CC BY
98
ного решения. Это становится возможным благодаря аддитивности критерия. За начальную точку берутся плановые характеристики каждого рейса.
Решение всех рассмотренных проблем автоматизации управления воздушным движением позволит: для авиакомпаний - улучшить обслуживание полетов, делать выбор более эффективных маршрутов посадки и, следовательно, сократить расходы топлива, для аэропортов - обеспечить обслуживание в плохих погодных условиях и оптимизировать операции в аэропорту, для пассажиров - получить минимальные задержки на прилете, повысить качество обслуживания за меньшую стоимость при более высоком уровне безопасности.
Список литературы
1. Концепция и системы CNS/ATM в гражданской авиации / В.В Бочкарев [и др.]; под ред. Г.А. Крыжановского. М.: ИКЦ «Академкнига», 2003.
2. Нестеров В. А., Вишнякова О. В. Разработка алгоритма управления очередью потока воздушных судов, прибывающих на аэродром // Полет. 2010. №10. С. 46-48.
O.V. Vishnyakova, V.A. Nesterov
METHOD OF OPTIMAL AIRCRAFT ARRIVAL MANAGEMENT
The problem of optimal aircraft arrival management is analyzed. A method of constructing an optimal arriving aircraft sequence is proposed. This solution allows minimizing both the time delays for arrival at the airport and the economic costs of airports and air carriers.
Key words: air traffic, aircraft, airpor, runway.
Получено 03.10.11
УДК 623.438.45:623.465
В.В. Воробьев, канд. техн. наук, доц.,
Н.Н. Макаров, д-р техн. наук, проф. (4872) 35-38-35, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
Предлагается оптимизационная методика синтеза регулятора следящей системы на классе сигналов в условиях ограничении типа неравенств. Методика основывается на совместном использовании метода предельных отклонений, вариационного метода оптимизации и регрессионных моделей. Рассмотрен пример синтеза регулятора для электропривода.
Ключевые слова: синтез регулятора, следящая система, оптимизация, класс сигналов, ограничения типа неравенств, предельное отклонение, вариационный метод, регрессионная модель.
Актуальность проблемы
На этапе проектирования следящих систем (СС) большой удельный вес имеют задачи конечномерной параметрической оптимизации. В условиях ограничений хорошо зарекомендовали себя поисковые методы мате-
матического программирования [1, 2]. Основными показателями, характеризующими их эффективность, могут служить: объем вычислений, необходимых для получения решения с заданной точностью; область сходимости; устойчивость по отношению к погрешностям вычислений; сложность алгоритма. Особенностью проектирования СС, входящих в состав высокоточных мехатронных модулей, являются жесткие требования к показателям качества (точности, быстродействию, колебательности, грубости, энергопотреблению и др.). Имеет место многокритериальность задачи оптимизации, причем показатели качества часто противоречивые.
Традиционный подход к синтезу вектора параметров регулятора
с = (с1,с2,...,ек) основан на минимизации некоторого обобщенного критерия J(с) в виде свертки частных критериев качества (например, в виде их взвешенной суммы). Для учета ограничений типа неравенств, накладываемых техническим заданием (ТЗ) на показатели качества, часто используется метод штрафных функций. При этом характер модифицированной функции качества оказывается, как правило, значительно более сложным, чем функции J . Рассмотренный подход к синтезу СС сложен в реализации, что определяется следующими факторами:
1) неоднозначностью выбора структуры целевой функции и значений весовых коэффициентов, а также вектора начального приближения с0;
2) сложным характером функции качества (из-за часто встречающейся полимодальности, разрывности производных функции по компонентам с, наличию «плато», глубоких, узких и изогнутых «оврагов» и т.п.);
3) большим объемом вычислений.
Показатели качества в процессе синтеза обычно оцениваются непосредственным моделированием системы. Большой объем вычислений связан, с одной стороны, с большим потребным количеством шагов поиска (до нескольких тысяч итераций при овражном характере критерия), с другой - с необходимостью решения на каждом шаге систем дифференциальных уравнений высокого порядка. Причем эти системы, как правило, являются жесткими. Кроме того, для СС с релейным управлением, с сухим трением они являются разрывными. Численные методы решения указанных систем обычно требуют использования мелкого шага, что увеличивает затраты времени на интегрирование. Необходимость задания множества (сетки) начальных приближений также увеличивает объем и время вычислений.
Рассмотренные факторы могут сильно затруднить нахождение оптимального или даже просто приемлемого в рамках ТЗ варианта регулятора. В связи с этим актуальным является развитие новых подходов к синтезу СС, основанных на эффективной локализации оптимума. Локализация
решения сводится к определению вектора приближения с0, лучшего в
смысле близости к глобальному минимуму с . Под глобальным минимумом функции качества будем понимать минимум, который является наименьшим на множестве всех локальных.
Постановка задачи синтеза оптимального регулятора
Синтез СС на заданном классе сигналов V осуществляется методом гарантированной точности (ГТ), который называют также методом предельных отклонений [3]. Рассмотрим, без потери общности, постановку задачи синтеза оптимального регулятора применительно к релейной СС со скользящим режимом [4, 5]. Требования ТЗ к динамике и к точности определяют некоторую область ЭР допустимых значений вектора с в пространстве параметров. Так, в режиме слежения формируется область ВР1, в которой обеспечивается необходимая динамическая точность:
О(с) <3„; (1)
ДО(с) <<5„ (2)
где 50, ^1 - положительные константы, характеризующие соответственно требования к ГТ, т.е. к предельной на классе V ошибке слежения О (определяется по линейной модели), а также к предельной на классе V ошибке линеаризации АО.
Расчет О производится путем виртуальных испытаний линейной расширенной системы. Такая система содержит, помимо модели СС, некоторое динамическое задающее устройство (ЗУ) с ограниченным по модулю входом.
Область ЭР2 определяется требованиями к быстродействию и колебательности:
Т1(с) <£2; ^2(с) <^; о-1(с) <^; о-2(с) ^ , (3)
где ^2, д3 - положительные константы, характеризующие требования к времени регулирования т1 в режиме I отработки ступенчатого сигнала малой амплитуды и к времени регулирования т2 в режиме II отработки ступенчатого сигнала большой амплитуды; £4, 35 - положительные константы, характеризующие требования к перерегулированиям 01. в режимах I и II, соответственно.
Показатели (2) и (3) оцениваются с помощью динамических испытаний (моделирования) в виртуальном стенде по наиболее полной модели.
Множество ВР, непрерывное по своей природе, представляет собой пересечение областей ВР — ВР1 п ВР2 . Далее будем считать, что ВР является подмножеством множества технически реализуемых параметров регулятора. Рассмотрим область ВР3, в которой обеспечивается достаточная грубость регулятора по критериям точности. Под грубостью будем пони-
мать малую изменчивость функций О и АО при изменении параметров регулятора с. Эту область имеет смысл определять на множестве тех значений с, которые удовлетворяют требованиям (1) - (3), т.е. ВР3 с ЭР. Область ВР3 может описываться с помощью коэффициентов чувствительности:
Г Г _^(£) • _гг „ч
Ко ] - ; Као ] - , J !,к . (4)
дс. дс.
] ]
Данные коэффициенты определятся по регрессионным моделям (РМ) критериев О и АО аналитическим дифференцированием. Вопросы построения РМ (полиномиальных функций) рассмотрены ниже. Описание области ВР3 имеет вид
КО] (с) ^$О] ; \КАО] (с) ^$АО] , ] = 1,к , (5)
где 5О], дАО] - константы, характеризующие требования к грубости регу-
лятора. Отметим, что для критериев с большими значениями модулей расчет допусков на параметры регулятора целесообразно производить непосредственно по РМ, т.е. с использованием старших производных.
Учитывая, что ГТ является наиболее важным показателем динамической точности СС на классе V на отрезке времени [0,Т], задача оптимизации может формулироваться как однокритериальная с ограничениями.
*
При этом расчету подлежит вектор параметров с , который доставляет минимум функционалу ГТ
О(Т, V, с) ^ шт (6)
47 сеЯК У ’
в условиях ограничений (1) - (3). Эта система неравенств дополняется неравенствами (5) на заключительном этапе поиска после локализации решения, т.е. после нахождения примерного его расположения.
Построение регрессионных моделей для синтеза
Метод факторного эксперимента и использование РМ позволяют расширить возможности синтеза регуляторов. Далее будем считать, что зависимости, связывающие показатели качества и параметры (независимые факторы), являются гладкими. При синтезе СС важным является то, что РМ функционала качества и ограничений формируются в аналитическом виде. Задачами, которые могут решаться на основе РМ, являются:
- анализ характера целевой функции и ограничений в пространстве параметров (с контролем числа и положения локальных минимумов, угловых коэффициентов наклона в контрольных точках, диапазонов изменения и проекций (сечений) функции качества и т.д.);
- локализация оптимума с помощью классических методов (множителей Лагранжа, теоремы Куна - Таккера); в данном случае задача миними-
зации одной функции заменяется другой, которая в ряде случаев может быть проще исходной;
- анализ технологических допусков и оптимизация чувствительности к параметрам регулятора.
Для синтеза регулятора строятся РМ показателей качества, входящих в (1) - (3), в виде аналитических полиномиальных зависимостей от параметров (управляемых факторов). Коэффициенты полиномов рассчитываются путем аппроксимации данных факторных экспериментов (испытаний СС в виртуальном стенде). При этом значения вектора с выбирают-
к
ся в узлах некоторой решетки размерности ^ рг, где рг - число возмож-
г=1
ных значений г - го параметра. На практике, как правило, рг ^ 5, г е |1, к|.
Рассмотрим пример РМ функционала ГТ при к = 2; р = 5 . РМ аппроксимирует экспериментальные значения ГТ в узлах плоской решетки размерности 5 х 5. Она может иметь вид полинома второго порядка
О = Л (с^ с2 ) = Ь0 + Ь1 ■ с1 + Ь2 ■ с2 + Ь3 ■ с12 + Ь4 ■ с22 + Ь5 ■ с1 • с2 , (7)
где Ь0,Ь1,...,Ь5 - искомые коэффициенты регрессии. С геометрической точки зрения РМ представляет собой некоторую гиперповерхность в пространстве параметров. Следует отметить, что РМ критериев качества часто являются полимодальными функциями и имеют помимо глобального минимума множество локальных. Как известно, при численной оптимизации главная трудность состоит в избегании локальных минимумов.
Построение РМ некоторого показателя качества производится следующим образом:
1) выбирается решетка в пространстве параметров;
2) на решётке выявляется дискретное множество приемлемых вариантов (МПВ) регулятора, удовлетворяющих ТЗ;
3) рассчитываются коэффициенты регрессии путем аппроксимации экспериментальных значений показателя, которые соответствуют МПВ.
Элементы МПВ определяются полным перебором узлов решетки с выявлением тех узлов, для которых выполняются условия (1) - (3). МПВ является дискретным подмножеством множества ЭР. В процессе построения МПВ решается задача целочисленного (дискретного) программирования с оценкой положения глобального минимума функции О. Важно отметить, что в задачах синтеза СС минимум часто оказывается именно на границе допустимой области ЭР.
МПВ имеет самостоятельное практическое значение. Его варианты могут сравниваться не только по точности, но и по другим критериям (грубости, сложности и др.) либо по свертке критериев, и на этой основе выявляться предпочтительный вариант. В ряде случаев целесообразно исполь-
зовать отношение предпочтения Парето для поиска вариантов регулятора, оптимальных, например, по точности и грубости.
Анализ с помощью РМ характера критериев является информативным для целей многокритериальной оптимизации. РМ в дискретной форме учитывает систему ограничений типа неравенств, накладываемых ТЗ. Использование необходимого условия экстремума для полиномиальной функции позволяет путем решения соответствующей системы алгебраических уравнений найти стационарные точки, т.е. локальные минимумы ГТ. В двумерном случае, который иллюстрирует РМ вида (7), можно геометрически наглядно с использованием семейства линий равного уровня представить рельеф критерия и ограничений и локализовать оптимум.
Построение РМ производится с использованием различных стандартных пакетов, в том числе в системе МайаЬ. При этом программа количественно оценивает среднеквадратичную погрешность аппроксимации. На ее основе за счет разных средств (изменения порядка полинома, размерности и шага решетки и др.) можно добиться высокой точности РМ в среднем. Обработку РМ, например, получение производных в аналитическом виде и решение (аналитическое, либо численное) систем алгебраических уравнений удобно производить в системе МаШсаё.
Оценим трудоемкость построения РМ при синтезе СС на примере критерия АО. Данная задача представляет наибольшую трудность, т.к. связана с вычислением области достижимости путем интегрирования по наиболее полной модели. Пусть синтезируется регулятор релейного электропривода (ЭП) со скользящим режимом. Динамика ЭП хорошо отражается моделью пятого порядка с нелинейностями типа реле с гистерезисом, а также люфта и трения. Модель относится к классу жестких разрывных систем. Отметим, что при оптимизации СС, в большинстве случаев, корректируется небольшое число параметров (два - пять). Рассмотрим коррекцию трех коэффициентов обратных связей (к = 3). Потребное число экспериментов с учетом семи контрольных точек границы области и пяти возможных значений параметров (ц = 5) составляет N = ц к • 7 = 875. Время одного моделирования режима слежения на ПЭВМ средней производительности составляет примерно 2 с. В целом, затраты времени на моделирование составляют примерно 0.5 часа.
Для уменьшения трудоемкости построения РМ целесообразны параллельные испытания моделей ЭП, отличающихся значениями вектора с, в компьютерной сети, где затраты времени снижаются в десять и более раз. При этом для рассмотренной выше задачи даже в случае пяти корректируемых параметров (к = 5) потребное время моделирования будет составлять все те же 0.5 часа. Таким образом, трудоемкость факторных экспериментов не является критической в задачах синтеза регуляторов СС, для которых характерно небольшое число корректируемых параметров (к < 10).
Очевидны достоинства использования РМ при многокритериальной оптимизации в условиях ограничений:
- упрощение задач анализа характера функционала качества и ограничений, локализации оптимума и выбора начального приближения;
- возможность использования классических вариационных методов;
- создание экономичных алгоритмов численной оптимизации;
- расширение возможностей выбора варианта регулятора на основе использования МПВ;
- расчет допусков к параметрам регулятора.
С помощью алгебраических неравенств описывается допустимая область ЭР. Принадлежность к ней вектора с, с е ВР, на каждом шаге поиска легко определяется численной проверкой системы алгебраических неравенств. Важно, что такая проверка выполняется, не прибегая к вычислению показателей путем динамических испытаний. Следовательно, трудоемкость построения РМ компенсируется снижением объема вычислений на последующих этапах поиска. Недостатком РМ является их приближенность. Однако это не является критическим, т.к. РМ используются для формирования неравенств, анализа характера функций и выбора начального приближения для дальнейшего уточнения поисковыми методами.
Использование регрессионных моделей в методе Лагранжа
Функции качества нелинейных СС только в редких частных случаях могут быть рассчитаны по аналитическеским зависимостям. При численной оптимизации показатели динамики и точности, как правило, рассчитываются непосредственным моделированием системы. РМ позволяют для многих приложений решать задачи многокритериальной оптимизации с использованием аналитических вариационных методов. Так, для релейной СС можно реализовать способ решения задачи на условный минимум, основанный на методе неопределенных множителей Лагранжа. Метод применяется для задач, в которых функция качества и ограничения заданы аналитически. Сформулируем с помощью РМ задачу синтеза регулятора как задачу нелинейного программирования
.Ш ^ пип,
Л(с) ^; /У (с) ^ ° У=
где /(с) = (с)-ду; /0(с), (с) - полиномиальные функции, соответст-
вующие показателям О, АО, т1, т2, ст1,ст2. Дополнением метода Лагранжа в задаче оптимизации с ограничениями типа неравенств является теорема Куна - Таккера [1]. Она позволяет свести (8) к задаче, решаемой методами классического анализа. При этом порядок системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ), решаемой для нахождения минимума нового критерия (функции Лагранжа), повышается на число ограничений:
лУ ЯуУ --о, «= и, (9)
X, ■ /у(с-) = 0, у = 1,т. (10)
СНАУ (9) - (10) предназначена для расчета оптимального значения вектора параметров регулятора с . При этом на множители Лагранжа накладываются условия неотрицательности А0 > 0, Л1 > 0,..., Лт > 0. Причем, как
правило, допустимо принять Я0 = 1. Заметим, что СНАУ включает необходимые условия экстремума функции Лагранжа (9) и условия дополняющей нежесткости (10). Последние означают, что множитель Лу,у е(1,т} может
быть отличен от нуля только на «активном» ограничении, когда в точке минимума ограничение типа неравенства на самом деле является равенством /у (с) = 0,у = 1,т.
Таким образом, задача оптимизации СС по критерию минимума ГТ в условиях ограничений на показатели динамики сводится при Я0 = 1 к решению системы (к + т) алгебраических уравнений (9) - (10) с (к + т) неизвестным. Требуется найти все стационарные точки, т.е. локальные минимумы и выявить среди них глобальный. Важно, что сформулированная задача может быть проще исходной (8).
Методика синтеза оптимального регулятора
В общем случае СНАУ для синтеза регулятора может иметь как конечное, так и бесконечное число решений или вовсе не иметь решения (в данном случае требуется коррекция ТЗ). При анализе СНАУ возникают проблемы определения количества корней, их характера и локализации, выбора начального приближения для численного решения. В качестве приближения целесообразно использовать полученную ранее с помощью МПВ оценку положения глобального минимума ГТ. Решение СНАУ может производиться методом Ньютона. Его достоинствами являются сходимость в окрестности корня и устойчивость к погрешностям вычислений при простом корне. На практике часто используется переход от решения СНАУ к минимизации некоторой скалярной функции (обычно, квадратичной), минимум которой совпадает с корнем исходной системы. Минимизацию удобно производить с использованием стандартных МаШсаё-функций.
Рассмотрим методику синтеза регулятора для практически важного случая, когда ограничения активны и оптимум находится на границе. Очевидно, что от значений вещественных постоянных 5у (у = 1,т) зависит топологический характер задачи. В общем случае он определяет число ста*
ционарных точек, положение глобального минимума с , значение крите-
193
рия оптимальности О(с*), а также значения коэффициентов чувствитель-
*
ности (КЧ) вида (4), которые вычисляются в точке с = с и характеризуют грубость регулятора. Пусть в рамках исходного ТЗ, не выходя за заданные границы 5у = 5у1 (у = 1, т) допустимой области ВР, сформирован набор частных постановок задачи синтеза регулятора с более жесткими требованиями к части или ко всем показателям качества, выступающим как ограничения. Этому набору соответствует дискретное множество постоянных А = |д}11 (у = 1, т; I = 1,8), а ему, в свою очередь, - набор частных СНАУ. В
пространстве параметров частным ТЗ соответствуют некоторые новые допустимые области, полученные искусственным сужением области ВР.
Пусть для всех частных СНАУ существуют решения. Кроме того, будем считать, что функция Ф, которая связывает параметры границ {8у1}
(управляемые факторы) и наименьший локальный минимум ГТ Отп, выявленный в результате решения СНАУ, является гладкой. Рассмотрим РМ
Отт =Ф(£у/ X 1 = Ст; 1 = й. (11)
Данная зависимость представляет собой РМ второго уровня, поскольку она основывается на РМ показателей качества (моделях первого уровня). Для построения (11) в пространстве параметров, характеризующих ограничения, задается решетка. Например, в пространстве параметров (£4,£5), определяющих быстродействие и колебательность СС в режиме II,
строится плоская решетка размерности 5 х 5. В узлах этой решетки для соответствующих частных СНАУ находятся решения (локальные минимумы ГТ) и выявляется Отп. При выборе начального приближения для решения можно учесть взаимосвязь и преемственность топологического характера СНАУ. При этом точки локальных минимумов, найденные для некоторого узла решетки, можно использовать в качестве приближений при решении СНАУ, соответствующих соседним узлам.
Использование РМ расширяет возможности синтеза регулятора. Разработчик начинает лучше представлять, каких точностных и динамических показателей можно добиться с помощью регулятора в условиях ограничений, и локализовать оптимум. С помощью (11), например, можно оп-
*
ределить оптимальные параметры границ £*,5* и вектор с , которые доставляют оптимум критерию Отп. При этом под оптимумом будем понимать наименьший минимум ГТ на множестве Ь всех локальных минимумов, которые в принципе возможны в рамках ТЗ для случая, когда ограничения активны. Может быть поставлена задача поиска вариантов регулятора, парето-оптимальных по точности и динамике. В частности, можно най-
ти варианты, имеющие лучшие показатели быстродействия (либо перерегулирования), но одинаковые значения ГТ. При фиксированном времени регулирования можно найти варианты регулятора с лучшим показателем ГТ и т.д. С использованием КЧ можно найти варианты, парето-оптимальные по точности и грубости. В общем случае множество Ь существенно повышает эффективность анализа и отбора вариантов регулятора.
На основе полученных результатов предлагается методика оптимального синтеза СС в условиях ограничений типа неравенств на классе сигналов по критерию ГТ. Она включает следующие этапы:
1. Изучение классов внешних сигналов и построение ЗУ.
2. Формирование требований ТЗ, функции качества и ограничений.
2. Выбор структуры и корректируемых параметров регулятора.
3. Построение виртуальных стендов для испытаний системы с оценкой точностных и динамических характеристик.
4. Проведение испытаний СС и построение РМ показателей качества.
5. Анализ и отбор вариантов регулятора по критерию ГТ в условиях ограничений с использованием РМ, вариационных и поисковых методов.
6. Проверка выполнения ТЗ путем виртуальных и лабораторностендовых испытаний.
В случае невыполнения требований ТЗ необходимо итерационное возвращение на начальные этапы с целью выбора новых структуры и/или корректируемых параметров, а также перебора вариантов регулятора. При необходимости следует скорректировать требования ТЗ.
Пример
Рассмотрим задачу синтеза оптимального по точности следящего ЭП локатора, входящего в состав вертикального канала системы сопровождения воздушных целей. ЭП является релейным, он предназначен для работы в скользящем режиме [4]. Силовая подсистема ЭП реализована на базе двигателя постоянного тока марки ЭДМ-10 с нежесткой кинематической передачей. Динамика силовой подсистемы отражается нелинейной моделью пятого порядка, учитывающей двухмассовость и люфт в нагрузке (рис. 1).
Рис. 1. Модель силовой подсистемы привода
Параметры силовой подсистемы следующие:
С = 1.?-1Q5 Н• м/рад; q = 3-1Q"3; Jd = 3.S-1Q"4 кг-м2;
Jm = 25 кг• м2; b1 = ±5• 1Q-4 рад; ktr = 5• 1Q“3 Н• м• с/рад.
Выбрана структура регулятора с тремя обратными связями: по току в якорной обмотке; угловой скорости двигателя и положению нагрузки. Корректируемыми параметрами являются коэффициенты обратных связей по скорости двигателя c1 и по току якоря c2. Структурная схема замкнутой системы приведена на рис. 2. Блок Subsystem представляет собой модель силовой подсистемы. Величины полки реле и зоны неоднозначности (гистерезиса): Um = 27B; b2 = ±2.? • 1Q“3 B .
Рис. 2. Виртуальный стенд для точностных испытаний ЭП
В качестве детерминированного входного сигнала рассматривался маневр самолета типа «пике с горкой». Исходя из тактико-технических характеристик цели, были рассчитаны максимальные скорость и ускорение, построена область достижимости для класса V в координатах скорость -ускорение. В качестве ЗУ, описывающего класс входных сигналов V, выбрано звено третьего порядка, представляющее собой последовательное соединение колебательного звена с интегратором. На основе известной связи переходной и весовой функций получена эквивалентная структурная схема ЗУ второго порядка, причем на вход ЗУ поступает единичная ступенчатая функция (рис. 2). Рассчитаны параметры ЗУ: К=0.186рад;
Т = 0.997 с; Ш = 0.119.
Задание для синтеза закона управления ЭП следующее. Допустимые динамические ошибки в режиме слежения: О - не более 4 мрад; ДО -не более 7 %. Степень устойчивости системы - не менее 0.03. В режиме отработки ступенчатого сигнала уровня 0.5 рад: время регулирования т -не более 0.65 с, перерегулирование ст - не более 20 %.
Вначале рассчитан вектор с0 первого приближения с компонентами
с01 = 5.4-10~6 с; с02 = 3.2-10^ рад/Л.
На плоскости параметров в окрестности cQ задана решетка размерности
5 х 5. В ее узлах проведены испытания ЭП и с помощью стандартной программы Stat graphics рассчитаны коэффициенты PM. РМ функционала ГТ (полином третьего порядка) имеет вид
/ = 1.442Q2• 1Q 2 - 4.462S5 • 1Q2 • c1 -1.11432 • 1Q2 • c2 + 4.37б51 • 1Q? • c12 +
+3.Q7122-1Q5 • c22 + 6.S3559-1Q5 • c1 • c2 -2.S99QS-1Q11 • c13 -2.566Q2-1QS • c23 -
- 2.651Q6 • 1Q9 • c1 • c22 + 9.27432 • 1Q1Q • c12 • c2.
PM для показателей времени регулирования и перерегулирования, а также РМ относительной невязки областей достижимости AG линейной и нелинейной моделей рассчитываются аналогичным образом. Они имеют вид полиномов второго порядка. На рис. 3. представлены графики РМ безразмерных показателей точности и динамики в пространстве параметров, в частности, проекция графика РМ второго уровня вида (11) на плоскость п 51, S2 показателей качества т, ст соответственно. Линии уровня задают множества парето-оптимальных по динамике и точности вариантов регулятора, т.е. вариантов с одинаковыми значениями ГТ, но с различными сочетаниями показателей г, сг. Рекомендуемые значения параметров регулятора:
c* = 2.95-1Q-6 с; c = 3.1-1Q 4 рад/A. (12)
При этом динамические ошибки в режиме слежения: G* = 1,2 мрад; AG =1 %. В режиме переброса (отработки ступенчатого сигнала): время регулирования т = Q,6 с; перерегулирование ст = 7,3 %. Увеличение ГТ, которое рассчитывалось по её РМ в трехпроцентной прямоугольной окрестности точки с координатами (12), не превышают б % по коэффициенту c1 и 15 % по коэффициенту c2. Такие отклонения ГТ с четырехкратным запасом укладываются в требуемый по ТЗ диапазон (до 4 мрад). Это свидетельствует о достаточной грубости полученного варианта регулятора.
G,pad
0.8 —
:.з —
1.6 —
Sy,C
' 2—
2.4 —
2 8 —
Рис. 3. Проекциярегрессионной модели второгоуровня
Заключение
Предложенная методика синтеза оптимального регулятора СС по критерию динамической точности на классе сигналов в условиях ограничений типа неравенств расширяет возможности синтеза, в том числе в части создания робастных регуляторов, улучшает сходимость поиска и снижает его трудоемкость. Она, несомненно, будет полезна при разработке СС мехатронных модулей, для которых важны мгновенные значения ошибки, а не только их усредненные значения.
Список литературы
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление: учебник для вузов. М.: Физматлит, 2007. 408 с.
2. Аттеков А.В., Галкин С.В., Зарубин B.C. Методы оптимизации: учебник для вузов/ под. ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. 440 с.
3. Макаров Н.Н. Метод гарантированной точности следящих систем // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. №11. С. 24 - 30.
4. Воробьев В.В., Макаров Н.Н., Макарова Н.Н. О применении метода гарантированной точности к расчету следящих систем, работающих в скользящем режиме // Известия ТулГУ. Проблемы специального машиностроения. 200l. Вып. 4. С. 81-85.
V.V. Vorob ’yev, N.N. Makarov
REGULATOR SYNTHESIS FOR FOLLOW-UP SYSTEM WITH REGRESSION MODELS USAGE
The regulator optimization method for follow-up system on the signal class in conditions of contingencies inequality type is offered. The technique of acting based on joint use instrumentality of marginal deviation method, variation optimization method and regression models. One example of synthesis of regulator for electro-drive is considered.
Key words: regulator synthesis, follow-up system, optimization, signal class, contingencies inequality type, marginal deviation, variation method, regression model.
Получено 03.10.11
