CC BY
4ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№2 (75) / 2021.
УДК 539.3
©2021. Е.С. Глушанков
ТЕРМОЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ МНОГОСВЯЗНОЙ ПЬЕЗОПЛАСТИНКИ В УСЛОВИЯХ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ДЕЙСТВИИ ЛИНЕЙНОГО ПОТОКА ТЕПЛА
В данной работе приведено решение задачи о действии линейного потока тепла в бесконечной многосвязной пластинке из пьезоматериала, когда на ее контурах имеет место конвективный теплообмен с внешней средой. Решение было получено с применением конформных отображений, комплексных потенциалов и метода наименьших квадратов. С помощью численных исследований выявлено и изучено влияние геометрических характеристик пластинки, свойств ее материала, а также коэффициента теплообмена на термоэлектромагнитоупругое состояние пластинки.
Ключевые слова: линейный поток тепла, многосвязная пластинка, конвективный теплообмен, температурные напряжения, комплексные потенциалы.
Введение. Широкое применение в современной науке и технике находят конструкции, где в качестве элементов используются тонкие пластинки из пьезо-материалов [1]. Эти пластинки могут иметь концентраторы напряжений типа отверстий или трещин. При эксплуатации пластинки могут подвергаться действию температурных полей, что может приводить к возникновению высоких концентраций напряжений [2, 3]. К настоящему времени решено большое количество задач о влиянии температурных воздействий на напряженно-деформированное и термоэлектромагнитоупругое состояние пластинок [4-7].
В данной работе приведено решение задачи термоэлектромагнитоупругости о действии линейного потока тепла в пластинке из пьезоматериала, когда на контурах пластинки имеет место конвективный теплообмен с внешней средой. Для случая бесконечной пластинки с одним эллиптическим отверстием дано точное аналитическое решение задачи. Для общего случая многосвязности задача решена с использованием метода наименьших квадратов. Проведены численные исследования термоэлектромагнитоупругого состояния (ТЭМУС) пластинки с одним или двумя эллиптическими отверстиями. Показано влияние геометрических характеристик пластинки, свойств ее материала и коэффицента теплообмена на распределение напряжений в пластинке.
1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную многосвязную пластинку из пьезоматериала, занимающую область 5, ограниченную контурами эллиптических отверстий Ь[ (I = 1, С) с центрами в точках 0|(жоьУсц)> полуосями щ, Ъг, углами поворота щ (рис. 1). Контуры Ьг могут располагаться произвольно относительно друг друга, в том числе, касаться, пересекаться, переходить в прямолинейные разрезы. Через контуры пластинки имеет место конвективный теплообмен с коэффициентом Н с внешней средой температуры Т. Контуры не
подкреплены либо жестко подкреплены. На бесконечности под углом а к оси Ох действует линейный тепловой поток плотности д, а напряжения и индукции электромагнитного поля равны нулю.
Несвязанную задачу термоэлектромагнитоупруго-сти для пьезопластинки будем решать с использова- у, нием комплексных потенциалов. Задача сводится к последовательному определению сперва комплексного потенциала теплопроводности Е5(г5), а затем комплексных потенциалов термоэлектромагнитоупруго-стн Фк{хк) (к = 1, 4) из соответствующих граничных условий. После этого значения основных характеристик ТЭМУС (температура Т, плотности теплового потока дх, ду, напряжения ах, иу, тху, индукции Ох, Ву, Вх, Ву и напряженности Ех, Еу, Нх, Ну электромагнитного поля, перемещения и, V, потенциалы электромагнитного поля ф, ф) в любой точке пластинки определяются по формулам [6, 7]
Т = Т * + 2И,е ^5(25); (1)
Рис. 1
(Qx,Qy) = (q*x ,q*) + 2Re íkt (V5,-1)F5 (Z5);
(2) (3)
(ox^ Oy, Txy) = 2Re ^(Vk, 1, -Vk Wk(zk); k=l
5
(Dx, Dy, Bx, By) = 2R^(^kVk, -Vk, PkVk, -pk)Фк(zk); (4
к=1
5
(Ex, Ey, Hx, Hy) = (EX, EX, HX, HX) - 2Re Vkr°k, hk, Vkhk)$k(zk); (5
k=l
5
(u, v, <p, ф) = (ux, vx, px, фх) +2Re ^2(pk, Qk, r0, hk)Фk(zk)■ (6
k=l
Здесь
Tx = q(txx + ty y), k22 cos a - kl2 sin a kll sin a - kl2 cos a
ix 9 1 iy o 1
К
T
К
T
XT = \Jkuk22 - Щ_2] qXX = -q cos a, qX = -q sin a; V5 — корень характеристического уравнения задачи теплопроводности [6, 7]
k22 V2 + 2kl2 V + kll = 0; (7)
5
/Лк (к = 1, 4) — корни характеристического уравнения задачи термоэлектромаг-нитоупругости [6, 7]
Ш = 0; (8)
А(Ц) = кз {р)[12в {р)кх (Ц) - 12и (Ц)] - 13д (Ц)[кд {р)кхЫ - 1зр(^)12и (Ц)\-
-кР(ц)[кР(ц)12ГЗ (ц) - кд (^ки (Ц)], кз^) = ЭПЦ4 + 2в1б1Л3 + (2в12 + 8бб)Ц2 + 2826^ + 822, кд (Ц) = 9ПЦ3 - (921 + 91б)Ц2 + (912 + 926 + 922, 1зр(ц) = РиЦ3 - (Р21 + Р\б)ц2 + (Р12 + Р2б)ц + Р22, 12в (Ц) = -виЦ2 + - в22,
ки (Ц) = -^ИЦ2 + 2^12Ц - V22, кх(Р) = -ХиЦ2 + 2Х12Ц - Х22;
к к/з(Р>к)кх(Р'к) Щ^(Р'к) 5 Гь
Рк
кд(Рк)к^(Рк) - кр(р>к)121з(р>к) ,, _ гг—г, _ Гш
[К — 1,4;, р5 —
кр (Цк )12х (Цк) - Ц» (Цк)
Г5
к(ць) А(/Х5)
! 'X
А(/х5);
к(Цъ) =
12а(Ц2) кд (Ц2) кр(Ц2) кг (Ц5) к/3 (Ц5) ки (Ц5) кт(Ц5) ки (Ц5) кх (Ц5)
х
1х (Ц5) =
Г 2
_ к(Ц-5)
~ АЫ'
кз(Ц5) ка(Ц5) кр (Ц5)
кд (Ц5) 1и(Ц5) ки (Ц5)
кр(Ц5) кт (Ц5) 12х(Ц5)
кв(Ц5) кд (Ц5) 12а (Ц2) к (Ц5) = кд (Ц5) к/3 (Ц5) кг(Ц-5) кр(Ц5) ки (Ц5) 1\т(Ц5)
ка(^5) = -а\Ц25 + абЦ5 - а2,
1и(Цъ) = ¿1^2 - ¿2,
кт(Ц-2) = т1 Ц2 - Ш2]
Рк = 8ПЦ2к - 81бЦк + 812 - (911Цк - 912^к - (Р11Цк - Р12)Рк +
5|о1
Г5
Як = «12Цк - «26 + — - (921^к - 922)щ - (Р211^к - Р22)Рк +
Цк Г2Ц2
52 ¿1
Гк = 911/4; - 91&Ик + 912 - (/5цЦк - /З12И - (»иЦк - »12)рк + к
Г 2
2
Н°к = Р11/Ь2к - Р1бЦк + Р12 - - Vl2)Vk - (Х11 Цк - Х12)рк +
5кт1.
Г2
(ЕХ, Е*у, Н£, Н*) = (¿1,£2,тът2)т*;
* а^х 2 (a2tx - а^Ьу)д 2 ,
и = ----—у + а^уху,
* а2дЬу 2 (а1 Ьу — а6Ьх)д 2 ,
V = —^у*--у—-аГ + а2д^ху,
Ь1дЬх 2 Ь2дЬу 2 , ,
V =--—Ж--2 ~
Ш^Ьх 2 т20_Ьу 2 ,
Ф =--—х---—у - ггцд^ху,
Фб(^Б) = Г5 У Е5(г5) ^5;
й- — коэффициенты теплопроводности материала пластинки; в- — коэффициенты деформации материала, измеренные при постоянных индукциях электрического и магнитного полей и температуре; д— и р— — пьезоэлектрические и пьезомагнитные коэффициенты деформаций и напряженностей, измеренные при постоянных напряжениях, индукциях и температуре; в-, и— и х— — коэффициенты диэлектрической, электромагнитной и магнитной проницаемости, измеренные при постоянных напряжениях и температуре; аг — коэффициенты теплового расширения, измеренные при постоянной индукции электромагнитного поля; Ьг и Шг — пироэлектрические и пиромагнитные модули, измеренные при постоянных напряжениях; 5- — символ Кронекера.
Комплексные потенциалы ^5(2:5), Фк{%к) (к = 1,4) определены в многосвязных областях 55, Б к, получаемых из области 5 аффинными преобразованиями [6,7]
¿5 = X + Ц5У, (9)
¿к = х + ^ у. (10)
Эти функции в общем случае многосвязности имеют вид [6, 7]
С С <х
^5(^5) = С5 + ^ ^(25) + ^ ^сбыРБЫ^Б); (11)
1=1 1=1 П=1
С оо
Фк (гк) = N (ги) + ^ ^ аып<Ркы(гк). (12)
1=1 п=1
Здесь С5 — вещественная постоянная, определяемая из условий на контурах пластинки; О51 = -д[/4пкт; д\ — суммарный тепловой поток через контур Ь[ в область Б; ,Ш51 (г5) = 1п (г5 — г51); г51 — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (9) произвольным точкам внутри контуров Ь\; С5\п — комплексные
постоянные, определяемые из условий на контурах пластинки; ^>5^(25) = С-™] ^ы — комплексные переменные, определяемые из конформных отображений;
с
Nk(zk) = rkzk + ^ (AkiZk + Bki) ln(zfc - zki);
i=i
Гк, Aki, Bki — постоянные, определяемые из систем уравнений 5
^(1, ц-, lk, Qk - IkPk, Vk, HkVk, pk, lkPk)rk = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); (13) k=i
5
X¡(1, lk, Pk, Qk, Vk, Pk, k h0)iAki = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); (14)
k=i 5
^2(1, lk, Pk, Qk, Vk, Pk, r0, hkk)iBki = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); (15)
k=i
Г5 = Г5C5; A5i = r5Ü5i; B5i = Г5(&5i - D5iZ5i); &5i — вычет функции F5Z) в точке z5i; Wki = ln (zk — Zki); Zki — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (10) произвольным точкам внутри контуров Li; фkin(zk) = С-™'; Zki — комплексные переменные, определяемые из конформных отображений.
В локальных системах координат Oixiyi параметрические уравнения эллипсов (рис. 1) имеют вид [6, 7]
xi = ai cos в, yi = bi sin в,
а в основной системе Oxy координат —
x = Xki + xi cos ^i — yi sin ^i, y = yki + xi sin ^i + yi cos ^i-
Здесь в (0 < в < 2п) — параметр уравнения эллипса, заданного в параметрической форме.
Комплексные переменные Z5i, Zki определяются из конформных отображений внешностей единичных кругов |Z5i | > 1, I Zki I > 1 на внешности эллипсов L5i, L-i, получаемых из Li аффинными преобразованиями (9), (10) [6, 7]:
Zk = Zki + Rki (zki + ^T^J , (16)
где
Rki =
zki = xki + lk yki,
Щ (cos tpi + Hk sin Lpi) + ibi (sill Lpi - jj,k COS щ) 2
ai (cos ^i + ik sin ф) — ibi (sin ф — ц- cos ф)
2 Rkl
Функция ) должна удовлетворять граничному условию [6, 7]
2Ие (Н^Ы + Ыт65Лъ)Р5Ы) = дП - Н (Т* - Т),
где
дП = д*х соз(пх) + д*у соз(пу);
(т5) = йть/йв, в — дуга контура отверстия.
Функции Фк(хк) (к = 1,4) должны удовлетворять граничным условиям задачи термоэлектромагнитоупругости, которые удобнее использовать в дифференциальной форме [6, 7]:
йш, йш) 5к,3(ткШтк) = , (18)
к=1 \ в в в в /
где 5к,з(тк) = Лтк/(-1в; для неподкрепленных контуров ^
(Лк11, (1к12, Лк13, (1,к14) = (1, Цк, Vк, Рк) )
¡¡2, ¡13, /¡4) = (Сц, С12, С13, С14) , а для жестко подкрепленных контуров
(dk¡1, dk¡2, dk¡3, Лки) = (Рк, дк, ^'к, Рк) ,
(/¡1, ¡¡2, ¡¡3, ¡¡4) = (-UX, -VX, Сз С14) .
2. Решение задачи для бесконечной пластинки с эллиптическим отверстием. Рассмотрим отнесённую к декартовой системе координат бесконечную пластинку с эллиптическим отверстием, контур которого обозначим через Ь1, его полуоси — а1, Ь1, угол поворота — ф1 (рис. 2). Центр эллипса совпадает с центром координат. На бесконечности действует линейный поток тепла плотности д под углом а к оси Ох. Через контур имеет место конвективный теплообмен с внешней средой температуры Т с коэффициентом теплообмена Н1 . На бесконечности отсутствуют силовые и электромагнитные воздействия. Контур отверстия неподкреплен или жестко подкреплен, электромагнитные воздействия на нем отсутствуют.
Задача теплопроводности. Функция (11) в этом случае принимает вид
Рис. 2
Р5(г5) = С5 +
С51п
(19)
Подставляя функцию (19) в граничное условие (17) и применяя метод рядов, получим, что С51п = 0 (п = 2, 3, ...), а для С5 и С511 получаются следующие выражения:
С5 = Т/2,
С511 =
i sin(a — p1) — h1(tx cos p1 + ty sinp1)) +
2(hi + kt )
+ ib1 (i cos(a — p1) + h1 (ty cos p1 — tx sin p1)) Таким образом, комплексный потенциал теплопроводности (19) имеет вид
F5(z5) = C5 + ^. (20)
Ц51
Функция F5(Z5) становится известной, и тогда можно в любой точке пластинки находить температуру и плотности потока тепла по формулам (1), (2). Задача термоэлектромагнитоупругости. Для функции $5(z5) получим
/а
F5(z5)dz5 = Г525 + Б51 In С51 + -j^r,
где Г5 = r5c5, B51 = r5c511 R51, a512 = r5c511 R51m51/2. На этом основании для комплексных потенциалов термоэлектромагнитоупругости Фк(гк) (к = 1, 4) получим
Ф/сЫ = Ткгк + Вк1Ы(к1 + ^. (21)
Zk1
Постоянные Гк, Bk1 определяются из решений систем (13), (15). Подставляя функции (21) в граничные условия (18) и применяя метод рядов, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных ак12:
4
^2(dk11, dk12, dk13, dk14) ak12 = (E1,E2,E3,E4) , k=1
где Ер = — (1ыр(1ы2 — £p(p = 1, 4); в случае неподкрепленного контура отверстия
в1 = £-2 = ез = &4 = 0, а в случае жестко подкрепленного контура отверстия
q
е1 = о ((«1а1 + ®2bX){tx COS Lpi + tysmpi)~ o
— (a6b1 — 2a1a1b1i)(ty cos p1 — tx sinp1)) ,
q
e2 = - ((aebj + 2a>2aibii)(tx cost^i + í^sin^i)-
o
— (aa + a2bf)(ty cos P1 — tx sin P1)) ,
q
e3 = - {ti(a\ + 2aibii)(txcospi + tysmp1)~
o
—t2b1(ty cos p1 — tx sin p1)) ,
Q <m
—m2b2(ty cos p1 — tx sin p1)) .
64 = — (mi(af + 2a\bii)(tx cos p\ + ty sin^i) — o1
q
После решения этой системы уравнений становятся известными постоянные aki2, а следовательно, и функции (zk), и тогда можно в любой точке пластинки находить значения основных характеристик ТЭМУС по формулам (3)—(6).
3. Решение задачи для бесконечной многосвязной пластинки. В общем случае многосвязной области (рис. 1) неизвестные постоянные С5, D51, C5in, akin, входящие в функции (11) и (12), определяются из граничных условий (17) и (18) с использованием метода наименьших квадратов. Для этого на контурах Li (i = I, С) выберем систему точек Mim(xim,yim) (m = 1 , Mi), в которых следует удовлетворять граничным условиям задач теплопроводности и термо-электромагнитоупругости.
Задача теплопроводности. При подстановке функции (11) в граничное условие (17), для определения неизвестных постоянных C5, D51, C5in получается система линейных алгебраических уравнений [8]
2RehiC5 + 2Re ^ (hiW5i(r5im) + гкт55,s(T5im)w'5i(T5im)) D51+ 1=1
L ж
+ 2 Re (hiу5in(T5im) + гкт55,s(T5im)^'5in(T5im)) С5П
(22)
i=1 n=1
= q*n(nm) ~ h (Т*(тгт) - 1) (г = 1, С, m = 1, Мг),
где тыт = хт + ц^Ут, Пт = тт(хт, ут). После решения этой системы с использованием метода сингулярных разложений [9] постоянные С5, Вы, С^п, а следовательно, и комплексный потенциал теплопроводности (11) будут известны. По известной функции (11) можно в любой точке пластинки найти температуру и плотности потока тепла с использованием формул (1), (2) [6, 7].
Задача термоэлектромагнитоупругости. При подстановке функций (11) и (12) в граничные условия (18) для определения неизвестных постоянных акы получается следующая система линейных алгебраических уравнений [8]:
4 С оо
2Re ^2 ^2 ^ dkip5k ,s(Tkim)ykin(Tkim)akin
k=1 i=1 n=1
— 2Re^ dkip5k ,s(Tkim)Nk (Tkim) (23)
k=1
dfi
- 2Red5iP55iS(T5im)r5F5(T5im) + -^-(пт)
(i = l,£,m = I, Mi, p = 1,4),
где Tkim = Xim + fikVim. После решения этой системы с использованием метода сингулярных разложений [9] постоянные akin, а следовательно, комплексные потенциалы термоэлектромагнитоупругости (12) будут известны. По известным функциям (12) можно в любой точке пластинки найти значения основных характеристик ТЭМУС с использованием формул (3)-(6) [6, 7].
4. Численные исследования. При проведении численных расчетов количество членов в рядах Лорана в функциях (11), (12) и количество точек Мт на контурах Ь, для которых составлялись системы линейных алгебраических уравнений (22) и (23), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (относительная погрешность не становилась менее сотых долей процента). Для этого, как показали исследования, в решаемых задачах, в зависимости от геометрических и упругих характеристик пластинок необходимо было в указанных рядах оставлять от 30 до 40 членов, на каждом из контуров брать от 200 до 400 «кол-локационных точек».
Были проведены численные исследования для пластинки из таких материалов [6]: 1) композит БаТгОз — СоГе2О4 (материал М1); 2) композит на основе СйБе и БаТгО3 (материал М2); 3) композит на основе Р2Т — 4 и СоГе2О4 (материал М3). Физические постоянные этих материалов приведены в таблице 1.
Таблица 1. Постоянные материала
Величина Значение Величина Значение
М1 М2 МЗ М1 М2 МЗ
sil/so 7,165 22,260 10, 745 #22/А) 0,137 10,612 0,090
S22/SO 6,797 14,984 7,398 VII/щ -0,190 213,404 -14,931
вбб/so 19,912 47,481 7,637 V 22/Щ -0,185 -5,534 -3,740
S12/SO -2,337 -6,437 -2,542 Хп/Хо 0,336 0,590 0,805
516/до 2,028 109,220 2,054 Х22/ХО 0,119 0,575 0,704
921/до -0,496 -4,333 -1,159 0.\! «0 8,530 -3,031 -1,578
522/до 1,157 8,016 2,458 а2/ао 1,990 -0,608 -0,326
pie/po 1,850 268,318 98, 843 t2/to 133,000 -40,853 2,405
Р21 /Р0 0,576 17,778 12,102 ГП2/т0 133,000 0,394 0,207
Р22/Р0 1,186 31,206 22,268 кп/ко 2,500 9,000 1,200
Pií/Po 0,156 19,612 0,106 к22/ко 2,500 9,000 1,500
При этом приняты обозначения: во = 10 6 МПа р0 = 10"5 МТл"1, в0 = 103 МН • м2 • МКл"2 Хо = 10"1 МПа • МТл"1, ао = 10"6 К"1, 10"3 МА • (м • К)"1, к0 = 1 Вт • (м • К)"1
-1, g0 = 10-2 МКл-1 • м2, v0 = Ю-1 МКл-1 • м • МА, t0 = Ю-3 МН • (МКл • К)-1,
то
ц + +
©
ц + + + +
б)
В таблице 2 представлены результаты расчетов для пластинки с одним круговым отверстием радиуса а (а1 = Ь1 = а) (рис. 3, а), через неподкрепленный контур которого имеет место конвективный теплообмен с коэффициентом Н (Н1 = Н) с внешней средой температуры Т = 0. В пластинке действует линейный поток тепла плотности д под углом а = п/2 рад.. Приведены значения напряжений и3 в точках контура отверстия на площадках, перпендикулярных контуру, в зависимости от значения На.
В таблице 3 для пластинки из материала М1 с двумя круговыми отверстиями радиуса а (а1 = Ь1 = а2 = Ь2 = а), расстояние между которыми равно С
Рис. 3
(рис. 3, б), когда через их неподкрепленные контуры имеет место конвективный теплообмен с коэффициентом Ь (Н\ = Ь2 = Ь) с внешней средой температуры Т = 0, приведены значения напряжений и3 в точках контура левого отверстия, в зависимости от значения На.
Выводы. Из полученных данных следует, что коэффициент теплообмена Ь оказывает очень существенное влияние на значения напряжений в окрестности контуров отверстий. При На < 0, 01 контур отверстия можно считать теплоизолированным, а при На > 100 можно полагать, что на контуре задана температура, равная температуре внешней среды.
При сближении отверстий значения напряжений в зоне между отверстиями
Таблица 2. Значения напряжений ав в точках контура отверстия
Тип задачи 0, рад. Значения /га
0 | 0,01 | 0,1 | 0,5 | 1 | 2 | 10 | 100 | ос
Материал М1
ТЭМУ тг/12 0,188 0,187 0,174 0,125 0,081 0,021 -0,113 -0,179 -0,188
Тг/6 0,357 0,354 0,329 0,238 0,153 0,040 -0,214 -0,339 -0,357
тг/4 0,448 0,445 0,414 0,299 0,192 0,050 -0,269 -0,427 -0,448
Тг/3 0,330 0,328 0,305 0,220 0,142 0,037 -0,198 -0,314 -0,330
5тг/12 -0,120 -0,119 -0,110 -0,080 -0,051 -0,013 0,072 0,114 0,120
тг/2 -0,476 -0,472 -0,440 -0,317 -0,204 -0,053 0,286 0,453 0,476
ТУ ■к/12 -0,036 -0,036 -0,034 -0,024 -0,016 -0, 004 0,022 0,035 0,036
Тг/6 -0,102 -0,101 -0,094 -0,068 -0,044 -0,011 0,061 0,097 0,102
тг/4 -0,204 -0,202 -0,188 -0,136 -0,087 -0,023 0,122 0,194 0,204
Тг/3 -0,327 -0,324 -0,302 -0,218 -0,140 -0,036 0,196 0,311 0,327
Ъи/12 -0,433 -0,430 -0,400 -0,289 -0,186 -0, 048 0,260 0,412 0,433
тг/2 -0,476 -0,472 -0,440 -0,317 -0,204 -0,053 0,286 0,453 0,476
Материал М2
ТЭМУ ТГ/12 0,005 0,005 0,005 0,004 0,004 0,003 0,000 -0,004 -0,005
Тг/6 0,009 0,009 0,009 0,008 0,007 0,006 0,000 -0,007 -0,009
тг/4 0,011 0,011 0,011 0,010 0,009 0,007 -0,001 -0,009 -0,011
Тг/3 0,013 0,013 0,013 0,011 0,010 0,008 -0,001 -0,011 -0,013
Ъи/12 0,014 0,014 0,014 0,013 0,011 0,009 -0,001 -0,012 -0,014
тг/2 0,015 0,015 0,015 0,013 0,012 0,009 -0,001 -0,012 -0,015
ТУ тг/12 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 -0,001 -0,001
7г/6 0,004 0,004 0,004 0,004 0,003 0,003 0,000 -0,003 -0,004
тг/4 0,008 0,008 0,008 0,007 0,006 0,005 0,000 -0,007 -0,008
7Г/3 0,012 0,012 0,011 0,010 0,009 0,007 -0,001 -0,010 -0,012
Ъи/12 0,014 0,014 0,014 0,013 0,011 0,009 -0,001 -0,012 -0,014
тг/2 0,015 0,015 0,015 0,013 0,012 0,009 -0,001 -0,012 -0,015
Материал МЗ
ТЭМУ тг/12 0,033 0,032 0,029 0,016 0,006 -0, 004 -0,022 -0,029 -0,029
тг/6 0,081 0,080 0,070 0,039 0,015 -0,011 -0,054 -0,070 -0,073
тг/4 0,123 0,121 0,107 0,060 0,023 -0,016 -0,082 -0,107 -0,110
тг/3 0,129 0,127 0,112 0,063 0,025 -0,017 -0,087 -0,112 -0,116
5тг/12 0,113 0,111 0,098 0,055 0,022 -0,015 -0,076 -0,098 -0,101
тг/2 0,101 0,100 0,088 0,049 0,019 -0,014 -0,068 -0,088 -0,091
ТУ тг/12 0,015 0,015 0,013 0,008 0,003 -0,002 -0,010 -0,013 -0,014
тг/6 0,051 0,050 0,044 0,025 0,010 -0,007 -0,034 -0,044 -0,046
тг/4 0,101 0,099 0,087 0,049 0,019 -0,013 -0,067 -0,087 -0,090
тг/3 0,116 0,114 0,100 0,056 0,022 -0,015 -0,077 -0,100 -0,103
5тг/12 0,109 0,107 0,094 0,053 0,021 -0,015 -0,073 -0,095 -0,097
тг/2 0,105 0,103 0,091 0,051 0,020 -0,014 -0,070 -0,091 -0,094
интенсивно уменьшаются, а вне этой зоны — возрастают. Особенно выраженно это проявляется при На < 0, 01 или На > 100. При этом, концентрация напряжений в случае На < 0,01 оказывается выше, чем в случае На > 100. А если расстояние между отверстиями С/а > 10, то влияние одного отверстия на ТЭМУС около другого отверстия становится незначительным и им можно пренебречь.
Наибольшая концентрация напряжений наблюдается в пластинке из материала М1, обладающего среди приводимых материалов наибольшей жесткостью (наименьшими значениями коэффициентов деформации), а также наибольшими значениями коэффициентов теплового расширения, пироэлектрических и пиро-
Таблица 3. Значения напряжений ав в точках контура левого отверстия
Тип задачи с/а 0, рад. Значения На
0 0,01 0,1 1 10 100 ос
ТЭМУ 0,1 ■к/12 0,035 0,034 0,030 0,009 -0,003 -0,001 0,000
тг/4 -0,046 -0, 045 -0,036 0,000 -0,035 -0, 074 -0,080
тг/2 -0,937 -0,926 -0,836 -0,324 0,354 0,533 0,557
Зтг/4 0,808 0,799 0,723 0,284 -0,322 -0,490 -0,512
11тг/12 0,295 0,292 0,265 0,106 -0,124 -0,191 -0,200
1 ■к /12 0,201 0,199 0,183 0,078 -0,087 -0,123 -0,127
тг/4 0,171 0,169 0,156 0,069 -0,090 -0,142 -0,149
тг/2 -0,713 -0,706 -0,651 -0,284 0,354 0,544 0,569
Зтг/4 0,619 0,613 0,566 0,248 -0,314 -0,484 -0,507
11тг/12 0,234 0,232 0,214 0,094 -0,121 -0,188 -0,197
10 ■к/12 0,209 0,208 0,193 0,089 -0,124 -0,196 -0,206
тг/4 0,428 0,425 0,395 0,183 -0,254 -0,402 -0,422
тг/2 -0,506 -0,502 -0,466 -0,216 0,300 0,475 0,499
Зтг/4 0,467 0,464 0,431 0,199 -0,277 -0,439 -0,461
11тг/12 0,185 0,184 0,171 0,079 -0,110 -0,174 -0,183
ос тг/12 0,188 0,187 0,174 0,081 -0,113 -0,179 -0,188
тг/4 0,448 0,445 0,414 0,192 -0,269 -0,427 -0,448
тг/2 -0,476 -0,472 -0,440 -0,204 0,286 0,453 0,476
Зтг/4 0,448 0,445 0,414 0,192 -0,269 -0,427 -0,448
11тг/12 0,188 0,187 0,174 0,081 -0,113 -0,179 -0,188
ТУ 0,1 тг/12 0,012 0,011 0,010 0,003 -0,001 0,000 0,000
тг/4 -0,047 -0, 047 -0,041 -0,013 0,006 0,004 0,004
тг/2 -0,859 -0, 849 -0,767 -0,298 0,327 0,492 0,514
Зтг/4 -0,500 -0,494 -0,446 -0,173 0,189 0,284 0,297
11тг/12 -0,143 -0,142 -0,128 -0,048 0,050 0,074 0,077
1 тг/12 0,089 0,088 0,081 0,035 -0,041 -0,060 -0,062
тг/4 -0,054 -0,053 -0,049 -0,021 0,025 0,037 0,039
тг/2 -0,661 -0,655 -0,604 -0,264 0,329 0,505 0,528
Зтг/4 -0,388 -0, 384 -0,354 -0,155 0,193 0,295 0,309
11тг/12 -0,108 -0,107 -0,098 -0,043 0,052 0,079 0,082
10 тг/12 0,002 0,002 0,002 0,001 -0,001 -0,002 -0,002
тг/4 -0,141 -0,140 -0,130 -0,060 0,084 0,132 0,139
тг/2 -0,494 -0,490 -0,455 -0,211 0,293 0,463 0,487
Зтг/4 -0,263 -0,261 -0,243 -0,112 0,156 0,247 0,259
11тг/12 -0,064 -0,064 -0,059 -0,027 0,038 0,060 0,063
ос тг/12 -0,036 -0,036 -0,034 -0,016 0,022 0,035 0,036
тг/4 -0,204 -0,204 -0,188 -0,087 0,122 0,194 0,204
тг/2 -0,476 -0,472 -0,440 -0,204 0,286 0,453 0,476
Зтг/4 -0,204 -0,202 -0,188 -0,087 0,122 0,194 0,204
11тг/12 -0,036 -0,036 -0,034 -0,016 0,022 0,035 0,036
магнитных модулей.
Пренебрежение электромагнитными свойствами материала пластинки приводит к значительному искажению значений напряжений, поэтому при расчетах следует учитывать эти свойства. Особенно сильное искажение наблюдается для пластинки из материала М1, имеющего наибольшие пироэлектрические и пиро-магнитные модули.
1. Желудев И.С. Физика кристаллических диэлектриков / И.С. Желудев. - М.: Наука, 1968. - 463 с.
2. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред / Ж. Можен. - М.: Мир, 1991. -560 с.
3. Партон В.З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел /
B.З. Партон, Б.А. Кудрявцев. - М.: Наука, 1988. - 472 с.
4. Подстригач Я. С. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно // К.: Наук. думка, 1972. - 308 с.
5. Космодамианский А. С. Температурные напряжения в многосвязных пластинках / А.С. Космодамианский, С.А. Калоеров // К.-Донецк: Вища шк. 1983. - 160 с.
6. Калоеров С.А. Плоская задача термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред /
C.А. Калоеров, О.А. Сорочан // Прикладная механика. - 2009. - Т. 45, № 4. - С. 81-91.
7. Калоеров С.А., Глушанков Е.С. Действие линейного потока тепла в пьезопластинках с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2018. - № 1. - С. 15-26.
8. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в многосвязной пьезопластинке, находящейся в условиях конвективного теплообмена / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Донецкие чтения 2018: образование, наука, инновации, культура и вызовы современности: Матер. III междунар. науч. конф., Донецк, 25 октября 2018 г. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2018. -Т. 1. - C. 293-295.
9. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.
E.S. Glushankov
The thermo-electro-magneto-elastic state of the infinite multiply connected piezoelectric plate in conditions of the convective heat transfer under linear heat flow action.
A solution is given for the problem of linear heat flux acting in the infinite multiply connected plate, when a convective heat transfer occurs on its contours. The solution was built with using the conformal mappings, the complex potentials and the least squares. The effect of plates's geometric characteristics, the properties of its material and the heat transfer coefficient on thermo-electro-vagneto-elastic state of the plate was brought out and investigated with the numerical studies.
Keywords: linear heat flux, multiply connected plate, convective heat transfer, thermal stresses, complex potentials.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 27.08.2021
Donetsk National University, Donetsk
