ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МНОГОСВЯЗНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№1 (74) / 2021.

УДК 539.3

©2021. С.А. Калоеров, Е.В. Авдюшина, О.Э. Ермаков

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МНОГОСВЯЗНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

С использованием комплексных потенциалов плоской задачи теории упругости анизотропного тела и обобщенного метода наименьших квадратов дано решение задачи теории упругости для анизотропной полуплоскости с произвольными отверстиями и трещинами. На основе конформных отображений, разложений голоморфных функций в ряды Лорана и использования метода интегралов типа Коши получены общие представления комплексных потенциалов, а затем из граничных условий на контурах отверстий и трещин обобщенным методом наименьших квадратов задача сведена к решению переопределенной системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов рядов Лорана. Для полуплоскости с одним отверстием или трещиной описаны результаты численных исследований с установлением закономерностей влияния на напряженное состояние полуплоскости геометрических характеристик отверстия и трещины, а также физико-механических свойств материала полуплоскости.

Ключевые слова: полуплоскость, отверстия и трещины, комплексные потенциалы, интегралы типа Коши, обобщенный метод наименьших квадратов.

Введение. В различных областях современной науки и техники широкое распространение в качестве элементов конструкций получили тонкие пластинки из композиционных материалов с отверстиями и трещинами, вблизи которых в процессе эксплуатации конструкций могут возникать высокие концентрации напряжений, приводящие к их разрушению. Особенно большие напряжения возникают в случаях, когда отверстия и трещины находятся вблизи внешнего прямолинейного края пластинки, которую можно рассматривать как полуплоскость с отверстиями. Поэтому актуальны вопросы разработки эффективных методов определения напряженного состояния полуплоскости с отверстиями и трещинами.

Для изотропной полуплоскости этот вопрос рассматривался многими авторами. При этом для полуплоскости с внутренними отверстиями использовались методы комплексных потенциалов [1-3] и сингулярных интегральных уравнений [4]. Для решения задач в случае полуплоскости с внутренними трещинами широкое распространение получили методы сингулярных интегральных уравнений [5, 6]. Если же полуплоскость имеет краевые трещины, то использовались методы конформных отображений [7, 8].

В случае многосвязной анизотропной полуплоскости широкое применение для решения задач получили комплексные потенциалы С.Г. Лехницкого [9]. В работах [10, 11] из граничных условий на незагруженной прямолинейной границе методами интегралов типа Коши были получены общие представления комплексных потенциалов, точно удовлетворяющие граничным условиям на этой

границе, а затем для определения неизвестных коэффициентов рядов Лорана из граничных условий на контурах отверстий методом рядов получены квазирегулярные системы линейных алгебраических уравнений. Но использование метода рядов не позволял получать результаты достаточной степени точности при весьма близких расстояниях между прямолинейной границей и контурами отверстий, между контурами отверстий, а для случаев, когда в полуплоскости имеются трещины или отверстия или трещины выходят на прямолинейную границу или пересекаются между собой, решение задач удовлетворением граничным условиям на контурах отверстий методом рядов невозможно. Для решения задач в этих случаях в работах [12, 13] предложен и использован дискретный метод наименьших квадратов, когда составлялся функционал невязок граничных значений комбинаций комплексных потенциалов и известных значений правых частей граничных условий и находился минимум этого функционала. Это приводило к системам линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложений комплексных потенциалов в ряды Лорана. Такой подход позволял рассматривать случаи любых конфигураций и расположений контуров отверстий в пластинке и полуплоскости и давал возможность решать задачи для многосвязной полуплоскости с отверстиями и трещинами при любом их расположении, в том числе выходящими на прямолинейную границу отверстиями и трещинами [14]. В работе [15] при решении задач по определению напряженного состояния анизотропной пластинки впервые был применен обобщенный метод наименьших квадратом (ОМНК), что приводит рассматриваемые задачи к переопределенным системам линейных алгебраических уравнений, решаемых методами сингулярных разложений. Использование ОМНК для решения задачи о напряженном состоянии полуплоскости [9] значительно упрощает организацию вычислительных работ с сохранением преимуществ дискретного метода наименьших квадратов и улучшением точности получаемых результатов.

В данной статье с использованием метода интегралов типа Коши и ОМНК построены решения задач для растяжения многосвязной полуплоскости. Методом интегралов типа Коши получены общие представления комплексных потенциалов с неизвестными коэффициентами разложений функций в ряды Лорана, для нахождения которых с использованием ОМНК получена переопределенная система линейных алгебраических уравнений. Для полуплоскости с одним отверстием или трещиной описаны результаты численных исследований.

1. Постановка и решение задачи. Рассмотрим анизотропную пластинку, занимающую многосвязную нижнюю полуплоскости с прямолинейной границей Ь+ и контурами отверстий (I = 1, С). Контуры отверстий могут быть произвольной конфигурации, но их можно аппроксимировать дугами эллипсов и берегами прямолинейных разрезов. Поэтому будем считать контуры отверстий эллиптическими или, как частный случай, когда одна из полуосей равна нулю, прямолинейными разрезами. Исходя из этого, под областью 5 будем понимать полуплоскость, ограниченную прямолинейной границей Ь+ и контурами

эллиптических отверстий L/ с полуосями a¡, bi (I = 1, С) (рис. 1). Выберем

Рис. 1.

прямоугольную систему координат Oxy с началом в произвольной точке полуплоскости, на расстоянии h+ от границы и осью Ox, параллельной прямолинейной границе, и локальные системы координат O¡x¡y¡ с началами в центрах соответствующих эллипсов и направлениями осей Ox¡ вдоль полуосей a¡. Тогда параметрические уравнения эллипсов L¡ в локальных системах координат O¡x¡y¡ имеют вид

xi = ai cos 6, yi = bi sin 6, (1)

а в основной системе координат Oxy будут такими:

(2)

x = xo i + xi cos Vi - yi sin yi, y = yo i + xi sin yi + yi cos yi,

где 6 - угловая переменная параметрического задания эллипса, изменяющийся от 0 до 2п; x0 i, y0 i - координаты начала локальной системы координат Oi xi yi в основной системе координат Oxy; y i - угол между направлениями осей Ox и Oixi, отсчитываемый от оси Ox против часовой стрелки.

Будем считать, что прямолинейная граница L+ не загружена, контуры отверстий Li загружены распределенными усилиями, главный вектор которых равен нулю на каждом из них. На бесконечности полуплоскость находится под действием растягивающих усилий a^ = p, а напряжения т^ и угол поворота равны нулю.

Определение напряженного состояния рассматриваемой полуплоскости при использовании комплексных потенциалов сводится к нахождению функций Фк(zk) обобщенных комплексных переменных [16]

Zk = x + ¡Iky, (3)

где fik - корни характеристического уравнения

ац^4 - 2ai6^3 + (2ai2 + aee)^2 - 2a2eH + a22 = 0, (4)

aij - коэффициенты деформаций, из граничных условий на контурах Li

2 lie ¿//../,,Ф/,(//,) = fait) (г = 1, 2),

к=1

(5)

в которых

9lki = 1, 92kl = —Ц-к,

s s

Mt) = -J Ylnds + , U(t) = j ХьЬ + с;

0 0 Xin, Yin - проекции на оси основной системы координат внешних усилий на контуре Li; вц - вещественные постоянные.

Функции Фк (zk) определены в нижних полуплоскостях Sk, получаемых из заданной полуплоскости S аффинными преобразованиями (3) и ограниченных контурами L++ и Lki, соответствующими контурам L+ и Li при этих преобразованиях. Исходя из общих представлений комплексных потенциалов для многосвязной области [13], эти функции после конформных отображений внешностей единичных кругов |(ki| > 1 на внешности контуров Lki запишем в виде

akin

Ф/сЫ = Г kzk + Фк0(гк) + (6)

l=1 n=1 Zki

в котором Г к - постоянные, определяемые из решения системы 2

2Reg(l,^,/4 ¿)rfc=(o, 0,,, Ц,); (7)

Фко(гк) - функции, голоморфные в многосвязных нижних полуплоскостях Sk, получаемых из заданной области S аффинными преобразованиями (3); akin -неизвестные коэффициенты рядов; Zki - переменные, определяемые из конформных отображений [13]

Zk = Zki + RkliCki + -7^) (8)

Ш

внешности единичных кругов |Zki| > 1 на внешности эллипсов Lki областей Sk;

Zki = Xoi + ¡k yol,

ai (cos pi + ¡ik sin yi) + i bi (sin y i - ¡k cos y i) Rki =-2-' (9)

ai (cos y i + ¡ik sin y i) - i bi (sin y i - ¡k cos yi) ты =-^-•

Исходя из (5), граничные условия на

L+ запишем так:

Фк (tk) + Гк Фк (tk) + Sk+A+i(ík+i) = 0, (10)

где _ _

Vk-^k+i _ ^k+i—^k+i

Гк =-, Sfc+i =-, (И)

¡k — ¡k+1 ¡k — ¡к+1

к = 1,2 — индекс, причем значение индекса к+1 при к = 2 формально полагается равным 1.

Для точек прямолинейной границы Ь+ имеем х = Ь, у = Н+, г = х + гу = Ь + гН+, ^^ = Ьк = ж + ^ у = £ + ^ Л+, й = х + Щу = £ + = £ + + (щ - Цк) Н+ = гк + (рк- ц.к)Ь+, tk+1 =х + Щ^[у = £ +71^ГТЛ+ = ¿ + + (7%+Г - = 4 + (ТЩ^Т —

Последние два соотношения запишем в виде

= tk + ~ 0'= 0,1). (12)

Подставив функции (6) в граничные условия (10) на прямолинейной границе Ь+, получим равенства

Фдю(4) + гкФко (4 + (~р>к - + ¿аГ+А+^о (4 + (~Рк+! - =

" (13)

Е [фfcг(tfc) + пь) + «к+^+^к^ . 1=1

При этом учтены равенства гкТк + заилГ^! = — Г&, которые легко доказать, подставив в эти равенства значения г и 5к+1 и сгруппировав величины в соответствии с равенствами (7).

Для граничных значений сопряженных величин имеем

Фк+зО^к+з) = Фй+^О {рк + (Цк+з — /¿к) ,

фк+]1^к+з) = Фк+я ^к + {^к+з - =

(14)

оо

/. \ __&к+]1п

) = Е

При этом переменные С++7 получаются на основе перехода в конформных отображениях (8) к сопряженным величинам и замены граничных значений по формулам (12). На этой основе из равенств (8), переходя в них к сопряженным величинам, для граничных значений переменных найдем [16]

Хк+з =*к + (Ц-к+з ~ = гк+з,1 + Кк+л ( + Ц = 0, 1). (15

^к+зг )

Заменяя в этих соотношениях граничные значения Ьк переменными гк областей Б к, получаем зависимости

^ = "(7Ч+з ~ + гк+з,1 + Як+л + ТТ^ = °> (16)

V ^к+зг )

п

в которых переменная Г для лучшего восприятия заменена на (+, что подчеркивает ее связь с формулируемыми условиями на границе Ь+.

Можно показать, что равенства (16) представляет из себя конформные отображения внешности единичных кругов — 1 на внешности эллипсов L++jг

верхней (относительно Ь+) полуплоскости Б+ переменной . Например, в случае ортотропной полуплоскости, когда комплексные параметры являются чисто мнимыми = г вк), эллипсы симметричны эллипсам Ь^+^г полуплоско-

стей Бк, где заданы исходные комплексные потенциалы Фк(гк). Поэтому функции Ф++jг(zk) являются функциями, голоморфными вне эллипсов верхних полуплоскостей Б+, а, следовательно, голоморфными и в нижних полуплоскостях Б к.

На основе вышесказанного заключаем, что функции Фко(^к), Ф+г(^к), Ф++1г (^к) являются граничными значениями соответствующих функций (14), голоморфных в нижних полуплоскостях Бк. Поэтому при умножении обеих частей равенств (13) на ядро Коши и вычислении интегралов типа Коши от этих граничных значений, получаем значения этих функций в нижних полуплоскостях Бк, с противоположным знаком. В то же время функции Фко^к + (~Рк ~ I1к Фк+1,о($к + Фк+1 ~ Фн^к) являются граничными значениями функций,

голоморфных в верхних полуплоскостях Б+, а в нижних полуплоскостях Б к, ввиду наличия особенностей, интегралы типа Коши от них равны нулю. Учитывая указанное и применяя к граничным условиям (13) метод интегралов типа Коши, получаем

с

Фко(^к) = - ^ [ткФ+г^к) + «к+1Ф++1г(гк)] , г=1

с учетом чего из (6) найдем окончательные выражения для комплексных потенциалов

Фк (гк) = Гк гк+

С те

+ ^ ^ (<Ркгп(*к)акгп - Гк<Р+гп(гк)йкгп - Гк+1^++1гп(гк)Гк+ш г=1 п=1

(17)

в которых

Ч>Ып = 4>1+з1п = и+ Лп 0' = 0. !)• (18)

^кг (Zk+jг)

Функции (17) точно удовлетворяют граничным условиям на прямолинейной границе Ь+. Граничные же условия на контурах отверстий Ь[ (I = 1, С) будем использовать для определения неизвестных постоянных акгп (к = 1, 2; I = I, С, п = 1,2,...). Для многосвязных областей эти условия удобнее использовать в дифференциальной форме, в которой они не содержат постоянных

слагаемых ец, входящих в граничные условия. Следовательно, нужно найти производные комплексных потенциалов. Имеем

С те

Ф'к(гк) = гк + ^ Е [р'кы^к)аып

1=1 п=1

— Г к^+п(хк)ак1п — 8к+1^'к++11п(гк)ак+11

(19)

где

п

п

ЫС^Г-1 ((&,)' - Той) (20)

<р'к+цп(*к) = ----Га-V ^ =

ЫСЬ-ц)"-1 [{(^1) -Пы)

Граничным условиям (5) на контурах отверстий в дифференциальной форме будем удовлетворять обобщенным методом наименьших квадратов [17, 18]. Для этого выберем на каждом из контуров Ьр области 5 систему точек Мрт(хрт,урт) ('р = 1, С, т = 1, Мр), в которых удовлетворим соответствующим граничным условиям, подставив в них функции (19). Тогда для определения неизвестных постоянных акы получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

2 С те

2 Е Е Е 9крг$к,8 ф'к1п($крт)ак1п — гк^¡+1п(^крт)ак1п — к=1 1=д п=1

_ ч ,, , 1 от? (21)

— 8к+1^Рк+11п\гкрт)ак+11п = —"3--* Ке к

8 к=1 (р = Т^С; т = 1, Мр] г = 172) .

После нахождения решений системы (21) методом сингулярных разложений [18, 19] постоянные акы, а, следовательно, и функции Ф 'к (гк), будут известными и по ним можно вычислять в любой точке пластинки основные напряжения

2

(ах, ау, гху) = 2Ие^ Ц, 1, —Цк) Ф'к(гк) (22)

к=1

и напряжения

ап = ах сов (пх) + ау сов (пу) + 2тху сов(пх) сов(пу), а3 = ах сов2(пу) + ау сов2(пх) — 2тху сов(пх) сов(пу), тпз = (ау — ах) сов(пх) сов(пу) + тху (сов2(пх) — сов2(пу))

на произвольных площадках с нормалью n и касательной s. При этом, если некоторый эллипс L¡ переходит в прямолинейный разрез-трещину, то для его концов можно вычислять и коэффициенты интенсивности напряжений (КИН), используя формулы [20]

2

k± = 2 Re Е / sin2 pi + cos2 pi + 2/k sin pi cos varphii] Mki,

k2=1 (24)

k± = 2ReJ] [(1 - /к) cos pi sinpi - цк (cos2 pi - sin2 pi)] Mkh k=1

где

1 <x

Mkl = ±— V (ilf-1 nakln, (25)

верхний знак соответствует правому концу трещины в локальной системе координат Oixiyi, нижний - левому концу.

2. Описание результатов численных исследований. Были проведены численные исследования распределения напряжений, а в случае трещин и значений КИН для их концов. При проведении расчетов количество членов в рядах (17) по n и количество точек Mp, выбираемых на каждом из контуров отверстий Lp при удовлетворении граничным условиям (21) увеличивались до тех пор, пока граничные условия на каждом из контуров не удовлетворялись с достаточной степенью точности (пока модуль абсолютной погрешности не превышал 10_2). Для такого удовлетворения граничным условиям, как показали численные исследования, достаточно было в указанных рядах оставлять от 10 до 50 членов и на каждом контуре выбирать от 50 до 300 точек. Расчеты проводились для полуплоскости из изотропного материала (материал M1) [21] и из композита с высоким показателем анизотропии на эпоксидном связующем, армированного однонаправленными графитовыми волокнами (материал M3) [22]. Технические постоянные этих материалов приведены в таблице 1. Некоторые из полученных

Таблица 1. Технические постоянные некоторых материалов

Материал E-i, -104 МПа е2, -Ю4 МПа Gia, -104 МПа ^12 ^21

Ml 7,10000 7,10005 2,84000 0,25000 0,25000

МЗ 18,88000 0,60000 0,27000 0,30000 0,00953

результатов описаны ниже в таблицах и на рисунках. Все величины приведены с точностью до интенсивности приложенных растягивающих усилий = р, как множителя.

В таблице 2 для растяжения полуплоскости с круговым отверстием Ь1 радиуса а1 (рис. 2) приведены значения нормальных напряжений в некоторых ее характерных точках в зависимости от отношения с/а1, где с - длина перемычки между контуром отверстия и границей полуплоскости. При этом в качестве

характерных были выбраны точки А(0, —с — 2а1), В(а1, —с — а1), С(0, —с), Б(0, —с/2), 0(0; ), М(0, 5а1; Ь+), N(а1; Л+), Я(1, 5а1; Ь+). Для некоторых значений отношения с/а1, в зависимости от центрального угла в, отсчитываемого от оси Ох против часовой стрелки, на рисунке 3 изображены графики распределения нормальных напряжений и3 вблизи контура отверстия на площадках, перпендикулярных контуру. Здесь и далее сплошные линии относятся к материалу М1, штриховые - к материалу М3.

Таблица 2. Значения напряжений в точках полуплоскости с круговым отверстием в зависимости от с/а1

Материал Точки Напряжения с/ах

2 1 0.5 0.1 0.01

А <Ух 3.111 3.212 3.339 3.623 3.808

В <Ту -1,127 -1,203 -1,203 -0,837 -0,370

С <Ух 3,259 3,722 4,629 9,213 18,648

о <Ух 1,243 1,569 2,101 4,512 17,098

М1 о <Ту 0,187 0,216 0,193 0,103 -0,018

о <Ух 0,811 0,647 0,489 0,246 15,623

м <Ух 0,888 0,984 1,499 4,523 3,733

N <Ух 1,057 1,483 2,191 2,584 1,243

К <Ух 1,205 1,629 1,895 1,329 0,517

А <Ух 10,176 10,411 10,759 11,773 12,717

В <Ту -0,196 -0,214 -0,232 -0,225 -0,129

С <Ух 10,313 10,932 12,296 20,788 46,113

о <Ух 1,211 1,507 2,076 5,488 31,667

МЗ о <Ту 0,035 0,048 0,055 0,067 -0,024

о <Ух 0,843 0,689 0,503 -0,206 24,185

м <Ух 0,887 0,875 1,100 5,217 9,629

N <Ух 0,988 1,217 1,885 5,238 4,435

К <Ух 1,086 1,432 2,123 3,895 2,588

Из данных таблицы 2 и рисунка 3 следует, что с приближением отверстия к границе полуплоскости значений напряжений в точках перемычки и вблизи контуров значительно растут, как вблизи контура отверстия, так и вблизи прямолинейной границы, за исключением точки прямолинейной границы 0(0; Н+), вблизи которой напряжения сначала уменьшаются, но при дальнейшем уменьшении отношения с/а1 снова возрастают. Этот рост напряжений особенно значителен для анизотропной полуплоскости, когда значения напряжений в окрестности точек перемычки С и D в несколько десятков раз больше, чем в пластинке без учета прямолинейной границы.

Рис. 3.

О

МХЕ

Исследованиями установлено, что в случае полуплоскости с эллиптическим отверстием при уменьшении значения отношения полуосей Ъ\/а\ вблизи концов большой оси эллипса наблюдается рост значений напряжений. Если малая ось близка к нулю (отверстие переходит в прямолинейный разрез), то эти напряжения велики и в этих случаях нужно вычислять КИН, характеризующие уровень напряжений в окрестности концов трещины. При этом в остальных точках полуплоскости значения напряжений изменяется незначительно. Это следует из данных таблицы 3, где для случая полуплоскости с эллиптическим отверстием Ь\ с углом ^>1 = п/2 (рис. 4) и отношения расстояния между прямолинейной границей и контуром отверстия с/а1 = 0, 5 для различных отношений полуосей Ъ1 /а1 приведены значения нормальных напряжений в А(0; —с — 2а1), В(Ъх; —с — а\), С(0; —с), Б(0; —с/2), 0(0; 0), М(0, 5а1; 0), N(а1; 0), Е(1, 5а1; 0). Для некоторых отношений с/а1, в зависимости от центрального угла в, отсчитываемого от оси Ох против часовой стрелки, на рисунке 5 изображены графики распре-

Рис. 4.

деления нормальных напряжений а3 вблизи контура отверстия на площадках, перпендикулярных контуру. Как видно из таблицы 3 и рисунка 5, действительно, при уменьшении Ъ\/а\ в точках А и С значения напряжений ау резко рас-

Таблица 3. Значения напряжений в точках полуплоскости с эллиптическим отверстием в зависимости от Ь\/а\

Материал Точки Величина Ьг/аг

2 1 0.5 0.1 0.01

А <Ух 2,222 3,339 5,537 23,071 220,469

В <Ту -1,242 -1,203 -1,159 -1,107 -1,095

С <Ух 3,569 4,629 6,773 25,706 242,268

о <Ух -1,176 2,101 2,047 1,973 1,990

М1 о <Ту 0,159 0,193 0,439 0,526 0,465

о <Ух 0,612 0,489 0,501 0,845 0,983

м <Ух 0,966 1,499 1,920 1,990 1,965

N <Ух 1,651 2,191 2,026 1,760 1,701

К <Ух 2,089 1,895 1,553 1,343 1,305

А <Ух 5,973 10,759 20,323 96,857 958

В <Ту -0,258 -0,232 -0,216 -0,203 -0,200

С <Ух 7,386 12,296 22,354 104,228 1027,550

о <Ух 1,660 2,076 2,038 2,009 2,008

МЗ о <Ту -0,066 0,055 0,089 0,098 0,088

о <Ух 0,531 0,503 0,577 0,876 0,987

м <Ух 0,764 1,100 1,469 1,655 1,674

N <Ух 1,308 1,885 1,969 1,911 1,893

К <Ух 1,879 2,123 2,003 1,896 1,874

сг'р 6

5

4

3

2

1

О

-1

\ с/а|=0 >

V ¡\

• \ 0.5 1 V 1 1 •

! Ч 1 1 \ 1 * 1 4

1 1 1 ч \ч / /

1 1 1 //

\ \ Ч.__ ч ✓ / *

-л/2

-л/3

-л/6

л/6

л/3

в, рад

Рис. 5.

у А.

О

::

ММ К.

Б

тут, тогда, как в остальных точках контура отверстия они уменьшаются. Если Ъ1/а1 < 10_3, то отверстие можно считать трещиной и для его концов считать КИН.

Для растяжения полуплоскости с вертикальной трещиной длины 21 (рис. 6) в зависимости от соотношения с/1, где с - длина перемычки между трещиной и прямолинейной границей, в таблице 4 даны значения КИН для вершин трещины и напряжений в характерных точках, в качестве которых выбирались точки А(0; —с — 21), В(Ъ1; —с — I), С(0; —с), £(0; —с/2), 0(0; 0), М(0, 51; 0), N(1; 0), Я(1, 51; 0). Для полуплоскости из материала М1 на рисунке 7 изображены графики распределения напряжений ах около прямолинейной границы. Видно, что сближение трещины с прямолинейной границей приводит к росту напряжений вблизи перемычки и КИН для ближайшей к прямолинейной границе вершины трещины. При этом в остальных точках эти величины изменяются незначительно. Материал полуплоскости на значения величин влияет незначительно. Влияние трещины на напряженное состояние вблизи прямолинейной границы значительно только на отрезке, равном длине трещины. Вне этого отрезка вдоль границы напряжения такие же, как в сплошной полуплоскости.

■в

А

Рис. 6.

Таблица 4. Значения напряжений и КИН для концов трещины для растягиваемой полуплоскости с трещиной в зависимости от с/1

Материал Точки Величина с /1

1 0.5 0.25 0.1 0.05 0.01

А к- 1,054 1,097 1,146 1,211 1,254 1,330

В <Ту -1,059 -1,094 -1,104 -1,058 -0,994 -0,870

С к+ 1,091 1,204 1,388 1,759 2,155 3,640

о <Ух 1,475 1,992 2,923 5,334 8,853 31,551

М1 о сТу 0,245 0,456 0,811 1,713 3,028 11,495

о <Ух 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,008

м <Ух 1,279 1,962 2,613 2,619 2,365 1,801

N <Ух 1,453 1,694 1,597 1,308 1,113 0,798

К <Ух 1,358 1,301 1,108 0,873 0,737 0,531

А А-Г 1,036 1,066 1,104 1,156 1,192 1,258

В <Ту -0,190 -0,199 -0,209 -0,213 -0,208 -0,184

С к+ 1,061 1,143 1,289 1,609 1,966 3,328

о <Ух 1,470 2,008 3,002 5,607 9,416 34,504

МЗ о сТу 0,046 0,086 0,152 0,318 0,558 2,149

о <Ух 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,043

м <Ух 1,174 1,676 2,737 4,987 6,552 6,581

N <Ух 1,340 1,891 2,743 3,813 3,965 3,269

К <Ух 1,393 1,871 2,478 2,870 2,717 2,111

»

II !j c,'1=0,05 Il /

.7 ■ i

11 • \ • *

• i i i i i i i

* \ < i i i

i » i \ , \ 0.5

1 ----J__.

————— -"•"."."."ЛЛЛ

О 12 3

Рис. 7.

Выводы. Таким образом, c использованием комплексных потенциалов и обобщенного метода наименьших квадратов получено решение задачи о напряженном состоянии многосвязной анизотропной полуплоскости с отверстиями и трещинами. На основе обобщенного метода наименьших квадратов оно сведено к решению переопределенной системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов рядов Лорана. Для полуплоскости с одним отверстием или трещиной описаны результаты численных исследований с установлением механических закономерностей изменения напряженного состояния в зависимости от геометрических характеристик отверстия и трещины, а также физико-механических постоянных материала.

1. Шерман Д.И. Упругая весомая полуплоскость, ослабленная отверстием эллиптической формы, достаточно близко расположенным от ее границы / Д.И. Шерман // Проблемы механики сплошной среды. - М.: Изд-во АН СССР. - 1961. - С. 527-563.

2. Космодамианский А. С. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами / А.С. Космодамианский. - К.: Вища школа, 1975. - 227 с.

3. Калоеров С.А. Решение основных задач теории упругости для полуплоскости с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров // Теорет. и прикладная механика. - 1998. - Вып.28. -С. 157-171.

4. Саврук М.П. Напряжения около трещины в упругой полуплоскости / М.П. Саврук // Физ.-хим. механика материалов. - 1975. - Т. 11, № 5. - С. 59-64.

5. Панасюк В.В. О предельном равновесии полуплоскости с произвольно ориентированной трещиной, выходящей на ее границу / В.В. Панасюк, А.П. Дацышин // Физ.-хим. механика материалов. - 1971. - Т. 7, № 6. - С. 102-104.

6. Erdogan F.E. The numerical solutions of singular intégral équations / F.E. Erdogan, G.D. Gup-

ta, T.S. Cook // Methods of Analysis and Solutions of Crack Problems-Leyden: Noordoff Intern. Publ., 1973. - P. 368-425.

7. Hartranft R.J. Alternating method applied to edge and surface crack problems / R.J. Hartranft, G.C. Sih // Methods of analysis and solutions of crack prob-lems. Leyden: Noordhoff Inter. Publ. - 1973. - P. 179-238.

8. Irwin G.R. Fracture / G.R. Irwin // Handbuch der Physik. - Berlin: Springer, 1958. - Vol. 6.

- P. 551-590.

9. Калоеров С.А. Напряженное состояние анизотропной полуплоскости с конечным числом эллиптических отверстий / С.А. Калоеров // Прикладная механика. - 1966. - Т. 2, № 10.

- С. 75-82.

10. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. - М.: Наука, 1977. - 416 с.

11. Калоеров С.А. Напряженное состояние анизотропной полуплоскости с эллиптическим отверстием, близко расположенным от границы / С.А. Калоеров, А.С. Космодамианский // Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформации упругих тел. - 1967. - Вып. 3. - С. 51-66.

12. Калоеров С.А. Антиплоская деформация тел с трещиной и эллиптической полостью / С.А. Калоеров, Е.Ф. Косилова, В.А. Лапко. / Прикладная механика. - 1989. - Т. 25, № 7.

- С. 92-99.

13. Калоеров С.А. Двумерное напряженное состояние многосвязного анизотропного тела с полостями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Горянская // Теорет. и прикладная механика.

- 1995. - Вып. 25. - С. 45-56.

14. Калоеров С.А. Концентрация напряжений в анизотропной полуплоскости с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.В. Авдюшина // Теорет. и прикладная механика. - 1997.

- Вып. 27. - С. 63-72.

15. Калоеров С.А. Термоупругое состояние кусочно-однородной анизотропной пластинки / С.А. Калоеров, Д.А. Добряк // Вкн. Донец. ун-ту. Сер.А, Природ. науки. - 2006. - Вип. 2.

- С. 77-88.

16. Калоеров С.А. Общие решения задач для многосвязных анизотропных полуплоскости и полосы / С.А. Калоеров // Вестн. ДонНУ. Сер. А. Естеств. науки. - 2018. - № 2. - С. 22-35.

17. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.

18. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1969. - 280 с.

19. Drmac Z. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 1 / Z. Drmac, K. Veselic. // SIAM J. Matrix Anal. Appl. - 2008. - Vol. 29, № 4. - P. 1322-1362.

20. Калоеров С.А. Определение коэффициентов интенсивности напряжений, индукции и напряженности для многосвязных сред / С.А. Калоеров // Прикладная механика. - 2007. -Т. 43, № 6. - С. 56-62 .

21. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий / Г.Н. Савин. - К.: Наук. думка, 1968. - 888 с.

22. Васильев В.В. Композиционные материалы: Справочник / В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин и др. Под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. - М.: Машиностроение, 1990. - 512 с.

S.A. Kaloerov, E.V. Avdyushina, O.E. Ermakov

Study of the stress state of a multi-coupled anisotropic semi-plane by the generalized least squares method.

Using the complex potentials of the plane problem of the theory of elasticity of an anisotropic body and the generalized least squares method, the solution of the problem of the theory of elasticity

for an anisotropic half-plane with arbitrary holes and cracks is given. On the basis of conformal mappings, expansions of holomorphic functions in Laurent series, and the use of the Cauchy-type integral method, general representations of complex potentials are obtained, and then from the boundary conditions on the contours of holes and cracks by the generalized least squares method, the problem is reduced to solving an overdetermined system of linear algebraic equations with respect to the unknown coefficients of the Laurent series. For a half-plane with one hole or crack, the results of numerical studies are described with the establishment of patterns of influence on the stress state of the half-plane of the geometric characteristics of the hole and crack, as well as the physical and mechanical properties of the material of the half-plane.

Keywords: half-plane, holes and cracks, complex potentials, Cauchy-type integrals, generalized least squares method.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 08.04.2021

[email protected]