Об одном методе линеаризации систем управления, работающих в режиме ШИМ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Semashkin Valentin Yevgenievich, Candidate of Engineering Science, Head of Department, [email protected], Russia, Tula, KBP namedafter academician A. Shipunov

УДК 681.511.4

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ЛИНЕАРИЗАЦИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ, РАБОТАЮЩИХ В РЕЖИМЕ ШИМ

Н.В. Фалдин, С.В. Феофилов, А.В. Козырь

Предлагается аналитический метод линеаризации следящих систем управления с широтно-импульсным регулятором и линейным объектом управления. Предлагаемый метод позволяет свести исследование точности режима слежения к исследованию некоторой линейной импульсной системы.

Ключевые слова: широтно-импульсным регулятор, линеаризация, импульсная система управления.

Регуляторы с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) получили широкое распространение в технических следящих системах управления. Эффективность, простота и надежность усилителей мощности, работающих в ключевом режиме, являются движущими факторами для построения на их основе высокоточных систем управления. Пропорциональность сигнала управления в таких системах обеспечивается с помощью широтной модуляции, поступающих на объект импульсов. Спектр выходного сигнала системы ШИМ, как правило, содержит высокочастотную составляющую. Перед проектировщиком следящих систем с ШИМ-управлением [3] на этапе синтеза ставится сложная задача анализа точности таких регуляторов. Возможно два подхода к решению этой проблемы, численное выделение полезной составляющей сигнала на выходе системы, либо использование приближенных методов линеаризации [2]. В настоящей работе предлагается достаточно точный метод линеаризации систем управления, работающих в режиме симметричного ШИМ с линейным объектом управления.

Систему управления с широтно-импульсной модуляцией можно рассматривать как релейную, функционирующую в режиме вынужденных колебаний (рис. 1).

На рис. 1 обозначено: ГС - генератор опорного сигнала, РЭ-релейный элемент, y0 = Hf0(t)- симметричный сигнал треугольной формы, имеющий частоту на порядок выше, чем модулирующий сигнал на выходе корректирующего устройства (КУ), КУ и ФУ - корректирующие и формирующие устройства.

Рис. 1. Функциональная схема системы управления, работающая в режиме ШИМ

Движение автономной системы (у = 0) можно представить в виде матричного дифференциального уравнения:

^ = Сх + Ви; (1)

Т

и = Ф(у0 + V х, А, Ь),

(2)

где х=(х1,...,хп)- вектор состояния объекта управления и корректирующих устройств; ¥ = (/1,...,/п)- п-мерный вектор (п-порядок системы); Я и V -матрицы имеющие размерность 1 х п , причем ЯТ х = X, V х = /. Функция Ф определяется графиком характеристики релейного двухпозиционного элемента входящего в состав ШИМ-преобразователя где, А - полка реле, 2Ь -ширина гистерезиса. Выполняется условие симметрии ¥ (- х, - и) = - ¥ (х, и).

В системе, представленной на рис. 1, как правило, устанавливается симметричный периодический процесс с частотой сигнала у0(г), то есть

х (г + т) = - х (г), где 2Т- период, причем сигнал и(г) на выходе ШИМ преобразователя изменяется дважды на полном периоде колебаний.

Используя метод фазового годографа [1,2] и критерий устойчивости

периодического движения [3], возникающего в системе (1, 2) можно опре-

*

делить устойчивое периодическое решение х (г). При подаче на вход сис-

у (г)

возмущенная перио-

темы малого медленноменяющегося сигнала дическая траектория имеет вид:

~(г)=х(г)+&(/),

здесь 6х (г) - малая величина. На траектории х(г) управление и(г) принимает значения и = А и и = -А. Отклонение ~(г) от х(г) обусловлено малым

изменением момента переключения управления риациях, учитывая сигнал управления:

— = СЗх + ВЗ7 (7). d t

На траектории х (t) первое переключение управления (Щ) при 1 > 0) происходит в момент времени t=T, а на траектории ~ (t)- момент t = Т + ЗТ, где 5Т- малая величина. Не учитывая величины, имеющие порядок малости выше первого, для вариации полупериода справедливо равенство:

8Т __ У (Т)_Я ' 5х~(Т) , (4)

у(Т) _ ЯТ • х_ (Т) _ ЯТ • 5х_ (Т)

Запишем уравнение в ва-

(3)

здесь $х - является решением уравнения (3). В окрестности точки t=T $7(0 представляет собой прямоугольный импульс высотой 2А и шириной

ЗТ.

На рис. 2 показан выходной сигнал релейного элемента, при подаче на вход малого медленноменяющегося входного сигнала у0(0.

А

- 5 Т 2Т >

-А 2А 0 т г

- 5 Т 2Т

-2А 0 т Т + 5Т г

Рис. 2. Вариация управляющего сигнала

В силу симметрии периодических траекторий у *) + яТ х имеет место равенство

5(кТ) = (-1)

к у(кТ) - К ¡5 - (кТ) &0(г*)-Кх-(Т) .

(5)

Поскольку ¿¡(кТ) (к = 1,2,...,) является малой величиной, то в уравнении (3) вариацию ¿и (г) можно рассматривать как модулированную 5 -функцию:

¿и(Т) = Кр [у(Т) - КТ5х- (Т)]- 5(г - Т),

2 А

где

к =

Р V. , т»Т_- -

у0(г') + я х-(Т)

Принимая во внимание рис. 2 и равенство (5), можно записать: 5и(кТ) = К [у(кТ) - Я 5 (кТ)] - 5(г - кТ).

(6)

Учитывая фильтрующие свойства 5 -функции, уравнение в вариациях (3) можно записать в виде:

й5х

= С5х + ВК

Р

у(кТ) - КТ5х (кТ)

да

15(г - кТ). к=1

(7)

Равенство (7) фактически задает линейную импульсную систему с идеальным импульсным элементом (рис.3). Здесь предполагается, что объект управления задается уравнениями (3).

Рис. 3. Импульсная система управления

В инженерной практике при исследовании релейных систем, как правило, используются передаточные функции. Обозначим передаточную функцию непрерывной части разомкнутой импульсной системы (рис.3):

*) = Щ*1 = КРЖ (*).

а( *)

Выполнив исследование полученной импульсной системы известными в теории дискретных систем методами [4], при условии, что на вход

системы подается гармонический входной сигнал У/) = — • Бт(—), выходной сигнал релейной системы будет иметь вид:

х(/) = Ят&(/) + $(0 = Ят<$(0+— [[(/(—_—0п))]----8т[(—+ —0/> + рп ], (8)

Т ^ (—+ — п

С_ю

где рп = а^( Ф (I(— + — 0п))) , [ф(¿)] = ^ОД

(— + —0 п 1

1 + Ж *( 2)

Пример.

Рис. 4. Система управления с ШИМ-регулятором

Проведем линеаризацию системы управления, представленной на рис. 4. Параметры системы: полка релейного элемента - А = 10, Ь = 0.1, частота задающего сигнала 27,8 Гц, полупериод Т0 = 0,018с, амплитудаН = 6.

Параметры ОУ: К1 = К2 = К3 = 1, Т1 = 0.02с, Т2 = 0.01с, Т3 = 0.03с.

Математически в пространстве состояний объект управления (рис. 4) можно описать в следующем виде:

— = С • х + В • и;

Ж

х, = Я • х;

С

_ 123.3 _ 117.2 _ 109.9 _ 63.58

128 0 0

0

64 0

0 0

32

0 0 0

В

8 0

0 0

0 0 0

7.947

¿Т

г=е

Периодическое движение в системе определим с помощью метода фазового годографа (ФГ) [1]. В случае линейного объекта управления ФГ в точке 70, можно определить в виде матричного уравнения

X = (Е+е°т° )-1 • е°т° • С-1 • (е°т° - Е) • В • А.

Соответствие между вынуждающим сигналом и периодической траекторией устанавливается с помощью фазы г *, которая определяется из соотношений:

у0(X•) - С • X0 = Ь, Фо(О - С • dX-(т) > 0,

йх

йх

Ж1(р) = Кр • Я(рЕ - С)-1 В

0.02839

6 •Ю-8 р4 + 7.4 •Ю-6 р3 + 0.0009р2 + 0.054р +1'

Как было показано выше, выходной сигнал импульсной системы при гармоническом входном сигнале можно представить в виде бесконечного ряда (8). Однако при проектировании следящих систем управления, функционирующих в режиме симметричного ШИМ, основной интерес представляет «главная» составляющая выходного сигнала, частота которой соответствует частоте входного. Именно по данной составляющей оценивается точность режима слежения таких систем

Н

Ж в = — •ф (с)| • эиХ юХ + ^0)

7

(10)

где

[Ф ( р )]= Щ р )

1

1 + Ж (2)

„рт

ЦТ(2)=ф[(р)[

г • 6.834 г-12150

ерт0

г - е

-33.337,

г - е

-5070

+

г • 5.315 70 • г •1548&е'

-10070

г - е

-1007,

+

г - е

-10070

рт0 '

Амплитудные и фазовые частотные характеристики линеаризованной системы определяются выражениями:

Н

А(с) = — ф(с)|; р(с) = а^(Ф(/с)).

(11)

На рис. 5 и 6 приведены АЧХ- и ФЧХ-системы управления, построенные по выражениям (11), с помощью компьютерного моделирования. Полученные результаты подтверждают высокую точность линеаризации. Максимальная абсолютная ошибка рассмотренного метода не превышает 0,5 %.

0.85

0.8

- 0.75

< 0.7

0.65

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Частота (Гц)

Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристика системы

Таким образом, в работе предложен метод, позволяющий исследовать точность режима слежения системы управления, работающей в режиме ШИМ с линейным объектом управления. Данный метод позволяет свести исследование полезной составляющей выходного сигнала ШИМ системы (в установившемся режиме) к исследованию линейной импульсной системы (см.рис.3). Данное исследование можно провести, используя классическую теорию линейных импульсных систем.

Список литературы

1. Фалдин Н.В. Точный метод исследования релейных систем // Машиностроение (энциклопедия). Т.1-4. Автоматическое управление. Теория. (под ред. Е.А. Федосова). М.: Машиностроение. 2000. С. 231-253.

2. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Исследование периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничениями // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. №2. С. 15-27.

3. Гусев А.В., Феофилов С.В., Козырь А.В. Устойчивость периодических движений в системах управления с ШИМ-регулятором // Известия ТулГУ. Технические науки. 2016. №2. С. 71-79.

4. Горячев О.В. Основы теории компьютерного управления: учеб. пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. 220 с.

Феофилов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, проф, доц., svfeofilov@ mail.rH, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Фалдин Николай Васильевич, д-р техн. наук, проф, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Козырь Андрей Владимирович, аспирант., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

А METHOD FOR LINEARIZATION OF CONTROL SYSTEMS OPERATING INPWM

MODE

S.V. Feofilov, N.V. Faldin, A.V. Kozyr.

The proposed analytical method of linearization tracking control system with PWM control and line control object. The proposed method makes it possible to reduce the study of the accuracy of the tracking mode to the study of a linear pulse system.

Key words: PWM control, linearization, impulse control system.

Feofilov Sergey Vladimir ovich, doctor of technical science, professor, svfeofilov@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Faldin Nikolay Vasilyevich, doctor of technical science, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Kozyr Andrey Vladimirovich, graduate student, [email protected], Russia, Tula, Tula State University

УДК 62-838

ПОСТРОЕНИЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКОГО ПРИВОДА, ИСПОЛЬЗУЮЩЕГО КИНЕТИЧЕСКУЮ ЭНЕРГИЮ НАБЕГАЮЩЕГО ПОТОКА

С. Л. Самсонович, В.И. Лалабеков, Е.Н. Кутейникова

Предложена новая конструктивная схема воздушно-динамического привода, осуществляющая переход от аэродинамического к газодинамическому управлению,

61