CC BY
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVIII 1987
№ 6
УДК 629.7.015.4.023.2
УСТОЙЧИВОСТЬ И ТЕРМОУСТОЙЧИВОСТЬ
цилиндрических конструкций
Г. Н. Замула, К■ М. Иерусалимский
Изложена методика расчета устойчивости неравномерно нагретых и нагруженных цилиндрических конструкций, составленных из оболочек, пластин и стержней. Рассмотрены некоторые частные случаи и примеры расчетов.
Рассматривается подкрепленная цилиндрическая конструкция, представляющая собой систему взаимодействующих стержней, пластин и оболочек (элементов), соединенных вдоль образующих. Конструкция предполагается находящейся в условиях плоского или близкого к нему исходного деформированного состояния и теряющей устойчивость в упругой, бифуркационной постановке.
Метод решения, аналогичный изложенному в [1, 2], основан на разделении переменных, прямом численном интегрировании уравнений устойчивости элементов методом ортогональной прогонки [3] и использовании метода перемещений при объединении элементов в систему. В качестве уравнений устойчивости используются наиболее общие соотношения [4], пригодные для решения задач как общей, так и местной устойчивости конструкции, учета докритического искривления, дискретности и эксцентриситетов подкрепляющего набора, неравномерного нагрева и нагружения.
1. Рассмотрим тонкую незамкнутую некруговую цилиндрическую оболочку, дискретно подкрепленную вдоль образующих прямолинейными ребрами, удовлетворяющими обычным для теории стержней гипотезам малости поперечных размеров, плоских нормальных сечений, совпадения центров тяжести и кручения (рис. 1). Оболочку и ребра предполагаем закрепленными, переменно нагретыми и нагруженными в зависимости от поперечной координаты 5 и монотонно возрастающего параметра £> 0, так, что конструкция при малых значениях параметра £ находится в условиях, близких к плоскому деформированному состоянию. Жесткости, докритические прогиб и усилия оболочки и ребер зависят лишь от 5 и I и постоянны вдоль продольной координаты х. Наряду с весьма удлиненной (теоретически бесконечной) подкрепленной оболочкой по такой схеме может рассматриваться и оболочка конечной длины а, на поперечных краях которой предполагаются в этом случае граничные условия шарнирного опирания. При некотором
значении параметра t = t^ возможна потеря устойчивости рассматриваемого исходного состояния конструкции с мгновенным образованием смежной, отличной от исходной, формы равновесия, характеризующейся волнообразованием и переменностью напряженно-деформированного состояния и в направлении продольной координаты х. Общие уравнения устойчивости и термоустойчивости конструктивно анизотропной оболочки (включая характерную для авиастроения каркасированную оболочку) приведены в [4].
Выпишем дополнительно соотношения, необходимые для расчета устойчивости ребер и дискретно подкрепленной оболочки в целом с учетом совместности перемещений и взаимодействия оболочек и ребер.
Усилия и моменты, перемещения и углы поворота ребер вводятся в соответствии с рис. 2. Они помечаются для г'-го стержня нижним индексом I. Не останавливаясь подробно на выкладках, приведем уравнения устойчивости для 1-го стержня в наиболее общем случае, соответствующем системе уравнений из [4] для оболочки. Соотношения упругости для стержня имеют вид:
Мш, == 21 *21 Ч" £^231 хзг >
^31 ~ Е]-м "/з; + *21!
Н1 = 6У; X; ,
где ЕР1, Е^1г Е^31, EJ31, — жесткостные характеристики стержня
соответственно на растяжение — сжатие, изгиб и кручение. Геометрические соотношения:
Р . у _ . 1 1 йх ’ 21 йх ’ 31 (1х ’ 1 Лх ’ I
(1.2)
(IV: йы>1
У21 йх ’ ^в‘ с1х ’
где «ь VI, щ>г — перемещения центра тяжести поперечного сечения стержня.
Рис. 2
Уравнения нейтрального равновесия
dNi , о"Ж _ oi____________d_ \r0 dui ■'
dx 1 dx '
dx
dQ%i , \^<+i
+ N2 — N2 — O; +Ql+‘-Qi = 0;
dx
dQzi
dHi
dx
dMu
dx
dMsi
dx
■ M‘s+1- M‘s - Д|+1 Оз+1-Дг Qa—Дз+1 M+1 ■
N?<fu ~ Q2i + *2+1 Si+1 + A^S1 = 0;
N? f3i — Q3,- — Дз+1
Дз s' == 0.
(13)
Здесь верхние индексы i+1 и i указывают значения соответствующей величины на продольных торцах i+1-го и i-ro пролетов оболочки, стыкующихся слева и справа с t-м ребром (см. рис. 2). Кроме того, N? обозначает продольную силу в стержне в докритическом состоянии, Дг, Лз — эксцентриситеты соединения стержня с оболочкой, N2, Q3 — усилия в оболочке, преобразованные к системе координат х, Хг, х3 стержня по формулам:
N2 — Ns sin а—Qs cos а; Q3 = Ns cos я + Qs sin a, (1.4)
где а — угол наклона направляющей оболочки. В дополнение к
(1.1) —(1.4) необходимо записать условия совместности перемещений и углов поворота оболочки и ребра.
(1.5)
где обозначено:
м2 = V э1п а — чв соэ а; и3 = V соэ а -|- ® эт а.
(1.6)
Приведенные здесь уравнения для стержня аналогичны полученным в книге [5] для кольца с тем различием, что нами учтена возможность общей потери устойчивости дискретно-подкрепленной оболочки. Это проявляется в наличии в соотношениях (1.3) подчеркнутого члена, а также в том, что в (1.3) и (1.4) вместо усилий 5== Л/*0* оболочки фигурируют их преобразованные в соответствии с [4] величины и 5. Совместно с уравнениями устойчивости из [4] для оболочки соотношения (1.1) — (1.6), записанные для всех N—1 ребер, при указанных в [4] граничных условиях на продольных торцах оболочки и соответствующих условиях на поперечных торцах оболочки и ребер, составляют полную систему уравнений устойчивости рассматриваемой цилиндрической оболочечно-стержневой системы. Как частные случаи, эта система уравнений описывает все указанные в [4] варианты постановок задач устойчивости и термоустойчивости, а также устойчивость пластинчато-стержневых систем [6]. Этой же системой уравнений можно пользоваться при наличии разрывов угла наклона направляющей оболочки {а1фа1+1)\ в этом случае соотношения (1.3) — (1.6), соответственно преобразованные, дают условия сопряжения пролетов оболочки:
Перейдем теперь к рассмотрению разветвленных и многосвязных цилиндрических конструкций — систем, образованных из ЛГЭ отдельных, типа рассмотренных выше, конструктивно анизотропных или дискретно-подкрепленных оболочек (элементов), непрерывно соединенных между собой по продольным краям. Такой системой могут схематизироваться силовые конструкции фюзеляжей и крыльев самолетов с однозамкнутым (рис. 3, а) и многозамкнутым (рис. 3,6) контуром поперечного сечения, подкрепленные панели различного вида (рис. 3, в) и их повторяющиеся фрагменты (рис. 3, г), тонкостенные стержни и балки (рис. 3, д).
Задача устойчивости рассматриваемой цилиндрической системы описывается уравнениями для оболочки из [4], соотношениями (1.1) —
(1.6), с граничными условиями на не соединенных с другими элементами продольных торцах и дополнительными условиями сопряжения на линиях соединения элементов. Для ее решения необходимо отыскать наименьшее значение параметра нагружения t, при котором появляется нетривиальное решение указанной однородной краевой задачи с соответствующими условиями на поперечных торцах элементов.
Условия сопряжения элементов могут быть различными. В частности, в наиболее распространенном случае они представляют собой усло-
(1.7)
а)
I)
вия равенства обобщенных перемещений элементов и уравнения равновесия на линиях соединения в некоторой общей для элементов системе координат. Примером записи таких условий для частного случая двух соединяемых элементов в общей системе координат X, Х-Ь х3 могут служить соотношения (1.7). В отдельных случаях (см. [1]) возможно наличие дополнительных закреплений (равенство нулю отдельных компонентов перемещений), либо «шарниров» (неполная совместность перемещений) на линиях соединений.
Приведенная формулировка задач устойчивости и термоустойчивости цилиндрических оболочек и систем охватывает практически все многообразие возможных расчетных схем цилиндрических либо близких к ним авиационных конструкций с учетом вопросов общей и местной устойчивости, взаимного влияния элементов, переменности нагружения и нагрева. На эти задачи для случая исходного плоского деформированного состояния при отсутствии сдвигающих усилий в поверхности приведения оболочки естественно распространяются методы решения, развитые в [1, 2, 6].
2. Рассмотрим вначале частный случай отдельной оболочки. Здесь полностью применима численная методика решения [2] при учете боль-
шей общности приведенных в [4] постановки и уравнений, а именно: непологости оболочки, эксцентриситета подкрепления. Представляем, как и в [2], решение задачи устойчивости в виде:
{Р} = {Рп}со5^; {Р\ = {Рп\8Щ~,
1 ■Рп) — К Ьхл ТП *хзп Нп С*л] Т ;
{Р} = 1®юв, е, в, *, N. Мх М$ ;
{^*л} = №п ®л ®л гхп &п %хп ^хп ^хп Мп (?„( >
и I — произвольное положительное число (длина полуволны потери устойчивости в продольном направлении х оболочки); величины в скобках в правых частях зависят от поперечной координаты 5 и параметра { нагружения оболочек. В результате подстановки (2.1) в уравнения устойчивости [4] переменные х, 5 разделяются, и после некоторых преобразований приходим к системе из восьми обыкновенных дифференциальных уравнений:
(2.1)
где
Мп ■ , — = -/. • </5
»л +
«л .
амя
= (^Ч А^02 4-2^/57)6л+ дл н- бХ-Л^л+Рл/ат V,
±п- = *1 + № + *1/ьх)*>п ~ РК К-У-пШзх + Р) ип-
-Е»ЛГ,ЧЧ + %--?п%8п + №пЛ +р) вл +
+ ^л^°б°7„+ у-*А*п>
Рпь*™п — №п + 1п;
- ^ 0„ + ;
^5
4уп
с1$
«я
в которых
- р» 7У° 6° тип + р6л -^- + *1 (№, + N1) уп +
— Рп(р + ^2„/зх) да* + Н-* (Лх + Л?) ип - ц„/2 гп - {1„/4 хл, _
(2.2)
8л — (/55/1$+А$л^_ /*) 1^(/б/з5— /51/4)®^“Ь
+ /оЛ М° 6° 6Л — /,, лтл + [а„ (/55/2 —/3.9/4) и„ + Л* ЛУ; Тл = С/1т + л^г1 [£ - рп/310л +
. •/л = 1 (— /е ч- /ил + /4 [1л ип — /8, е„);
= 0° + э0; Рл *=7г/^-
(2.3)
5—«Ученые записки» № б
65
В соотношениях (2.2), (2.3) введены переменные
,о dUfi _ ту
5 = S 4- N? dUn - ■ N — N 4- Л/? (-^- 4- •
^ J»T;V! ds ' п п ' S\R ^ ds )'
Qn^Qn — v-nHn, так что выполняются представления вида (2.1)
I NsQs?
S = Sn cos ^; INs QsjT = [Nn Q„JT sin -
(2.4)
(2.5)
^ ' l <> ^OJ l U ^
Граничные условия на продольных кромках преобразуются с учетом
(2.1), (2.5), к виду:
— то)+ Q„L=oTo=0; wn\s=b(l — Ti) + Qn l,=#Ti = °;
ej,=o(l-8o) + ^«l,=o8o = 0; enL=6(l-8i) + ^nL=»8i = 0;
“J^oO — То) + 5я|,=0?0 = 0; —?i) + s«| ?* = ();
— Фо) + -^.1,=оФо = 0; ®л15.Д1 -ti) + ^Js=6^i=o.
(2.6)
Критическое значение параметра нагружения £ оболочки, соответствующее потере ее устойчивости, можно определить теперь как наименьшее по I значение параметра tn, при котором появляется нетривиальное решение краевой задачи (2.2), (2.6). Эту задачу можно решить методом ортогональной прогонки [3] полностью аналогично тому, как это сделано в [2] для пологой цилиндрической панели. Члены в соотношениях (2.2) —(2.4), учитывающие непологость оболочки, подчеркнуты.
Для дискретно подкрепленной оболочки метод решения аналогичен рассмотренному в [6]. Здесь для каждого пролета оболочки используются представления (2.1), (2.5) и соотношения (2.2), (2.3), в дополнение к которым тем же способом преобразуются уравнения (1.1) — (1.6) для ребер. Представление вида (2.1) для £-го стержня имеет вид
Iй i tP2Z?>3ixi Hi Q2i Q3(]T—[Uin(?2tn¥3in‘*’inHinQ2lnQ3ln\C C0S ^ >
\vi wi f i x2f x3i M2i M3i\r =
tzX
= [V,n Щп 'fin Hn x2in *31п Nin M2in ^Из/я]Т sin ~j~ >
(2.7)
где величины в скобках в правых частях зависят лишь от параметра нагружения t системы. Подстановка (2.7) в (1.1) — (1.6) и некоторые преобразования приводят к соотношениям
wh+1= — #2п1 COS аг+1 + ий1 Sin ai+1 ;
e«+1 = 6«;
М1п 1 = м‘п + [J-2 GJt 6‘„ 4- ДГ-1 Qit1 + Дз QL + Дз+1 М:1 + Д 3 Nil Q‘+1 = - Nit1 cos «‘+1 + Q^1 sin a'+i;
««+1 = un + V-n (Д3 + Дз+1) Win — [i„ (Д2 •
®n+1 = «2n1 sin <**+> + u£nl COS ai+1; N‘n+1 = Nti1 sin a'+> + Q^1 COSV+1; S‘+1 = 5‘+1A2(^ + A?)«<n,
^+l)vin]
(2.8)
в которых и
1п
и‘п — Рп Д2 «2п + !*„ Дз «3п
= «2 я
«2 п = Ъп вШа*
аггл = Из„ — Дгб«;
- сов а‘; Изя = ■»« сов аг 4-эШ аг; «2л1 = и1 - (Д$ + Дз+‘) егл ; ИЙ1 = Изл - (Д^ + Д$+1) 0л! N2n = Д;я вт а' — С?я сов аг; <3з„ = Лг‘п сое а‘ + вт а*;
N$' = N1 + + ^«®1„) + ^М°г»й +
+ (Д* + 4+1) 5' + [4 (£/*, + А?) Д^+1 и1в ;
(Ззге1 = С?3я + ы + да,п —
- Ц„ (Дз + Д|+1) 5' - ^8 (£/?. + лф д ‘+’ м.п .
(2.9)
Верхние индексы 1+1 и I имеют тот же смысл, что и в п. 1. Соотношения (2.8), (2.9) непосредственно выражают переменные системы уравнений (2.2) на продольном торце /+1-го пролета оболочки, стыкующемся с 1-м ребром, через их значения на соответствующем торце г-го пролета. Тем самым обеспечивается проход через все ребра в процессе решения краевой задачи (2.2), (2.6) методом ортогональной прогонки и решение всей задачи. В случае, когда ребра отсутствуют, но имеется разрыв угла наклона направляющей оболочки а‘фаш, соотношения
(2.8), (2.9) соответственно упрощаются:
;+1
■
та^сов Даг 4- ъ1п5\п Да*; в‘п+1 = в1„; =
С}‘п+1 = С}‘п сов Да‘ 4- эШ Даг
ги>‘п вШ Даг; А‘+1 = N1, сов Да' — С}1,, Да';
г»‘„+1 = ъ‘п сов Да»'
иг+1 — и1 • и,п — Мп ,
г*/ +1 ___ О I
Оп -----------*^Пу
(2.10)
где обозначено Да‘ = аг'+1 — а‘. При Даг' = 0 обеспечивается непрерывность всех переменных системы (2.2).
Рассмотрим теперь общий случай разветвленной и многосвязной цилиндрической системы. Будем предполагать, для простоты изложения, ребра вдоль соединения элементов либо отсутствующими, либо бесконечно малых размеров и «стягивающимися» без эксцентриситетов к линии соединения, промежуточные закрепления и «шарниры» — отсутствующими. В этом случае поперечное сечение системы описывается совокупностью элементов (ветвей линейного графа [7]) плоского контура I, соединенных в некоторых точках (узлах); к узлам относятся и концевые точки элементов, не соединенные с другими элементами (граничные узлы). Геометрия сечения полностью задается совокупностью координат узлов хц, хц, 1=1, 2,...,ЫУ в общей системе координат и описанием формы ветвей, определенным образом пронумерованных. Топология сечения и графа описывается совокупностью номеров узлов V1, ]к, принадлежащих ветви с номером &, для всех элементов /г = 1, 2,...,Ыд. Кроме того, совокупностью признаков в граничных узлах указывается наличие закреплений элементов, а ветвям и узлам приписываются необходимые жесткостные параметры и характеристики докритического напряженно-деформированного состояния.
Представлением решения для каждого элемента и стержня на линии соединения в виде (2.1), (2.5), (2.7) задача устойчивости системы сводится при каждом значении I к обыкновенным дифференциальным уравнениям (2.2), записанным (вместе с условиями (2.8) на дискретном подкреплении) для всех элементов сечения, с граничными условиями
(2.6) в граничных узлах и условиями сопряжения в остальных узлах. Последние представляют собой равенства обобщенных перемещений 6*> Un, Vn (преобразованных к общей системе координат, 6 —номер элемента) всех сходящихся в узле элементов и обобщенных перемещений узлов Win, фin, Ыгп, Vin, а также уравнения равновесия узлов.
Наиболее общий способ решения этой задачи дает подход, основанный на методе перемещений строительной механики стержневых систем или, что то же, на методе конечных элементов в перемещениях. Действительно, как и в методе перемещений, возмущенное напряженно-деформированное состояние каждого элемента сечения полностью определяется при задании обобщенных перемещений w„, 0*, uk„, v* |s*=0 bk принадлежащих ему узлов ih, jh как линейная комбинация восьми решений от единичных перемещений. Последние находятся решением рассмотренных выще одномерных задач (2.2), (2.8) методом ортогональной прогонки при соответствующей модификации граничных условий (2.6):
®л I jft-o == ^ ~ = 1>п | sk _g = Wn = 0л == Мл = Vn | s— О И Т. Д.
Одновременно определяется линейная зависимость между обобщенными перемещениями узлов и обобщенными силами, действующими со стороны" элемента на узел:
{ф'}*----[/С']* (2.11)
где {Ф'}* = [О^М^Бп Мп | л*=0 бя-Мл 5* 3к = ькУ ■— вектор обобщенных сил в узлах элемента; {у'}* == {да*6* и* и* | ^=0 0* и* юкп | —
вектор обобщенных перемещений, [К'\к—матрица жесткостей элемента размером 8X8, столбцами которой являются векторы обобщенных сил на краях элемента от упомянутых единичных решений. Уравнения равновесия всех узлов, с учетом условий совместности перемещений в узлах, приводится к виду
ИЬ)=0, (2.12)
где [/С] — симметричная матрица жесткости системы, получаемая суммированием матриц жесткости тк элементов; {у}— вектор обобщенных перемещений узлов системы (и то и другое — в общей системе координат х, Хг, Хз), причем:
{У} = 1ЫТ{У2Г- {У«у}Т. {У|} = 1®1л?!»«/»*<»Г. *=1,2,3, ...,Ау. (2.13)
При этом используются известные в методе перемещений соотношения перехода от местных систем координат х, эк, гк к общей (для к-го элемента соответствующие величины помечены штрихом):
[/е] = [£]т [Л"] [/.];
'[£«] о (2.14)
. о [*■/].
" вт а* 0 0 — соэ а,* "
0 1 0 0
[£/]* = 0 0 1 0
- соэ а? 0 0 эта* -
В (2.14) верхний индекс & для простоты опущен, а выражение для матрицы преобразования [Ь{]к в 1-м узле, согласно (1.5), (1.6), (2.8), (2.9), имеет вид
(2.15)
где а*—угол наклона й-го элемента в {'-м узле (см. рис. 2).
Одна из особенностей рассматриваемой задачи по отношению к традиционной процедуре метода перемещений проявляется в том, что в матрицу жесткости системы, помимо матрицы жесткости элементов, необходимо включить составляющие, соответствующие жесткостям ребер, расположенных на линиях соединения элементов, т. е. (для поперечного сечения) в узлах. Матрицу жесткости «сосредоточенного» элемента 1-го узла в соответствии с формулами (2.8), (2.9) запишем следующим образом:
+ Щ О
О
О о О
о
о
^, + Л? о
(2.16)
Она должна быть добавлена к соответствующим блокам матрицы [/С] в уравнении (2.12).
Кинематические условия (закрепления) для определенных обобщенных перемещений в граничных узлах системы учитываются в (2.12), как обычно, вычеркиванием соответствующих строк и столбцов матрицы [/С].
Для существования нетривиального решения системы однородных линейных алгебраических уравнений (2.12) необходимо обращение в нуль определителя ее матрицы
с1еВД = 0, (2.17)
зависящего от величины I (или п= 1, 2, 3,... при 1=а/п) и параметра нагружения t, откуда обычным образом находится /*. Затем из
(2.12) можно с точностью до постоянной определить {у*}, перейти к краевым обобщенным перемещениям ветвей и полностью определить возмущенное напряженно-деформированное состояние элементов сечения и цилиндрической системы в целом.
Из сказанного, а также из сопоставления с методом конечных элементов ясны пути распространения изложенной методики на случаи промежуточных закреплений, «шарниров» в узлах, эксцентриситетов ребер на линиях соединений элементов.
3. Рассмотренная в п. 2 методика может быть применена для расчета устойчивости достаточно длинных цилиндрических систем и в случае присутствия в Поверхности приведения в исходном состоянии усилий сдвига Nsx ¥=0. Решение задачи в этом случае представляется в виде:
{Р} = {Рп} cos + {Рп} sin {F} = {/=•„} Sin-f- + {F„} cos (3.1)
где переменные первой группы {Рп} и {F„} те же, что ив (2.1), а переменные второй группы следующие:
(3.2)
Подстановка (3.1) в уравнения устойчивости оболочки [4] позволяет разделить переменные и получить 16 связанных обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичных (2.2). Выпишем первые восемь из них:
-ел+
)
ds п 1 R ’ ds П’
ЧГ = (№ + № в? + /51) ел + Q„ + Nn - N° 0? s„ +
zo
+ ft,/зт 7 П + Н'л в, Nsx Vn + Nsx Wn;
________—= 11.2 I
ds
^ (N°x + N°s 0f + (*„ f5x) wn-pB°s 6„ - (*„ (^ fax + p)un-
(3.3)
- И2„ № в» ъп+-^~ ь 0° 5Я + (^/4+р) +
+ !Ап №, в,0 т„ + Я /6 х„ - рв ^ в° Л& «„;
в ^ в» ^ + 7„; = ё° 0Я + ея ;
+ рв. —^ + |*(л£ + -
— № т„ 1А„ (г„ 0„) 1У5Х и„ ;
^г = -?п(Р + ?1Лх)(Ах + №х)ип - и„ле„-' Pnfi лп ~~ Рп (?л + Рп ®л ^л ^п)-
Выражения для е„ и в (3.3) получаются добавлением слагаемых ([^Л&ЛА) и (— 1А„ Л/^Ия) в квадратные скобки выражений (2.3) соответственно, а выражение для хп совпадает с (2.3). Последующие восемь уравнений получаются из (3.3) при помощи следующей процедуры:
— все переменные первой группы заменяются на соответствующие переменные из второй группы, и наоборот,
70
Рис. 5
— все члены, имеющие в качестве сомножителя в нечетной степени, меняют знак на противоположный. В уравнениях (3.3) введены переменные, включающие, в отличие от (2.4), докритическое усилие сдвига №х:
■
Рп ип *
К = мп + №*(-^ + ■%-)- ь1хрпЪп;
%п = Яп + ль°(-^ + Ь.) + №и^а.
(3.4)
Граничные условия для переменных первой и второй групп имеют вид (2.6).
Для каждого стержня решение также представляется в виде, аналогичном (3.1) и содержащем две группы переменных. Подстановка этих выражений в уравнения нейтрального равновесия (1.3) дает для первой группы восемь алгебраических соотношений, полностью совпадающих с (2.8). Следующие восемь соотношений для переменных второй группы получаются из (2.8) с помощью описанной выше процедуры.
Последующая матричная формулировка задачи устойчивости для многосвязной системы при наличии сдвига и метод решения полностью совпадают с описанными в п. 2. Различие состоит лишь в том, что в
(2.13) вводится новый вектор обобщенных перемещений
М = 1«/« Ьп ит®/« Щ„?1п »1„
и вектор обобщенных усилий {Ф/} = 1Р,ЯЖ/П5,ЯЛ^Я$<ЯЖ<„5<Я^Т,
а все матрицы и векторы, входящие в (2.9) — (2.14), удваивают свою размерность в связи с добавлением узловых переменных второй группы.
Дадим в качестве иллюстрации два примера расчета устойчивости по изложенной выше методике:
1. Исследована устойчивость цилиндрического многозамкнутого подкрепленного отсека сложной формы при изгибе (см. рис. 4). Исходное напряженное состояние определено по балочной схеме при единичном значении изгибающего момента. Нумерация узлов и ветвей расчетной схемы показана на рис. 4. Там же изображена форма потери устойчивости, полученная в результате расчета.
2. Проведено исследование устойчивости удлиненной пластинки при сдвиге. Получено точное значение коэффициента устойчивости /г* =5,3367. Форма потери устойчивости показана на рис. 5.
ЛИТЕРАТУРА
1. За мула Г. Н. Термоустойчивость пластинчатых систем. — Ученые записки ЦАГИ, 1974, т. 5, № 3.
2. 3 а м у л а Г. Н. Термоустойчивость цилиндрических панелей. —
В сб.: Расчет подкрепленных конструкций.— Труды ЦАГИ, 1975, вып. 1728.
3. Г о д у и о в С. К- О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. УМН, 1961, т. 16, вып. 3.
4. За му л а Г. Н., И е р у с а л и ^ск и й К. М. К расчету устойчивости каркасированных цилиндрических ' оболочек. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. 12, № 3.
5. Кар мишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фр о л о в А. Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций.— М.: Машиностроение, 1975.
6. 3 а м у л а Г. Н. Термоустойчивость пластинчато-стержневых систем. ■—Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 8, № 1.
7. Ф е н в е с С. Д., Б р а н и н Ф. Г. Формулировка методов расчета конструкций с помощью топологической теории сетей. — В сб.: Расчет строительных конструкций с применением электронных машин. — М.: Стройиздат, 1967.
Рукопись поступила 151VIII 1986
