ИЗГИБ МНОГОСВЯЗНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛИТЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№2-3 (67-68) / 2019.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3

©2019. С.А. Калоеров, А.И. Занько

ИЗГИБ МНОГОСВЯЗНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛИТЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ

С использованием обобщенных комплексных потенциалов теории упругости анизотропного тела решены задачи теории упругости для плиты с эллиптическими отверстиями или трещинами находящейся под действием поперечных сил. Разложением голоморфных функций в ряды Лорана получены общие представления соответствующих функций для плиты с конечным числом отверстий.

Ключевые слова: анизотропная плита, поперечные силы, отверстия, трещины, концентрация напряжений.

1. Постановка задачи. Рассмотрим отнесенную к прямоугольной декартовой системе координат Оху анизотропную плиту, занимающую многосвязную область 5 (рис. 1), ограниченную внешним контуром Ьо и контурами эллипти-

Рис. 1.

ческих отверстий L¡ (i = 1, £) с полуосями а,/, 6/, причем в локальных системах координат OiXiyi [1 = 1, £) с началами в центрах эллипсов L¡ и направлениями осей вдоль осей эллипсов их параметрические уравнения будут такими:

xi = ai cos в, yi = bi sin в, (1)

а в основной системе координат Oxy имеют вид

x = xoi + xi cos фг — yi sin Ф1, У = У01 + xi sin фг + yi cos фг,

где фг — угол между направлениями осей Ox и Oixi, отсчитываемый от Ox против часовой стрелки; x0i, y0i - координаты начала координат Oxy в основной системе координат Oxy; в — параметр параметрического задания эллипса, изменяющийся от 0 до 2п. Плита находится под действием приложенных к ее контурам L¡ (1 = 0, С) поперечных сил. Некоторые из контуров плиты жестко подкреплены или защемлены.

2. Решение задачи. Определение напряженного состояния рассматриваемой плиты сводится к нахождению производных комплексных потенциалов W'k (Zk) из соответствующих граничных условий. Для многосвязных областей эти условия удобнее использовать в дифференциальной форме, которые не будут содержать комплексных постоянных, входящих в граничные условия. Эти граничные условия имеют вид

2Re^QkiaSk^W^k) = (а = 1, 2), (3)

ds k=l

в котором

Sk,s = dzk/ds; _ Pk

— -) 9ki2 -

Vk

- _ f. ^¡L _ _ j dy | c dy

ds 1 ds г ds' ds % ds % ds'

Pk

9ki 1 — —, 9ki 2 — Qk, {A\

Vk (4)

в случае загруженного контура

9кИ = 1, 9кг2 = ,

¿Ш=0 4А1(*)=0

ds ' ds ' если контур жестко защемлен или жестко подкреплен.

В рассматриваемом случае для производных комплексных потенциалов имеем представления [1, 2]

с

Шк (хк) = ^ (Акггк + В кг) 1п (хк - хы) + Шко(хк), (6)

1=1

где А кг, В кг - величины, определяемые из решения систем линейных уравнений [1, 2]; Ш'к0(хк) - функции голоморфные в многосвязных областях Бк, получаемых из заданной области Б аффинными преобразованиями Хк = х + ЦкУ и ограниченных контурами Ь кг; Хк г и х°г - точки в областях Б к, соответствующие

при аффинных преобразованиях произвольным точкам внутри контуров Ьх и точкам приложения сосредоточенных сил. Последние функции Wkо(гk) можно представить в виде

с

) = Е WUzk), (7)

1=9

в котором W'к00 (гк) - функции, голоморфные внутри внешних контуров Ь^о] (гк) - функции, голоморфные вне контуров отверстий Ьм (I = 1, £). Для построения указанных функций используем конформные отображения.

Отобразим конформно внешность единичного круга \(кх\ > 1 на внешности эллипсов ЬкI [3]:

2к = 2к1 + В-ы ((ы + ^¡Г^ , (8)

где

Ик1 =

т ы =

гкх = Х01 + Vк Уог,

щ (сое <р1 + Цк эт ф{) + г&г (эт фг - цк сое Фд 2

ах (сое ф1 + Vк фх) - 1Ъг (ет фх - Цк сое фх)

2Кк х

Функции Wlk00 (гк), голоморфные внутри Ь о, можно разложить в ряды по полиномам Фабера для внутренностей контуров Ь о, а после пересуммирования соответствующих рядов можно представить в виде степенных рядов вида [2, 4]

Ж , ч п

И^оо Ы = ^ашп уКк*к°) ' (9

в котором Кко - постоянные, определяемые из конформных отображений (8) для контуров Ьк0.

Функции №к10(гк) (1 = 1, С), голоморфные вне отверстий Ькг, после конформных отображений (8) в областях переменных (кх будут голоморфными вне единичных кругов \(кх\> 1 и их можно разложить в ряды Лорана вида [2, 5, 6]

ж

= (10) п=1 ^кх

в котором а хп - неизвестные постоянные.

Окончательно для производных комплексных потенциалов получаем

с ж

W'k (гк) = Мк (гк) + ЕЕ

а к хпУ к хп (гк), (11)

Х=9 п=1

С.А. Калоеров, А.И. Занько С оо

Wk (zk) = Nk (Zk) + akin^'kin (zk), (12)

l=g n=1

где

Nk (Zk) = ^ (AkiZk + Bki) ln (Zk - Zki) ,

1=1

n

(13)

ФкОп (zk) = ( Zk „ Zk0 ) , (<zfc) = -i- (г = 1, £) ; Rk0 / Qki

Nk (Zk) = E

i=i

ln [zk - Zkl) + + Bkl^

Zk - Zki

n{zk-Zko)n~l (14)

ФкОп (гк) — г,п

Лк0

Выберем на внешнем контуре и на контурах отверстий систему точек М1т(%1т) У1т) {ш = 1, М{), в которых удовлетворим соответствующим граничным условиям. Подставляя функции (12) в граничные условия (3) в точках Мт (Х1т, у 1т), для определения неизвестных акп получаем систему, состоящую из уравнений

2 С ж

Е Е Е (9Ыа5к,вФ'к1п №к1т) ак1п + 9кго^к,зФ'к1п (¿к1т) &Ып

к=1 1=д п=1

2

k=i

— Е \9kiaSk,sN'k (tklm) + 9kia$к,SN'k (tklm)

+

(15)

. Ц/га \tirn) (. -тг г.-т-т-

--сЬ- = т = 1, Мг, а = 1,2),

где ^к1т — Х1т + Цку1т1 ^т (хгт) угт).

Кроме приведенных уравнений, для каждого отверстия должно выполняться условие

Еi iakiiRki ~ dkiiRki) = 0 (г = 1, С) , (16)

k=1

следующее из условия однозначности прогиба при полном обходе по контуру, охватывающему Li.

Система (15), дополненная уравнениями (16), служит для определения комплексных переменных akin и вещественных переменных ci. Эту систему будем

решать с использованием метода сингулярных разложений [7, 8]. После нахождения псевдорешений этой системы постоянные а^ы, а следовательно и функции Шк(хк), будут известными, и по ним можно вычислять моменты (2.2) и перерезывающие силы (2.3) в любой точке плиты. Если некоторый эллипс Ь переходит в прямолинейный разрез (трещину или жесткое линейное включение), то, используя формулы [9], для его концов можно вычислить и коэффициенты интенсивности моментов (КИМ), в том числе к±м (КИМ соответствующий моменту Му) и к±м (КИМ соответствующий моменту Нху), задаваемые соотношениями

к±м = [р к й1п2 фг + д к соя2 фг - 2г к ят фг соя фг] Мк,

к=1

2

к±м = 2Ее^ [(д к - р к )«о фг ят фг + г к (соя2 фг - ят2 фг)] Мк,

=1

2

в которых

Мк = : ^ (Аы Ы ± 2Як1) + Вы - (±1Г п «Ип^ ,

знаки + и — у КИМ относятся к правому и левому концам разреза в локальной системе координат соответственно.

Конформные отображения можно построить и по координатам концов осей эллипсов Ь (ха1 , УА1), (хв1, Ув1), (хв1, Ус), (хдг, Уо1) (рис. 2). В этом случае

С.А. Калоеров, А.И. Занько во всех предыдущих формулах нужно принять

= (xAl ~ xClf + {у Ai ~ ycf,

h = y^Bi - xDl f + (yBl - VDi)2,

(18)

X0l = (XA¡ + xc) /2, yol = (yAi + yci) /2,

¿ = arctg (

V XAi - XCi

Для различных конечных и бесконечных плит с отверстиями были проведены численные исследования изменения значений моментов в зависимости от геометрических параметров отверстий, способов их загружения и подкрепления, материалов плит. При проведении расчетов количество членов в рядах Лорана (9) и по полиномам Фабра (10) и «коллокационных» точек Mi на контурах Li, для которых составлялись линейные алгебраические уравнения (15), увеличивались до тех пор, пока относительная погрешность удовлетворения краевых условий для граничных значений моментов не становилась менее сотых долей процента. Для такого показателя удовлетворения граничным условиям, как показали численные исследования, в решаемых задачах, в зависимости от геометрических и упругих характеристик необходимо было в указанных рядах оставлять от 10 до 20 членов, на каждом из контуров брать от 100 до 200 «кол-локационных точек». Ниже описаны некоторые из полученных результатов для плит из изотропного материала алюминий (материал М1) [10], стеклопластик косоугольной намотки (М2) [11], сосна (М3) [1]. Коэффициенты aj деформаций для этих материалов приведены в табл. 1.

Таблица 1. Постоянные материалов

Материал Постоянные материала ац С122

ац • 104, МПа а22 • Ю4, МПа a 12 ■ Ю4, МПа а66 • Ю4, МПа

М1 0,1408 0,1408 -0,035 0,352 1,000

М2 10,000 2,800 -0,770 27,000 3,571

мз 2,381 0,100 -0,024 1,333 23,810

При этом для того, чтобы использовать приведенное выше решение для изотропной пластинки постоянная й22 заменялась на 0,1458 • 10_4, т. е. на значение, незначительно отличающееся от табличного. В противном случае при решении задачи возникнет деление на ноль, т. к. корни характеристического уравнения для изотропного материала будут двукратными и равными г и —г. Приводимые ниже значения основных характеристик изгиба даны с точностью до значения постоянной Во, как множителя. При этом значения моментов всюду приведены в МПа • м2 (или МН • м), КИМ в МПа • м2^ (или МН • му/м).

Пусть в эллиптической плите с внешним контуром Ьо и полуосями ао, Ьо имеется произвольно расположенное эллиптическое отверстие Ь\ с полуосями а1, Ь\ (рис. 3). В данном случае в приведенном в предыдущем пункте решении,

V

Рис. 3.

нужно принять L = 1.

Численные исследования в задаче проводились с целью выявления влияния размеров, расположения и формы контуров Lo, Li, параметров анизотропии материала, способов загружения и подкрепления контуров на значения моментов, а в случае, когда Li является прямолинейным разрезом, и на значения КИМ. Ниже описаны некоторые из полученных результатов.

3. Действие равномерно распределенных поперечных усилий на одном контуре при жестком защемлении второго контура. Пусть один из контуров кольца жестко защемлен, а на втором действуют равномерно распределенные поперечные усилия.

а) Круговое кольцо с жестко защемленным внешним контуром. В этом случае в приведенном решении необходимо принять

ф1 = 0; gkoi = 1 9к02 = Цк, foi = 0, fo2 = 0,

г Рк

[9kl 1 = -, 9kl 2 = Qk,

Цк

rx ç fi

f11 = — f1(s)dx + c10 = —p1a2 $ sin $d$ + c10 =

J0 Jo (19)

—p1a\ [sin ($) — $ cos ($)] + c10, rv r fi

f12 = / h(s)dy + C2o = —P1a1 $ cos $d$ + c2o = Jo Jo

—P1a\ [sin ($) $ + cos ($) — 1] + C20;

4/о1 = 0 4/02 = 0 4/и = „ ¿Ж 4/12 = йу ^

Заметим, что в данном случае главный вектор усилий, приложенных к контуру Ь1, равен Р1 = 2пЯ1Р1, а компоненты их главного момента равны нулю, т.е. Мх1 = Му1 = 0.

Для кругового кольца с жестко защемленным внешним контуром радиуса ао (Ьо — ао) и загруженным равномерно распределенными поперечными усилиями р1 внутренним контуром радиуса а1 (Ь1 — а1) (рис. 4) в зависимости от

Рис. 4.

центрального угла в, отсчитываемого от положительного направления оси Ох, и значения отношения а1/ао в табл. 2 приведены значения моментов М3 и Мп с точностью до р1, в точках контуров Ьо, ¿1. Значения моментов Мп на контуре ¿1 равны нулю, поэтому они в табл. 2 не приведены.

Таблица 2. Значения моментов в точках контуров кругового кольца с жестко

защемленным внешним и загруженным поперечными усилиями р\ внутренним контурами

Материал в, рад. «1/(10

0, 1 0,5 0,9 0, 1 0,5 0,9 0,1 0,5 0,9

Ма на. ¿о М„ на. Ьо Ма на. ¿1

М1 0 -0,013 -0,059 -0,023 -0,052 -0,234 -0,091 0,222 0,140 0,005

М2 0 -0,004 -0,028 -0,025 -0,014 -0,100 -0,141 0,457 0,375 0,020

тг/12 -0,007 -0,046 -0,037 -0,015 -0,107 -0,136 0,395 0,296 0,015

тг/6 -0,014 -0,089 -0,054 -0,021 -0,136 -0,136 0,251 0,146 0,003

тг/4 -0,022 -0,115 -0,051 -0,038 -0,205 -0,159 0,159 0,075 0,001

71-/3 -0,022 0,095 -0,030 -0,072 -0,305 -0,187 0,149 0,063 0,001

5тг/12 -0,014 -0,054 -0,013 -0,106 -0,405 -0,196 0,162 0,056 0,001

тг/2 -0,009 -0,035 -0,008 -0,119 -0,451 -0,194 0,168 0,053 0,001

МЗ 0 0,000 -0,002 -0,012 0,000 -0,007 -0,051 0,644 0,583 0,116

тг/12 0,000 -0,010 -0,060 0,000 -0,012 -0,066 0,525 0,407 0,019

7Г / 6 -0,001 -0,044 -0,099 -0,001 -0,044 -0,100 0,297 0,149 -0,023

тг/4 -0,005 -0,096 -0,061 -0,009 -0,171 -0,108 0,157 0,034 -0,007

7Г/3 -0,012 -0,092 -0,024 -0,050 -0,395 -0,102 0,091 0,003 -0,001

5тг/12 -0,009 -0,032 -0,006 -0,150 -0,517 -0,099 0,062 -0,001 0,000

тг/2 -0,002 -0,005 -0,001 -0,217 -0,527 -0,099 0,054 0,001 0,000

Значения моментов для изотропного кольца в силу геометрической и упругой симметрии не зависят от угла в, поэтому они приведены только для в — 0. Эти значения для изотропного кольца совпадают с их значениями, вычисленными по точному решению задачи. На рис. 5 и рис. 6 изображены графики распределения моментов М3 около контуров Ьо и ¿1. Сплошные линии относятся к материалу

М2, штриховые - к материалу М1.

Рис. 5.

Р:

0.2

9:1

0.3

.7/12

а-0.1 V» у

•

Рис. 6.

6, рад.

Из данных табл. 2, рис. 5 и рис. 6 видно, что, чем выше «степень анизотропии», тем больше уровень концентрации изгибающих моментов. С ростом отношения а1/ао на контуре Ьо значения моментов по модулю вначале возрастают, а затем убывают, на Ь1 постоянно убывают, что говорит о том, что моменты на Ьо уменьшаются с удалением приложенной нагрузки от контура и с приближением нагруженного контура к жестко защемленному контуру [6]. Уменьшение же моментов на контуре Ь1 связано с приближением Ь1 к жестко защемленному контуру. При а1/ао — 0 и а1/ао — 1 значения моментов стремятся к нулю.

б) Плита с жестко защемленным внутренним контуром. В этом случае в приведенном в п. 3.2 решении необходимо принять

Ф1 = 0; §к0! =

Рк_ Цк

9к02 = Як,

П?

/■X г?

/01 = — /1(в)йх + с10 = р1а1 § вш §(§ + с10 = ./0 ./0

= р1а1 [вт (§) — § сов (§)] + с10,

гу п?

/02 = / /\($)3у + С20 = Р1а1 § сов §(§ + С20 = 00

р1а1 [вт (§) § + сов (§) — 1] + с20, 9к11 = 1, 9к12 = Цк, /11 = 0, /12 = 0;

(21)

(в

(1х (в'

4/02 (в

4/и (в

0,

#12 (в

0.

(22)

Заметим, что сила реакции опоры равна Р0 = 2жВ,0Р0, поэтому главный вектор усилий, приложенных к контуру ¿1, равен Р1 = —Р0, т.е. Р1 = —Р0 = —2пЯ0'Р0, а компоненты их главного момента равны нулю, т. е. МХ1 = Му1 = 0.

Для кругового кольца при действии поперечных усилий р0 на внешнем контуре и жестко защемленном внутреннем контуре (рис. 7) в зависимости от цен-

Рис. 7.

трального угла в и значения отношения а1/а0 в табл. 3 с точностью до Р0 приведены значения моментов М3, Мп в точках контуров ¿0, ¿1, где они достигают максимальных значений. Значения моментов Мп на контуре ¿0 равны нулю, поэтому они в табл. 3 не приведены.

Значения моментов для изотропного кольца в силу геометрической и упругой симметрии не зависят от угла в, поэтому они приведены только для в = 0. Эти значения для изотропного кольца совпадают с их значениями, вычисленными по точному решению задачи [6]. На рис. 8 и рис. 9 изображены графики распределения моментов М3 около контуров ¿0 и ¿1 соответственно. Сплошные линии относятся к материалу М2, штриховые - к материалу М1.

Таблица 3. Значения моментов в точках контуров кругового кольца с жестко защемленным внутренним и загруженным поперечними усилиями ро внешним контурами

Материал 0, рад. Ql/íío

0, 1 0,5 0,9 0, 1 0,5 0,9 0, 1 0,5 0,9

Ма на. Lq Ms на. L i М„ на. Li

М1 0 -0,352 -0,132 -0,005 -0,646 -0,200 -0,027 -2,584 -0,798 -0,109

М2 0 -0,011 -0,121 -0,018 -0,880 -0,251 -0,030 -3,198 -0,913 -0,110

тг/12 -0,049 -0,130 -0,013 -1,337 -0,383 -0,048 -3,104 -0,888 -0,112

тг/6 -0,153 -0,128 -0,003 -1,857 -0,542 -0,074 -2,846 -0,831 -0,114

тг/4 -0,286 -0,095 -0,001 -1,395 -0,431 -0,062 -2,498 -0,771 -0,110

71-/3 -0,386 -0,083 -0,003 -0,666 -0,220 -0,033 -2,152 -0,710 -0,105

5тг/12 -0,432 -0,109 -0,002 -0,256 -0,088 -0,014 -1,901 -0,652 -0,103

тг/2 -0,443 -0,129 -0,002 -0,139 -0,048 -0,008 -1,810 -0,626 -0,103

МЗ 0 0,072 -0,047 -0,051 -1,062 -0,269 -0,030 -4,462 -1,128 -0,128

тг/12 0,035 -0,085 -0,020 -3,755 -0,937 -0,108 -4,152 -1,036 -0,120

7Г / 6 -0,074 -0,175 0,012 -3,293 -0,820 -0,109 -3,304 -0,823 -0,109

тг/4 -0,252 -0,203 0,006 -1,200 -0,354 -0,057 -2,142 -0,632 -0,102

7Г/3 -0,458 -0,095 0,001 -0,227 -0,130 -0,023 -0,975 -0,557 -0,101

5тг/12 -0,579 -0,038 0,000 -0,007 -0,035 -0,006 -0,118 -0,565 -0,102

тг/2 -0,613 -0,025 0,000 0,002 -0,006 -0,001 0,196 -0,578 -0,102

Рис. 9.

Из данных табл. 3, рис. 8 и рис. 9 видно, что, чем выше «степень анизотропии», тем больше уровень концентрации изгибающих моментов. С ростом отношения а1/а0 значения моментов по модулю убывают, что связано с приближением ¿0 к жестко защемленному контуру Ь1. При а1 /а0 — 1 значения моментов стремятся к нулю.

1. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. -М.: Наука, 1977.- 416 с.

2. Калоеров С.А. Комплексные потенциалы теории изгиба многосвязных анизотропных плит / С.А. Калоеров // Теорет. и прикладная механика. - 2012. - № 4(50). - С. 115 - 136.

3. Калоеров С.А. Двумерное напряженно-деформированное состояние многосвязного анизотропного тела / С.А. Калоеров, Е.С. Горянская // Концентрация напряжений.- К.: А.С.К., 1998.- С. 10-26. (Механика композитов: В 12 т., т. 7).

4. Калоеров С.А. Концентрация напряжений в многосвязных изотропных пластинках / С.А. Калоеров, Е.В. Авдюшина, А.Б. Мироненко. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2013. - 440 с.

5. Калоеров С.А. Решение задач об изгибе многосвязных плит под действием распределенных по основанию усилий / С.А. Калоеров, А.И. Занько // В1сн. Запор1з. нац. ун-ту. Ф1з.-мат. науки. - 2015.- Вып. 2.- С. 94-104.

6. Калоеров С.А. Решения задач об изгибе тонких плит для канонических областей / С.А. Калоеров, А.И. Занько, А.А. Кошкин // Теорет. и прикладная механика. - 2014. - Вып. 55. -С. 99-138.

7. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.

8. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер.- М.: Мир, 1969. - 280 с.

9. Калоеров С.А. Определение коэффициентов интенсивности напряжений, индукции и на-

пряженности для многосвязных электроупругих анизотропных сред / С.А. Калоеров // Прикладная механика.- 2007. - Т. 43, № 6. - С. 56-62.

10. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий / Г. Н. Савин. - К.: Наук. думка, 1968. - 888 с.

11. Космодамианский А.С. Температурные напряжения в многосвязных пластинках / А.С. Космодамианский, С.А. Калоеров.- К., Донецк: Вища шк., 1983. - 160 с.

S.A. Kaloerov, A.I. Zan'ko

Bending a multiply anisotropic plate under lateral forces.

Using the generalized complex potentials of the theory of elasticity of an anisotropic body, the problems of the theory of elasticity are solved for a plate with elliptical holes or cracks under the action of transverse forces. By expanding holomorphic functions into Laurent series, general representations of the corresponding functions for a plate with a finite number of holes are obtained. Keywords: anisotropic plate, lateral forces, holes, cracks, stress concentration.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 15.03.2019

[email protected]