ПЕРИОДИЧЕСКАЯ И ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ ИЛИ ТРЕЩИНАМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№3-4 (60-61) / 2017.

УДК 539.3

©2017. С.А. Калоеров, Е.В. Авдюшина, А.И. Занько

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ И ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ ИЛИ ТРЕЩИНАМИ

С использованием обобщенных комплексных потенциалов теории упругости анизотропного тела решены периодическая и двоякопериодическая задачи теории упругости для пластинки с эллиптическими отверстиями или трещинами. Разложением голоморфных функций в ряды Лорана получены общие представления соответствующих функций для пластинки с конечным числом отверстий, затем удовлетворением условиям периодичности и двоякопери-одичности напряженно-деформированного состояния найдены общие представления искомых комплексных потенциалов, что позволило удовлетворять граничным условиям лишь на одном контуре. Эти условия удовлетворяются обобщенным методом наименьших квадратов, что дает возможность с высокой степенью точности удовлетворять граничным условиям даже для весьма близких расстояний между отверстиями и трещинами при их любой ориентации.

Ключевые слова: анизотропная пластинка, периодическая задача, двоякопериодическая задача, отверстия, трещины, концентрация напряжений.

Введение. Тонкие пластинки из композиционных материалов с отверстиями широко используются в качестве элементов конструкций современного авиа-, машино- и приборостроения. Под действием различных механических сил, около отверстий могут возникать высокие концентрации напряжений, которые необходимо учитывать при проектировании и эксплуатации таких конструкций. К настоящему времени разработаны различные методы определения напряженного состояния пластин из анизотропных материалов с отверстиями, решен ряд задач. Наиболее важные результаты в этом направлении получены с помощью обобщенных комплексных потенциалов, разработанных и впервые использованных для решения задач С. Г. Лехницким [1]. Для многосвязных областей широкое использование комплексных потенциалов связано с работами А. С. Кос-модамианского и его учеников [2]. При этом для решения задач в этих работах использовался метод рядов. Но использование этого метода не позволяет получать результаты достаточной степени точности при близких расстояниях между контурами отверстий, а для случаев пересекающихся контуров и когда контуры переходят в разрезы оно не возможно. Для решения задач в этих случаях в работах [3, 4] был использован дискретный метод наименьших квадратов, что позволило рассматривать случаи любых конфигураций и расположений контуров отверстий в пластинке, но получаемое решение оказывается довольно громоздким и при реализации на ЭВМ требует составления программ достаточно сложной структуры. В работе [5] для решения задач исследования напряженного состояния многосвязных пластин был использован обобщенный метод наименьших квадратом (ОМНК), что приводит такие задачи к переопределен-

ным системам линейных алгебраических уравнений, которые решаются методами сингулярных разложений. Использование ОМНК значительно упрощает организацию вычислительных работ с сохранением преимуществ дискретного метода наименьших квадратов и улучшением точности получаемых результатов. Этот метод с успехом может использоваться и для решения периодических и двоякопериодических задач, для решения которых в более ранних работах [2, 6, 7] использовались другие методы.

В данной статье ОМНК решены периодическая и двоякопериодическая задачи для пластинки с эллиптическими отверстиями или трещинами. Проведены численные исследования распределения напряжений и изменения коэффициентов интенсивности напряжении (КИН).

1. Решение задачи для пластинки с конечным числом отверстий.

Рис. 1. Многосвязная пластинка

Рассмотрим вначале отнесенную к прямоугольной декартовой системе координат Оху бесконечную анизотропную пластинку, занимающую многосвязную область 5 (рис. 1), ограниченную контурами произвольно расположенных эллиптических отверстий [1 = 1, £) с полуосями а,/, 6/, центрами в точках (х01 у) и углами наклонов щ полуосей щ к оси Ох. На контурах отверстий действуют распределенные внешние усилия или перемещения. На бесконечности заданы напряжения а^, , т^, угол поворота = 0.

Определение напряженно-деформированного состояния (НДС) рассматриваемой пластинки сводится к нахождению комплексных потенциалов [1, 4]

С те

Фк )=Гкгк + Щкыаып, (1)

1=1 п=1

где Гк - постоянные, определяемые из системы уравнений

2Ке1] —) Г, =

к=Л

СО СО те , а16а~ + (2щ12 + а66) тГ + 3а26

а , —тт , а , -Шо Н----

у ж у х 3 2а22

(2)

Цк - корни характеристического уравнения

я>11 Ц4 - 2а1б^3 + (2я>12 + абб) ц2 - 2й2бЦ. + а22 = 0; (3)

aij - коэффициенты деформации материала пластинки;

Vkin = 1/k ; (4)

Zki - переменные, определяемые из конформных отображений

Zk = Zki + /ц/ (<ы + ^r^J (5)

внешности единичного круга \Zki\ > 1 на внешности контуров Lki, соответствующих контурам Li при аффинных преобразованиях

Zk = x + ikV, (6)

причем

Zki = xoi + ik Voi, ai (cos pi + ik sin pi) + ibi (sin pi - ik cos pi)

Rki =-2-' (7)

ai (cos px + ik sin pi) - ibi (sin pi - ik cos pi) тш. =--j,-;

akin - неизвестные коэффициенты рядов Лорана, определяемые из граничных условий на контурах отверстий, которые в случае многосвязных пластин удобнее использовать в дифференциальной форме, не содержащей постоянных слагаемых в этих условиях. Последние условия на контуре Lp (р = 1, £) имеют вид

[1, 4] 2

2Re¿</fcpi5fc,^,fc(ífc) = ^^ (г = 1,2), (8)

k=i

в котором 5k,s = dzk/ds , а также

9kpi = 1, gkp2 = ik,

dfpijt) „ dfp2(t) (9) ds pm ds pn

в случае загруженного контура Lp,

gkpi = Pk, gkp2 = qk,

dfpijt) = dfp2(t) = (10) dsds

если контур Lp жестко подкреплен. При этом

L <х

&k (zk) = rk + Y1 akinp'kin (zk); (11)

i=l n=l

П

Л'»ы = -ДысS-1 «а-»*)- (12)

После определения постоянных akin функции (zk) будут известными и по ним можно вычислять в любой точке пластинки основные напряжения по формулам

2

O, Txy) = 2Re^ (¿k, 1 - Hk) (zk) (13)

k=i

и напряжения

О О

On = Ox sin < + o y cos <i - 2rXy sin pi cos <i,

as = OxCOS2<i + Oysin2<i + 2Txy sin < cos <i, (14)

Tns = (Oy - Ox) sin <i cos <i + Txy (cOs2<i - sin2<i)

на произвольных площадках с нормалью n и касательной s. При этом, если некоторый эллипс Li переходит в прямолинейный разрез (трещину или жесткое линейное включение), то для его концов можно вычислить и коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) k±

2

k± = 2 Re ^ ¿ksin2<i + cos2<i + 2¿k sin <i cos Mk,

k=1

(15)

2

k± = 2Re^ [(1 - ц\) cos <i sin < - цk (cos2<i - sin2 <i)] Mk,

k=1

где

,— oo

Л4 = ±-^^(±1)га+17гак1п; (16)

2Rki n=i

знаки + и - у КИН в локальной системе координат Oixiyi относятся к правому и левому концам разреза соответственно.

2. Периодическая задача для пластинки с эллиптическими отверстиями или трещинами. Пусть теперь пластинка имеет бесконечное число одинаковых и одинаково ориентированных эллиптических отверстий с контурами Li (l = 0, ±1, ±2, ...) с центрами вдоль одной прямой (рис. 2), принимаемой за ось Ox прямоугольной системы координат Oxy с началом в центре отверстия с контуром Lo, называемого основным. Обозначим полуоси эллипсов через a и b, угол наклона полуоси a к оси Ox - через <, расстояние между центрами соседних отверстий - через hx. Контуры отверстий одинаково загружены самоуравновешенными внешними усилиями, на бесконечности пластинка находится под действием усилий o£°, oy°, tx¡Z , угол вращения = 0.

Рис. 2. Пластинка с периодическим рядом отверстий

В этом случае комплексные потенциалы и их производные примут вид

те те

Фк {гк) = Гкгк + ^ ^ ^МпаМп,

1=—те п=1

те те

(17)

Ф'к {гк) = Гк + ^МпаМп,

1=—оо п=1

где рып(%к) и к\п(%к) - функции, вычисляемые по формулам (4) и (12), См -переменные, определяемые из неявных зависимостей

¿к = гы + Як ( См + т— ) ,

Ш

^'кЫ {гк) = -

п

(18)

Я спг1 (С1 - ШкУ

причем Хк\ = Шх\ Як, Шk - величины, вычисляемые по формулам (7), в которых нужно опускать в индексах номер I.

В силу периодичности напряженного состояния значения напряжений в точках гк и гк+Ь,х будут одинаковыми. Тогда из равенств (13) следует, что Ф'к {гк) = Ф'к {гк + Ьх), а следовательно, по (11)

^2ак1п^'кЫ {гк)= ^2 ^2ак1пР'кЫ {гк + Ьх). 1=—те п=1 1= — те п=1

Из равенств (18) следует, что

Ск1 {гк + ^-х) = Скг+1 {гк) )

^'к\п {гк + Ьх) = р'к1+1, п {гк) .

(19)

Подставляя выражения (20) в (19) и переобозначая индексы суммирования, находим

оо оо оо оо

53 5^ йк1п^'к1п (гк) = 5^ 5^ ак1пУ'к1+1, П (гк) =

1=—те п=1 1= — те п=1

оо оо

УЗ 5~2ак1-1,пк1п (гк)■

1=—оо п=1

Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях у'к1п (гк), будем иметь ак1п = ак—1, п = акп. Тогда для комплексных потенциалов и их производных окончательно будем иметь

Фк (гк) = ТкХк + 53 акпФкп ^к),

п=1

(21)

те

Ф'к (гк) = Г к + 53 акпф' кп (гк),

п=1

где

фкп (гк) = 53 Ук1п (гк), 1=—те те

ф'кп (гк) = 53 Ук1п (гк).

1=-те (22)

те ^ '

1=—те

Теперь для определения неизвестных постоянных акп нужно удовлетворять граничным условиям (8) лишь на одном из контуров, например, на контуре центрального отверстия Ьо. На остальных контурах в силу периодичности комплексных потенциалов, граничные условия будут удовлетворены автоматически. Граничным условиям (8) будем удовлетворять обобщенным методом наименьших квадратов. Для этого выберем на контуре Ь0 систему точек Мт0 (хт0, ут0) (т = 1, Мо), в которых удовлетворим соответствующим граничным условиям, подставив в них функции (21). Тогда для определения неизвестных постоянных акп получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

2 те

2И,е^53 9к0г $к (Ьк

к=1п=1 (23)

= ^^ 2Н,->3 ///,...-¿/...Л'/, ( т = ГМо; / 1.2). 8 к=1

Систему (23) будем решать с использованием сингулярных разложений [5, 9, 10].

3. Двоякопериодическая задача для пластинки с эллиптическими отверстиями или трещинами. Пусть теперь пластинка имеет т (т = 0, ±1, ±2,....) одинаковых бесконечных рядов одинаковых и одинаково ориентированных эллиптических отверстий или трещин с контурами Ьт[ (т, I = 0, ±1, ±2, ...), полуосями а, Ь (рис. 3). Обозначим расстояния между центрами соседних отверстий каждого из рядов через Нх, угол между полуосью а и осью Ох - через р, расстояния между центрами соседних рядов через Ьу. Контуры отверстий одинаково загружены самоуравновешенными внешними усилиями, на бесконечности пластинка находится под действием усилий аХ°, а^, тХУу, угол вращения = 0.

Рис. 3. Пластинка с двоякопериодической системой отверстий

Для рассматриваемого случая комплексные потенциалы (1) и их производные (11) примут вид

те тете

фк (хк) = ГкХк + ^ ^ ^ Ркт!п (хк) aкmln, т=-те 1=—те п=1

(24)

те те те V '

Ф'к (хк) = Гк + Е Е ркт1п (хк) aklmn,

т=-те 1= — те п=1

где Ркт1п(?к) и р'кт1п(гк) - функции, вычисляемые по формулам (4) и (12); (т - переменные, определяемые из неявных зависимостей

Ч- = 4-1 + Як ( Скт1 + ) ,

V Чкт1 /

/ , ч _ _ П

V кт,1п (¿•к) —

(25)

ЯкСкИтЛ ((кт! - тк) '

причем Хк! = Шх + тц.фу; Як, тк - величины, вычисляемые по формулам (7), в которых нужно опускать в индексах I.

В силу двоякопериодичности напряженного состояния значения напряжений в точках гк и гк + Нх + ЦкЛу одинаковы. Поэтому

Ф'к (гк) = Ф'к (гк + Ьх + ЦкЬуу), (26)

а следовательно по (24)

оо оо оо

УЗ УЗ УЗ акт1пу'кт1п (гк) =

т=-те 1=—те п=1 те тете

= 53 Е УЗ акт1пу кт1п (гк + Лх + ЦкЛу).

1=—те т=-те п=1

Как и в случае периодической задачи из (25) легко увидеть, что

Скт1 (гк + Лх + ЦкЛу) = Скт+1, 1+1 (гк) ) У'кт1п (гк + Лх + Цк Лу) у кт+1, 1+1, п

(гк) .

(27)

(28)

Подставляя выражения (28) в (27) и переобозначая индексы суммирования, находим

те те те те те те

53 5^ Е акт1пу'кт1п (гк) = 53 Е Е акт1пу' кт+1, 1+1, п (гк) = т=-те 1=—те п=1 1= — те т=-те п=1

те тете

= 5^ Е УЗ акт-1, 1-1, пу'кт1п (гк).

1=—те т=-те п=1

Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях у' кт1п (гк), будем иметь акт1п = акт-1, 1-1,п = акп. Тогда для комплексных потенциалов и их производных окончательно будем иметь

тете

Фк (гк) = Г к гк + 53 акпСкп (гк), Ф'к (гк) = Гк + 53 аыСкп (гк), (29)

п=1 п=1

где

оо оо

£кп (гк)= 53 Е Ук1тп (гк), 1= — те т=-те тете

£'кп (гк)= 53 Е (гк).

1=-те т=-те (30)

оо оо у '

1= —оо т=-те

Для определения неизвестных постоянных акп нужно опять удовлетворять граничным условиям лишь на контуре центрального отверстия Ьо. Из этих условий получится система, которая следует из системы (23), если в последней Ф'кп (гк) заменить на £(гк).

4. Описание результатов численных исследований. Были проведены численные исследования напряженного состояния пластинки из изотропного материала алюминий [6] (материал М1) и существенно анизотропных материалов (по общепринятой терминологии "степень анизотропии"определяется степенью отличия отношения ац/а2 2 от 1) березовая фанера [1] с мягкими волокнами вдоль оси Ох (материал М22) и углепластик НМ8/0Х209 [11, 12] с мягкими волокнами вдоль оси Ох (материал М33). Технические постоянные этих материалов приведены в табл. 1. При проведении численных исследований количество членов в рядах (21), (29) по п и количество точек Мо на контуре Ьо, в которых удовлетворялись граничные условия при получении систем уравнений (23), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контуре не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (модуль абсолютной погрешности не превышал 10-2). Как показали численные исследования, для такого удовлетворения граничным условиям в рассмотренных задачах в зависимости от близости концентраторов напряжений друг к другу достаточно было оставлять от 10 до 50 членов в рядах (21) по п и на контуре Ьо выбирать от 100 до 500 "коллока-ционных" точек.

Таблица 1. Постоянные материалов

Материал £а • 1СГ4, МП а Е2 ■ 10"4, МП а С12 • 10~4, МП а V12 гл>1

М1 7,10000 7,10005 2,84000 0,25000 0,25000

М22 0,58860 1,17720 0,06867 0,03600 0,07100

МЗЗ 0,60000 18,88000 0,27000 0,00953 0,30000

В табл. 2 для пластинки с периодическим рядом круговых отверстий радиуса а (Ь = а) вдоль оси Ох при ее растяжении на бесконечности усилиями интенсивности д (ауте = д) в зависимости от центрального угла в, отсчитываемого от положительного направления оси Ох, и от отношения с/а , где с - расстояние между контурами (с = Нх — 2а), приведены значения нормальных напряжений а8/д вблизи контура Ьо на площадках, перпендикулярных к контуру, а на рис. 4 изображены графики распределения этих напряжений. Сплошные, штриховые и штрих-пунктирные линии рисунка относятся к плитам из материалов М33, М22 и М1. Данные для с/а = те соответствуют случаю пластинки с одним отверстием.

Из данных табл. 2 и рис. 4 следует, что наибольшая концентрация напряжений наблюдается вблизи контура отверстия в зоне между контурами. Значения напряжений в этой зоне резко растут с приближением контуров друг к другу (с уменьшением отношения с/а), особенно в точке, соединяющей линии центров, соответствующей углу в = 0. При этом значения напряжений вблизи точки, соответствующей углу в = п/2 изменяются незначительно. Чем выше "степень анизотропии" материала пластинки, тем выше уровень концентрации напряжений. Правда, при сближении отверстий друг с другом это влияние уменьшается, но все время остается большим. При с/а > 10 влияние одних отверстий на напряженное состояние около других незначительно, им можно пренебречь и считать

V | | и о&е-т

ч | с/а ■ =ол

V

1\\ 11 1 \ 1 1 1 \

\ X \ X \ \ N V Ч \ \

..ДА \ \ \ ч ч \ ■ —- ч * N _ ,4

О л/12 к/6 гт/4 п/3 в, рад.

Рис. 4. Графики распределения напряжений около центрального отверстия в пластинке с периодическим рядом круговых отверстий для различных значений параметра с/а

пластинку ослабленной лишь одним отверстием.

Исследованиями установлено, что при уменьшении отношения Ь/а полуосей эллипсов значения напряжений в окрестности конца большой полуоси растут, стремясь к бесконечности. При Ь/а < 10_3 эллипсы можно считать трещинами и вычислять для их концов КИН. Как показывают расчеты, при сближении трещин друг с другом в случае растяжения пластинки с трещинами, расположенными вдоль оси Ох, усилиями ^ вдоль направления оси Оу, значения КИН к± (к± = 0) растут. Так, для значений отношения с/а , равных 10; 2; 1; 0,5; 0,1; 0,01, значения к± получились такими: 1; 1,0116; 1,1278; 1,2848; 1,5625; 2,9762; 8,9603. Эта зависимость изображена графиком на рис. 5. Заметим, что для такого расположения трещин и действия нагрузки значения КИН не зависят от анизотропии материала.

Несколько другое положение в случае бесконечного ряда трещин поперек

Таблица 2.

Значения напряжений для пластинки с периодическим рядом круговых отверстий в зависимости от параметра с/а

Материал 0, рад. с/а.

ос 10 2 1 0,5 ОД 0,01

М1 0 3,000 3,003 3,237 3,910 5,713 21,162 189,155

7Г/6 2,000 2,025 2,402 2,955 3,754 5,809 7,036

7Г/3 0,000 0,065 0,439 0,641 0,795 0,968 1,002

тг/2 -1,000 -0,917 -0,618 -0,571 -0,574 -0,606 -0,672

М22 0 5,453 5,476 6,057 7,145 9,406 26,144 200,372

7Г/6 0,964 0,985 1,172 1,375 1,677 2,559 3,124

7Г/3 0,069 0,108 0,250 0,318 0,381 0,470 0,490

тг/2 -0,707 -0,604 -0,375 -0,345 -0,342 -0,354 -0,394

МЗЗ 0 9,975 10,062 11,074 12,670 15,875 36,904 219,117

7Г/6 0,391 0,402 0,496 0,603 0,749 1,138 1,393

7Г/3 -0,056 -0,047 0,006 0,035 0,057 0,084 0,089

тг/2 -0,178 -0,167 -0,121 -0,108 -0,104 -0,106 -0,112

--1-^

V

0 2 4 6 8 с/а

Рис. 5. Значения КИН в вершине центральной трещины

оси Оу параллельных оси Ох. В табл. 3 приведены значения КИН к± (к± = 0) для вершин трещин, а на рис. 6 изображены эти значения. Как видно, с приближением трещин к друг другу значения к± уменьшаются. На значения к± значительно влияет анизотропия материала, причем чем ближе трещины к друг другу, тем сильнее это влияние, при с/а > 10 это влияние отсутствует.

Рис. 6. Значения КИН в вершине центральной трещины

В табл. 4 для пластинки с двоякопериодической системой круговых отвер-

Таблица 3.

Значения напряжений для пластинки с периодическим рядом трещин поперек оси Оу в зависимости от параметра с/а

Материал с/а

ос 10 2 1 0,5 ОД 0,01

М1 1,000 0,954 0,572 0,402 0,287 0,139 0,574

М22 1,000 0,881 0,454 0,324 0,233 0,121 0,384

МЗЗ 1,000 0,964 0,634 0,451 0,321 0,155 0,274

стий радиуса а (Ь = а) при ее растяжении на бесконечности усилиями интенсивности д (а^ = д) в зависимости от центрального угла в, отсчитываемого от положительного направления оси Ох, и от отношения с/а , где с - расстояние между контурами отверстий, приведены значения нормальных напряжений а8/д вблизи контура Ьо на площадках, перпендикулярных к контуру, а на рис. 7 изображены графики распределения этих напряжений.

Таблица 4.

Значения напряжений для пластинки с двоякопериодической системой круговых отверстий в зависимости от параметра с/а

Материал 0, рад. с/а

ос 10 2 1 0,5 ОД 0,01

М1 0 3,000 2,948 2,782 2,892 3,373 6,781 20,448

7Г/6 2,000 1,973 1,879 1,958 2,095 1,875 0,823

7Г/3 0,000 0,026 0,051 -0,141 -0,411 -0,671 -0,343

тг/2 -1,000 -0,946 -0,638 -0,482 -0,592 -2,160 -8,533

М22 0 5,453 4,850 4,516 5,191 6,374 11,441 36,413

7Г/6 0,964 0,853 0,655 0,662 0,723 0,812 0,425

7Г/3 0,069 0,077 -0,013 -0,059 -0,096 -0,176 -0,114

тг/2 -0,707 -0,534 -0,153 -0,183 -0,345 -1,288 -5,856

МЗЗ 0 9,975 7,223 6,789 8,185 10,727 20,433 60,031

7Г/6 0,391 0,256 0,115 0,090 0,088 0,130 0,068

7Г/3 -0,056 -0,038 -0,027 -0,025 -0,036 -0,072 -0,046

тг/2 -0,178 -0,090 -0,018 -0,027 -0,058 -0,278 -1,310

Из данных табл. 4 и рис. 7 видно, что наибольшая концентрация напряжений наблюдается в окрестности угла в = 0. Значения напряжений в этой зоне, а также в окрестности угла в = п/2 вначале по модулю убывают, а затем возрастают. Сравнивая данные табл. 2 и рис. 4 можно заметить, что в случае двоякоперио-дической задачи значения напряжений меньше, чем для случая периодической задачи. Существенно на значения напряжений влияет "степень анизотропии".

Заметим, что полученные числовые результаты для пластинки с круговыми отверстиями достаточно хорошо согласуются с полученными методом рядов [2], если отношение с/а > 0, 5. При меньших расстояниях это отличие, особенно для анизотропной пластинки, значительно. Так, для пластинки из материала М22 (фанера) это отличие составляет более 10%, а более сильная анизотропия М33 вообще не рассматривалась. Более точными оказываются числовые результаты, получаемые при использовании [13] дискретного метода наименьших квадра-

t t о| | q )0

W w w ; ООО i и»

ч 1 \ 1 « 1 1 * 1 \ и

\ 4 ч \ | -=0.1

^ l'W ч V л V 00

("К чХ

ZT

О л/12 к/6 к/4 к/3 в, рад.

Рис. 7. Графики распределения напряжений около центрального отверстия в пластинке с дво-якопериодической системой круговых отверстий для различных значений параметра с/а

тов. Так, для наиболее сложного при численной реализации случая пластинки с трещинами (методом рядов такую задачу решить невозможно) отличие получаемых значений КИН от найденных дискретным методом наименьших квадратов даже для весьма близких расстояний в случае материала с достаточно сильной анизотропией стеклопластика косоугольной намотки составляет около 2%. Но, как уже отмечалось, численная реализация решения задачи приведенным здесь обобщенным методом наименьших квадратов значительно проще, чем дискретным методом наименьших квадратов, и точность получаемых значений несколько выше.

1. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. / С.Г. Лехницкий - М.: Наука, 1977. - 416 с.

2. Космодамианский А.С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями. / А.С. Космодамианский - К., Донецк: Вища шк., 1976. - 200 с.

3. Калоеров С.А. Антиплоская деформация тел с трещиной и эллиптической полостью / С.А. Калоеров, Е.Ф. Косилова, В.А. Лапко // Прикладная механика. - 1989. - Т. 25, № 7.

- С. 92-99.

4. Калоеров С.А. Двумерное напряженно-деформированное состояние многосвязного анизотропного тела / С.А. Калоеров, Е.С. Горянская // В кн.: Концентрация напряжений.-1998.- С. 8-26.- (Механика композитов. В 12 т. Т. 7)

5. Калоеров С.А. Термоупругое состояние кусочно-однородной анизотропной пластинки / С.А. Калоеров, Д.А. Добряк // В1сн. Донец. ун-ту. Сер.А, Природ. науки. - 2006. - Вып. 2.

- С. 77-88.

6. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. / Г.Н. Савин - К.:Наук. думка, 1968. - 888 с.

7. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. / Э.И. Гри-голюк, Л.А. Фильштинский - М.:Наука, 1970. - 556 с.

8. Калоеров С.А. Определение коэффициентов интенсивности напряжений, индукции и напряженности для многосвязных сред / С.А. Калоеров // Прикладная механика. - 2007. -Т. 43, № 6. - С. 56-62.

9. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. / В.В. Воеводин - М.:Наука, 1977. - 304 с.

10. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений. / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер - М.:Мир, 1969. - 280 с.

11. Композиционные материалы: Справочник. / В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин [и др.] Под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского - М.:Машиностроение, 1990.

- 512 с.

12. Ni R. G.The damping and dynamic moduli of symmetric laminated composite beams-theoretical and experimental results / R.G. Ni, R.D. Adams // J. Composite materials. - 1984. - Vol. 18.

- С. 104-121.

13. Калоеров С.А. Периодические задачи для анизотропной плоскости и полуплоскости с эллиптическими отверстиями или трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Горянская, Е.В. Авдю-шина // Вкн. Донец. ун-ту. Сер.А, Природ. науки. - 1997. - Вып. 1. - С. 61-66.

S.A. Kaloerov, E.V. Avdushina, A. I. Zan'ko

Periodic and dual-periodic problems for an anisotropic plate with elliptic holes or cracks.

Using the generalized complex potentials of the theory of elasticity of an anisotropic body, the periodic and doubly periodic problems of the theory of elasticity for a plate with elliptical holes or cracks are solved. The general representations of the corresponding functions for a plate with a finite number of holes were obtained by expanding the holomorphic functions into Laurent series, then satisfying the periodicity conditions and doubly periodicity of the stress-strain state, general representations of the required complex potentials were found, which allowed satisfying the boundary conditions on only one contour. These conditions are satisfied by the generalized least-squares method, which makes it possible to satisfy the boundary conditions with a high degree of accuracy even for very close distances between holes and cracks for any orientation.

Keywords: anisotropic plate, periodic problem, dual-periodic problem, holes, cracks, concentration of stresses.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 14.11.17

kaloerov@mail.ru