CC BY
3ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№4 (73) / 2020.
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК 539.3
©2020. Е.С. Глушанков
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПО КРАЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛИТЫ
Решена задача об изгибе защемленной по краю тонкой эллиптической пьезоэлектрической плиты, загруженной равномерно распределенным давлением по верхнему основанию. При этом рассмотрены случаи, когда боковая поверхность плиты электродирована либо неэлектродиро-вана. Для обоих случаев получены точные решения в виде полиномов. На основе полученных решений проведены численные исследования влияния свойств материала плиты и электрического граничного условия на электроупругое состояние плиты.
Ключевые слова: теория изгиба тонких плит, пьезоэлектрический материал, эллиптическая плита, полиномиальные решения, функция прогиба, изгибающие моменты
Введение. В настоящее время в инженерной практике как элементы конструкций широко применяются тонкие плиты. Все большее распространение при этом получают плиты из пьезоэлектрических материалов. В процессе эксплуатации эти плиты подвергаются механическому либо электрическому воздействию по основаниям либо по краям, что может приводить к их изгибу. Это следует учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций. При решении задач теории изгиба плит из материалов, не обладающих пьезоэлектрическими свойствами, зачастую принимаются гипотезы Кирхгофа-Лява [1, 2]: гипотеза прямой нормали, в соответствии с которой прямолинейные отрезки, нормальные к срединной плоскости до деформации, при изгибе плиты остаются прямолинейными и нормальными к изогнутой срединной поверхности и не меняют своей длины; гипотеза о нерастяжимости срединной плоскости; гипотеза о ненадавливании слоев, в соответствии с которой влияние взаимодействия (давления) продольных слоев плиты на удлинения и сдвиги материальных волокон, лежащих в этих слоях, является достаточно малым и им можно пренебречь. К настоящему времени разработаны различные методы и решены многие задачи теории изгиба плит из изотропных и анизотропных материалов [3, 4].
Если же плита изготовлена из пьезоэлектрического материала, то следует учитывать пьезоэффект и гипотезы Кирхгофа-Лява следует дополнить гипотезой для компонентов электрического поля. В работе [5] предложено расширить гипотезу о ненадавливании слоев на индукции электрического поля: потоком индукции по толщине плиты можно пренебречь. Данная гипотеза имеет право на существование, если основания пластинки не покрыты электродами.
д
В данной работе получено точное аналитическое решение в виде полиномов для задачи об изгибе тонкой эллиптической плиты, изготовленной из пьезоэлектрического материала. Основания плиты не электродированы, по верхнему основанию действует равномерно распределенное давление. Край плиты жестко защемлен, он электродирован либо лишен электродного покрытия. Проведены численные исследования влияния свойств материала плиты и электрического граничного условия на значения моментов и прогиба плиты.
В качестве дополнения, из полученных решений предельным переходом получено решение задачи изгиба для жестко защемленной пьезоэлектрической бесконечной полосы.
1. Постановка задачи теории изгиба тонких пьезоэлектрических плит. Рассмотрим отнесенную к декартовой системе координат Охух тонкую плиту толщины 2Н (рис. 1), изготовленную из пьезоэлектрического материала. Срединная плоскость плиты лежит в плоскости Оху и занимает двумерную область 5. Пусть для каждой точки плиты имеется плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости. Основания плиты лишены электродного покрытия, по верхнему основанию распределены нормальные усилия д(х, у). По краю плиты распределены механические и электрические воздействия.
Определение электроупругого состояния плиты [6] сводится к интегрированию следующей системы дифференциальных уравнений относительно функции прогиба плиты м(х,у) и функции плотности потенциала электрического поля р0(х,у):
ЬАзм(х,у) + Ьзс<ро(х,у) = -д(х,у), Ьзсы(х, у) + Ь2вРо(х, у) = 0,
Рис. 1
(1)
где Ь^, Ьзс, Ь2в — дифференциальные операторы, определяемые следующими выражениями:
д4 ~ д4 Ьаз = - ( ¿>1177-7 + 4516 ^ о^ дх4 дх3ду
+ 2 512 + 2566
д4
дх2ду
2 + 4526
д4 | ~ д4 дхду3 ду4
5 д 3 /5 д3 (5 5
¿3 С = Сцт-т + С 21 + 6*16 „ 9о--Ь С\2 + 6*26
дх3 \ ) дх2ду V
5 д2 5 д2 5 д2 ¿2В — Вц—-у + 2В127———Ь В22ТГ^;
дх2 дхду ду2
д3 ~ д3 дхду2 ду3
~ 2Ъ3 ~ 2Ъ3
Я — Я П — ——С
В
ш
1]
В
1]1
3
/ 5ii S12 516 G11 G21 / s11 s12 S16 511 521
S12 S22 S26 G12 G22 s12 s22 S26 512 522
5i6 526 566 G16 G26 = s16 s26 s66 516 526
—G11 —G12 —G16 B11 B12 -511 —512 —516 £11 £12
V—G21 —G22 —G26 B12 B22 V -521 —522 —526 £12 £22/
Бц — коэффициенты деформации материала плиты, С^ц пьезоэлектрические модули, /Зц — коэффициенты диэлектрической проницаемости.
Систему уравнений (1) следует интегрировать при соответствующих граничных условиях. После этого прогиб плиты и плотность потенциала электрического поля становятся известными и по ним в любой точке плиты можно находить значения изгибающих моментов Мх, Му (порождаемых распределенными по толщине напряжениями ах, иу), крутящего момента Нху (порождаемого напряжением тху), моментов электрической индукции Мдх, М^у (порождаемых индукциями Дх, Ду) [6]:
Mx =
My =
H
xy
-h
h h
-h
h h
h
zaxdz — — ( 5ц—-it + 25i6T—т;—Ь 5i2tt^t — — G^i^r^ ,
ox2 dxdy dy2 dx dy )
zoydz — — I 5i2 „ 0 + 25гбт;—^—522тг^з— Gi2~rr--G22 ^
dx2
dxdy
dy2
dx
1 a d2 w ~ d2 w ~ d2w ~ ~
ZTxydZ — — + ^¿'ббТГ-^--Ь ^26ТГ^" ~~ ^16-ТГ--G26
dx2
dxdy
dy2
dx
dy
d(fo dy
h
M f Ау Г ^ 19Г д2%" ■ ^ д2%" + R
MDx = / zJJxdz = Gn—у + 2Gi6 --I--D12——,
J dx2 dxdy dy2 dx dy
-h
h
Moy= zDydz = G21^+2G26^ + G^+B12^+B^. (2) J dx2 dxdy dy2 dx dy
-h
Тогда становится возможным определение моментов и перерезывающих сил на произвольной площадке с нормалью n и касательной s [5, 6]:
Mn = Mx cos2(nx) + My cos2(ny) — 2Hxy cos(nx) cos(ny),
Ms = Mx cos2(ny) + My cos2(nx) + 2Hxy cos(nx) cos(ny), Hns = (My — Mx) cos(nx) cos(ny) + Hxy (cos2(nx) — cos2(ny)) ,
Nn = Nx cos(nx) + Ny cos(ny), Ns = Nx cos(ny) — Ny cos(nx),
MDn = MDx cos(nx) + MDy cos(ny), MDs = MDx cos(ny) — MDy cos(nx).
2. Вид граничных условий для случая жестко защемленного края
плиты. Если край плиты жестко защемлен, то механические граничные условия имеют вид [2]
dw
w = 0, —— = О, dn
что эквивалентно
dw dw дх ду
Вид электрического граничного условия зависит от того, присутствует ли по краю плиты электродное покрытие. Если электродное покрытие по краю плиты отсутствует, то в этом случае момент электрической индукции по направлению нормали равен нулю [5, 7]:
MDn = 0. (5а)
Если же электродное покрытие присутствует, то в этом случае по краю задано распределение потенциала электрического поля [7]:
Фо = Ф*°. (5б)
3. Постановка и решение задачи об изгибе эллиптической плиты. Рассмотрим тонкую эллиптическую пьезоэлектрическую плиту c полуосями, равными a и b (рис. 2). Основания плиты лишены электродного покрытия, по верхнему основанию равномерно распреде- рис 2 лены нормальные усилия q = const. Край плиты жестко
защемлен.
Рассмотрим случаи, когда электродное покрытие по краю отсутствует и когда оно присутствует.
Электродное покрытие отсутствует. Пусть край плиты не покрыт электродами и момент электрической индукции по нормали равен нулю:
MDn = MDx cos(nx) + MDy cos(ny) = 0. (6)
В этом случае функцию прогиба следует выбрать в виде [3]
w(x,y)= K {b2x2 + a2y2 — a2b2)2 , (7)
где K - неизвестная постоянная. Функция прогиба w тождественно удовлетворяет механических граничным условиям (4).
Поскольку функция прогиба выбрана в виде полинома четвёртой степени и содержит слагаемые с четными степенями, то на основании вида (1) целесообразно искать функцию плотности потенциала электрического поля в виде полинома третьей степени, содержащего слагаемые с нечетными степенями:
Фо (x, y) = Ax3 + Bx2y + Cxy2 + Dy3 + Ex + Fy. (8)
где A, B, C, D, E, F - неизвестные постоянные.
Тогда для моментов электрической индукции Mdx, M^y из (2) получаются следующие выражения:
Mdx = (8Kb4Gn + 3AB11 + B B 12)x2+ + (16Ka2b2Gi6 + 2B B11 + 2CB u)xy+ + (8Ka4G?12 + CB11 + 3DB 12)y2 + EB11 + FB12,
MDy = (8Kb4G?21 + 3AB12 + B B 22)x2 +
+ (16Ka2b2G26 + 2B B12 + 2CB 22)xy+ + (8Ka4 G22 + CB 12 + 3DB 22)y2 + EB 12 + F B 22-Для cos(nx), cos(ny) в случае эллиптического контура имеем
, % a x b x
cos (nx) = cos arctg • sgn у =
b2y 6 V^TbV'
2 2
a2x a2y
cos(ny) = sin arctg • sgn у =
ъ2у 6 у^Ть4^'
Подставляя эти выражения в (6) и произведя элементарные преобразования, получим такое уравнение:
(8К64(?21 + ЗАВ 12 + В В 22) а2х3 + (16Ка4Ъ2С26 + (2В В12 + 2С В 22) а2+ + (&КЪ4С11 + ЗАВ 11 + В В12) Ъ2) х2у + ((8Ка6С?22+ + (\6КЪ4С16 + СВ12 + З^В22) а2 + 2(ВВ 11 + СВЪ2 ^ ху2+ + (8Ка4С?12 + СВ11 + З^В Ъ2у3 + (ЕВ 12 + ^В22) а2х+ + (ЕВ 11 + FВЪ2у = 0.
Данное уравнение справедливо при значениях х, у, удовлетворяющих уравнению контура плиты Ъ2х2 + а2у2 — а2Ъ2 = 0, следовательно, справедливо следующее представление:
(8КЪ4С?21 + ЗАВ 12 + В В 22) а2х3 + (^16Ка4Ъ2С2б + (2В В12 + 2СВ 22) а2+ + (8КЪ4(?П + ЗАВ 11 + В В12) Ъ2) х2у ^(8Ка6С?22+ + (16КЪ4С?16 + С В12 + З^В 22) а2 + 2Ъ2(В В и + С В12)) ху2+ (9)
+ (8Ka4G12 + CB 11 + 3DB12) b2y3 + (eB 12 + FB22) a2x+ + (eB 11 + FB 12) b2y = (Qx + Ry) (b2x2 + a2y2 - a2b2) = 0,
где Q, Я - неизвестные постоянные.
Тогда из подстановки функций (7), (8) в систему дифференциальных уравнений (1) и из представления (9) получим систему 9 линейных алгебраических уравнений относительно 9 неизвестных К, А, В, С, Д, Е, Е, Q, Я:
К • (—24БцЬ4 - 16 (Б12 + 2Б6б) а2Ь2 - 24,22а4) + А • 6Сп + +В • 2 (¿?21 + ¿?1б) + С • 2 [С12 + ¿?2б) + Д • 6С22 =
К • (12(5 11Ь4 + 4 ^12 + а2Ь2^ + А • 3В11 + В • 21312 + С • В22 = 0,
К • (4 (¿?21 + С1б) а2Ь2 + 12(^22а4) + В • Вп + С • 2В12 + Д • зВ22 = 0, К • 8Ь4(5П + А • 3В11 + В • В12 - Q = 0, К • а2ЬА (8(521 + ВДб) + А • 3а2В12 + В • (а2В22 + 2Ь2Вп) + (10)
+С • 2Ь2В12 - Я • Ь2 = 0, К • а4Ь2 (8С12 + 16С?2б) + В • 2Ь2В12 + С • (^а2В22 + Ь2Ви) + +Д • 3Ь2В12 - Q • а2 = 0, К • 8а4С22 + С • 3В12 + Д • В22 - Я = 0, Е • В11 + Е • В12 + Q • а2 = 0, Е • В12 + Е • В22 + Я • Ь2 = 0.
После решения этой системы станут известными значения неизвестных постоянных, а следовательно, и функции w, ^>о. После этого становится возможным определять значения моментов в любой точке плиты по формулам (2).
Электродное покрытие присутствует. Пусть край плиты имеет электродное покрытие, которое обеспечивает по краю распределение плотности потенциала электрического поля
^>0 = V = еоиз1. (11)
В этом случае функции прогиба и плотности потенциала электрического поля можно выбрать в виде
w(x,y) = К (Ь2х2 + а2у2 - а2Ь2)2 , (12)
ро(ж, у) = (Ах + Ву) (Ь2х2 + а2у2 - а2Ь2) + V. (13)
Очевидно, граничные условия удовлетворяются тождественно. Неизвестные постоянные К, А, В определяются из системы линейных алгебраических уравнений, получаемой при подстановке (12), (13) в систему дифференциальных уравнений (1):
К ■ (—245цЬ4 - 16 (£12 + 25бб) а2Ь2 — 24522^) + + А ■ (б0пЬ2 + 2 (¿?12 + а2) + + В ■ (2 (021 + ¿1б) Ь2 + 60 22а2) = д,
1б
К ■ (24СПЬ4 + 8 (^12 + а2Ь2) + (14)
+ А ■ (ж22а2 + 6Б11Ь2) + В ■ 4В12Ь2 = 0, К ■ (8 (^21 + С1б) а2Ь2 + 24^22а4) +
+ А ■ 4Б12а2 + В ■ (бБ22а2 + 2БПЬ2) = 0.
После решения этой системы станут известными значения неизвестных постоянных, а следовательно, и функции w, После этого становится возможным определять значения моментов в любой точке плиты по формулам (2).
4. Численные исследования. Были проведены численные исследования для пластинки из таких материалов: 1) селенид кадмия СйБе [8, 9] (материал ЭМ1); 2) титанат бария ВаТО3 [8, 10] (материал ЭМ4); 3) пьезокерамика Р2Т — 4 [8, 10] (материал ЭМ5); 4) пьезокерамика Р2Т — 5А [8, 10] (материал ЭМ6). Физико-механические постоянные этих материалов приведены в таблице 1.
Таблица 1. Физические постоянные материалов
Величина Значение
ЭМ1 ЭМ4 ЭМ5 ЭМ6
«п/«о 23,21 8,70 10,90 14,40
«22/«0 16,68 7,10 7, 90 9,46
«бб/«о 74,46 17, 50 19,30 25,20
«12/«0 -5,38 -1,90 -2,10 -2,98
016/до -124,40 20,20 39,40 38,20
921/до -41,61 -5,20 -11,10 -11,40
322/до 81,15 12,60 26,10 24,80
Рп/Ро 118987,10 77, 93 76,61 65,31
/322//30 106071,50 66,47 86,92 66,46
Здесь приняты следующие обозначения:
¿0 = 10_б МПа"1, д0 = 10"3 МКл"1 ■ м2, [30 = 1 МН ■ м2 ■ МКл"2.
В таблице 2 для круговой плиты (Ь = а), по краю которой электродное покрытие отсутствует (Мдп = 0), о точностью до множителя да2 приведены значения моментов Мп, М3, Ипз, М^в в некоторых точках контура плиты с центральным углом в, отсчитываемым от положительного направления оси Ох. При этом решались задачи теории электроупругости (ТЭУ), когда учитывались
все свойства материала плиты, и теории упругости (ТУ), когда не учитывались электрические свойства материала.
Таблица 2. Значения моментов в точках неэлектродированного края круговой плиты
б, рад. Величина
м„ • ю-* м8 ■ ю-2 нП8 ■ ю-* м08 • 10-й
ТЭУ ТУ ТЭУ ТУ ТЭУ ТУ ТЭУ
Материал ЭМ1
0 11,149 11,144 3,576 3,595 0,000 0,000 -0,041
7г/12 11,026 11,024 3,992 4,007 -0,177 -0,170 -0, 040
7г/6 10,993 10,996 4,826 4,833 0,221 0,229 -0,036
тг/4 11,668 11,674 5,246 5,246 1,085 1,091 -0,029
7г/3 13,174 13,178 4,836 4,833 1,659 1,660 -0,021
5тг/12 14,802 14,802 4,009 4,007 1,262 1,260 -0,011
тг/2 15,510 15,507 3,595 3,595 0,000 0,000 0,000
Материал ЭМ4
0 11,334 11,009 4,063 2,946 0,000 0,000 5,804
тг/12 11,633 11,300 3,879 2,821 0,666 0,527 5,607
7г/6 12,364 12,005 3,463 2,570 1,006 0,754 5,027
тг/4 13,159 12,751 3,097 2,445 0,927 0,620 4,104
7г/3 13,720 13,246 2,965 2,570 0,600 0,320 2,902
5тг/12 13,982 13,449 3,017 2,821 0,261 0,093 1,502
тг/2 14,047 13,490 3,068 2,946 0,000 0,000 0,000
Материал ЭМ5
0 10,953 10,189 5,375 2,709 0,000 0,000 7,456
тг/12 11,445 10,636 5,030 2,520 1,190 0,809 7, 202
7г/6 12,652 11,721 4,224 2,144 1,827 1,163 6,457
тг/4 13,981 12,876 3,443 1,956 1,739 0,967 5,272
7г/3 14,939 13,655 3,032 2,144 1,186 0,512 3,728
5тг/12 15,406 13,987 2,966 2,520 0,549 0,158 1,930
7Г/2 15,527 14,059 2,991 2,709 0,000 0,000 0,000
Материал ЭМ6
0 10,345 9,677 5,351 3,048 0,000 0,000 7, 981
тг/12 10,878 10,164 5,065 2,901 1,229 0,888 7, 709
7г/6 12,226 11,385 4,395 2,605 1,938 1,350 6,911
тг/4 13,808 12,796 3,738 2,457 1,938 1,263 5,643
7г/3 15,089 13,911 3,382 2,605 1,418 0,838 3,990
5тг/12 15,837 14, 540 3,311 2,901 0,709 0,376 2,066
7Г/2 16,071 14,731 3,326 3,048 0,000 0,000 0,000
В таблице 3 для круговой плиты, по краю которой электродное покрытие присутствует и потенциал электрического поля равен нулю (^>о = 0), е точностью до множителя да2 приведены значения моментов Мп, М3, Ипз, М^п, М^в в некоторых точках контура плиты.
Из полученных результатов следует, что значения механических моментов Мп, М3, Ипз являются сопоставимыми для всех материалов. По всей видимости, этому способствуют механические граничные условия (край плиты жестко
Таблица 3. Значения моментов в точках электродированного края круговой плиты
б, рад. Величина
м„ • ю-^ Ms ■ ю-2 Hns ■ ю-* MDn ■ Ю-0 MDs • ю-"
ТЭУ ТУ ТЭУ ТУ ТЭУ ТУ ТЭУ ТЭУ
Материал ЭМ1
0 И, 152 11,144 3,605 3,595 0,000 0,000 0,000 0,015
7Г/12 11,029 11,024 4,019 4,007 -0,173 -0,170 -0, 034 0,003
7г/6 10,997 10,996 4,846 4,833 0,225 0,229 -0, 050 -0,026
тг/4 11,670 11,674 5,259 5,246 1,089 1,091 -0,038 -0,053
7Г/3 13,172 13,178 4,843 4,833 1,660 1,660 -0, 007 -0,061
5тг/12 14, 796 14,802 4,014 4,007 1,262 1,260 0,024 -0,040
тг/2 15,502 15,507 3,600 3,595 0,000 0,000 0,037 0,000
Материал ЭМ4
0 11,398 11,009 3,467 2,946 0,000 0,000 0,000 2,346
7Г/12 11,630 11,300 3,364 2,821 0,468 0,527 1,209 2,455
7г/6 12,208 12,005 3,142 2,570 0,711 0,754 2,068 2,664
тг/4 12,861 12,751 2,974 2,445 0,665 0,620 2,407 2,692
7Г/3 13,358 13,246 2,962 2,570 0,440 0,320 2,315 2,269
5тг/12 13,622 13,449 3,053 2,821 0,197 0,093 2,065 1,313
тг/2 13,698 13,490 3,108 2,946 0,000 0,000 1,943 0,000
Материал ЭМ5
0 И, 109 10,189 3,835 2,709 0,000 0,000 0,000 2,670
7Г/12 11,427 10,636 3,702 2,520 0,675 0,809 1,715 2,850
7г/6 12,235 11,721 3,397 2,144 1,063 1,163 2,931 3,218
тг/4 13,193 12,876 3,128 1,956 1,060 0,967 3,405 3,367
7Г/3 13,983 13,655 3,025 2,144 0,773 0,512 3,265 2,904
5тг/12 14,455 13,987 3,057 2,520 0,385 0,158 2,902 1,701
тг/2 14, 605 14,059 3,091 2,709 0,000 0,000 2,724 0,000
Материал ЭМ6
0 10,460 9,677 4,043 3,048 0,000 0,000 0,000 2,854
7Г/12 10,866 10,164 3,908 2,901 0,823 0,888 1,677 2,958
7г/6 11,907 11,385 3,607 2,605 1,308 1,350 2,957 3,144
тг/4 13,167 12,796 3,357 2,457 1,324 1,263 3,633 3,115
7Г/3 14,241 13,911 3,293 2,605 0,986 0,838 3,778 2,590
5тг/12 14, 909 14, 540 3,364 2,901 0,501 0,376 3,665 1,488
тг/2 15,128 14,731 3,415 3,048 0,000 0,000 3,587 0,000
защемлен). Следовательно, при жестко защемленном крае упругие свойства материала (значения коэффициентов деформации) слабо влияют на значения моментов. Влияние же пьезоэлектрических свойств является более выраженным. Так, для плиты из материала ЭМ4 учет этих свойств привел к росту максимальных значений моментов Ms и Hns до 30%, а для плит из материалов ЭМ5, ЭМ6 -до 70%. А в плите из материала ЭМ1, обладающего наибольшими пьезоэлектрическими модулями, изменения значений моментов оказались незначительными. При этом, изменение значений момента Mn для плит из всех материалов оказалось незначительным.
В плите из материала ЭМ1 возникают самые слабые моменты электрической индукции Ырп, Ыр3. Для плит из материалов ЭМ4, ЭМ5, ЭМ6 значения этих моментов оказались сопоставимыми и на 2 порядка выше, чем в плите из материала ЭМ1; в плите из материала ЭМ6 - незначительно больше, чем в плитах из материалов ЭМ4 и ЭМ5. Это связано с тем, что у материала ЭМ6 значения коэффициентов диэлектрической проницаемости несколько меньше, чем у материалов ЭМ4, ЭМ5, а материал ЭМ1 обладает значительно большими значениями пьезоэлектрических модулей и коэффициентов диэлектрической проницаемости, чем у остальных материалов. Для всех материалов значения момента Ырп в точке в = 0 и момента Ы^в в точке в = п/2 (равных Ырх в этих точках) получались равными нулю, поскольку рассмотренные материалы обладают поляризацией вдоль оси Оу.
Наличие или отсутствие электродного покрытия заметно влияет на значения моментов Ыв, Ипз. Так, сравнение максимальных значений показало, что в случае неэлектродированного края плиты значения моментов до 60% больше, чем в случае электродированного края. Однако значения момента Ып слабо зависят от электрического граничного условия. При этом вблизи точки в = 0 значения момента Ып получались больше при электродированном крае плиты, а вблизи точки в = п/2 - при неэлектродированном. Влияние электродированности на значения моментов индукции Ырп, Ы^в достаточно велико - существенно различается распределение потоков индукции, при этом для случая неэлектро-дированного края суммарные их значения оказываются выше.
В таблице 4 для круговых плит (Ь = а) из различных материалов с точностью до множителя д/а4Ь? приведены значения постоянной К, характеризующей величину прогиба, в зависимости от типа задачи и электрического граничного
условия. Таблица 4.
Значения постоянной К для круговой плиты
Материал Тип задачи
ТЭУ ТУ
МВп = 0 Уо = 0 -
ЭМ1 4,4880- Ю-7 4,4908- Ю-7 4,4873- Ю-7
ЭМ4 1,7607- Ю-7 1,7587- Ю-7 1,6909- Ю-7
ЭМ5 2,1821 • Ю-7 2,1750 • Ю-7 1,9758- Ю-7
ЭМ6 2,6647- Ю-7 2,6594- Ю-7 2,4426- Ю-7
Видно, что наибольший прогиб возникает в плите из материала ЭМ1, обладающего наибольшими значениями коэффициентов деформации. Таким образом, упругие свойства материала значительно влияют на значения прогиба. Влияние же электрических свойств материала и электрического граничного условия на прогиб плиты является незначительным.
5. Решение задачи об изгибе бесконечной полосы. Если в полученных выше решениях произвести предельный переход при Ь ^ ж, то получатся решения задач изгиба для жестко защемленной бесконечной полосы.
И для случая неэлектродированного края полосы, и для случая электроди-
рованного края решение задачи обретает вид
■м(х) =
q (a2 - x2)2 B11
24 B uSu + G2i . . q x(a2 - x2) Gii
Ы") = Г Вп5ц + G2tl '
Таким образом, в случае жестко защемленной полосы электрические граничные условия не оказывают влияния на прогиб плиты, распределение в ней электрического потенциала, распределение моментов.
1. Love A.E.H. On the small free vibrations and deformations of elastic shells / A.E.H. Love // Philosophical trans. of the Royal Society. - 1888. - Vol. serie A, No. 17. - P. 491-549.
2. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки / С.Г. Лехницкий. - М.: Гостехиздат, 1957. -463 с.
3. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - М.: Наука, 1966. - 636 с.
4. Mansfield E.H. The bending and stretching of plates / E.H. Mansfield. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. - 228 p.
5. Калоеров С.А. Краевые задачи прикладной теории изгиба тонких электромагнитоупругих плит / С.А. Калоеров // Вестн. Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2019. - № 1.
- С. 42-58.
6. Калоеров С.А. Задачи электроупругого, магнитоупругого и упругого изгиба тонких плит как частные задачи электромагнитоупругого изгиба / С.А. Калоеров // Вестн. Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2019. - № 3-4. - С. 58-79.
7. Гринченко В.Т. Электроупругость / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульга. - К.: Наук. думка. - 1989. - 280 с.
8. Калоеров С.А. Двумерные задачи электро- и магнитоупругости для многосвязных областей / С.А. Калоеров, А.И. Баева, О.И. Бороненко. - Донецк: Юго-Восток, 2007. - 268 с.
9. Liu J.X. Anisotropic thermopiezoelectric solids with an elliptic inslusion or a hole under uniform heat flow / J.X. Liu, X.S. Zhang, X.L. Liu, J. Zheng // Acta Mech. Sinica. - 2000. - Vol. 16.
- P. 148-163.
10. Dunn M.L. Micromechanics of coupled electroelastic composites effective thermal expansion and pyroelectric coefficients / M.L. Dunn //J. Appl. Phys. - 1993. - Vol. 73. - P. 5131-5140.
E.S. Glushankov
The solution of the problem of bending of clamped elliptic piezoelectric plate.
A bending problem is solved for clamped thin elliptic piezoelectric plate loaded with uniformly distributed pressure along the upper base. The cases are considered whether a side surface of plate is electoded or is not electroded. In both cases the exact solutions are obtained in polynomials. The influence of material's properties and electric boundary condition on the electro-elastic state of the plate is obtained with the numerical studies based on the obtained solutions.
Keywords: bending theory of thin plates, piezoelectric material, elliptic plate, polynomial solutions, deflection function, moments in bending theory, bending moments.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 04.12.2020
evgenij.glushankov@gmail.com
