РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ТОНКОЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОЛОСЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№1 (74) / 2021.

УДК 539.3

©2021. Е.С. Глушанков

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ТОНКОЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОЛОСЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

Решена задача об изгибе тонкой пьезоэлектрической полосы, загруженной равномерно распределенным давлением (поперечной нагрузкой) по верхнему основанию. Задача сведена к решению системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Получено общее решение этой системы и построены решения некоторых физически реализуемых краевых задач. На основе полученных решений проведены численные исследования влияния свойств материала плиты и условий на краях полосы на электроупругое состояние полосы. Ключевые слова: теория изгиба тонких плит, пьезоэлектрический материал, электроупругая полоса, система обыкновенных дифференциальных уравнений, функция прогиба, потенциал электрического поля.

Введение. В настоящее время широкое применение в качестве элементов конструкций получили тонкие плиты из пьезоэлектрических материалов. В процессе эксплуатации эти плиты подвергаются различным внешним воздействиям, которые могут приводить к их изгибу. Эти факторы следует учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций. При решении задач изгиба пьезоэлектрических плит следует принимать гипотезы Кирхгофа-Лява [1], дополненные гипотезой на электрические компоненты состояния плиты [2]: гипотеза прямой нормали (прямолинейные отрезки, нормальные к срединной плоскости до деформации, при изгибе плиты остаются прямолинейными и нормальными к изогнутой срединной поверхности и не меняют своей длины); гипотеза о нерастяжимости срединной плоскости; гипотеза о ненадавливании слоев (влияние взаимодействия (давления) продольных слоев плиты на удлинения и сдвиги материальных волокон, лежащих в этих слоях, является достаточно малым и им можно пренебречь); гипотеза о малом потоке электрической индукции по толщине (поток электрической индукции по толщине является достаточно малым и им можно пренебречь).

К настоящему времени разработаны методы [2, 3] и решены некоторые задачи теории изгиба пьезоэлектрических плит [4].

В данной работе решена задача об изгибе полосы из пьезоэлектрического материала под действием равномерно распределенной нагрузки по верхнему основанию - даны общее решение задачи и частные решения физически реализуемых краевых задач. При этом основания полосы полагаются неэлектродированными. В работе рассмотрены такие случаи механических граничных условий - один из краев полосы жестко защемлен, а второй или жестко защемлен, или свободно оперт, или свободен от внешних воздействий; оба края полосы свободно оперты. Рассмотрены такие случаи электрических граничных условий - оба края поло-

д

X

сы неэлектродированы; оба края полосы электродированы; один из краев имеет электродное покрытие, а другой не имеет его. Проведены численные исследования влияния свойств материала полосы и условий на ее краях на электроупругое состояние полосы.

1. Постановка задачи теории изгиба тонких пьезоэлектрических плит. Рассмотрим тонкую плиту толщины 2Н, отнесенную к декартовой системе координат Охух (рис. 1), изготовленную из пьезоэлектрического материала. Срединная плоскость плиты лежит в плоскости Оху. В каждой точке плиты существует плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости. Основания плиты неэлектродированы, на верхнем основании действует нормальное давление д(х,у). По краям плиты распределены механические и электрические воздействия.

Определение электроупругого состояния тонкой плиты сводится к решению системы дифференциальных уравнений относительно прогиба плиты ,ш(х,у) и плотности потенциала электрического поля фо(х,у) [3]

2м Рис. 1

Ь^™(х,у) + ЬЗСфо(х,у) = -д(х,у), Ьзсы(х, у) + ¿2БФо(х, у) = 0,

(1)

где ¿45, ЬЗС, Ь2Б выражениями:

дифференциальные операторы, определяемые следующими

д4 ~ д4 Ьаз = - ( ¿>1177-7 + 46,1б „ , „ дх4 дх3ду

= Оц

дх3

+ 2 (^12 + 25*66 \ д3

д4

+ 6*21 + С\б „ 9„ V / дх2ду

д2

дх2ду

+ с 12 + а*26

2 + 45)26

д4 | ~ д4 дхду3 22 ду4

д3 ~ д3

- —|— Ст02-•

дхду2 ду3

д2

¿2В = Вц—г + 2В12

дх2 дхду

+ В

22

ду2

2!г3 5г], 2Ъ3 . 2!г3

Сг] = 3 В г] = —В*,-;

( 5И 512 516 СЦ С21 \ 811 812 816 д11 д21

512 522 526 а12 С22 812 822 826 д12 д22

5*16 526 566 С16 С26 = 816 826 866 д16 д26

-Сц -а12 —а16 В11 В12 —д11 —д12 —д16 в11 в12

К-С21 — С22 — С26 В12 В22 — д21 — д22 — д26 в12 в22)

1

8] — коэффициенты деформации материала плиты, д^ — пьезоэлектрические модули материала, в] — коэффициенты диэлектрической проницаемости материала.

Систему уравнений (1) следует интегрировать при соответствующих граничных условиях. После этого прогиб плиты и плотность потенциала электрического поля становятся известными и по ним в любой точке плиты можно находить значения изгибающих моментов Мх и Му, крутящего момента Нху, перерезывающих сил N и N, моментов электрической индукции М^х и М^у [3]:

h

i i (r d2w ~ d2w ~ d2w ~ ~

Мх = / zaxdz = — I 5ц—-2 + 25i6—— + 5la— - Gn-^ - ,

J \ ox2 dxdy dy2 dx dy )

-h h

, i i r d2w ~ d2w ~ д2w ~ дш<о ~ dpo My = / zoydz = - Sl2— + 2S26—— + 5221ГТ " " G22

dx2 dxdy dy2 dx dy

-h

h 2 2 2

Hxy = / ZTxydz = — SiQ—^r + 25ббт—T;—526—т — G\Q —--G26—.— ,

J \ dx2 dxdy dy2 dx dy )

-h

h

/(~ d3w ~ d3w f~ ~ \ d3w ~ d3w rxzdz = — Sn—-T + 35*16 о o0—Ь S12 + 25*66 n n о + <5*26-77-\ dx3 dx2dy \ ) dxdy2 dy

h

-Gutty — (G21 + G^) T7-77- — G26 ) (2)

dx2 \ ) dxdy dy2 )

h

/(~ d3 w f~ ~ \ d3w ~ d3 w ~ d3 w Tyzdz = — 5i6ttt + S12 + 25*66 n 9o—3526 п п 9 + S2

\ dx3 \ ) dx2dy dxdy2 dy3

-h

Г д2(Ро (x , я ) я дР<ро\

--Lrl2 + Lr26 тгт;--1г22 9 ,

dx2 \ ) dxdy dy2 )

h

MDx = [ zDxdz = Gn^+ 2Gn^r + + +

-h h

Q I 10 _ _ 1 v.-« 12 о О 1 11 о 1 12 о J

dx2 dxdy dy2 dx dy

MDy = I zDydz = G21^+ 2G2^ + G22^ + + B22^.

J dx2 dxdy dy2 dx dy

-h

Здесь axi ay, Txy, Txz, Tyz - компоненты тензора напряжений, Dx, Dy - компоненты вектора электрической индукции.

Тогда становится возможным определение моментов и перерезывающих сил на произвольной площадке с нормалью n и касательной s [2, 3]:

Mn = Mx cos2 (nx) + My cos2 (ny) — 2Hxy cos(nx) cos(ny),

Ms = Mx cos2(ny) + My cos2(nx) + 2Hxy cos(nx) cos(ny),

Hns = (My — Mx) cos(nx) cos(ny) + Hxy (cos2(nx) — cos2(ny)) ,

Nn = Nx cos(nx) + Ny cos(ny), (3)

Ns = Nx cos(ny) — Ny cos(nx),

MDn = MDx cos(nx) + MDy cos(ny),

MDs = MDx cos(ny) — MDy cos(nx).

Механические граничные условия [1]. Если край плиты жестко защемлен, то механические граничные условия имеют вид

: 0. (4а)

Если край плиты свободно оперт, то механические граничные условия имеют

w = 0, Mn = 0. (4б)

w

0, ^ ' дп

вид

Если край плиты свободен от механических усилий, то механические граничные условия имеют вид

Mn = 0, Nn +

дНп. ds

0.

(4в)

Электрические граничные условия. Вид электрического граничного условия зависит от того, присутствует ли по краю плиты электродное покрытие. Если электродное покрытие по краю плиты отсутствует, то в этом случае момент электрической индукции по направлению нормали равен нулю [2, 5]:

MDn = 0.

(5а)

Если же электродное покрытие присутствует, то в этом случае по краю задано распределение потенциала электрического поля [5]:

^о = Фо-

(5б)

2. Постановка задачи об изгибе тонкой полосы. Рассмотрим отнесенную к декартовой системе координат Охуг тонкую полосу толщины 2Н и ширины 2а, изготовленную из пьезоэлектрического материала, ориентированную вдоль оси Оу (рис. 2). Срединная плоскость полосы лежит в плоскости Оху. Основания полосы лишены электродного покрытия, по верхнему основанию действуют распределенные нормальные усилия д(х). По краю полосы заданы равномерные (одинаковые вдоль края) механические и электрические условия.

у\

O x

' 2a '

Рис. 2

(7)

В этом случае электроупругое состояние полосы не зависит от координаты у. Тогда в системе уравнений (1) все производные по переменной у равны нулю, и получится система обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функции прогиба w(x) и функции плотности потенциала электрического поля ^>о(х), которая примет следующий вид:

~ ~ ^о , ,

^ ~ = ^ (б)

~ <Рь) ~ <Р<ро

ах3 ах2

Систему уравнений (6) следует решать при соответствующих граничных условиях. После этого прогиб плиты и плотность потенциала электрического поля становятся известными и по ним в любой точке плиты можно находить значения изгибающих моментов Мх, Му, крутящего момента Нху, перерезывающих сил Ых, Ку, моментов электрической индукции Мдх, Мду:

Мх = — 5ц —у + Оц-^-, Му = —512ТГГ + )

ох2 ох Ох2 Ох

тт а , г 9<Р°

ох2 ох

N - Я д3у) + Г N - Я д3у) + Г д2щ

Ох3 ох2 Ох3 Ох2

м г д2%ю + я м г д2%ю + я

-МДж = Ь-ц—-"5" + Ьц——, Мг>у = ^21—+ £>12^— •

дх2 дх дх2 дх

После этого становится возможным определение моментов на произвольной площадке с нормалью п и касательной в по формулам (3).

Механические граничные условия. Если край полосы жестко защемлен, то механические граничные условия имеют вид

д'Ш . .

и) = 0, — = 0. 8а

дх

Если край полосы свободно оперт, то механические граничные условия имеют вид

w = 0, Мх = 0. (8б)

Если край полосы свободен от механических усилий, то механические граничные условия имеют вид

Мх = 0, N = 0. (8в)

Электрические граничные условия. Если край полосы не электродирован, то электрическое граничное условие имеет вид

Бх = 0. (9а)

Если же край полосы электродирован и задано значение V плотности потенциала электрического поля, то электрическое граничное условие имеет вид

Vo = V. (9б)

3. Действие равномерной нагрузки по верхнему основанию полосы. Рассмотрим случай действия равномерной нагрузки по верхнему основанию полосы, т.е. q(x) = q = const.

Общее решение задачи. Тогда с использованием метода подстановки получим общее решение системы (6) в следующем виде:

q "D

w(x) = • „ „ 11 „ ж4 + СгВцх3 + С2х2 + С3х + С4, 24 5iib и + Gb

(fio(x) = • ~ ~Gn ~ х3 - ЗС\Оцх2 + С5х + С6, 6 sub n + CG?!

где Ci (г = 1,6) — неизвестные постоянные, определяемые из граничных условий.

Решения краевых задач. Рассмотрим следующие случаи физически реализуемых электрических граничных условий.

1. Оба края полосы неэлектродированы. В этом случае на основе (9а) получаем следующие электрические граничные условия: Dx(—a) = 0, Dx(a) = 0. а) Оба края полосы жестко защемлены. В этом случае на основе (8а) получа-

dw

ем следующие механические граничные условия: w{—a) = —j—{—a) = 0, dw

гvia) = -—-(а) = 0. Решение задачи имеет вид dx

w(x) = Vo (x) =

q (a2-x2)2 Вп

24 ' Вц5ц + G21 ' q x (a2 — x2) Gin

6 вп^п + а2!

Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

а2- Зж2 (а2 " Зх2) В ц512 + Сц Сг 12 Мх=д----, Му = д- 4 у

6 б(в 11^11 + G2!

(а2 — 3x2) (BП516 + G11 С?1в) Нху = q ■ т— - —т ,

6 (B 115ц + G21J

x (в 11 516 + <511^51б ) Nx = -qx, Ny = —q ■ у

в 11511 + G1

11

(3х2 - а2) (В 11<^21 - <5цВ12)

МВх = 0, МВу = д---^-

6(В 11^11 +

б) Левый край полосы жестко защемлен, правый край свободно оперт. В этом случае на основе (8а), (8б) получаем следующие механические граничные dw

условия: и}(—а) = —(—а) = 0, ь){а) = Мх(а) = 0. Решение задачи имеет вид

. . д (х + а)2 (х — а)(х — 2а) В11

ы{х) = — ---—----,

24 Вп^п+С?!

д х (4х2 — 3ах — 6а2) Сп

= --в^+б?, ;

Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

(а + 2х) (а — х) (а + 2х) (а — х) (ВнВ12 + ^11^12)

Мх = д-±-^-Му = д• 4 у

4 4(в 11^п + (В2и

(а + 2х) (а — х) ив16 + СцС^)

Нху - д '

4 (в 11В11 + С^)

а_ 4х (а — 4х) [В11Б16 + Си<В1б)

Мх = д-——, Му = д---;—-

4 4 (ВцВЦ + С2^

(а + 2х) (х — а) (вц<В21 — СиВ12) МВх = 0, МВу = д---^-

4(В 11^11 +

в) Левый край полосы жестко защемлен, правый край свободен от механических воздействий. В этом случае на основе (8а), (8в) получаем следующие

dw

механические граничные условия: и}(—а) = (—а) = 0, Мх(а) = Л^(а) = 0. Решение задачи имеет вид

д (х + а)2 (х2 — 6ах + 17а2) В21

'ш(х) = — --^—------,

24 Вп^п+С?!

д х (х2 — 3ах + 3а2) Сп

^о(х) = —

6 В11Б11 + (В?

11

Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

( х)2 (а - ж)2 (В 11 £12 + С?11С?12)

Мх = -дМу = -д-~ V }

(а - х 2

Нху — д •

Кх — д • (а - ж) , Ыу — д — о, М^ — д

2 (в 115ц + а2^

(а - ж)2 (в

2(в11511+С21)

(а - ж) (в

11 *в1б + а?11<в1б в 11 >511 + аВ11 (а-Ж)2(ВиС21-СцВ12) 2(В11511+С21)

г) Оба края свободно оперты. В этом случае на основе (8б) получаем следующие механические граничные условия: ,ш(-а) — Мх(-а) — 0, w(a) — Мх(а) — 0. Решение задачи имеет вид

, , д (ж2 - а2) (ж2 - 5а2) ви

из (х) = — • --~ ~--—--,

24 ВцЯп+С?!

д ж (ж2 - За2) а21

= - в' в^ + б?, '

Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

2 2)

а2 ж2

(а2 - ж2) (в 11В12 + апа 12) Мх = д-^—-, Му = д---—т-^

2 2 (в пВп + а2^

(а2 - ж2) (ви51б + апа1б) 2(В11511 + С21)

ж (в 11 >51б + ав11<в1б^)

в 11 в11 + ав?1

(ж2 - а2) (в 11^21 - а11в 12)

МВх = 0, МВу = д---^-^

2(В 115511 + а2п)

2. Оба края полосы электродированы. Пусть на краях полосы задан нулевой электрический потенциал. В этом случае на основе (9б) получаем следующие электрические граничные условия: ^о(-а) — 0, ^о(а) — 0.

2 - 2

Нху - д •

N — -дж, N — -д

а) Оба края полосы жестко защемлены. Решение задачи имеет вид

,, д {а2 — х2)2 В11 24 Ви^п + С2/

. . д х(а2 — х2) (В11 V а — х = Г ВП511+С?1 +2—;

Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

а2 — 3х2 (В11

Мх = д -----V

6

2а

Му = д

(а2 — 3х2) (В 11В12 + (Си(В 12

6 ВцВц + (В2

11

Нху - д '

(а2 — 3х2) (В 11В16 + ОцС

16

-V ■

-V

6( В11В11 + (Б21

х В11Б16 + <В11<В16

С12 "2а"'

С16 ~2а"'

Мх = —дх, N = —д

В11 Б11 + (В11 (3х2 — а2) (в 11(21 — (11В12

6 В11В11 + (В2

11

-V •

В12 2а '

б) Левый край полосы жестко защемлен, правый край свободно оперт. Решение задачи имеет вид

(х + а)2 (х — а) ( (4В цВц + 3<В21) х — а (8ВцВц + 7<В21)) Ви

™{х) = д--, ^ - ' , -^^-—--Ь

24(4ВцВц +3С?2Л (В 11Б11 + (В21

(х + а)2 (а — х) Си 4а2 Ш пБп+ 3&2п

Ых) = д'

+V

(а — х)( (4 В11 Ви + 3(В2Н х2 + а В и Впх — 3а2 (В цВц + (В^Л ) Сп

6(4В11В11+ 3С2-,) (в 11В11 + а2п

-+

(х — а) 3С?21 х — а 8ВПБП + 3(В21

4а2 (4В 21 В21 +3(Б2

11

Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы: (а - ж) ((2В11+ за?^ ж + а (В 11в11 + С??))

(а - >11 + за?^ ж + а ^в115и + <??

8В11 в?? + 6С??

3 (а - ж) (В 11в11 + С?2Л а?? -V 4 у

2а2 (4вцвц + 3С??)

-22(в 11В12 + а12а11 ) 4а ( в 11>в12 + а12а11 )

~ ~----х2 Н--4 ~ ~----

в цв?? + а?? 4в цв?? + 3С??

2а2 ( (бВ 115?? + 5С??) В11В12 + (4В 11 >511 + за2?^ ахха?_2

з (В 11 >511 + а20 (4в11,511 + за??]

3 (1311 *С12 + а11а12 ) <11 В 11512а11 - ( 4В11В11 + заи) а12

—-, „ „-' ч х +

2а2 (4В11 .С?? + 30520 а (4ВцВ?? + за??)

-2(в 11>51б + а1б а11 ) 4а ( В 11>51б + а1ба11 )

Нху = д- \ -~ ~-^-/-х2 н--4 ~ ~-^-

В цВц + <52? 4В 11 вп + за??

2а2 6Вв

11 511 + 5<5?0 В 11»51б + (4В1?,511 + 3а?0 <511<с16

з (б 11 .^ц + а??] (4В1?,511 + за??]

з (в 11*51б + а?1а?б 1 <с?1 В 11*с16<511 - (4Ви5?? + за??) а?б

| V . „-х +--„ . У

2а2 (4в 1?»с?? + за2?] а (4вП5И + за??]

а Вв

11 >511 + а5??) \ з в ц»5?? + а??) а??

= д ■ I ~ ~-^ -х\ + V ■ к , --тг^г,

4В1?5?1 + 3С?? ) 2а2 (4ВцВ?? + 3С??)

а (^Вп^б + СцСхе^ В??5?6 + СцСщ \ 3 (Вп^е + Сп^пе] Оц

<1/ - (7 ' I ___- ___- ___- ___- ___- ___- X I V ' / Ч с

у в 11511 + а?? 4В115?? + зс?2^ У 2а2 (4ВИ5И + зос??) '

а2 ВцСц 2(в11511 + С2?)в11

Мох = — я ■ —-—---— V ■ ——--£—ч—,

12в1?5?? + 9<52? а (4в 11,511 + за??)

-2 (-в110521 +в 12<В11 ) 4а (-в110521 +в 12а11 )

-4 ~ ~-^-<-х2 Н--4 ~ ~-^--х+

в п5?1 + (52? 4в 11 >511 + за5??

2а2 (Ж11В11 + 5(52^ В11С21 + (4В 11Б11 + 3(В2^ (ц512 З^и^п+С2!) (4ВпЗи+гд2п)

(31 (ц512 — В 11<В2М (11 В 11<(В21<В11 + ( 4В11 Б11 + 3(В21 ) В12

V , „ „-X---

2а2 ^4В11Б11 + 3(В2^ а (4ВпБи + 3(В21)

в) Левый край полосы жестко защемлен, правый край свободен от механических воздействий. Решение задачи имеет вид

д (х + а)2 (В11 В11х2 — 6аВ 11 В11х + а2 (17ВпВи + 8(2^ ™{х) = ±--^-^ - V-П__

Би (в 11>В11 + <В21)

V (х + а)2 Оц 4 а5ц

. . д (х2 — а2) (3а — х) (ц V а — х МХ) = «--ВП511+С?1 ;

Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

мх = -я^-,

I ~ _ _ \ _ а2 (3В11 *В11 'В12 + 4<В12(В11 — 'В11<В11<В12 ) \ Му = -д- х(г-2а) ^Вп + СцСи + ^---+

2а Б ц

I /„ „ „ „ ч „ а2 (3Б11 В11В16 + 4<В16(В11 — <В11<В11<В16

НХу = -д ■ \х(х-2а) [ВпБ.е + СиС1в) вп Н----

+

Б16Оц — 5*11^16 2а Б п

Ых = д (а — х),

(а — х) В 11Б16 + <ВВ11<В16 = д--^-

В иБ11 + (В21

2а2(В 11 Тт В5 11 Б11 + (В11 МВх = д--^--V--^-

3Бп 2аВц

М0у — д • (ж (ж - 2а) В па21 - апВ 12 511 -

2 ( 3В11 В11а21 + 4<521ап + В11а11В12

—V

В12В11 + 6*11^21 2а Б и

г) Оба края свободно оперты. Решение задачи имеет вид

w(x) —

(ж2 - а2) (в 1?в??ж2 - а2 ^5В??В?1 + 4а??]] V (ж2 - а2) <5??

24

В11 ( В1? В?1 + а1

11

а б??

^о(ж) —

д ж (а2 - ж2) (1? V а - ж

+

6 В1? В?? + а?? 2 а

Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

Мх = д-

а2 ж2

Му — д • ( В11 В?2 + (11(12 5иж2 +

а2 I 3В11 б"??В12 + 25*12С5?? + >511 С511 С? 12

+

+V

Нху — д • ( в 1151б + а11а1б 511ж +

Б^Оц — БцС\2 2а Б и

2 ( 3В1151151б + 251б(511 + 511а11(51б

а

„2 . V

+

+V •

>51б(в11 - виа

1б

Ку — -д Мох — -д

2а В??

Ых — -дж,

ж в 1?в?б + а??а

1б

в 11 ви + С*2?

в 11В11 + <51?

а2*5??

3 В11

Моу — д • ( а??В12 - В 1(2? 5?1 ж2 +

-V'

2а В?1

("цСцВ 12 - 3В11 В11<521 - 2(21(1?

В12В11 + 6*11^21 2а Б п

а

д

4

2

а

3

3. Левый край полосы электродирован, правый край неэлектродирован. Пусть на левом краю полосы задан нулевой электрический потенциал. В этом случае на основе (9а), (9б) получаем следующие электрические граничные условия: Ро(-а) = 0, Бх(а) = 0.

а) Оба края полосы жестко защемлены. Решение задачи имеет вид

q ,Г2 -242

w(x) =

q (a2 - x2) Вii

24 В ii Sn + G2/

M*) = q--x~{a2~x2)ön+v,

{) 6 Вц5ц + Gh Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

а2- Зж2 (а2 " 3ж2) В 11В12 + G11G12

M* = (l--а-' МУ = (1---—

6 6 В11511 + GS2,

ii

2

(а2 - 3x2) (Вii5i6 + GnGi6^j Нху = q ■ -pz - z—т ,

6 (ВiiBii + G2ij

X (ВiiBi6 + G11G16 )

Nx = -qx, Ny = —q ■ v ^ ^-^-

B11B11 + GBi1

(3x2 - а2) (Вii^2i - GGiiB12)

MDx =0, MDy = q---^-J~.

6(b11 Bii + G\ij

б) Левый край полосы жестко защемлен, правый край свободно оперт. Решение задачи имеет вид

. . q (x + a)2 (x — a)(x — 2а)B21 w(x) =

24 В ii Bii + G2

ii

q (x + a) (4x2 — 7ax + a2) Gn

tpo(x) =--- --^—-------h V:

{) 24 BnSn+Gj,

Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

(a + 2x) (a — x) (a + 2x)(a — x) (B 11 B12 + ^11^12)

Mx = q-±-^->-, My = q---— y

4 4 B115n + G2U

(a + 2x) (a - x) (ЪiiBi6 + <Bii<Bi6^) Hxy = q ■ j— - —г

4(в ii Bii + GB2ij

а_ 4ж (а - 4ж) [в 1?в?б + а11 <51б )

Мох — 0, Моу — д

4 (в 1?В?? + (С??)

(а + 2ж) (ж - а) (ви(521 - (??! 12) 4(Впви+С?1)

в) Левый край полосы жестко защемлен, правый край свободен от механических воздействий. Решение задачи имеет вид

д (ж + а)2 (ж2 - 6аж + 17а2) В??

и)(х) = — --^—------,

24 Ви^п + С2!

. . д (ж + а) (ж2 - 4аж + 7а2) а??

(Ро(х) = — --^—-------Ь V:

{) 6 ВцЗп + С?!

Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы: (а_ж)2 (а - ж)2 (В 1?в?2 + (11(12)

(а - ж 2

Нху - д •

Ых — д • (а - ж) , Ыу — д

2 (в 1? в?? + а2?)

(а - ж)2 (В 11 В1б + (Е11(Е1б 2(ВивП+С21)

(а - ж) (В 11 В1б + (Е11(Е1б

Мох — 0, Моу — д

в 11В11 + С*2? (а-ж)2( ВиС21-СцВ12) 2(ВпвИ+С21) г) Оба края свободно оперты. Решение задачи имеет вид

, , д (ж2 - а2) (ж2 - 5а2) В?? ги(х) = 777

24 В1? В?? + а?

11

{) 6 Впвп + С^ Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

(а2 - ж2) (В 1?в?2 + ^11^12)

а2 ж2

Мх = д--г—, Му = д-

2 (В 1?В?? + а2?)

Решение задачи об изгибе тонкой пьезоэлектрической полосы

(а2 - ж2) (В 11516 + Сп¿?1в)

Hxy - q '

Nx - -qx, Ny - -q Mdx - 0, M^y - q •

2 (BiiBn + G2^

X 11B16 + G11G16

B11B11 + G?1 (x2-a2) (BhG2i-GhBi2) 2(BH5H+G21)

4. Численные исследования. Были проведены численные исследования электроупругого состояния бесконечных полос из следующих материалов: 1) се-ленид кадмия С(Бе [6, 7] (материал ЭМ1); 2) титанат бария ВаТЮ3 [6, 8] (материал ЭМ4); 3) пьезокерамика Р2Т — 4 [6, 8] (материал ЭМ5); 4) пьезокерамика PZT — 5 А [6, 8] (материал ЭМ6). Рассматривались случаи, когда ось поляризации материалов направлена вдоль оси Юу и когда она направлена вдоль оси Юх. Физические постоянные материалов приведены в таблице 1.

Таблица 1. Физические постоянные материалов

Величина Материалы, поляризованные вдоль Оу

ЭМ1(Ог/) ЭМ4(Ог/) ЭМ5(Ог/) ЭМ6 (Оу)

sil/so 23,21 8,70 10,90 14,40

S22/SO 16,68 7,10 7,90 9,46

вбб/so 74,46 17,50 19,30 25,20

S12/SO -5,38 -1,90 -2,10 -2,98

911/90 0,00 0,00 0,00 0,00

912/90 0,00 0,00 0,00 0,00

916/90 -124,40 20,20 39,40 38,20

92ll90 -41,61 -5,20 -11,10 -11,40

922/90 81,15 12,60 26,10 24,80

926/90 0,00 0,00 0,00 0,00

011/А) 118987,10 77,93 76,61 65,31

022/А) 106071,50 66,47 86,92 66,46

Величина Материалы, поляризованные вдоль Ох

ЭМ1(Ож) ЭМ4(Ож) ЭМ5(Ож) ЭМб(Ож)

sil/so 16,68 7,10 7,90 9,46

S22/SO 23,21 8,70 10,90 14,40

вбб/so 74,46 17,50 19,30 25,20

S12/SO -5,38 -1,90 -2,10 -2,98

911/90 -81,15 -12,60 -26,10 -24,80

912/90 41,61 5,20 11,10 11,40

916/90 0,00 0,00 0,00 0,00

92l/90 0,00 0,00 0,00 0,00

922/90 0,00 0,00 0,00 0,00

926/90 124,40 -20,20 -39,40 -38,20

011/А) 106071,50 66,47 86,92 66,46

022 /А) 118987,10 77,93 76,61 65,31

Здесь приняты следующие обозначения:

¿0 — 10_б МПа"1, д0 — 10"3 МКл"? • м2, (30 — 1 МН • м2 • МКл"2.

На рисунке 3 приведены графики распределения значений прогиба w продольно поляризованной полосы из материалов ЭМ1(Оу) (линия 1), ЭМ4(Оу) (линия 2), ЭМ5(Оу) (линия 3), ЭМ6(Оу) (линия 4) для случаев, когда оба края полосы жестко защемлены (рис. а), когда левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободно оперт (рис. б), когда левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободен от внешних воздействий (рис. в), оба края полосы свободно оперты (рис. г).

а) б)

в) г)

Рис. 3. Графики прогиба срединной плоскости полосы с продольной поляризацией

В таблице 2 приведены значения изгибающих моментов Мх, Му в некоторых точках (линиях) продольно поляризованной полосы из материалов ЭМ1(Оу) и ЭМ4(Оу) для различных типов электрических граничных условий (э.г.у.) (тип

1 - оба края полосы неэлектродированы, тип 2 - оба края полосы электроди-рованы и задан нулевой потенциал электрического поля, тип 3 - левый край полосы электродирован, правый край полосы неэлектродирован) и различных типов механических граничных условий (м.г.у.) (тип а - оба края полосы жестко защемлены, тип б - левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободно оперт, тип в - левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободен от внешних воздействий, тип г - оба края полосы свободно оперты).

Таблица 2. Значения моментов Мх, Му

в точках

Величина Тип э.г.у. Тип м.г.у. Точка (линия)

—а — 2а/3 -а/3 0 а/3 2а/3 а

Материал ЭМ1(Ог/)

Мх, 1, 2, 3 а -33,333 -5,556 11,111 16,667 11,111 -5,556 -33,333

б -50,000 -13,889 11,111 25, 000 27, 778 19,444 0,000

в -200,000 -138,889 -88,889 -50,000 -22,222 -5,556 0,000

г 0,000 27,778 44,444 50, 000 44, 444 27,778 0,000

Му, 1, 2, 3 а -10,774 -1,796 3,591 5,387 3,591 -1,796 -10,774

б -16,162 -4,489 3,591 8,081 8,979 6,285 0,000

в -64,647 -44, 894 -28,732 -16,162 -7,183 -1,796 -0,000

г 0,000 8,979 14,366 16,162 14, 366 8,979 0,000

Материал ЭМ4(Ог/)

Мх, 1, 2, 3 а -33,333 -5,556 11,111 16,667 11,111 -5,556 -33,333

б -50,000 -13,889 11,111 25, 000 27, 778 19,444 0,000

в -200,000 -138,889 -88,889 -50,000 -22,222 -5,556 0,000

г 0,000 27,778 44,444 50, 000 44, 444 27,778 0,000

Му, 1, 2, 3 а -10,138 -1,690 3,379 5,069 3,379 -1,690 -10,138

б -15,206 -4,224 3,379 7,603 8,448 5,914 0,000

в -60,826 -42,240 -27,034 -15,206 -6,758 -1,690 -0,000

г 0,000 8,448 13,517 15,206 13,517 8,448 0,000

В таблице 3 приведены значения момента электрической индукции Ы^у в некоторых точках (линиях) продольно поляризованной полосы из материалов ЭМ1(Оу) и ЭМ4(Оу) для этих же типов граничных условий.

Таблица 3. Значения момента Мву в точках (линиях) продольно поляризованной полосы

Материал Тип э.г.у. Тип м.г.у. Точка (линия)

—а — 2а/3 -а/3 0 а/3 2а/3 а

Значения момента М^у, 10 ь

ЭМ1(Ог/) 1, 2, 3 а 0,005 0,001 -0,002 -0,002 -0,002 0,001 0,005

б 0,007 0,002 -0,002 -0,003 -0,004 -0,003 -0,000

в 0,028 0,019 0,012 0,007 0,003 0,001 0,000

г 0,000 -0,004 -0,006 -0,007 -0,006 -0,004 0,000

эм4(Ог/) 1, 2, 3 а 0,686 0,114 -0,229 -0, 343 -0,229 0,114 0,686

б 1,029 0,286 -0,229 -0,515 -0,572 -0,400 -0,000

в 4,116 2,858 1,829 1,029 0,457 0,114 0,000

г 0,000 -0,572 -0,915 -1,029 -0,915 -0,572 0,000

т, 10"

10

2

. 3 Лл. 4

у

\

V J

т, 10"

100

200

300

400

500

-а -а/2 0 а/2

а)

-а/2 0 а/2

в)

Е.С. Глушанков т, 10"7

<! 3

1 ^

10

15

20

2 \ч'3

4

\ 1 ^

J

т, 10"

10

20

30

40

50

-а -а/2 0 а/2

б)

-а/2 0 а/2

г)

3 4

\ 1

\ /

V] У

Рис. 4. Графики прогиба срединной плоскости полосы с поперечной поляризацией для случаев, когда оба края неэлектродированы или когда левый край электродирован, а правый край неэлектродирован

2

5

4

6

8

X

X

X

X

а

а

На рисунке 4 приведены графики распределения значений прогиба и> поперечно поляризованной полосы из материалов ЭМ1(Ож) (линия 1), ЭМ4(Ож) (линия 2), ЭМБ(Ож) (линия 3), ЭМб(Ож) (линия 4), когда оба края неэлектродированы или когда левый край электродирован и на нем задан нулевой электрический потенциал, а правый край неэлектродирован, для случаев, когда оба края полосы жестко защемлены (рис. а), когда левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободно оперт (рис. б), когда левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободен от внешних воздействий (рис. в), оба края полосы свободно оперты (рис. г).

На рисунке 5 приведены графики распределения значений прогиба и> по-

т, 10"

10

2

^ 3

у

\

V J

т, 10"

100

200

300

400

500

-а -а/2 0 а/2

а)

т, 10"

2

ч з\

-а/2 0 а/2

в)

10

15

20

2 3

4

\ 1 \

т, 10"

10

20

30

40

50

-а -а/2 0 а/2

б)

-а/2 0 а/2

г)

V у

V V2 / 7

\

Г

/

Рис. 5. Графики прогиба срединной плоскости полосы с поперечной поляризацией для случая, когда оба края полосы электродированы

2

5

4

6

8

X

X

X

X

а

а

перечно поляризованной полосы из материалов ЭМ1(Ож) (линия 1), ЭМ4(Ож) (линия 2), ЭМБ(Ож) (линия 3), ЭМб(Ож) (линия 4), оба края которой электродированы и на них задан нулевой электрический потенциал, для случаев, когда оба края полосы жестко защемлены (рис. а), когда левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободно оперт (рис. б), когда левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободен от внешних воздействий (рис. в), оба края полосы свободно оперты (рис. г).

На рисунке б приведены графики распределения значений плотности потенциала электрического поля ^>0 для поперечно поляризованной полосы из материалов ЭМ1(Ож) (линия 1), ЭМ4(Ож) (линия 2), ЭМБ(Ож) (линия 3), ЭМб(Ож) (линия 4), оба края которой неэлектродированы, для случаев, когда оба края

Vо, 10"

-4

-8

^о, 10"

-30

-60

-90

-120

-150

-а/2

/ л

и 4

V] /

№ 10"

-а -а/2 0 а/2

а)

М 4-

V

\

а/2

15 10 5 0 -5 -10 -15

^о, 10"

20

-20

-40

-а/2 0

*)

а/2

,3^4

-а/2

а/2

^)

Рис. 6. Графики распределения плотности потенциала электрического поля полосы с поперечной поляризацией для случая, когда оба края полосы неэлектродированы

полосы жестко защемлены (рис. а), когда левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободно оперт (рис. б), когда левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободен от внешних воздействий (рис. в), оба края полосы свободно оперты (рис. г).

На рисунке 7 приведены графики распределения значений плотности потенциала электрического поля ^>0 для поперечно поляризованной полосы из материалов ЭМ1(Ож) (линия 1), ЭМ4(Ож) (линия 2), ЭМБ(Ож) (линия 3), ЭМб(Ож) (линия 4), оба края которой электродированы и на них задан нулевой электрический потенциал, для случаев, когда оба края полосы жестко защемлены (рис. а), когда левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободно оперт (рис. б), когда левый край полосы жестко защемлен, правый край

4

0

х

х

а

0

0

х

0

х

а

а

а) б)

в) г)

Рис. 7. Графики распределения плотности потенциала электрического поля полосы с поперечной поляризацией для случая, когда оба края полосы электродированы

полосы свободен от внешних воздействий (рис. в), оба края полосы свободно оперты (рис. г).

В таблице 4 приведены значения изгибающих моментов Мх, Му в некоторых точках (линиях) поперечно поляризованной полосы из материалов ЭМ1(Ож) и ЭМ4(Ох) для различных типов электрических граничных условий (э.г.у) (тип 1 - оба края полосы неэлектродированы, тип 2 - оба края полосы электроди-рованы и задан нулевой потенциал электрического поля, тип 3 - левый край полосы электродирован, правый край полосы неэлектродирован) и различных типов механических граничных условий (м.г.у.) (тип а - оба края полосы жестко защемлены, тип б - левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободно оперт, тип в - левый край полосы жестко защемлен, правый край

Таблица 4. Значения моментов Мх, Му в точках (линиях) поперечно поляризованной полосы

Величина Тип э.г.у. Тип м.г.у. Точка (линия)

—а — 2а/3 -а/3 0 а/3 2а/3 а

Материал ЭМ1(Ож)

Мх, 10"^ 1, 2, 3 а -33,333 -5,556 11,111 16,667 11,111 -5,556 -33,333

б -50,000 -13,889 11,111 25,000 27, 778 19,444 0,000

в -200,000 -138,889 -88,889 -50,000 -22,222 -5,556 0,000

г 0,000 27,778 44,444 50,000 44, 444 27,778 0,000

Му, 1 а -7,727 -1,288 2,576 3,863 2,576 -1,288 -7,727

б -11,590 -3,219 2,576 5,795 6,439 4,507 0,000

в -46,359 -32,194 -20,604 -11,590 -5,151 -1,288 0,000

г 0,000 6,439 10,302 11,590 10, 302 6,439 0,000

2 а -7,727 -1,288 2,576 3,863 2,576 -1,288 -7,727

б -11,589 -3,217 2,579 5,800 6,446 4,516 0,010

в -46,442 -32,277 -20,687 -11,673 -5,234 -1,371 -0,083

г 0,041 6,480 10,343 11,631 10, 343 6,480 0,041

3 а -7,727 -1,288 2,576 3,863 2,576 -1,288 -7,727

б -11,590 -3,219 2,576 5,795 6,439 4,507 0,000

в -46,359 -32,194 -20,604 -11,590 -5,151 -1,288 0,000

г 0,000 6,439 10,302 11,590 10, 302 6,439 0,000

Материал ЭМ4(Ож)

Мх, 1, 2, 3 а -33,333 -5,556 11,111 16,667 11,111 -5,556 -33,333

б -50,000 -13,889 11,111 25,000 27, 778 19,444 0,000

в -200,000 -138,889 -88,889 -50,000 -22,222 -5,556 0,000

г 0,000 27,778 44,444 50,000 44, 444 27,778 0,000

Му, 1 а -7,280 -1,213 2,427 3,640 2,427 -1,213 -7,280

б -10,920 -3,033 2,427 5,460 6,066 4,246 0,000

в -43,678 -30,332 -19,413 -10,920 -4,853 -1,213 0,000

г 0,000 6,066 9,706 10,920 9,706 6,066 0,000

2 а -7,280 -1,213 2,427 3,640 2,427 -1,213 -7,280

б -10,879 -2,886 2,679 5,819 6,531 4,818 0,677

в -50,244 -36,898 -25,978 -17,485 -11,419 -7,779 — 6, 566

г 3,283 9,349 12,989 14,202 12,989 9,349 3,283

3 а -7,280 -1,213 2,427 3,640 2,427 -1,213 -7,280

б -10,920 -3,033 2,427 5,460 6,066 4,246 0,000

в -43,678 -30,332 -19,413 -10,920 -4,853 -1,213 0,000

г 0,000 6,066 9,706 10,920 9,706 6,066 0,000

полосы свободен от внешних воздействий, тип г - оба края полосы свободно оперты).

В таблице 5 приведены значения момента электрической индукции Ы^у в некоторых точках (линиях) поперечно поляризованной полосы из материалов ЭМ1(Ож) и ЭМ4(Ож) для этих же типов граничных условий.

Из представленных результатов следует, что электроупругое состояние полосы сильно зависит от множества факторов, таких как механические и электрические условия на границах полосы, свойства ее материала, направление ее

Таблица 5. Значения момента Ыву в точках (линиях) поперечно поляризованной полосы

Материал Тип э.г.у. Тип м.г.у. Точка (линия)

—а — 2а/3 -а/3 0 а/3 2а/3 а

Значения момента 10 ь

ЭМ1(Ож) 2 а 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

б -0,006 -0,006 -0,006 -0,006 -0,006 -0,006 -0,006

в 0,046 0,046 0,046 0,046 0,046 0,046 0,046

г -0,023 -0,023 -0,023 -0,023 -0,023 -0,023 -0,023

ЭМ4(Ож) 2 а 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

б -1,133 -1,133 -1,133 -1,133 -1,133 -1,133 -1,133

в 10,985 10,985 10,985 10,985 10,985 10,985 10,985

г -5,492 -5,492 -5,492 -5,492 -5,492 -5,492 -5,492

электрической поляризации.

Как и ожидалось, наименьший прогиб полосы наблюдался в случае жесткого защемления обоих краев полосы, а наибольшего значения в этом случае он достигал на средней линии полосы. Если один из краев жестко защемлен, а другой свободно оперт, то максимальное значение прогиба возрастало до 2-2, 5 раз, а его положение смещалось к опертому краю. Если оба края плиты свободно оперты, то значения прогиба возрастали до 6, 5 раз сравнительно со случаем жесткого защемления обоих краев, а если один край жестко защемлен, а второй свободен от внешних воздействий - до 70 раз.

Наибольший прогиб возникал в полосе из материала ЭМ1, который является наиболее мягким (обладает наибольшими значениями коэффициентов деформации). Наличие электродирования обоих краев приводило к заметному росту значений прогиба для поперечно поляризованных полос из материалов ЭМ4, ЭМ5, ЭМ6, а для полосы из материала ЭМ1 рост значений прогиба практически незаметен. Материал ЭМ1 характеризуется наибольшими значениями пьезоэлектрических модулей и коэффициентов диэлектрической проницаемости, поэтому пьезоэлектрический эффект для него слабо выражен.

Если один из краев полосы неэлектродирован, то наличие или отсутствие электродного покрытия на другом краю не влияет на значения прогиба полосы.

При продольной поляризации полосы пьезоэлектрический модуль дц = 0 и, как следствие, Оц = Оц = 0, тогда система (6) распадается на два несвязанных уравнения - уравнение упругого изгиба и уравнение электростатики. Поэтому при продольной поляризации значения прогиба определяются только упругими свойствами материала и механическими граничными условиями, а электрические свойства материала и электрические граничные условия влияния на значения прогиба полосы не оказывают.

Схожие закономерности имеют место и для потенциала электрического поля. Если оба края полосы неэлектродированы, то наибольшие по модулю значения потенциала возникали вблизи свободного края в полосе, у которой один край жестко защемлен, а второй край свободен. Для остальных комбинаций гранич-

ных условий значения потенциала оказывались значительно ниже. Если один из краев жестко защемлен, то потенциал электрического поля на нем равен нулю. Если один из краев (или оба) не является жестко защемленным, то на нем достигалось максимальное по модулю значение потенциала. Если же на обоих краях полосы задан нулевой потенциал, то наибольшие значения потенциал электрического поля обретал в одной из точек (линий) ближней к защемленному краю половины полосы.

Если полоса поляризована в продольном направлении, то потенциал электрического поля остается равным нулю независимо от типа электрического граничного условия.

Иные закономерности имеют место для изгибающих моментов и моментов электрической индукции. Так, изгибающий момент Мх (в поперечном направлении) не зависит от упругих и электрических свойств материала полосы, а определяется только шириной полосы и величиной усилий, действующих по основанию полосы. Если полоса поляризована в продольном направлении, то изгибающий момент Му (в продольном направлении) не зависит от электрических граничных условий и электрических свойств материала полосы. Если оба края полосы жестко защемлены, то и в этом случае значения моментов не зависят электрических граничных условий.

Если один из краев полосы жестко защемлен, то около него возникает наибольшая концентрация моментов; когда второй край свободен, то эта концентрация в 4 раза превышает концентрацию моментов для случая, когда второй край свободно оперт, и до 6-7 раз - когда второй край жестко защемлен. Если оба края полосы оперты, то максимальная концентрация достигается в центре полосы.

Если край полосы не является жестко защемленным, то происходит его разгрузка - не только момент Мх, но и момент Му равен нулю.

Когда полоса поляризована в продольном или поперечном направлении, то крутящий момент Нху в полосе не возникает.

Если полоса продольно поляризована, то в ней возникает момент электрической индукции МВу, закономерности изменения которого сходны с закономерностями изменения изгибающего момента Му. Если полоса поперечно поляризована, то при электродированных краях в ней возникает момент электрической индукции МВх, значения которого равны во всех точках полосы, и не возникает поток электрической индукции, если один из краев лишен электродного покрытия.

Заключение. Получено общее решение системы уравнений, описывающих изгибное деформирование тонкой пьезоэлектрической полосы под действием из-гибной нагрузки, с использованием которого построены решения некоторых физически реализуемых краевых задач. На основе полученных решений проведены численные исследования влияния свойств материала и условий на краях полосы на ее изгибное электроупругое состояние. Установлено, что закономерности влияния типа механических граничных условий на значения моментов электри-

ческой индукции аналогичны закономерностям их влияния на значения изгибающих моментов.

1. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки / С.Г. Лехницкий. - М.: Гостехиздат, 1957. -463 с.

2. Калоеров С.А. Краевые задачи прикладной теории изгиба тонких электромагнитоупругих плит / С.А. Калоеров // Вестн. Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2019. - № 1. - С. 42-58.

3. Калоеров С.А. Задачи электроупругого, магнитоупругого и упругого изгиба тонких плит как частные задачи электромагнитоупругого изгиба / С.А. Калоеров // Вестн. Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2019. - № 3-4. - С. 58-79.

4. Глушанков Е. С. Решение задачи об изгибе защемленной по краю эллиптической пьезоэлектрической плиты / Е.С. Глушанков // Журн. теорет. и прикладной механики. - 2020. -№ 4(73). - С. 5-15.

5. Гринченко В.Т. Электроупругость / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульга. - К.: Наук. думка, 1989. - 280 с. (Механика связанных полей в элементах конструкций: В 5 т., Т. 5).

6. Калоеров С.А. Двумерные задачи электро- и магнитоупругости для многосвязных областей / С.А. Калоеров, А.И. Баева, О.И. Бороненко. - Донецк: Юго-Восток, 2007. - 268 с.

7. Liu J.X. Anisotropic thermopiezoelectric solids with an elliptic inslusion or a hole under uniform heat flow / J.X. Liu, X.S. Zhang, X.L. Liu, J. Zheng // Acta Mech. Sinica. - 2000. - Vol. 16. -P. 148-163.

8. Dunn M.L. Micromechanics of coupled electroelastic composites effective thermal expansion and pyroelectric coefficients / M.L. Dunn //J. Appl. Phys. - 1993. - Vol. 73. - P. 5131-5140.

E.S. Glushankov

The solution of the problem of bending of thin piezoelectric strip under transverse loading action.

A bending problem is solved for thin piezoelectric strip loaded with uniformly distributed pressure along the upper base. The problem is reduced to the system of two ordinary differential equations. The general solution of the system and the solutions of several physically implementable boundary value problems are obtained. The influence of material's properties and boundary conditions on the electro-elastic state of the strip is identified with the numerical studies based on the obtained solutions.

Keywords: bending theory of thin plates, piezoelectric material, electro-elastic strip, deflection function, electric field potential.

ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», г. Донецк Получено 12.04.2021

evgenij.glushankov@gmail.com