CC BY
9
УДК 621.3.078.4
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-11-19-26
РАСЧЕТ ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ ДЛЯ БЕЗРЕДУКТОРНОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА НА БАЗЕ БЕСКОНТАКТНОГО МОМЕНТНОГО ДВИГАТЕЛЯ
О.В. Горячев, И.А. Шигин, М.А. Кузьмин
Основное преимущество безредукторных приводов - это возможность повышения точности за счет отсутствия люфтов, существенного уменьшения мертвого хода, снижения моментов сухого трения и других нежелательных факторов, вносимых редуктором, а также исключение необходимости дополнительного обслуживания механики комплекса. Однако исключение редуктора из кинематической схемы формирует новые требования к точности позиционирования привода, а, следовательно, и к системе управления приводом. Данная статья посвящена рассмотрению вопросов синтеза и реализации квазиоптимального по быстродействию управления для цифрового следящего безредукторного электропривода с учетом дискретизации сигналов в цифровых системах управления по времени и по уровню, а также нели-нейностей, связанных с насыщением материала магнитопровода, и ограничением максимального развиваемого момента.
Ключевые слова: поверхность переключения, квазиоптимальное управление, наблюдатель состояния, безредукторный электропривод, встраиваемый моментный двигатель.
Повышение скоростей движения, маневренности целей, расширение диапазона рабочих температур определяют необходимость повышения эффективности применения современных зенитных ракетно-пушечных комплексов за счет применения силовых приводов, обеспечивающих повышенные точностные и динамические характеристики наведения.
Построение силовых приводов по кинематической схеме, не содержащей редуктор обеспечивает уникальные свойства электропривода: плавность хода, высокие точностные и динамические показатели. Высокие требования по быстродействию, точности, качеству переходных процессов определяют важность расчета квазиоптимального по быстродействию закона управления.
В работе [1] показано, что переходные процессы трехфазной модели синхронного двигателя встраиваемого исполнения и упрощенной модели, эквивалентной модели двигателя постоянного тока, сопоставимы с точностью до 4%. Следовательно, для расчета квазиоптимального управления целесообразным является рассмотрение упрощенной модели двигателя, представленной на рис. 1.
Рис. 1. Математическая модель двигателя постоянного тока
На рис. 1 приняты следующие обозначения: U - напряжение, В; R - активное сопротивление, Ом; L - индуктивность, Гн; i -значение тока, А; Ст - коэффициент двигателя по мот 2 г 2 п
менту, —; J - момент инерции ротора,кг • м ; Jn - момент инерции нагрузки, кг • м ;Се - коэффициент противо-ЭДС, В-с/рад; ю - угловая скорость двигателя, рад/с; fi - угол двигателя, рад.
Для рассматриваемого типа электрического следящего привода характерно ограничение максимального развиваемого момента двигателя, которое эквивалентно введению ограничения по току |i| <imax.
Таким образом, необходимо получить аналитические зависимости, описывающие поведение объекта управления внутри ядра области управления (т.е. при |i| <imax, рассчитывается по модели третьего порядка (рис. 1) и движение объекта по ограничению (т.е. при |i | = imax, рассчитывается по модели второго порядка (рис. 1, выделена пунктиром)).
19
Поскольку структурная схема, представленная на рис. 1, не соответствует каскадной структуре из-за дополнительной связи по ЭДС двигателя, приведем данную схему к виду каскадной структуры, пользуясь известной из теории автоматического регулирования [2] формулой замыкания системы обратной связью. Таким образом, исследуемая система описывается структурной схемой, представленной на рис. 2.
□ 1 1
U[B] Y1
1 к
Г2 ■ j + 1 Y1 Г1 -s+ 1
wfpafl/c]
i s [ 1
Y3
П[рад]
Рис. 2. Преобразованная структурная схема
Получим оптимальный закон управления для автономной системы, представляющей собой два апериодических звена и интегратор (выражение 1):
Wi(p)=^ =-*-. (1)
Передаточной функции (1) соответствует дифференциальное уравнение (2):
Тх-Тг'У^ + (Т1 + Т2)-у3+у3 =K-U. (2)
Так как уравнение имеет третий порядок, то поверхность переключения имеет размерность (n-1)=2 и, следовательно, представляет собой плоскость.
Синтез оптимального управления будем осуществлять в пространстве ошибок:
х = у0 -Уз;
* = Уо-Уз;
х = у'о-уз;
Х = У0 - Уз.
В пространстве ошибок идеальному слежению соответствует начало координат. Оптимальным является такое движение, при котором фазовая точка X = (X, X',..., X (n 1) ) переводится из начального состояния в начало координат за минимально возможное время [3]. Уравнение объекта в пространстве ошибок представлено выражением (3):
Тг- Т2- 'х+(Т1 + Т2)■ x + x = -K-U. (3)
Для определения линии переключения воспользуемся принципом "попятного движения" Фельдбаума. Введём обратное время т = ti — t, здесь ti - конечное время, t - текущее время.
Следовательно, уравнение (3) в обратном времени можно представить в виде уравнения (4):
~Тг-T2^+(T1 + T2)%-%=-K-U. (4)
Полагая U = const, найдём решение дифференциального уравнения (4) с помощью преобразований Лапласа (выражение 5).
-Т1 ■ Т2 ■ (р3 ■ х(р) —р2 ■ х(0)—р ■ х'(0) (р2 ■ х(р) — р ■ х(0) — х'(0)) — (р ■ х(р) — х(0)) = —^^.
х"(0)) + (Т1 + Т2)
ки
(5)
Так как в обратном времени линия переключения исходит из начала координат, то справедливы условия: х(0) = х'(0) =х"(0) = 0.
Таким образом, после преобразований решение дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид (система уравнений 6):
х(т) = К • и • (Т1 + Т2) + К • и т- К' и'Г1'
Ti-Tn
^Г , К • U • Т2
eTi Н---
т-,-т7
■ е' 2
dx .. .. К • и • Т1 — , К • ит2
— = К-и--- ■ ет1 Н--- ■ ет2
dr
d2x dr2
Тг-Т2 К • U
■■ eTi+-
Тг-Т2
юи f
■ ■ ет2
(6)
т1-т2 т1-т2
Возвращаясь к прямому времени система уравнений (6) может быть представлена системой уравнений (7):
dt2 Тг~Т2 V )
t „ t
— = -K u(Ie^i H—— • (7)
dt V Тг-Т2 т1-т2 )
t „7 t
x(t) = K • Uf^ +T2 +t- • eTt + • eT2
Выразив из системы уравнений (7) величину t, получим уравнение (8), определяющее в фазовом пространстве поверхность переключения:
f(x,x) = K• U + U T2 + K• U Ln(—+1+• x) - ^^ • (—+1+• x) +
' v J 1 z 1 \K• и к• и J т1-т2 \к• и к-и )
^Z.(JL+i+ll- А (8)
тг-т2 \к-и к-и ) v '
Для того, чтобы корректно задать области управления необходимо найти линию пересечения поверхностей, относительно которой выбирается значение U=-A или U=A.
Приравнивая выражения, определяющее в фазовом пространстве поверхность переключения, полученные при U=A и U=-A, получено выражение (9) для линии пересечения поверхностей:
х = -Т2• х (9)
Таким образом, в уравнении (8) знак величины U определяется в результате сравнения текущего значения х и полученного значения линии переключения (уравнение 10):
Usign = sign(x + Т2• х) (10)
В результате, уравнение (8), определяющее в фазовом пространстве поверхность переключения будет выглядеть следующим образом (выражение 11):
f{x,x) = K• A- Usign • Ti + K• A• Usign • T2 + K• A• Usign • Ti• Ln (j^— +1 +
т2 • Л _ К-А- ЦБСдп-Т^ • / х + 1 + г2 . Л + К-А-иэСдп-Т^ _ / х + 1 + К-А-иэ1дп ) Т1-Т2 \K-A-иэ1дп К-А-иэ1дп ) Т1-Т2 \K-A-иэ1дп
-(11)
К-А-из1дп ) у '
Фазовая поверхность переключения с указанными областями постоянства управления, соответствующая полученному оптимальному закону, приведена на рис. 3.
Рис. 3. Поверхность переключения и области управления в пространстве ошибок
Оптимальное управление задается равенством (12):
U = A - sign{x — f(x, х)) (12)
Таким образом, если фазовая точка находится выше поверхности переключения, то оптимальное управление U = Десли ниже поверхности переключении, то U = —А.
Оптимальное управление для неавтономной системы может быть получено за счет подстановки в выражение (11) зависимостей (13):
* = Уо-Уг;
х = Уо~У2- (13)
Значение у2 может быть выведено из исходной передаточной функции (1) следующим образом (выражение 14):
^ = ^у2= ^^ (14)
Для реализации движения на ограничении при разгоне электродвигателя в алгоритм оптимального управления вводятся функции, выполняющие изменение знака управляющего напряжения на основе сигналов, получаемых с датчиков тока.
С целью обеспечения своевременного торможения при движении на ограничении необходимо осуществлять перемещение фазовой точки по линии переключения, рассчитанной по математической модели второго порядка.
Уравнение объекта в пространстве ошибок при движении на ограничении описывается выражением (15):
х = (15)
Решение дифференциального уравнения (15) представлено системой уравнений (16):
d2x ¿max . Ст
dt2 iJ+Jn)
dx ¿max. Ст . ^
dt iJ+Jn)
N К imax. Ст
U+Jn)
— . t (16)
• t2
Исключая из системы уравнений (16) время, получим уравнение (17), определяющее в фазовом пространстве линию переключения для объекта второго порядка с учетом ограничения тока:
fsatW = -^T1ICl^ign(x) (17)
z lmax Ст
В результате, движение фазовой точки и переходный процесс по управляющему воздействию, полученные при отработке электроприводом единичного ступенчатого задающего сигнала с заданными ограничениями по току представлены на рис. 4.
При переходе от упрощенной модели двигателя (рис. 1) к трехфазной модели двигателя, наиболее полно описывающей электромагнитные процессы в двигателе [4] с целью учета дискретизации системы по времени и по уровню, определения неизмеряемой величины Y1 (рис. 2) в математическую модель безредукторного электропривода вводятся: экстраполятор нулевого порядка с периодом дискретизации системы, масштабные коэффициенты в выражения оптимального управления и наблюдатель состояния.
Переход от вещественных координат к кодам угла, скорости и тока позволяет за-
писать уравнения (11) и (17) с использованием целочисленной арифметики в виде выражений (18) и (19):
f(x,x) = Е{К(р • (K • А • Usign •Тг + К• A• Usign • T2 + K• A• Usign • Тг• Ln +
1+—^--(x-Kn). --(х-Кп). K-2) +
К • А • Usign íiy Тг-Т2 \К.А. Usign К.А. Usign v íiy íz/
K±££Í£EZkl. +i + ----\ (18)
T-í_-T2 \K. A. Usign R.A. Usign v v /
fsaÁ±) = - У(/+/П) . Sign^ . X) (19)
2пд.п
где E - функция выделения целой части числа; К^ = - уровень дискретизации угла пово-
„ 6,28 ' „ рота ротора; Кш = —¿дп - уровень дискретизации угловой скорости ротора; пдп - разрядность
2пд.т
датчика положения ротора; Kit = —---уровень дискретизации, при котором ток равен 0;
Ki2 = рГД7 - уровень дискретизации фазных токов двигателя; пдт - разрядность датчиков тока;
Di - диапазон измеряемых значений датчиками тока.
Оценка точностных и динамических характеристик безредукторного привода горизонтального канала наведения на базе встраиваемого трехфазного синхронного двигателя секторного исполнения проводилась методом компьютерного моделирования в пакете Simulink системы Matlab. Математическая модель цифрового следящего безредукторного электропривода с квазиоптимальным по быстродействию алгоритмом управления представлена на рис. 5.
Рис. 4. Отработка электроприводом ступенчатого задающего сигнала: а - поверхность переключения и плоскости, задающие ограничение по току; б - проекция на плоскость хх; в - проекция на плоскость хх; г - проекция на плоскость хх; д - переходный процесс
по управляющему воздействию
В математической модели представлены следующие подсистемы, рассматриваемые в работе [5] - «SDPM» - трехфазная математическая модель исполнительного двигателя; «Mv» и «Mtr» - модели возмущающих воздействий от момента сухого трения, момента неуравновешенности и аэродинамического момента; «PWM» - модель автономного инвертора напряжения и цифровая реализация алгоритма векторной широтно-импульсной модуляции; «Comp» - вычисление компенсационных составляющих для исключения перекрестных связей; «Inv_Conv_Park», «DIR_Conv_Clark» и «DIR_Conv_Park» - реализация координатных преобразований; «Reg_id» - регулятор, поддерживающий значение тока по оси d равным нулю, чтобы потокосцепление по этой оси было постоянным. Таким образом, электромагнитный момент пропорционален току по оси q, который задается посредством квазиоптимального по быстродействию алгоритма управления в подсистеме «Control Law» в виде выражения (19) при движении внутри ядра области управления и в виде выражения (20) при движении на ограничении момента электродвигателя; «Saturation_Imax» - выполнение функций, обеспечивающих движение на ограничении при разгоне электродвигателя; «Наблюдатель состояния» - восстановление координаты Y1; «Digital_convert» - переход от единиц СИ к отсчетам цифровой системы управления.
Рис. 5. Математическая модель цифрового следящего безредукторного электропривода с квазиоптимальным по быстродействию алгоритмом управления
Переходные процессы, полученные при отработке входного ступенчатого сигнала ^ = 3,14 рад, представлены на рис. 6, при отработке гармонического сигнала ^ = 0,9085т(2гс • 0,2) - на рис. 7.
и г 25 3 >5
М, Н'М
<о,рэд/с
16 г
г
I! 1 1
в
д е
Рис. 6. Переходные процессы, полученные при отработке входного ступенчатого сигнала ф = 3,14 рад: а - по углу; б - по ошибке; в - по ошибке в отсчетах цифровой системы; г - по моменту; д - по угловой скорости; е - по фазным токам
На основании анализа статических и динамических характеристик привода получено, что при ступенчатом входном сигнале время регулирования составляет 1,8 с, ошибка наведения - 0,75-10~6 рад. Ошибка слежения за типовым входным сигналом частотой 0,2 Гц и амплитудой 52° составляет 0,6-10~3 рад.
б
а
*.радА X 1Ü 4
С 1 г 3 i 5 а 7 s э ю
М,Н- и
ij.pe^/c
Рис.7. Переходные процессы, полученные при отработке при отработке гармонического сигнала ф = 0,908sln(2n • 0, 2): а - по углу; б - по ошибке; в - по ошибке в дискретах; г - по моменту; д - по скорости; е - по фазным токам
Полученные результаты позволяют сделать вывод, что предложенные методы синтеза алгоритмов управления безредукторного привода на базе трехфазного синхронного двигателя встраиваемого исполнения обеспечивают высокие точностные и динамические характеристики привода.
Список литературы
1. Кузьмин М.А. Построение математической модели синхронного двигателя с постоянными магнитами в различных системах координат. 55-я студенческая конференция (Россия, Тула, 17-22 декабря 2018 года): сборник тезисов докладов. Тула: Изд-во ТулГУ, 2019. С. 76-78
2. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов - Изд. 4-е, перераб. и доп. СПб.: Профессия, 2004. 752 с.
3. Фалдин Н. В. Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем управления :Учеб. пособие / Н. В. Фалдин; Тул. политехн. ин-т. Тула : ТПИ, 1990. 99 с.
4. Горячев О.В., Фимушкин В.С., Артющев В.В., Новиков А.А. Шигин И.А., Кузьмин М.А. Методика проектирования мехатронного модуля на базе синхронного двигателя встраиваемой конструкции секторного исполнения для перспективных мобильных комплексов. Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов: сборник докладов XI-й международной юбилейной научно-технической конференции, Москва, 10-11 декабря 2020 года, МАИ. Москва: Эдитус, 2021. С. 189-194.
5. Кузьмин М.А., Шигин И.А., Ефромеев А.Г. Синтез алгоритмов управления безре-дукторного привода на базе бесконтактного моментного двигателя // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2019. Вып. 5. С. 381-392.
Горячев Олег Владимирович, д-р тех. наук, профессоор, ovg@sau.tsu.tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Шигин Илья Александрович, начальник отдела, i.tula999@yandex.ru, Россия, Тула, АО «Конструкторское бюро приборостроения им. академика А.Г. Шипунова»,
Кузьмин Максим Александрович, аспирант, max95.k@rambler. т, Россия, Тула, Тульский государственный университет
а
CALCULATION OF THE SWITCHING SURFACE FOR ELECTRIC DIRECT DRIVE BASED ON
THE CONTACTLESS TORQUE MOTOR
O.V. Goryachev, I.A. Shigin, M.A. Kuzmin
The main advantage of direct drives is the possibility of increasing accuracy due to the absence of backlash, reducing the reduction of dry friction moments and other undesirable factors introduced by the gearbox, as well as eliminating the need for additional maintenance of the complex mechanics. However, the exclusion of the gearbox from the kinematic scheme creates new requirements for the positioning accuracy of the drive, and, consequently, for the drive control system. The article is devoted to the consideration of the issues of creating and implementing quasi-optimal control in terms of speed for a digital servo electric direct drive, taking into account the sampling of signals in digital control systems in time and in a parameter, as well as nonlinearities associated with saturation of the magnetic circuit material and limitation of the developing torque.
Key words: switching surface, quasi-optimal control, state observer, electric direct drive, built-in torque motor.
Goryachev Oleg Vladimirovich, doctor of technical science, professor, ovg@sau.tsu.tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Shigin Ilya Alexandrovich, department head, i.tula999@yandex.ru, Russia, Tula, The JSC «KBP named after Academician A.Shipunov»,
Kuzmin Maxim Alexandrovich, postgraduate, max95. k@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 62-51
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-11-26-33
ЦИФРОВОЙ СКОЛЬЗЯЩИЙ РЕЖИМ В СЛЕДЯЩЕМ ПРИВОДЕ С ЛИНЕЙНЫМИ ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ
Н.Н. Макаров, Е.В. Плыкина
Рассмотрено применение цифрового режима скольжения для линейной системы с линейной поверхностью переключений. Под цифровым скользящим режимом понимается дискретное по времени управление, которое выводит изображающую точку в фазовом пространстве на поверхность переключений к началу следующего цикла управления. Приведены условия существования такого режима и конечные соотношения для вычисления управляющего воздействия, реализующего скользящий режим движения. Рассмотрен пример реализации такого режима в электрическом следящем приводе. Результаты моделирования демонстрируют перспективность использования цифрового скользящего режима в проектировании следящих приводов.
Ключевые слова: следящая система, дискретное управление, скользящий режим.
Известно, что применение в следящей системе релейного регулятора, работающего в скользящем режиме [1,2], позволяет обеспечить не только высокую, при определённых условиях идеальную, точность слежения, но и грубость системы по отношению к параметрам объекта управления. В частности, оптимальные по быстродействию системы [2], в полной мере обладают указанными свойствами. При практической реализации оптимальных по быстродействию регуляторов возникают, однако, некоторые трудности. Первая из них связана с тем, что для управления необходимо использовать полный вектор состояния системы, вторая обусловлена
