обладающие высокой точностью слежения за сигналами из заданного класса, и независимостью от качки носителя и внутренних возмущений механической системы.
Список литературы
1. Серова А.А., Емельянов А.В. Исследование влияния инерционности подвижного носителя антенны РЛС на точность ее слежения за целью // Вестник Тульского артиллерийского инженерного института. Вып. 1. 2010. С. 260-265.
2. Макаров Н.Н. Гарантированная точность в проектировании линейных следящих систем //Известия вузов. Сер. Электромеханика. № 7. 1980. С. 661-722.
3. Макаров Н.Н., Семашкин В.Е. О формировании задающего устройства для метода гарантированной точности // Изв. ТулГУ. Сер. Вычислительная техника. Информационные технологии, Системы управления. Вып.3. 2005. С.132-139.
4. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. 1981. 368 с.
A.A. Paramonova, N.N. Makarov
RELAY CONTROLLER FOR FOLLOW-UP SYSTEM, LOCATED ON THE MOVING BOTTOM, SYNTHESIS
The article is devoted to synthesis of relay controller that provides appearance and existence of steady sliding mode and guaranteed accuracy minimizing. Algorithm of controller parameters design is mentioned. Application of suggested technique to follow-up system, located on the moving unmanned aerial vehicle, control is discussed.
Key words: sliding mode, guaranteed accuracy, follow-up system, air carrier.
Получено 30.11.11
