CC BY
3ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№1 (86) / 2024.
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК 539.3
doi:10.24412/0136-4545-2024-1-15-26 EDN:FYBPPC
(2024. Е.С. Глушанков1
ТЕРМОНАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ В УСЛОВИЯХ НЕРАВНОМЕРНОГО КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА С ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАЗНОСТИ ТЕМПЕРАТУР НА КОНТУРАХ
В данной работе представлено решение задачи о действии разности температур в бесконечной многосвязной пластинке из анизотропного материала, когда на ее контурах имеет место неравномерный конвективный теплообмен с внешней средой. Решение было построено с использованием конформных отображений, функций комплексной переменной и метода наименьших квадратов. Численными исследованиями установлено влияние геометрических характеристик пластинки, свойств ее материала, а также характеристик конвективного теплообмена на термонапряженное состояние пластинки.
Ключевые слова: многосвязная анизотропная пластинка, конвективный теплообмен, температурные напряжения, комплексные потенциалы.
Введение. В настоящее время в науке и технике широко применяются конструкции с элементами в виде тонких пластинок из анизотропных материалов. По технологическим или эксплуатационным причинам эти пластинки могут содержать отверстия или трещины, около которых под воздействием механических или температурных полей могут возникать высокие концентрации напряжений [1]. К настоящему времени решено большое количество задач о влиянии температурных полей на напряженно-деформированное состояние пластинок [2-5]. В т.ч. решено множество задач о влиянии конвективного теплообмена с внешней средой на термонапряженное состояние упругих тел [6-9]. Также
1 Глушанков Евгений Сергеевич - канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости и вычислительной математики имени акад. А.С. Космодамианского ф-та ма-тем. и информ. технологий Донецкого государственного университета, Донецк, e-mail: [email protected].
Glushankov Evgenij Sergeevich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
решена задача для случая неравномерного конвективного теплообмена на контурах пластинки из анизотропного материала при действии линейного потока тепла [10].
В данной работе приведено решение задачи определения термонапряженного состояния (ТНС) в пластинке из анизотропного материала, когда на контурах пластинки имеет место неравномерный конвективный теплообмен с внешней средой, при действии разности температур на ее контурах. Задача решена с использованием конформных отображений, функций комплексной переменной, метода наименьших квадратов. Проведены численные исследования ТНС пластинки с двумя круговыми отверстиями. Установлено влияние расстояния между контурами отверстий, свойств материала пластинки, а также характеристик теплообмена на распределение напряжений в пластинке.
5. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную многосвязную пластинку из анизотропного материала, занимающую область 5, ограниченную контурами эллиптических отверстий Ь[ (I = 1, С) с центрами в точках 0\(х01 , Ум), полуосями щ, Ъ[, углами поворота фI (рис. 1). Контуры Ь[ могут располагаться произвольно относительно друг друга. Через контуры отверстий имеет место конвективный теп- р ^
лообмен с переменным коэффициентом Н (т) с внешней средой температуры Т. Контуры отверстий не подкреплены, либо жестко подкреплены. На бесконечности температурные и механические воздействия отсутствуют.
Решение несвязанной задачи термоупругости для анизотропной пластинки с использованием функций комплексной переменной сводится к последовательному определению сперва комплексного потенциала теплопроводности Fз(zз) из граничных условий задачи теплопроводности, а затем комплексных потенциалов термоупругости Ф¡-{¿к) (к = 1, 2) из граничных условий задачи термоупругости.
После этого значения основных характеристик температурного поля (температура Т, плотности потока тепла чх, чу) в любой точке пластинки определяются по формулам [4, 5]
Т = 2И,е Fз ^а), (1)
(дх, Чу) = 2Ие т (»з, -1) F3^з). (2)
Здесь »3 - корень характеристического уравнения задачи теплопроводности [4,5]
+ 2к\2 » + кп = 0, (3)
к^ — коэффициенты теплопроводности материала пластинки.
Значения основных характеристик ТНС (напряжения ах, иу, тху, перемещения и, v) в любой точке пластинки определяются по формулам [4,5]
з
(°х, Яу, Тху) = 2Яе^2 (»к, 1, -»к) Ф'&к), (4)
к=1
3
(и, V) = 2И,е ^ ('к, Як)Фк(¿к)• (5)
к=1
Здесь Цк (к = 1, 2) — корни характеристического уравнения плоской задачи теории упругости [4, 5]
¡М = 0, (6)
где
¿4а{^) = ац Ц4 + 2аю^3 + (2а12 + авб)^2 + 2а2б№ + 022;
2 , , ^к3«1 022 , Ьк3«2
Рк = аицк - а,1фк + «12 Н--, Як = а^к ~ «26 Н---1--;
Г3 Ц-к Г3 №
¡2а(^3) , / ч 2 ,
Гз = ПаО; = + ~ а2;
$3(^3) = Г3 У ^3(^3) ^3;
а- — коэффициенты деформации материала пластинки; а — коэффициенты линейного теплового расширения материала пластинки; Ь— —символ Кронекера.
Функции 7*3(23), Фа;^) (А; = 1, 2) определены в многосвязных областях ¿>3, Бк, получаемых из области 5 аффинными преобразованиями [4,5]
¿3 = ж + Ц3У, (7)
¿к = х + Цк У• (8)
В общем случае функции 7*3(23), Ф&(<гд;) (А; = 1, 2) имеют вид [4,5]
С С <х
^3(23) = С3 + ^ Д31^31(23) + ^ ^ С31п<Р31и(г3), (9)
1=1 1=1 п=1
£ оо
Фк (гк) = N (гк) + ^ ^ аыпфкы&к )• (10)
1=1 п=1
Здесь С3, ^3! — вещественные постоянные, определяемые из граничных условий задачи теплопроводности; w3l(z3) = 1п (г3 — г31); г31 — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (7) произвольным точкам внутри контуров С3Ы — комплексные постоянные, определяемые из граничных условий задачи теплопроводности; ф31п(г3) = С,-™'; (31 — комплексные переменные, определяемые из конформных отображений;
С
Nк (г к) = Гк гк + + Вк1^ы(гк);
1=1
Г к, Ак1, Бк1 — комплексные постоянные, определяемые из решений систем уравнений
з
k=1
(1, Vk, Vk, Qk - VkPk) Гк = (0, 0, 0, 0)
3
^ (1, Vk, Pk, Qk) iAki = (0, 0, 0, 0),
k=1
3
(1, Vk, Pk, Qk) iBki = (0, 0, 0, 0) ;
k=1
Гз = гзсз; A31 = гз^з1; Вз1 = гз (C311R31 - D31Z31); wki(zk) = ln(zk - zki); zki — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (8) произвольным точкам внутри контуров Li; akin — комплексные постоянные, определяемые из граничных условий задачи термоупругости; Pkin(zk) = Z-™; Zki — комплексные переменные, определяемые из конформных отображений.
В локальных системах координат Oixiyi параметрические уравнения эллипсов (рис. 1) имеют вид [4,5]
xi = ai cos в, yi = bi sin в,
а в основной системе координат Oxy —
x = Xoi + xi cos Pi - yi sin Pi, y = yoi + xi sin Pi + yi cos Pi,
где в (0 < в < 2п) — угловой параметр уравнения контура.
Комплексные переменные (ы (к = 1, 3) определяются из конформных отображений внешностей единичных кругов |Zki| > 1 на внешности эллипсов L-i [4,5]
Zk = Zki + Rki ((¡a + ' (n)
где
Rki =
mki =
Zki = xoi + Vk yoi, Щ (cos tpi + Hk sin Lpi) + ibi (sill Lpi - jj,k COS щ) 2
ai (cos Pi + Vk sin Pi) - ibi (sin pi - Vk cos pi)
2 Rki
Функция F3 (Z3) должна удовлетворять граничному условию
2Re {hi(r)F3(T3) + Кз>в(тз)F3(тз)) = h(r)Th (12)
где 6зу3(тз) = йтз/йв, в — дуга контура отверстия; к = л/кцк22 ~ к\2\ т — аффикс граничной точки; тз — точка, получаемая из граничной точки при аффинном преобразовании (7).
Функции Фк(%к) (к = 1, 2) должны удовлетворять граничным условиям задачи термоупругости [4,5]
йш)6к,8(ткШгк) = (Ж ^р) , (13)
к=1 ^ 8 8 '
где 5к,з(тк) = йтк/йв\ Тк (к = 1, 2) — точки, получаемые из граничных точек при аффинных преобразованиях (8). Для неподкрепленных контуров Ь[
№к11, йкп) = (1, Цк), (¡11, 112) = (оц, С12) , а для жестко подкрепленных контуров
(4и, = (Рк, Як) , (¡11, ¡12) = (-и*(т), —у*(т)) ;
Сц — неизвестные постоянные интегрирования.
6. Решение задачи. В общем случае многосвязной области (рис. 1) неизвестные постоянные Сз, Озь, Сз\п, ак\п, входящие в разложения функций (9) и (10), определяются из граничных условий (12) и (13) с помощью метода наименьших квадратов. Для этого на контурах Ь^ (г = 1,£) выбирается система систему точек (т = 1,Л4г), в которых следует минимизировать
невязку граничных условий задач теплопроводности и термоупругости.
Задача теплопроводности. При подстановке функции (9) в граничное условие (12), для определения неизвестных постоянных Сз, Озь, Сз1п получается следующая система линейных алгебраических уравнений:
с
2КеЫ (Тгт)Сз + 2И.е ^ (Ы^гт^зь (тзгт) + гкбз^Тзгт^'зЬ (Т3гт)) Азг + 1=1
с о (14)
+2И,е ^ {Ьь(Тгт)^з1п(Тзгт) + 1к5з^(тзгт)ф'?Цп(тзгт)) Сз1п = Ы(Тгт)% 1=1 п=1
(г = 1 ,£,т = 1 ,Мг),
где тгт — аффикс точки Мгт, тзгт = хгт + ¡лзугт. После решения этой системы с использованием сингулярных разложений [11] постоянные Сз, Озц, Сз\п, а, следовательно, и комплексный потенциал теплопроводности (9), будут известны. По известной функции (9) можно в любой точке пластинки найти температуру и плотности потока тепла по формулам (1), (2) [4,5].
Задача термоупругости. При подстановке функций (9) и (10) в граничные условия (13) для определения неизвестных постоянных акы получается следующая система линейных алгебраических уравнений [10]:
2 С о 2
,в(ткгт)^к (ткгт)
к=11=1 п=1 к=1 (15)
¿Ъ ___ _
(1;цр53^{т;цт)г3Р3{т;цт) + (г = 1, С, т = 1, Мг, р = 1, 2),
где Tkim = xim + ßkVim- После решения этой системы с использованием метода сингулярных разложений [11] постоянные akin, а, следовательно, комплексные потенциалы термоупругости (10), будут известны. По известным функциям (10) можно в любой точке пластинки находить значения основных характеристик ТНС по формулам (4)-(5) [4,5].
7. Численные исследования. Были проведены численные исследования для пластинок из следующих материалов [10]:
— текстолит КАСТ-В изотропный [3] модифицированный (материал М1):
ац = 74,92ao, a22 = 74,92ao, a12 = —8,99ao, a66 = 167, 79ao, a1 = 3,0ao, a2 = 3,0ao, k11 = 144,00ko, k22 = 144,00ko.
— стеклопластик косоугольной намотки с наполнителем из алюмобороси-ликатного стекла и связующим агентом из малеиновой эпоксидной смолы [3] модифицированный (материал М2):
a11 = 272,17ao, a22 = 1019,37ao, a12 = —76,15ao, a66 = 2548,42ao, a1 = 0, 7ao, a2 = 3,8ao, k11 =2, 79ko, k22 = 1,21ko.
Здесь ao = 10"6 МПа"1, ao = 10"5 К"1, ko = 10"2 Вт • (м • К)"1.
При проведении численных расчетов количество членов в рядах Лорана в функциях (9), (10) и количество точек Mim на контурах Li, для которых составлялись системы линейных алгебраических уравнений (14) и (15), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (относительная погрешность не становилась менее сотых долей процента). Для этого, как показали расчеты, в решаемых задачах для случая материала М1, являющегося изотропным, необходимо было в рядах Лорана сохранять от 50 до 80 членов, на каждом из контуров брать от 500 до 1000 «коллокационных» точек, а для случая материала М2, обладающего сильной анизотропией, необходимо было в рядах сохранять от 500 до 150 членов, на каждом из контуров брать от 500 до 1500 «коллокационных» точек.
В таблице 1 для пластинки из материала Ml с двумя круговыми отверстиями радиуса a (a1 = b1 = a2 = b2 = a)
(рис. 2), удаленными друг от друга на расстояние с, через _____
контуры которых имеет место конвективный теплообмен c коэффициентами h1 = H (1 + cos 6) и h2 = H (1 — cos 6) .
с внешними средами температур T и T2 соответственно (симметричный теплообмен), с точностью до %1 — T2, как множителя, приведены значения напряжений us/ao в некоторых точках контура левого отверстия с центральным углом 6 на площадках, перпендикулярных контуру, в зависимости от значений Ha и c/a.
В таблице 2 для этой же пластинки приведены аналогичные значения напряжений us/ao для случая, когда через контуры отверстий имеет место конвективный теплообмен c коэффициентами h1 = H (1 — cos 6) и h2 = H (1 + cos 6).
Таблица 1. Значения напряжений оа/а0 в точках контура левого отверстия
Знач. На в, рад. Значения с/а
0,1 0,5 1 2 10 100
10"^ 0 -0,001 -0,002 -0,003 -0,004 -0,006 -0,009
К/6 0,000 -0,001 -0,002 -0,002 -0,005 -0,008
к/3 0,000 0,000 0,000 -0,001 -0,003 -0,006
к/2 0,000 0,000 0,000 -0,001 -0,002 -0,005
2к/3 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001 -0,002 -0,005
Ък/6 -0,001 -0,001 -0,001 -0,002 -0,003 -0,006
К -0,001 -0,001 -0,002 -0,002 -0,003 -0,006
ю-1 0 -0,009 -0,020 -0,026 -0,033 -0,050 -0,068
К/6 -0,001 -0,007 -0,014 -0,023 -0,042 -0,061
к/3 0,000 -0,001 -0,004 -0,009 -0,026 -0,047
к/2 -0,002 -0,002 -0,003 -0,006 -0,017 -0,037
2к/3 -0,006 -0,007 -0,008 -0,010 -0,019 -0,038
Ък/6 -0,010 -0,011 -0,013 -0,015 -0,026 -0,044
К -0,011 -0,013 -0,015 -0,018 -0,029 -0,048
10и 0 -0, 074 -0,137 -0,163 -0,181 -0,197 -0,199
К/6 -0,005 -0,052 -0,090 -0,125 -0,165 -0,179
к/3 -0,001 -0,010 -0,025 -0,050 -0,104 -0,140
к/2 -0,014 -0,017 -0,022 -0,032 -0,070 -0,113
2к/3 -0, 042 -0,046 -0,050 -0,057 -0,081 -0,117
5к/6 -0,069 -0,075 -0,081 -0,090 -0,112 -0,139
к -0,080 -0,087 -0,094 -0,103 -0,128 -0,151
ю1 0 -0,282 -0,350 -0,343 -0,325 -0,277 -0,242
к/6 -0,019 -0,132 -0,190 -0,223 -0,232 -0,220
к/3 -0,002 -0,024 -0,053 -0,089 -0,148 -0,174
к/2 -0,036 -0,042 -0,051 -0,065 -0,109 -0,147
2к/3 -0,112 -0,116 -0,119 -0,123 -0,138 -0,161
Ък/6 -0,183 -0,188 -0,191 -0,194 -0,195 -0,196
к -0,211 -0,217 -0,221 -0,224 -0,222 -0,214
1С 0 -0,447 -0,415 -0,384 -0,350 -0,285 -0,245
к/6 -0,029 -0,157 -0,212 -0,240 -0,239 -0,222
к/3 -0,003 -0,029 -0,060 -0,097 -0,154 -0,178
к/2 -0, 047 -0,053 -0,062 -0,077 -0,119 -0,155
2к/3 -0,144 -0,146 -0,148 -0,151 -0,160 -0,174
5к/6 -0,235 -0,238 -0,239 -0,238 -0,227 -0,215
к -0,271 -0,275 -0,276 -0,275 -0,259 -0,235
10л 0 -0,479 -0,423 -0,388 -0,351 -0,285 -0,244
к/6 -0,032 -0,160 -0,214 -0,241 -0,239 -0,222
к/3 -0,003 -0,030 -0,060 -0,097 -0,154 -0,178
к/2 -0,050 -0,056 -0,065 -0,080 -0,122 -0,156
2к/3 -0,152 -0,154 -0,156 -0,158 -0,165 -0,178
Ък/6 -0,249 -0,251 -0,251 -0,249 -0,236 -0,220
к -0,287 -0,290 -0,290 -0,288 -0,269 -0,241
10° 0 -0,660 -0,468 -0,431 -0,402 -0,647 -1,294
к/6 -0,079 -0,187 -0,245 -0,281 -0,561 -1,201
■к/3 -0,017 -0,042 -0,077 -0,123 -0,405 -1,019
к/2 -0, 074 -0,070 -0,082 -0,104 -0,346 -0,930
2к/3 -0,196 -0,177 -0,182 -0,191 -0,429 -1,022
Ък/6 -0,307 -0,281 -0,285 -0,293 -0,561 -1,201
к -0,351 -0,323 -0,327 -0,336 -0,623 -1,290
Таблица 2. Значения напряжений оа/а0 в точках контура левого отверстия
Знач. На о, рад. Значения с/а
0,1 0,5 1 2 10 100
0 0,000 -0,001 -0,001 -0,002 -0,003 -0,006
7Г/6 0,000 0,000 -0,001 -0,001 -0,003 -0,006
■к/3 0,000 0,000 0,000 -0,001 -0,002 -0,005
■к/2 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001 -0,002 -0,005
2тг/3 -0,002 -0,002 -0,003 -0,003 -0,004 -0,006
Ък/6 -0,004 -0,004 -0,004 -0,004 -0,006 -0,008
К -0,004 -0,005 -0,005 -0,005 -0,006 -0,009
кг1 0 -0,004 -0,008 -0,011 -0,015 -0,028 -0,048
К/6 0,000 -0,003 -0,006 -0,010 -0,024 -0,044
к/3 0,000 -0,001 -0,002 -0,005 -0,017 -0,037
к/2 -0,007 -0,007 -0,008 -0,010 -0,018 -0,037
2к/3 -0,021 -0,021 -0,022 -0,024 -0,031 -0,048
Ък/6 -0,034 -0,035 -0,036 -0,038 -0,046 -0,061
к -0,039 -0,040 -0,042 -0,044 -0,052 -0,068
10и 0 -0,022 -0,047 -0,063 -0,082 -0,122 -0,150
к/6 -0,001 -0,018 -0,034 -0,055 -0,102 -0,138
к/3, -0,001 -0,004 -0,011 -0,024 -0,070 -0,116
к/2 -0,030 -0,032 -0,036 -0,042 -0,072 -0,113
2к/3 -0,092 -0,095 -0,098 -0,102 -0,116 -0,140
Ък/6 -0,151 -0,154 -0,158 -0,162 -0,171 -0,180
к -0,174 -0,178 -0,182 -0,187 -0,195 -0,198
ю1 0 -0,076 -0,144 -0,176 -0,202 -0,220 -0,214
к/6 -0,005 -0,054 -0,096 -0,137 -0,184 -0,195
к/3, -0,001 -0,011 -0,028 -0,057 -0,122 -0,159
к/2 -0,047 -0,051 -0,057 -0,068 -0,108 -0,147
2к/3 -0,144 -0,147 -0,150 -0,152 -0,161 -0,175
Ък/6 -0,235 -0,239 -0,241 -0,242 -0,234 -0,220
к -0,272 -0,276 -0,278 -0,279 -0,266 -0,242
102 0 -0,167 -0,269 -0,293 -0,297 -0,266 -0,236
к/6 -0,011 -0,101 -0,161 -0,203 -0,223 -0,215
к/3 -0,002 -0,019 -0,046 -0,083 -0,145 -0,173
к/2 -0,050 -0,055 -0,063 -0,077 -0,119 -0,155
2к/3 -0,153 -0,156 -0,158 -0,160 -0,167 -0,179
Ък/6 -0,251 -0,254 -0,255 -0,253 -0,239 -0,222
к -0,290 -0,293 -0,294 -0,293 -0,273 -0,244
Ю-3 0 -0,284 -0,363 -0,358 -0,336 -0,280 -0,242
к/6 -0,019 -0,137 -0,197 -0,230 -0,235 -0,220
■к/3 -0,002 -0,026 -0,056 -0,093 -0,152 -0,177
к/2 -0,050 -0,056 -0,065 -0,080 -0,122 -0,156
2к/3 -0,155 -0,157 -0,159 -0,160 -0,167 -0,179
Ък/6 -0,253 -0,255 -0,255 -0,253 -0,239 -0,222
к -0,292 -0,295 -0,295 -0,293 -0,272 -0,243
10ь 0 -7,474 0,958 8,645 -1,498 -0,104 -0,319
к/6 -1,897 0,697 6,335 -1,150 -0,077 -0,292
к/3 -0,534 0,347 3,475 -0,672 -0,029 -0,238
к/2 -0,976 0,353 3,381 -0,609 -0,011 -0,212
2-к/З -1,774 0,467 4,742 -0,862 -0,036 -0,239
Ък/6 -2,388 0,557 6,077 -1,152 -0,078 -0,292
■к -2,614 0,589 6,603 -1,273 -0,097 -0,318
В таблицах 3 и 4 приведены аналогичные значения напряжений и3/ао, соответствующие вышеуказанным случаям, для пластинки из материала М2.
Таблица 3. Значения напряжений оа/а0 в точках контура левого отверстия
Знач. На о, рад. Значения с/а
0,1 0,5 1 2 10 100
0 -0, 004 -0,007 -0,009 -0,010 -0,012 -0,013
7Г/6 0,000 -0,003 -0,005 -0,007 -0,009 -0,010
7г/3 0,000 0,000 -0,001 -0,003 -0,006 -0,008
тг/2 0,000 0,000 -0,001 -0,002 -0,006 -0,011
2тг/3 -0,003 -0,003 -0,003 -0,003 -0,005 -0,007
57Г/6 -0, 004 -0,004 -0,004 -0,005 -0,006 -0,007
7Г -0, 004 -0,005 -0,005 -0,006 -0,007 -0,009
кг1 0 -0,018 -0,024 -0,024 -0,023 -0,019 -0,016
7г/6 -0,001 -0,009 -0,013 -0,015 -0,014 -0,013
7Г/3 0,001 -0,001 -0,003 -0,006 -0,010 -0,011
тг/2 0,000 -0,001 -0,002 -0,004 -0,010 -0,015
2тг/3 -0,008 -0,009 -0,009 -0,009 -0,009 -0,010
57Г/6 -0,011 -0,011 -0,012 -0,012 -0,011 -0,011
7Г -0,014 -0,014 -0,014 -0,014 -0,014 -0,013
10и 0 -0,035 -0,032 -0,029 -0,025 -0,019 -0,016
71"/6 -0,002 -0,012 -0,015 -0,016 -0,015 -0,013
7Г/3 0,001 -0,001 -0,004 -0,007 -0,010 -0,011
тг/2 -0,001 -0,002 -0,004 -0,006 -0,011 -0,016
2тг/3 -0,011 -0,011 -0,011 -0,011 -0,011 -0,011
57Г/6 -0,015 -0,015 -0,015 -0,015 -0,014 -0,012
7Г -0,019 -0,019 -0,019 -0,019 -0,017 -0,015
ю1 0 -0, 040 -0,033 -0,029 -0,025 -0,019 -0,016
71"/6 -0,002 -0,012 -0,015 -0,016 -0,015 -0,013
7Г/3 0,001 -0,002 -0,004 -0,007 -0,010 -0,011
тг/2 -0,002 -0,003 -0,004 -0,006 -0,012 -0,016
2тг/3 -0,012 -0,012 -0,012 -0,012 -0,011 -0,011
57Г/6 -0,016 -0,016 -0,016 -0,016 -0,014 -0,013
7Г -0,020 -0,020 -0,020 -0,020 -0,018 -0,016
1(У 0 -0,041 -0,033 -0,029 -0,025 -0,019 -0,016
7г/6 -0,003 -0,012 -0,015 -0,016 -0,015 -0,013
7Г/3 0,001 -0,002 -0,004 -0,007 -0,010 -0,011
тг/2 -0,002 -0,003 -0,004 -0,006 -0,012 -0,016
2тг/3 -0,012 -0,012 -0,012 -0,012 -0,011 -0,011
57Г/6 -0,017 -0,017 -0,016 -0,016 -0,014 -0,013
7Г -0,021 -0,021 -0,021 -0,020 -0,018 -0,016
Ю-3 0 -0,041 -0,033 -0,029 -0,025 -0,019 -0,016
71"/6 -0,003 -0,012 -0,015 -0,016 -0,015 -0,013
7Г/3 0,001 -0,002 -0,004 -0,007 -0,010 -0,011
тг/2 -0,002 -0,003 -0,004 -0,006 -0,012 -0,016
2тг/3 -0,012 -0,012 -0,012 -0,012 -0,011 -0,011
57Г/6 -0,017 -0,017 -0,016 -0,016 -0,015 -0,013
7Г -0,021 -0,021 -0,021 -0,020 -0,018 -0,016
10ь 0 -0,135 -0,132 -0,024 0,029 -0,064 -8,696
7г/6 -0,027 -0,071 -0,011 0,023 -0,047 -6,509
7Г/3 -0,001 -0,018 -0,003 0,008 -0,024 -3,874
тг/2 0,016 0,031 -0,006 -0,025 -0,004 -1,831
2тг/3 -0,024 -0,033 -0,011 0,003 -0,026 -3,894
57Г/6 -0, 043 -0,068 -0,013 0,021 -0,046 -6,504
7Г -0,057 -0,093 -0,016 0,031 -0,062 -8,675
Таблица 4. Значения напряжений оа/а0 в точках контура левого отверстия
Знач. На о, рад. Значения с/а
0,1 0,5 1 2 10 100
0 -0,001 -0,002 -0,003 -0,004 -0,006 -0,009
К/6 0,000 -0,001 -0,001 -0,002 -0,005 -0,007
к/3 0,000 0,000 0,000 -0,001 -0,004 -0,006
к/2 -0,002 -0,002 -0,003 -0,003 -0,006 -0,011
2к/3 -0,006 -0,006 -0,007 -0,007 -0,007 -0,008
Ък/6 -0,009 -0,009 -0,009 -0,009 -0,010 -0,010
к -0,011 -0,012 -0,012 -0,012 -0,012 -0,013
кг1 0 -0,004 -0,008 -0,009 -0,011 -0,013 -0,013
к/6 0,000 -0,003 -0,005 -0,008 -0,010 -0,011
к/3, 0,000 0,000 -0,001 -0,003 -0,008 -0,010
к/2 -0,002 -0,003 -0,003 -0,005 -0,010 -0,015
2к/3 -0,011 -0,011 -0,011 -0,011 -0,011 -0,011
Ък/6 -0,015 -0,015 -0,015 -0,015 -0,014 -0,013
к -0,019 -0,019 -0,019 -0,019 -0,018 -0,016
10и 0 -0,010 -0,017 -0,019 -0,019 -0,017 -0,015
к/6 -0,001 -0,006 -0,010 -0,013 -0,014 -0,012
к/3, 0,001 0,000 -0,002 -0,005 -0,009 -0,011
к/2 -0,002 -0,003 -0,004 -0,006 -0,011 -0,016
2к/3 -0,012 -0,012 -0,012 -0,012 -0,011 -0,011
Ък/6 -0,016 -0,017 -0,016 -0,016 -0,015 -0,013
к -0,021 -0,021 -0,021 -0,020 -0,019 -0,016
ю1 0 -0,020 -0,025 -0,025 -0,023 -0,019 -0,016
к/6 -0,001 -0,009 -0,013 -0,015 -0,014 -0,013
к/3 0,001 -0,001 -0,003 -0,006 -0,010 -0,011
к/2 -0,002 -0,003 -0,004 -0,006 -0,012 -0,016
2к/3 -0,012 -0,012 -0,012 -0,012 -0,011 -0,011
Ък/6 -0,017 -0,017 -0,016 -0,016 -0,015 -0,013
к -0,021 -0,021 -0,021 -0,020 -0,018 -0,016
102 0 -0,030 -0,030 -0,028 -0,025 -0,019 -0,016
к/6 -0,002 -0,011 -0,015 -0,016 -0,015 -0,013
к/3 0,001 -0,001 -0,004 -0,007 -0,010 -0,011
к/2 -0,002 -0,003 -0,004 -0,006 -0,012 -0,016
2к/3 -0,012 -0,012 -0,012 -0,012 -0,011 -0,011
Ък/6 -0,017 -0,017 -0,016 -0,016 -0,015 -0,013
к -0,021 -0,021 -0,021 -0,020 -0,018 -0,016
Ю-3 0 -0,038 -0,033 -0,029 -0,025 -0,019 -0,016
к/6 -0,002 -0,012 -0,015 -0,016 -0,015 -0,013
к/3 0,001 -0,001 -0,004 -0,007 -0,010 -0,011
к/2 -0,002 -0,003 -0,004 -0,006 -0,012 -0,016
2к/3 -0,012 -0,012 -0,012 -0,012 -0,011 -0,011
Ък/6 -0,017 -0,017 -0,016 -0,016 -0,015 -0,013
к -0,021 -0,021 -0,021 -0,020 -0,018 -0,016
10ь 0 -1,182 0,063 0,220 -0,578 -0,185 -0,004
к/6 -0,301 0,046 0,158 -0,415 -0,133 -0,004
к/3 -0,026 0,014 0,054 -0,156 -0,062 -0,006
к/2 0,220 -0,035 -0,096 0,185 0,017 -0,014
2к/3 -0,152 0,008 0,049 -0,162 -0,066 -0,006
Ък/6 -0,333 0,034 0,138 -0,388 -0,132 -0,004
к -0,452 0,049 0,194 -0,537 -0,180 -0,004
Выводы. Из полученных данных следует, что коэффициент теплообмена существенно влияет на значения напряжений в окрестности контуров отверстий.
Для рассмотренных распределений коэффициента теплообмена на контурах отверстий имеются зоны с относительно плохим теплообменом (практически теплоизолированные) при любых значениях параметра Ha.
При значениях Ha < 0, 01 контуры отверстий можно считать практически теплоизолированными, концентрация напряжений в пластинке очень мала. При возрастании значения Ha значительное влияние на распределение напряжений играет расстояние между контурами. Если в области перемычки на контурах поддерживается активный теплообмен, то концентрация напряжений около отверстий незначительно возрастает с уменьшением расстояния между контурами. При ухудшении теплообмена в области перемычки значения напряжений около контуров отверстий резко возрастают с уменьшением расстояния между контурами, причем наибольший рост имеет место в области перемычки.
В отличие от случая действия линейного потока тепла [10], в случае действия разности температур более высокая концентрация напряжений наблюдается в пластинке из материала М1, обладающего более высокими коэффициентами теплопроводности (лучшей теплопроводностью) и меньшими значениями коэффициентов деформации (большей жесткостью).
Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государственного задания (№ госрегистрации 124012400354-0).
1. Мотовиловец И.А. Термоупругость / И.А. Мотовиловец, В.И. Козлов. - К.: Наук. думка, 1987. - 264 с. (Механика связных полей в элементах конструкций: В 5 т., Т. 1).
2. Подстригач Я. С. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно // К.: Наук. думка, 1972. - 308 с.
3. Космодамианский А. С. Температурные напряжения в многосвязных пластинках / А.С. Космодамианский, С.А. Калоеров // К.-Донецк: Вища шк. 1983. - 160 с.
4. Калоеров С.А. Термонапряженное состояние анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Ю.С. Антонов // Прикладная механика. - 2005. - Т. 41, № 9. - С. 127-136.
5. Калоеров С.А. Термоупругое состояние анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами при действии линейного потока тепла и температуры на контурах / С.А. Калоеров, Ю.С. Антонов // Теорет. и прикладная механика. - 2005. - Вып. 40. - С. 102-116.
6. Гарматт Г.Ю. Термопружний стан безмежного термочутливого тша з цилшдричною порожниною за умови конвективного теплообмшу / Г.Ю. Гарматш, В.С. Попович // Мат. методи i ф1з.-мех. поля. - 2009. - Вип. 52, № 3. - С. 192-200.
7. Parihar K.S. Transient heat conduction and analysis of thermal stresses in thin circular plate / K.S. Parihar, S.S. Patil // J. Therm. Stress. - 2011. - Vol. 34, № 4. - P. 335-351.
8. Gaikwad K.R. Analysis of transient thermoelastic temperature distribution of a thin circular plate and its thermal deflection under uniform heat generation / K.R. Gaikwad, Y.U. Naner // J. Therm. Stress. - 2021. - Vol. 44, № 1. - P. 75-85.
9. Nguyen T.D. Frequency dependence of the magnitude of thermal stresses in a flat plate subjected to rapid thermal cycling by convective heating and cooling / T.D. Nguyen, J.R. Thomas Jr., D.P.H. Hasselman // J. Therm. Stress. - 1987. - Vol. 10, № 3. - P. 163-175.
10. Глушанков Е.С. Термонапряженное состояние бесконечной анизотропной пластинки в условиях неравномерного конвективного теплообмена с внешней средой под действием линейного потока тепла / Е.С. Глушанков // Журн. теорет. и прикладной механики. -2023. - Вып. 2 (83). - С. 39-47. - doi:10.24412/0136-4545-2023-2-39-47. - EDN:FLTAHT.
11. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.
E.S. Glushankov
The thermoelastic state of the infinite multiply connected anisotropic plate in conditions of non-uniform convective heat transfer under temperature difference action.
A solution is presented for the problem of temperature difference acting in the infinite multiply connected anisotropic plate, when a non-uniform convective heat transfer with external environment occurs on its contours. The solution was obtained with using the conformal mappings, the complex potentials and the least squares. The effect of plates's geometric characteristics, the properties of its material, and the heat transfer characteristics on the thermoelastic state of the plate was brought out with the numerical studies.
Keywords: multiply connected anisotropic plate, convective heat transfer, thermal stresses, complex potentials.
Статья поступила в редакцию 04.06.2024; доработана 08.08.2024; рекомендована к печати 23.08.2024.
