ТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОСТИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛИТЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№3 (72) / 2020.

УДК 539.3

©2020. С.А. Калоеров

ТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОСТИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛИТЫ

Даны решения различных задач электромагнитоупругости для эллиптической плиты. При этом с использованием комплексных потенциалов, разложений голоморфных функций в ряды по полиномам Фабера и метода рядов эти задачи приведены к решениям систем линейных алгебраических уравнений 8 порядка. Рассмотрены случаи воздействий по контуру плиты, по ее верхнему основанию или в ее отдельных внутренних точках.

Ключевые слова: теория изгиба тонких плит, электромагнитоупругость, комплексные потенциалы, метод рядов, точные решения.

Введение. Несмотря на то, что в различных областях современной промышленности в качестве элементов конструкций широко используются тонкие пластинки с отверстиями и трещинами из пьезоматериалов, в которых под действием механических сил и электромагнитных полей возникает высокая концентрация напряжений и есть необходимость ее изучения, до сих пор методы исследования электромагнитоупругого состояния (ЭМУС) разработаны лишь для случаев, когда пластинки находятся в условиях плоской задачи электроупругости [1], магнитоупругости [2] или электромагнитоупругости [3]. Для случая же изгиба тонких пластин (плит) из пьезоматериалов пока на основе распространения гипотез Кирхгофа [4, 5] на задачи электромагнитоупругости сформулированы краевые задачи [6], для их решения введены обобщенные комплексные потенциалы электромагнитоупругости [7] и получены граничные условия для их определения. В данной статье с использованием комплексных потенциалов электромагнито-упругости, разложений голоморфных функций в ряды по полиномам Фабера и метода рядов получены решения задач для эллиптической плиты при различных воздействиях по контуру, по верхнему основанию или в отдельных точках плиты.

1. Постановка и общее решение задачи. Рассмотрим тонкую электро-магнитоупругую плиту, занимающую конечную область 5, ограниченную эллиптическим контуром Ьо с полуосями ао, Ьо (рис. 1) и находящуюся от действия различных механических сил или электромагнитных полей в состоянии поперечного изгиба.

Решение задачи об определении ЭМУС данной пли-Рис. 1. ты сводится к интегрированию системы дифференци-

альных уравнений в частных производных [6]

L4sW + Ь3д ро + Ьзрфо = Я0, Ь3д ■ + L2вРо + L2vфо = о, Lзp ■ + L2v Ро + L2X фо = о,

(1)

относительно функций прогиба ■ (х,у) и плотностей электрической и магнитной потенциалов ро (х,у) и фо (х, у) при заданных граничных условиях на контуре Lо. При этом Lij - известные дифференциальные операторы вида

д 4

д4 д4 Ьаэ = -[ А1я-7 + + 2 (А2 + 2Дзб) я 2Я 2

ох4 ох3ду дх2ду2

д4 д4

дхду3 ду4

+

Ь

д 3

д3

д3

д 3

Зй - Са11д.~3 + (Сй21 + 2Сй1б) + (Сй12 + 2Сй2б) + С°22д^

д3 д3 д3 Ьзр = + (Ср21 + 2Ср1б) + (Ср12 + 2Ср2б)

д2 д2 д2

¿2/3 — С/3117—У + 2С/312Т—т;--Ь Ср22ТГ^,

дх2 дхду ду2

ду3 д3

+ СР22^з, (2

2

дхду д2

— + 2(7^12

дх2 дхду

'ду2

д2 ду2

д2 д2 Ь2х~Сх11Ш + 2Сх13Ша + а

д2

Если при решении рассматриваемой задачи использовать комплексные потенциалы электромагнитоупругости [7], то она сводится к определению из соответствующих граничных условий функций Ш'к{хк){к = 1, 4) обобщенных комплексных переменных

хк = х + /лк у,

(3)

где рк - корни характеристического уравнения

148 (р) 13д (р) ¡3р (р)

кд (р) кр (р) ки (р) кр (р) ки (р) 12х (р)

(4)

(р) - полиномы вида

14, (м) = - (Д22М + + 2 (£>12 + 2Д36) М2 + 4^66М + Дц)

13Я (М) = Сд22М? + (Сд 12 + 2Сд26) М + (Сд21 + 2Сд16) М + Сд11,

¿3р (М) = Ср22М + (Ср12 + 2Ср26) М2 + (Ср21 + 2Ср16) М + Ср1Ъ ¿2р (М) = Св22М + 2Ср12М + Св1Ъ (М) = С22М2 + 2Cv 12М + 0,11, 12% (М) = Сх22М + 2Сх12М + Сх11;

(5)

^к =

А

1к

А,

0к

Рк =

А

2к

А

ок

(6)

А

1к =

А

2к =

А

ок =

—¿3 д (Мк) ¿2 V (Мк)

(Мк )

Ьр (Мк) — ¿3 д (Мк)

(Мк) — ¿3 р (Мк)

¿2 в (Мк) ¿2 V (Мк) ¿2 V (Мк) ¿2х (Мк )

— = Ь—До - механические жесткости плиты; Сд— = сд—До, Ср— = ер^До,

сХ- До

Д

Ср— = с р- До, С г,- = До, Сх— = сх— До - электромагнитные жесткости плиты; До = | Л3 - постоянная, связанная с толщиной плиты; Ь^, ср¿у, сд^-, с^, сх— - элементы обратной матрицы

^ Ьц Ь12 Ь16 сд11 сд21 ср11 ср21

Ь12 Ь22 Ь26 сд12 сд22 ср12 ср22

Ь16 Ь26 Ь66 сд16 сд26 ср16 ср26

сд11 — сд12 — сд16 св11 св12 сг11 сг12

сд21 — сд22 — сд26 ср^ср22 ^ 12 ^22

ср11 — ср12 — ср16 сг 11 сг 12 сх11 сх12 \ —ср21 — ср22 — ср26 сг 12 сг22 сх12 сх22 )

( «11 «12 «16 §11 §21 Р11 Р21 «12 «22 «26 §12 §22 Р12 Р22 «16 «26 «66 §16 §26 Р16 Р26 §11 — §12 — §16 Ри $12 ^11 ^12 §21 — §22 — §26 ^12 $22 ^12 ^22

\

1

(7)

—Р11 — Р12 — Р16 ^п ^12 Х11 Х12 \ — Р21 — Р22 — Р26 ^12 ^22 Х12 Х22 )

8у - коэффициенты деформаций материала, измеренные при постоянных индукциях электромагнитного поля; ду и ру- пьезоэлектрические и пьезомагнитные модули деформаций и напряженностей, измеренные при постоянных напряжениях и индукциях; ву, ^, Ху - соответственно коэффициенты диэлектрической, магнитной и электромагнитной восприимчивостей, измеренные при постоянных напряжениях.

В рассматриваемом случае функции определены в односвязных областях Б к, получаемых из заданной области аффинными преобразованиями (3) и ограниченных контурами Ько, соответствующими контуру Ьо при этих преобразованиях, причем, исходя из общего представления комплексных потенциалов [7], для рассматриваемой конечной односвязной области эти функции имеют вид

к

(хк) = ^ {А°кггк + Б1) 1П {гк - г°кг) + W¿k(гк), (8)

Г=1

в котором А9, Бкг - постоянные, определяемые решением систем

М, ц\, \к, \крк, ьк, ькЦк, — ) гА

к=Л

кг

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

р О

-А г.

2пБ

11

(9)

[ 1' Хк> — > ЬУ ) {Вкг =

к=1^ Рк /

( Мк мк \

(10)

Р°(г = 1, Д) - сосредоточенные силы во внутренних точках плиты М^, Мккг, М^кг, Мкг - компоненты сосредоточенных моментов (механических и индукций) в тех же точках; хк г - точки в областях Б к, соответствующие при аффинных преобразованиях (3) точкам х^; W¿k(хк) - функции, голоморфные в областях Б к. Для нахождения вида последних функций используем конформные отображения.

Отобразим внешности единичных кругов 1^ко| > 1 на внешности эллипсов

Ькк

Zk = В-ко (<к0 + ' (п)

где

ао - гркЬо ао + гркЬо ,,

Ико =-^-, ты =-:—г• (12)

2 ао - г^кЬо

Тогда функции (¿к), голоморфные в эллипсах Ьк0, можно разложить в ряды по полиномам Фабера

те

Шок (¿к) = ^2 акопРп (¿к) , (13)

п=о

где Рп (гк) - полиномы Фабера, для которых имеют место равенства [8]

тп

Ро = 1, Рп ы = (ко + ^(п>1)] (14)

С

п к0

ак0п - неизвестные постоянные, для определения которых используем граничные условия на контуре. В общем случае эти условия имеют вид [7]

2Пе^дгкоЖ'к{1к) = /г0(£) (г = 1, 4), (15)

к=1

в котором §гко - постоянные; /о^) - функции, принимающие определенные значения в зависимости от способа загружения и подкрепления контура Ь0, причем, если контур плиты Ь0 загружен внешними воздействиями в виде механических изгибающих моментов Мп = то(«) и поперечных усилий Шп = Ро(«), изгибающих индукционных моментов М^п = тао(«), М^п = тьо(«), то

Рк

9\к0 — -) 92к0 — Як, 93к0 — Лук, 9^к0 — Оук,

Мк

ев

/ю(Ь) = Ьхуо — (тойу + ¡о(1х) — сох + сю, Jо

/2о (^) = 12хуо — (тойх — ¡о(1у) + со у + с2о, Jо

г в гв

/3о(^) = Моо + / таоб« + с3о, /4о(^ = Моо + / тьоб« + с4о; ■)о .]о

11хуо = (Мох С08 ПХ + (Ноху — 1о) СО8 Пу) б,«, Оо

12хуо = ((Ноху + 1о) СО8 ПХ + Моу СОЪ пу) б«, (16)

■)о

Моа = (Мойх СО ПХ + Моау со пу) б«, Jо

МоЬ = / (МоЬх СО8 ПХ + МоЬу СО8 пу) б«. Jо

Jl0 = ((Шху — Ноху)бх + Мохбу) ,

■!о

б2о = — (Моубх — (Шоху + Ноху)бу) ,

0о

/о(«) = / Ро(«)б«;

Jo

со - вещественная постоянная, которую в данном случае односвязной области можно принять равной нулю; с^о - комплексные постоянные. Если же контур Ьо плиты жестко подкреплен, то

§1ко = 1, §2ко = Мк, §3ко = бyк, §4ко = Ьук,

, т дwо и, дwо 1 (17)

/ю(*) = + сю, /20СО = + С20;

/3о(^, /4о(Ь) сохраняют свой вид по формулам (16). При этом, если контур жестко защемлен, то сю = с2о = 0; wо - частное решение системы уравнений (1).

Если функции Шк(Ьк) определены, то по ним можно найти механические моменты, моменты индукций и поперечные силы, используя формулы [7]

4

(Мх, Му, Нху) = (Мох, Моу, Ноху) — 2Ев (Рк, qк, Гк) ШЦ(гк),

=1

Рк = Д11 + 2Д16Мк + Д12Мк — (Сд11 + Сд21Мк) А к — (Ср11 + Ср21Мк) Vк, (18)

qк = Д12 + 2Д26Мк + Д22Мк — (Сд12 + Сд22Мк) Ак — (Ср11 + Ср22Мк) Vк, гк = Д16 + 2Д66 Мк + Д26Мк — (Сд16 + Сд26Мк) Ак — (Ср16 + Ср26Мк) Щ

(Мах, Мау, Мьх, Мьу) =

4

= ( Моах, Моау, МоЬх, МоЬу) + 2Н-е^2 ( бх к, бук, Ьх к, Ьук) Шк(гк),

=1

бхк = Сд11 + 2Сд16Мк + Сд12Мк — (Дд11 + Дд12Мк) Ак — (Др11 + Др12Мк) Vк, (19)

бук = Сд21 + 2Сд26Мк + Сд22Мк — (Дд12 + Д д22 Мк) А к — (Др12 + Др22Мк) Vк, Ьхк = Ср11 + 2Ср16Мк + Ср12Мк — (Др11 + Др12Мк) А к — (ЕрЦ + Ер12Мк) Vк,

Ьук = Ср21 + 2Ср26Мк + Ср22Мк — (Др12 + Др22Мк) А к — (Ер12 + Ер22М к) Vк

(Шх, Шу) = ( Мох, Шоу) — 2Яв (¿к, — «к) ШЦ'(гк),

=1

«к = —Д16 — (Д12 + 2Д66) Мк — 3Д26Мк — Д22Мк + (Сд 16 + (Сд12 + Сд26) Мк +

+ Сд22Мк) Ак + (Ср16 + (Ср12 + Ср26) Мк + Ср22Мк) Vк,

!к = Д11 + 3Д16Мк + (Д12 + 2Д66) Мк + Д26М3 + (Сд11 + (Сд21 + Сд16) Мк + +Сд26Мк) Ак — (Ср11 + (Ср21 + Ср16) Мк + Ср26Мк) ик.

4

Здесь величины со значком 0 в индексах относятся к частному решению и вычисляются по общим формулам для этих величин [6]

/ д2ш ^ д2ш ^ д2ш Мж = - £>ц—7 + 2А6ТГ-Г- + 012-

дх2 дхду ду2

д(р0 д(р0 дф0 дф0 х у х у

/ д2Ш ^ д2Ш ^ д2 ■

Му = - Оп— + 2^26—— + £>22

дх2 дх ду ду2

д(р0 д(р0 дф0 дф0 \

— —^Я22—,— ~ Цз 12—--,

х у х у

д2 ■ „ д2 ■ „ д2-ш

НХу — ~ ( -^16-^-т + 2^66 ТТ"^--Ь ¿>26

дх2 дхду ду2

д(р0 д(р0 дф0 дф0 \ — — — Ьо2 6—,— — — — — ; х у х у

(21)

д2ш д2ш

М(1х = СдП-о~2 + 2СЙ16

I Г) ^

--г --г Ь'рЦ—--Ь 1Ур'\2

ПФ ' 1

о о + ^012 „ 9 +

дхду ду2

у

х

д2ш 2

дфо ду '

д2ш д2ш д2ш

х2 х у у2

I п ^

+ид --г ид22^— + ир\2—— +

с )'У ' ^ ^

у

х

у

д2ш д2 ■ д2 ■

М-Ьх = Ц>11—Т + 2Ср1бт——ь С-р12тг^т + ,

х2 х у у2

4- П 4- Г) Л- Г Л- Г 11 —--Ь Ь>р12—--Ь Йр11—--Ь Ьр12

Мьу = С,

дх ду

д2 ■

р21

х2

дх ду '

д2ш д2ш

+ 2Ср26 » » + Ц>22ТГ^Т + дхду ду2

I Г)

1 1 1

у

х

у

(22)

^ = -

^ д3 ■ ^ д3-ш Яптг^г + 3£>16

д3-ш

х3

я 2Я + (^12 + 2£)6б) Т^о + ^ х2 у х у2

Г< (Г МП Г

дх2 1 дхду

~{Ср21 + Ср1б) 1ыГу

С

р 26'

у2

д3 ■ у3

если в них вместо функций — (х, у), ф0 (х, у), ф0 (х, у) подставить частное решение системы уравнений (1) —0 (х, у), ф00 (х, у), ф00 (х, у).

Как частные случаи из приведенного решения задачи электромагнитоупругости (ЭМУ) следуют решения задач электроупругости (ЭУ), магнитоупругости (МУ) и теории упругости анизотропного тела (ТУ). Если приведенное выше решение получить для модельного материала с электромагнитными постоянными

где Хд, Хр, Хдр - параметры, и принять Хд = Хр = Хдр = 1, то, ясно, получим решение задачи ЭМУ; при Хд = 1, Хр = Хдр = 0 будем иметь решение задачи ЭУ; для задачи МУ Хр = 1, Хд = Хдр = 0; для задачи ТУ Хд = Хр = Хдр = 0. В этих случаях, при проведении численных исследований с использованием разработанного программного приложения, для перечисленных частных задач указанные выше нулевые значения параметров нужно задавать отличными от 0, но достаточно малыми величинами, порядка 10_4.

Используя приведенные формулы, для частных случаев приложенных к плите воздействий и граничных условий методом рядов найдем аналитические решения некоторых задач.

2. Решения частных задач. Действие 'равномерно распределенных по контуру плиты механических моментов. Пусть контур Ь0 загружен постоянными механическими изгибающими моментами Мп(в) = Ш0, а поперечные силы и индукционные моменты на нем равны нулю Ып(в) = М^п(в) = М^п(в) = 0 (рис. 2). Тогда, в силу отсутствия внутренних сосредоточенных воздействий, из одно-

родных систем уравнений (9) и (10) следует, что Л°кг = В0Г = 0, и комплексные потенциалы (8), в соответствии с (13), примут вид

(24)

Рис. 2.

(X

(25)

п=0

Когда на контуре Ь0 заданы моменты и поперечные силы, на основе (17) имеем

_ Рк _ _ А -К

9\к0 — -) 92к0 — Як, 93к0 — Лук, 94к0 — Оук]

Цк

10(в) = 0, /ю(г) = -Ш0у + Сю, ¡20^) = -Ш0х + С20, ¡30^) = С30, ¡40^) = С40.

Поэтому граничные условия (15) на Ь0 примут вид

2Re ( ~> qk> г1Ук> ЬУк I Wk =

к=Л vk /

= (-moy + cio, -mox + C20, C30, C40)

(26)

Подставляя функции (25) в граничные условия (26) и учитывая, что на контуре

х = а0 cos 9 = Y ^<7 + -¡-^ , у = bo sin 9 = -Щ- - ,

с.т = <т = егв, Р0 = 1, Pn{zk) = (Tn + -f {п > 1),

an

где 9 - угловая переменная параметрического задания эллипса Lo, получим

Чк, ^ук, ЪУк ) ( ^ ^--) акОп+

k=i п=Л /V У

+ qk, dyk, byk) + m%0crn^J vj = (27)

/ imobo ( 1 \ ,

. . moao ( 1' 2 . о- - - ) + Сю,--— I а + - ) + с20, С30, с40 ) .

Приравнивая в (27) слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях и, получим равенства ак0п = 0 при п > 2 и следующую систему 4 линейных алгебраических уравнений для определения ак01, записываемую в форме:

У^ ((—, Qk, dyk, Ьук j nikocikoi + ( zr-, Qk, dyk, byk j ak01 j = k=i ^ ' ' ' (28)

im0b0 moao Q

Тогда функции (25) с учетом равенств (11) будут такими:

wk(zk) = Wk0(zk) = акоо + ak0i ( (к0 + ^ ) = ак00 + ак(29)

V Sko / Rko

Для моментов и перерезывающих сил (18), (19) получим выражения

(Их, Му, ИХу, ЫЛх, ЫЛу, ЫЬх, Мьу) =

4

(30)

из которых следует, что моменты постоянны во всех точках плиты, причем для любых материалов и значений полуосей эллиптического диска моменты получаются одинаковыми и такими: Мх = Му = то, Иху = Мах = Мау = Мьх = Мьу = 0, т. е. в плите от действия по ее контуру изгибающих механических моментов электрические индукционные моменты не возникают, хотя и в этом случае будут возникать напряженности электрического и магнитного поля, а также деформации, что видно из уравнений состояния. Следовательно, будут возникать также перемещения и потенциалы поля.

Аналогичное решение задачи получается, если по контуру плиты действуют постоянные индукционные электрические моменты М^п = тао (или магнитные моменты М^ = тьо). Исследованиями установлено, что в этом случае во всех точках плиты Мах = Мау = тао, Мх = Му = Иху = Мьх = Мьу = 0 (или Мьх = Мьу = тьо, Мх = Му = Иху = Мах = МЛу = 0). То есть от действия индукционных моментов механические моменты в плите не возникают, хотя опять же возникают напряженности поля, деформации, перемещения и потенциалы поля.

Заметим, что решения задач ЭУ, МУ и ТУ полностью получаются буквальным повторением предыдущих выводов и будут отличаться от приведенного решения только системой (28). Например, для задачи ТУ эта система состоит из 2 уравнений с 2 неизвестными:

б). Действие равномерного давления по верхнему основанию плиты. Пусть эллиптическая плита по верхнему основанию находится под действием равномерного давления интенсивности до (рис. 3). Плита по контуру Ьо жестко защемлена, моменты индукций вдоль него равны нулю.

Комплексные потенциалы опять имеют вид (25). Но в данном случае сначала нужно найти частное решение системы дифференциальных уравнений (1).

гтоЪо тоао

2 ' 2

V

Рис. 3.

Выберем это решение в виде

—0 (х, у) = ¿1 х4, ф00 (х, у) = б2х3, Ф00 (х, у) = 4х3, (31)

в котором ¿1, ^2, (1з - неизвестные вещественные постоянные. Подставляя выражение (31) в уравнения (1) и сравнивая в полученных равенствах коэффициенты при одинаковых степенях х, можно получить систему трех линейных алгебраических уравнений вида

-24Пп¿1 + 6 Сдиd2 + 6 Срцйз = ^0, 4Сд11 ¿1 + Св11й2 + Си11й3 = 0, 4Ср11 ¿1 + СV 1^2 + Схцй3 = 0.

Решая эту систему, найдем

, Св11 Сх11 — С111 л ^11^11 — СдцСхц ¿1 =-----—<?о, (12 =----д—--—<ю,

-< -< -< -< — С^. -< -< г> -1 -<

¿3 = -■

(32)

А Qo;

-24Dii 6 Cgii 6 Cpii

4Cgii СвИ Cvii

4Cpii Cv ii Cxii

А

Из выражений (31) следует, что

ox ox2 ox3

d^oo 2 <92<£oo _ d^oo _„ , 2 92^oo

= 3d2x , = 6d2x, - = Мзх , = 6d3x, (33)

0.

dx ' dx2 ' dx ' dx2

dwo d2 wo 32wo

ду ду2 дхду

Тогда граничные условия (15) на Ь0 для данного жестко защемленного контура на основе (17) примут вид

4

2Яе^2 (1, №, ¿ук, Ьук) Шк(гк) = + Сю, С20, С30, С40) . (34)

k=i

Подставляя в эти условия функции (25) и учитывая, что на контуре Lo

ao 1

х = ао cos 0 = — I <т Н— I,

х' = тг н7'+ -т + ir \а + - > Cfco = (Т.

находим

ХД Ьук) Ып-\--^ ] ак0п+

к=1п=1^ ^ '

+ (1,~цк, 'Пук, Ъук) + ак0п^ = (35)

с1\аоо ( 3 1 \ 3^1 а^ / 1

2 у0"3 + ^з^--1 + ~ ) + сю, С20, с30, с40

Приравнивая в (35) коэффициенты при одинаковых степенях а, получаем равенства акоп = 0 при п = 1, п = 3 и две следующие системы линейных алгебраических уравнений четвертого порядка для определения ако1, ако3:

У^ ((1, Ц-к, (1ук, Ъук) т^акоп + (1, Ц-к, (1ук, Ъук) аиоп)

к=1

■,3

/- I к и _ к лз /-о I к и _ к о™

ЧАЮ "г ^ — "Б ' ^кО "г ЧАЮ "г "Тз- ~~ "рЗ

(Рк, дк, Гк, ЛX, &У, Ьх, Ьу)

к=1

аш гашг*

Яко В1

ко

(36)

з 3Л1 ао Х1 \

-у-к--—к, 0, 0, 0 ) прип = 1, 3.

Здесь 5гп - символ Кронекера.

Для комплексных потенциалов будем иметь

\У'к(хк) = акоо + ак01 (Со + + а*03 (с!о + , (37

или, учитывая следующие из (11) равенства

3 3

тко _ гк Л , л3 | тко _ % о™ %

ко ко 3 3 - ко

Чко Лко Чко Лко Лко

выражения

И^(^) = аш) + (аил - ЗшйоЗДОЗ) Б--Ь акоз~^г- (38)

Пко Пко

Для моментов (18), (19) получим формулы

(Мх, Му, Иху, Мах ,МЛу ,Мьх,Мьу) = = (Мох, Моу, Иоху, Моах, Моау, Моьх ,Моьу) —

(39)

в которых для моментов с индексами 0 на основе (21), (22) и (33) имеем

Mox = -3(4Dndi - CgUd2 - Cpnd3)x2, Moy = -3(4Di2di - Cgi2d2 - Cpi2d3)x2, H0xy = -3{4D16di - Cgi6d2 - Cpi6d3)x ,

Modx = 3(4Cgiidi + Dgiid2 + Dpid )x2, (40)

Mody = 3(4Cg2i di + Dgi2d2 + Dpi2d3)x2, Mobx = 3(4Cpiidi + DpUd2 + EpU d3)x2, Moby = 3(4Cp2idi + Dpi2d2 + Epi2d3)x2.

Аналогичным образом повторением предыдущих выводов получаются решения задач ЭУ, МУ и ТУ. Так, в случае задачи ТУ системы (36) примут вид

mfcOafcOra + (1) а'кОп) =

к=1

dia0 х3 3dia0 ri 1 0

--«—^к ! 0 при??, = 1, 3,

а моменты от частного решения будут такими:

ix2, Moy = -12Di2di x2, Modx = Mody = Mobx = Moby = 0

Mox = -12Dii di x2, Moy = -12Di2di x2, Hoxy = -12Dwdix2,

(41)

где

a qo

си = —-

24Ви

Заметим, что принятое частное решение (31) является наиболее удобным для использования; столь же удобное для преобразований решение получится, если в (31) переменную х заменить на у. Более общим будет, если сохранять все члены с х и дополнить аналогичными членами, содержащими у, но в этом случае из сравнения коэффициентов при степенях обеих переменных получится 5 уравнений (одно из первого уравнения (1), по 2 из второго и третьего уравнений) для 6 неизвестных. и нужно будет 2 коэффициента выбирать одинаковыми.

б). Действие в центре плиты сосредоточенной силы. Пусть в центре эллиптической плиты с контуром Ьо и полуосями ао, Ьо приложена сосредоточенная сила Р° (рис. 4). Как и выше, плита по контуру Ьо жестко защемлена, моменты

Рис. 4.

2

индукций на нем равны нулю.

В данном случае комплексные потенциалы (8) имеют вид

Ш (хк) = {А^Хк + Б°к1) 1п Хк + Шко (гк), (42)

где Ао1, В^ - постоянные, для которых из (9) и (10) имеем

1

(1> Хк> Ук> Ук/-1к> к=1 ^

= (О, 0, 0, 0, 0, 0, 0, )

V 2тгА1/

Ро \ (43)

О, О, о, о, о, о, о,

В°о1 = 0;

Ш о(хк) - функции, голоморфные в эллипсах Ь к о и представимые рядами (13). Следовательно,

те

Шк (гк) = А^Хк 1п Хк + ^ а к оп Рп (Хк) ■ (44)

п=0

На контуре Ьо, где (к0 = а, учитывая, что |<т| = 1, < 1, и разлагая

1п (1 + в ряд Тейлора, получим равенство

А°к1хк 1п хк = А°к1Кко (а + ^^ 1п а+

те (45)

(51ак2п-1&2П 1 + + йк^Рп (а) '

п=1 ^ ' п=1

в котором

ак2п-1 = Ак1Яко 1п Rk0, (Зк2п-1 =

о и ^ « _ (-1)пА°к1Якотпко

п (п — 1)

Подставляя функции (44) с учетом (45) в граничные условия (34) с нулевыми правыми частями, получим

4 те / ( тп \

Е Е ( ^ йуЬ' ЬУк) ( °П + ) ак0п +

к=1п=1^ ^ '

+ (1, ~рк, 1ук, Ъук) + гпкоаи^ аког.^ =

^ (1, »к, Лук, Ъук) + - 2п 1

п=1 ^ ^ '

, Ц-к, ЛукЪук) ( 6п 2п— 1

п 1 ,

(46)

и применяя метод рядов, получаем ако,2п = 0 и систему уравнений 4 те

W ткП0~ ак02п-1 + (l, ~ßki ^ук, byk)äk02n-l) =

к=1n=l

4

= ((l> ^fc' ^ук, \k) Ön&k2n-1 + (1, ßk, dyk, Ьук) ßk2n-l) ■ к=1

Следовательно, для комплексных потенциалов (42) получим выражения

те

wk (Zk) = A°klZk ln Zk + ak02n-iP2n-i (Zk), (48

n=l

и их производные

Wk (Zk) = A°ki ln Zk + A°ki + Y, akk ,2n-l P2n— l (Zk) ) (49)

n=l

причем P2nn_ l (Zk) выражаются рекуррентными формулами [8]

p[{Zk) = hp"{Zk) = % PL+1 Ы = n (Zk) - ^ZJmkP2n-l (Zk), (50)

P2n+2(Zk) = 2n + 1 ltkP*n+l^ ~ ^—mkP2n{Zk) {n = 1,2, ...).

Зная производные комплексных потенциалов (49), найдем моменты (21), (22).

1. Калоеров С.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного пьезоэлектрического тела / С.А. Калоеров, А.И. Баева, Ю.А. Глущенко // Прикладная механика. - 2003. - Т. 39, № 1. - С. 84-91.

2. Калоеров С.А. Двумерная задача магнитоупругости для многосвязного пьезомагнитного тела / С.А. Калоеров, О.И. Бороненко // Прикладная механика. - 2005. - Т. 41, № 10. -С. 64-74.

3. Калоеров С.А. Задача электромагнитоупругости для пластинки с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, А.В. Петренко, К.Г. Хорошев // Прикладная механика. - 2010. -Т. 46, № 2. - С. 93-105.

4. Kirchhoff G.R. Note relative a la theorie de l'equilibreet du mouvement d'une plaque elastique / G.R. Kirchhoff // Comptes Rendus Mathematique (Paris). - 1848. - Vol. XXVII. - P. 394-397.

5. Kirchhoff G.R. Uber das gleichgewichi und die bewegung einer elastishem scheibe / G.R. Kirchhoff // J. Fuer die Reine und Angewandte Mathematik. - 1850. - Vol. 40. - P. 51-88.

6. Калоеров С.А. Краевые задачи прикладной теории изгиба тонких электромагнитоупругих плит / С.А. Калоеров // Вестн. ДонНУ. Сер. А. Естествен. науки. - 2019. - № 1. - С. 42-58.

7. Калоеров С.А. Комплексные потенциалы теории изгиба тонких электромагнитоупругих плит / С.А. Калоеров // Вестн. ДонНУ. Сер. А. Естественные науки. - 2019. - № 3-4.-С. 37-57.

8. Космодамианский А. С. Температурные напряжения в многосвязных пластинках /А.С.Кос-модамианский, С.А. Калоеров. - Киев-Донецк: Вища шк., 1983. - 160 с.

S.A. Kaloerov

Exact analytical solutions of electromagnetoelasticity problems for an elliptical plate.

Solutions of various problems of electromagnetoelasticity for an elliptical plate are given. At the same time, using complex potentials, decomposition of holomorphic functions into series by Faber polynomials, and the series method, these problems are reduced to solutions of systems of linear algebraic equations of the 8th order. The cases of impacts along the contour of the slab, along its upper base, or at its individual internal points are considered.

Keywords: theory of thin plates bending, electromagnetoelasticity, complex potentials, series method, exact solutions.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 23.10.2020

kaloerov@mail.ru