Термоустойчивость пластинчато-стержневых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 1977

№ I

УДК 629.735.33.015.4-977

ТЕРМОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНЧАТО-СТЕРЖНЕВЫХ

СИСТЕМ

Г. И. Замула

Изложен численный метод решения задач устойчивости нестационарно и неравномерно нагретых и нагруженных пластинчатостержневых систем.

В статье [1] предложен метод решения задач устойчивости неравномерно нагретых и нагруженных пластинчатых систем, основанный на методе ортогональной прогонки [2]. Ниже указанный метод распространен на пластинчато-стержневые системы, состоящие из пластин, дискретно соединенных с ребрами.

1. Рассмотрим прямоугольную шарнирно Опертую на поперечных краях пластину, сжатую равномерно в поперечном и неравномерно в продольном направлении усилиями, зависящими от параметра (в частности, времени) г>0, А^(^), №х(у, /). Переменные (в том числе вследствие зависимости механических свойств от температуры) жесткости обозначим: Ох(у, (), Оу(у, /), А,(.у, £), Оху(у, {). На линиях у=у1} г = 1, 2, . . . , N—1 пластина соединена без эксцентриситета с ребрами изгибной жесткости Е^Ц), крутильной жесткости б/,(£)> сжатыми силами Р,(/). Исследование устойчивости такой пластины сводится к отысканию критического значения параметра, при котором появляется нетривиальное решение ев (х, у) уравнения устойчивости пластины

ООО, 0 <у<Ь, уфу1

(1)

с дополнительными условиями

ш|^+0.=0 \'’=У1-0 ’ ду

О)

*=У1+ о_о У = У1 -о ’

п I У=У»+0 — /?/ У У—У; _о ~'СУ(

•У/-О

д'* (

<?Х4 ' * (За:2

Й2 <3

У=У,

ж у=у'+о = о/

^ I у=уг_о г ал:2 ду

у=уг

на линиях у = уI, г = 1, 2, ... , ЛЛ—1 и граничными условиями

д2 41

дх2

*=0, а

= о,

и=0 (1-—•() + /?„ [у=0 т=°. ‘“|у=*(1 — Т1) + /?у|у=»Т1 = 0,

<? СО

д (о

(1 — 8) -{- Му \у=о 8—0, ду у=о ’ ■’ ду

у=ь

(1 -8,) + Му\у=ьЬ1 = О

(3)

на поперечных и продольных краях.

Здесь со — прогиб пластины, М=— — д*(

-изгибаю-

у у ду2 хд2

д Мху д ш д2 <л

щий момент, Яу= <^У+ — Мху=—ОхуШ^—крутящий

дМу дМх у

момент, 0у=—5— + *

ду ’ ХУ ХУ дх ду

у— д —ф----------перерезывающая сила в пластине; а,

Ь — длина и ширина пластины, 7, 8, 84 равны 0 либо 1.

С использованием дельта-функции Ь(у) Дирака соотношения (1), (2) можно записать в едином обобщенном виде:

о. +1 Я,»(, - у,)] ^} + -^ (о, -^) +

+ 2

дх2

д2 дх ду

г = 1

<}2 ,

+

ду2

+

N-1

д* ду I ду2

д2 ,

дх2

1=1

<5х2

дг^ = 0,

у <Эу2 ’

О < л < а, 0 < у < Ь.

(4)

Действительно, уравнение (4) совпадает с (1) при всех у фуь, а на этих линиях после интегрирования уравнения (4), умноженного на (у — уг), по у в пределах от у1 — с/2 до _у4 + с/2 при с-- О приходим к соотношениям (2).

При представлении решения в форме

ш = 0>„ (у, 81п п

д <л п . ... %к

----= Ъ(у, ^шл---------------

ду а

Му = Мп(у, п—, 11у = Цп(у, *) эти —

а ' а

(5)

задача (1) — (3) сводится к системе четырех обыкновенных дифференциальных уравнений

Л ша а Л 1 / . ж \

ау п (1у йМп

-(|*я - Мп),

йу

(ДА — 2 |хп I) ) + Нп,

Лу

Г/ \ оч

=={‘»[(1Д-Я °х ~ 1--------------------^ шп +

, 0<у<Ь, уфу1

(6>

(7)

с дополнительными условиями

ш \у=у?г0__ о ф \у=у1+ о о л |у=_у;—О » л|у = у(—О» ’

* п Д-0 = ®» \у=у> (&1 ?п - *>/) 1АЛ1

в точках у=у1} 1= 1, 2, . . . , Аг— 1 и граничными условиями <о„|у=о(1 — Т) + #«1у=о т=°» ®я1у = »(1 — ъ) + Р„|у=* 71=0.

»*|у=о(1 — 8) + Мп \у=о 8=0, ^л|у=*(1 — М + Мп |у=й о1 = О

пи И2 я2

при у — 0, ь, где =---------- .

аг

При использовании (4) соотношения (6), (7) запишем в едином виде:

(8)

***-.%„ *Ь, = -±-(рп0^п-Ма),

иу

\

Лу

Лу

йМп _

Лу

ЛИп

Лу

N-1

к,

= Рп

1=1 Ы-1

+ г*п,

^,1 Дг + Х Е11Ь{у-у 1)1 ~Рп —у

1К

(мх + ЪрМу-у*

<*п + ~Мп\, о <у<Ь.

(9>

Критический параметр потери устойчивости рассматриваемой пластины можно определить теперь как наименьшее из значений параметра Ьп, п= 1, ‘2, , при которых появляется нетри-

виальное решение задачи (6) — (8) [либо (8), (9)].

Для определения ^n, как и в статье [1], воспользуемся методом ортогональной прогонки [2]. С этой целью при каждом I соотношения (6) — (8) запишем в виде

й и

■А и, 0<у<Ь, уфу -,

Лу

«1(.у,- + 0) = «! (.у, - 0), щ (у( + о) = и2 (у, — 0),

"з (У1 + о) = Из (у1 - 0) - и2 (Л) б/,

«4 (у1 + 0) = и4 (У1 — 0) + И, (у{) (Я/, [А„ - Р() (Хя, .у =>>,•, г = 1, 2, . . . , N— 1;

(Ю)

(П)

«1 (0)(1 — Т) + «4 (0) т = 0, «1(Ж1 -- Т1) + «4(&)Т1 = °»

и2 (0) (1 — 8) + и3 (0) 8 = е, н2 (6) (1 — 8,) + щ (Ь) 8, = е„

где и (у) — вектор с компонентами щ = тп, и2 — $п, щ = Мп, и4 = Нп, А (у) — квадратная матрица порядка 4, составленная из коэффициентов уравнений (6), е, е, равны 0 или 1.

Особенность и отличие данной задачи от рассмотренной в п. I статьи [1] состоит в наличии дополнительных условий (И) в точках у=у{, 1=1, 2, , N—1 расположения ребер. С учетом этой

особенности для задачи (10) — (12) метод реализуется следующим образом. Разобьем отрезок [0, Ь] на т. участков точками ортогона-лизации 5 = 0, 1, . . . , т, у0 = 0, ут = Ь так, чтобы они

включали все точки уь 1=1, 2, . . . , N—1. Прямой прогонкой из точки з^ = 0 строим последовательность систем векторов

[2/0',)] = ^ М’ У = 1, 2, 2 + $, 5= 1, 2,--------т, (13)

где векторы ‘0}(у^ = и}{у$) получаются численным интегрированием системы (10) на интервале ^_1 <3; с начальными данными и]{уз-1) = г}{уз-\)- Здесь г}{у0) = и}(0), у = 1, 2, 2 + е — система начальных векторов вида:

т ■ 0 ~ ~ 0 “

0 , «2 (0) = 8 , »3 (0) = 1 — 8

0 1 —8 8

_1 — 7_ 0 _ _ 0 _

процесс ортогонализации в точке уа обозначен vs. При этом в точках У1, 1—1, 2, . . . , N—1 в ходе прямой прогонки получаются

предельные значения векторов при подходе слева и}(у1— 0), по которым в соответствии с (11) вычисляются значения вбкторов + 0), которые и ортонормируются, так что г’;(_У() = аД_уг + 0) [3]. Решение задачи (10)-—(12) в точке у —ут = Ь представляется в виде

и(Ь) = г(Ь)с(Ь) + г3(Ь)в, (15)

где Z(&) = [2^•(6)]; /—1, 2 — прямоугольная матрица размером 4X2, столбцами которой являются векторы с{Ь) — вектор коэффи-

циентов.

Для задачи (6) — (8), описываемой соотношениями (10) —(12) при е = е! = 0, после подстановки (15) в граничные условия (12) при у = Ь получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений

£>с(&)-0, (16)

где D — CZ{b), С — прямоугольная матрица размером 2X4, составленная из коэффициентов соотношений (12) при у — Ь. Из условия обращения в нуль определителя матрицы Д зависящего параметрически от Ь, находится затем я*, с(Ь)ф0, и(Ь). После определения с(Ь), и(Ь) решение в точках ортогонализации у3, 5 = = т—1, т — 2, . . . , 0 подсчитывается по формулам обратной прогонки [1] — [3]. Можно предложить и другой, более простой способ учета дополнительных условий (7) в точках уь г = 1, 2, ... , N — 1 расположения ребер, основанный на соотношениях (8), (9). В этом

случае дельта-функцию в (9) будем аппроксимировать любым из известных ее приближений, в том числе простейшей разрывной функцией

Ъ(У—У» с)

(О при <у—у,)^с/2, I 1/с при (у—у1)<с/2.

При малых с решение такой задачи близко к решению задачи (8), (9) и при записи ее в виде (10), (12) может быть получено При использовании обычных формул метода и статьи [1] во всех точках ортогонализации, как для пластины переменной по у жесткости. Такой подход имеет определенные преимущества и вследствие неточечности соединения реальных пластин и стержней, в качестве величины с при этом можно брать размер ребра вдоль оси у.

2. Рассмотрим теперь задачу термоустойчивости пластинчатостержневой системы, состоящей из отдельных пластин (одинаковой длины а) типа рассмотренной выше, соединенных между собой по продольным краям, примером которой является дискретно подкрепленная пластина на промежуточных опорах, панель с пластинчато-стержневым подкреплением. Задача термоустойчивости такой системы сводится к отысканию критического параметра t%, при котором появляется нетривиальное решение ш№(л:, у^), к = 1, 2, . . . , Аг, системы N уравнений вида (1) с дополнительными условиями (2), записанных для каждой пластины, с граничными условиями вида (3) при х = 0, а на несоединенных с другими пластинами продольных краях и условиями закрепления и сопряжения на линиях соединения пластин. При представлении решения для каждой пластины в форме (5) задача сводится к отысканию наименьшего из значений параметра 1п(п= 1, 2,...), при которых появляется нетривиальное решение систем уравнений вида (6) — (9) с условиями сопряжения в точках соединения пластин. Метод решения указанной задачи для пластинчатой системы был предложен в п. 2 статьи [1]. Он полностью переносится на пластинчато-стержневые системы при использовании для каждой дискретно оребренной пластины соотношений п. 1 настоящей статьи.

3. Рассмотрим в качестве примера термоустойчивость обшивки теплозащитного экрана самолета, образованной удлиненными рифтованными изотропными пластинами постоянной толщины А со свободными продольными краями, установленными на промежуточных опорах, свободно смещающихся в поперечном направлении (фиг. 1). При быстром нагреве экрана в обшивке, вследствие стеснения „холодными" опорами, возникают неравномерно распределенные, продольные сжимающие температурные усилия Ых — На, поперечные усилия отсутствуют. С использованием симметрии сводим задачу к расчету системы двух соединенных пластин при условиях опи-рания поперечных краев и края^<1)=0 первой пластины (см. фиг. 1). Рифт заменялся стержнем площади поперечного сечения Г, так что Р = Га, изгибной жесткости Е1 и нулевой крутильной жесткости, расположенным посередине первой пластины. Определяющие безразмерные параметры задачи следующие:

где V — коэффициент Пуассона, — цилиндрическая жесткость пластины.

М>х ’ Ь1 ’ Ь1>

Предварительно было получено решение отдельно для первой пластины при условии шарнирного опирания на линии соединения и использовании при учете ребра приближения дельта-функции (17)

с различными величинами 0.

Пример вычислений критического значения безразмерного параметра нагрузки— коэффициента устойчивости & = з* для обшивки

реаль-

Е1

Фх Нх\ьх ЩЪХ -к

0,4 0,2 0,02 8,3731

0,2 0,1 0,01 8,6697

0,166 0,1 0,005 8,7376

0,1 0,05 0,005 8,7349

0,05 0,05 0,005 8,7506

0,05 0,025 0,025 8,7506

0,025 0,025 0,025 8,7544

ных параметров _____________

= 5,8, —= 0,0187^ — = 18, у = 0,3) при постоянных шаге ортого-

Ьх }

нализации Ни шагё ийтегрирования методом Рунге — Кутта Н, шаге изменения параметра нагрузки Да =— приведен в таблице (я* =

, т.2

= 10). ■

Решение быстро устанавливается с уменьшением с/Ь1 и уже при реальной величине — = 0,166 хорошо согласуется с болееточ-

ным численным и с имеющимся аналитическим решением этой задачи, приведенным, например, в [4]. Результаты численного расчета коэффициента устойчивости’ системы при различной относительной ширине Ьг1Ьх второй плас-

тины и

= 0,166, — 0,1

Их

Н

н_

-е*

\ \ \

■\ \ \ \ \ \

\ \ \

16

п

11

7О

* I I 4 / г 1

I, - г-4 / *

II № / I /

- н» ш -1 / Г

л 1 ^ // 0,3

"*0,35

\ Ч 1 ч

1 1

Г 1 1 1

0,05 0,25 О,¥5 0Г65 Ъг/Ь,

8 А.

16

2¥

Фиг. 1

Фиг. 2

= 0,005 представлены на фиг. 1 и 2. Для сравнения на фиг. Ь пунктиром нанесен коэффициент устойчивости системы при рассмотрении первой и второй пластин как независимых с условиями шарнирного опирания на линии соединения. Как видим, такой подход

при значительной величине —>0,25, в частности, при реальном

ь Ь1

параметре обшивки — = 0,35, весьма неточен. Интересно отметить

происходящую в указанном диапазоне изменения Ь2/Ь1- смену форм потери устойчивости, хорошо видную на фиг. 2. ,

ЛИТЕРАТУРА

1. За мул а Г. Н. Термоустойчивость пластинчатых систем. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № З, 1974.

2. Г о д у н о в С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. .Успехи математических наук", т. XVI, вып. 3, 1961.,

3. Григоренко Я. М., Беспалова Б. И., Василенко А. Т., Голуб Г. П., С у д а в ц о в а Г. К., Шинкарь А. И. Численное решение краевых задач статики ортотропных слоистых оболочек вращения на ЭВМ типа М-220. Киев, .Наукова думка*, 1971.

4. В о л ь м и р А. С. Устойчивость упругих систем. М., ФМ, 1963.

Рукопись> поступила 21 і VI 1974, г.