Устойчивость периодических движений в системах управления с ШИМ-регулятором Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Никаноров Александр Борисович, нач. отдела высокоточных комплексов, [email protected], Россия, Тула, АО «Тулаточмаш»

AIR-DYNAMIC STEERING DRIVE OF PROPORTIONAL MANAGEMENT IN ROCKETS

WITH TRANSONIC SPEEDS OF FLIGHT

A.V. Gusev, A.B. Nikanorov

In work the developed mathematical model of pneumatic power system of an air-dynamic steering drive for imitating modelling as a part of a contour of management is resulted by a drive and the rocket. The resulted design procedure of parameters of switching centres provides model application at early development cycles an air-dynamic steering drive without attraction of experimental researches.

Key words: an air-dynamic steering drive, a management contour, power system, the switching centre, a flowing cavity.

Gusev Andrey Viktorovich, candidate of engineering, managing director deputy of branch directions, khkedr@tula net, Russia, Tula, «SJC «CBP named after academician A.G. Shipunov»,

Nikanorov Aleksander Borisovich, head of department, Nikanorov Aleksander'ayandex ru, Russia, Tula, SJC «Tulatochmash»

УДК 681.511.4

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ

В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ С ШИМ-РЕГУЛЯТОРОМ

А.В. Гусев, С.В. Феофилов, А.В. Козырь

Предлагается аналитический метод анализа устойчивости периодических движений в системах с широтно-импульсным регулятором. Метод также применим, когда объект управления можно представить в виде кусочно-линейной системы. Представленный подход позволяет определить устойчивость субгармонических колебаний, возникающих в таких системах.

Ключевые слова: ШИМ-регулятор, периодическая траектория, нелинейный объект, вынужденные колебания.

Релейные автоколебательные системы управления нашли широкое применение в качестве управляющих систем в малогабаритных летательных аппаратах. Однако качество таких систем существенным образом зависит от параметров объекта управления. В сложных условиях эксплуатации системы, когда параметры объекта изменяются в широком диапазоне

71

значений, хорошо зарекомендовали себя системы управления с широтно-импульсной модуляцией. В системах управления с ШИМ-регулятором частота периодических движений определяется частотой опорного сигнала и остаётся стабильной как при отработке приводом полезного входного сигнала, так и при изменении параметров объекта управления. В настоящей работе рассматривается класс систем управления с широтно-импульсным преобразователем. Структурная схема таких систем в общем виде приведена на рис. 1.

Рис. 1. Система управления, работающая в режиме ШИМ

Особенность таких систем состоит в установлении колебательного процесса в автономной системе на основной частоте опорного сигнала, либо на субгармонических частотах. Условие существования таких периодических процессов можно определить, рассмотрев ШИМ-регулятор в классе релейных систем управления. Необходимые условия существования периодических колебаний в системе управления с ШИМ преобразователем можно получить, основываясь на методе фазового годографа [1].

Математическую модель системы, изображенной на рис. 1, можно представить виде

^ = * (х, и); (1)

ш

и = Ф( у0 +11 х, А, Ъ), (2)

где х = (^1,..., хп) - вектор состояния системы; * = (/1,..., /п) - п-мерный вектор; Я и Ь - матрицы имеющие размерность 1 х п, причем х=X,ЬГх = ||

Функция Ф задается графиком статической характеристики двухпо-зиционного релейного элемента, представленным на рис. 2.

Рис. 2. Статическая характеристика двухпозиционного релейного

элемента

Необходимые условия возникновения симметричных периодических движений в системе (1), (2) определяются зависимостями

* Т *

ИГо^ ) + ЬТх (Т) = Ь, (3)

Н^ (г *) + г — (Т) > 0. (4)

ш

* —

Здесь х (Т)- фазовый годограф релейной системы [1], г (Т)обозначено

значение предела слева вектора скорости в момент переключения релей— *

ного элемента с минуса на плюс, 2 (Т) = I(х (Т),—А). Неравенство (4) определяет условие переключения релейного элемента с минуса на плюс.

Представленные выше условия определяют все возможные периодические решения в системах (1), (2). Однако физически в системе могут наблюдаться только устойчивые колебания.

В настоящей работе предлагается аналитический метод анализа устойчивости периодических движений для класса систем с ШИМ-управлением и кусочно-линейным объектом управления.

Рассмотрим симметричную периодическую траекторию х(г + То) = —х(г) в системе (1), (2), где То- полупериод опорного треугольного сигнала у = Но(г).

Возмущенная периодическая траектория

) = х(г) + 8х(г), (5)

где дх(г) будем считать малой величиной.

Рассмотрим случай, когда объект управления является непрерывной системой. Полученные результаты легко переносятся на класс кусочно-непрерывных объектов.

Таким образом, можно от системы (1) перейти к уравнениям в вариациях

ёбх _ ЭГ(х, и)

& Эх х=х(г)

и=и (г)

• 5х. (6)

Выражение (6) представляет собой линейное однородное уравнение с переменными коэффициентами. Совместим момент ? = 0 с моментом переключения на траектории х(?) управления и(Г) с минуса на плюс, т.е.

х(0) = х (ТВ) х(0) = х (70). На траектории х(?) первое переключение управления при ? > 0 происходит в момент Тз, а на траектории х(?) - в близкий момент Т0 + 88Т .

Из условия (5) следует, что

х + (Т0 + 5Т) + 5х + (Т0 + 5Т) = х- (Т0 + 5Т) + 5х- (Т0 + 5Т), (7)

где символами х+, +, х- , 8х обозначены пределы справа и пределы слева соответственно. Опуская величины, имеющие порядок малости выше первого из выражения (7), получим:

5х + (Т0) = 5х - (Т0) + (х - (Т0) - х + (Т0))5Т. (8)

Условие переключения релейного элемента на траектории ? = Т0 имеет вид:

И/0 (I * + Т0 + 5Т) - ЯТ х- (Т0 )5Т - ЯТ 5х- (Т0) = 0. (9) Из (9) выразим вариацию полупериода

8Т = * КТ5х'(Т0> Т-. (10)

И/0 С + Т0 + 8Т) - ^ х - (Т0) Исходя из симметричности опорного сигнала из (9) и (10) получим

8х+(Тс) = 8х"(Тс)- ^ ^ Т "^ (11)

И/^ + Т0 +8Т)-х-(Т0)

Обозначим V(ío, ¿0 + 81) нормированную фундаментальную матрицу решений уравнения (6). Здесь 10 - момент времени, с которого решается уравнение (6), так что, У(0, ¿0) = I, где I - единичная матрица.

На периодической траектории х^) в интервале 0 < ? < ТВ и(1:) = А. Очевидно, 8х-(ТВ) = V (0,ТВ) 8х(0). Равенство (11) тогда принимает вид:

(х-(Т0 -х (Т^К' (Т0)

8х + (Т0) =

Г + Т Л

1 - (х- (Т0 - х + (Тр))кТ

1 / * Т -

И/0 (I ) - ЯТх (Т0)

V (0,Т0)8х - (Т0). (12)

00 На полном периоде справедливо следующее выражение:

8х + (2Т0)

с - + ТЛ

1 - (х (Т0 -х + (Т0))Я1

^ 71

ч и/0 « ) - яТх-(Т0) ,

V (Т) ,2Т0 )8х + (Т0) (13)

В интервале Т} < ? < 2Тв на траектории х^) управление и^) = - А. В силу симметрии траектории х^) и уравнения (1)

74

У(Т0,2Т0) = У(0, Т0), х" (2Г0) = -х- (Г0), х+ (2Г0) = ■-х+ (2 Г0)

Я/о(Г +Г0) = -Я/0'(/ ). Соотношение (12) можно представить в виде

<&+(2Г0) =

(х-(Г0-х+(Г0))К

[

,гЛ

Я/0ЧГ*)-Кгх-(Г0)

Имеет место равенство

&+((к + \),Т0) = О&+(кТ0),

У(0,Т0)&+(Т0).

(14)

где

I

(±-(Т0-±+(Т0))КТ^

Я/0(О-ЕГх-(Г0)

Равенство (14) представляет собой линейное однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами.

Периодическое решение х(£) асимптотически устойчиво по Ляпунову, если 8х+(&7о) —> 0 при к—><>о. Тривиальное решение 8х+(А:Го) = 0 уравнения (13) устойчиво, если собственные числа А,} Д2»-матрицы С находятся в окружности единичного радиуса. Таким образом, периодическое движение в системе с ШИМ-регулятором (1), (2) орбитально асимптотически устойчиво, если имеет место неравенство.

Ху\<Ы = 1 (15)

Рассмотрим применение представленного метода для систем с ШИМ-регулятором и кусочно-линейным объектом управления. Для примера рассмотрим систему управления пневматическим рулевым приводом, структурная схема которого приведена на рис. 3.

Рис.3. Структурная схема системы управления рулевым приводом

75

Параметры математической модели имеют следующие значения: Тэ = 0.0018, £ = 0.986, Кэ = 1,хтах = 1,Я = 1,/ = 110ГцМт = 12,Гг = 0,00145,

= 0.23, Отт =50.5, Зе =0.0006,/ = 0.0024,Кт =18.7321.

Пневмопривод содержит звенья с ограничителем в форме жестких механических упоров [2, 3]. Делается допущение, что удар об упор является абсолютно неупругим. Для представленного объекта численным методом был построен фазовый годограф и определены периодические движения в системе. Было определеноо, что в системе устанавливаются симметричные периодические колебания с частотой опорного сигнала (110 Гц), периодическая траектория представлена на рис. 4. Амплитуда колебаний на выходе системы не достигает ограничения, исходя из этого, звено с ограничителем, входящее в состав исполнительного, можно рассматривать как линейное звено.

Рис. 4. Периодическая траектория (х$)) на выходе электромагнита

Математическую модель объекта управления можно представить в виде кусочно-линейной системы:

¿/х ¿/х

■ = Сх + Ви,0<* <*ь

= С х + В//,/1 <(<То.

Как и было показано выше, для кусочной непрерывности траектории, справедливо равенство

х+ ) + х+ )&! + 8х+ ) = Е(х" ) + х~ + &Г )),

где матрица Е задает разрыв фазовой траектории в момент срабатывания ограничителя.

Вариация 8^ определяется из условия

^ (х (^ +8t) - х (^ + 8t)) = х

тах.

(17)

Т

Здесь N - вектор строка, имеющий размерность 1 х п, выделяющий соответствующую фазовую координату. Параметр хтах- полка ограничителя

^ 8х - (t1) ^ X - (tl) '

Из (17) и (18) следует

8х + (t1) = Е8х - - (Е( х - (t1) - х + (t1))

Из (17) следует

8х+ (t1) = Сх, Сх = Е8х" - (Е( х~ (t1) - х+ (t1)) _

х Ю

Вариация 8х + (Т0) - определяется так же, как и в случае линейного объекта управления

гл

х - (tl) 8х1-(tl).

(18)

(19)

8х+ (То) = С 2; С 2 = Имеет место равенство

(X-(То - X + (ТЪ))Ь-

/ * т — И/0 а ) - 1/Х (То)

I

С (То

8х + (То) = С8х(0),

где

С = С2 • Сх. (2о)

По собственным числам матрицы С оценивается устойчивость периодических движений в системе с широтно-импульсным управлением и кусочно-линейным объектом управления (16). Собственные числа матрицы С должны удовлетворять условию (15).

С помощью представленного метода можно проводить анализ устойчивости субгармонических колебаний, тогда матрица устойчивости для линейного объекта будет иметь вид

в

I

(X (пТо) - X + (пТ^К^

И/о ^ '") - X - (пТо)

о, О = у(о, пТо).

Для системы управления, структурная схема которой приведена на рис. 3, была построена матрица устойчивости С. Собственные числа матрицы приведены на рис. 5.

-1

Рис. 5. Собственные числа матрицы G

Из рис. 5 видно, что расположение собственных чисел матрицы G удовлетворяет неравенству (15), следовательно, полученное периодическое решение является асимптотически устойчивым по Ляпунову.

Таким образом, представленный подход к анализу устойчивости периодических движений в системах с широтно-импульсным регулятором позволяет оценивать устойчивость колебаний без использования численного интегрирования нелинейных систем, что является важным на этапе синтеза. Полученные результаты позволяют оценивать устойчивость колебательных режимов как на основной частоте, так и на частотах субгармоник.

Список литературы

1. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Исследование периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничениями // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 2. С. 15 - 27.

2. Фалдин Н.В. Точный метод исследования релейных систем // Машиностроение (энциклопедия). Т. 1-4. Автоматическое управление. Теория / Под ред. Е.А. Федосова. М.: Машиностроение, 2000. С. 231 - 253.

3.Фалдин Н.В., Моржов A.B. Автоколебания в релейных системах с кусочно-линейными объектами управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2007. № 2. С. 2 - 9.

Гусев Андрей Викторович,канд. техн. наук, зам. управляющего директора по отраслевым направлениям, kbkedr(cptu1a.net, Россия, Тула, АО «Конструкторское бюро приборостроения им. академика А.Г. Шипунова»,

Феофилов Сергей Владимирович, д-р техн. hcîvk, проф, svfeofilov(a)niaiLru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

78

Козырь Андрей Владимирович, асп., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE STABILITY OF PERIODIC MOTIONS IN SYSTEMS MANAGEMENT

FROM PWM CONTROLLER

A.V. Gusev, S.V. Feofilov, A.V. Kozyr

The proposed analytical method for analyzing the stability periodic motions in systems with pulse-width control. The method is also applicable when a control object can be represented as piecewise linear system. The presented approach is to determine the stability of subharmonic oscillations occur in such systems.

Key words: PWM controller, forced oscillation, relay system.

Gusev Andrey Viktorovich,candidate of engineering, managing director deputy of branch directions, khke.dr@tula net, Russia, Tula, «SJC «CBP named after academician A.G. Shipunov»,

Feofilov Sergey Vladimirovich, doctor of technical science, professor, svfeofi-Jov@majJ т. Russia, Tula, Tula State University,

KozyrAndreyVladimirovich, postgraduate, [email protected], Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.9

ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ БУНКЕРНЫХ ЗАГРУЗОЧНЫХ УСТРОЙСТВ

И.Б. Давыдов, М.С. Пестунова, И.И. Чекмасова

Рассматриваются теоретические основы построения математических моделей производительности центробежных бункерных загрузочных устройств, которые используются в структуре систем автоматической загрузки технологических машин-автоматов и автоматических линий для упаковки штучных пищевых изделий.

Ключевые слова: центробежное бункерное загрузочное устройство, система автоматической загрузки, производительность.

Центробежные бункерные загрузочные устройства (БЗУ) отличаются широкой универсальностью, высокой производительностью, структурной и кинематической простотой конструкции, удобством обслуживания и ремонта. Захват изделий осуществляется на высоких частотах вращения рабочих органов. Поэтому в результате соударения изделий на больших скоростях возможны истирание и порча их внешнего вида, особенно при подаче хрупких или обладающих малой жесткостью и имеющих легкопо-вреждаемую поверхность предметов обработки. Поэтому выбор оптималь-