РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ТОНКОЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОЛОСЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ РАЗНОСТИ ПОТЕНЦИАЛОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№3 (76) / 2021.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3

©2021. Е.С. Глушанков

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ТОНКОЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОЛОСЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ РАЗНОСТИ ПОТЕНЦИАЛОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Представлено решение задачи об изгибе тонкой пьезоэлектрической полосы, на краях которой задается разность электрических потенциалов и сформулированы физически реализуемые случаи механических граничных условий. Исследование сводится к построению аналитического решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и реализации численного анализа эффектов влияния электрических свойств материала плиты и механических граничных условий на электроупругое состояние полосы.

Ключевые слова: теория изгиба тонких плит, пьезоэлектрическиие материалы, изгиб электроупругой полосы, действие разности потенциалов, эффекты электромеханического деформирования, влияние механических краевых условий.

Введение. В качестве конструкционных элементов датчиков, устройств контроля и измерения широко используются тонкие плиты из пьезоэлектрических материалов. При эксплуатации они подвергаются различным механическим, тепловым, электромагнитным воздействиям, порождающим их упругое деформирование, что требует учета при проектировании и эксплуатации таких конструкций. При исследовании актуальных проблем изгиба пьезоэлектрических плит в рамках прикладного подхода для описания сопряженных электромеханических полей следует принимать гипотезы Кирхгофа-Лява [1—3], дополненные гипотезой о свойствах электрических компонент связанного напряженно-деформированного состояния плиты [4]. В рамках данного подхода, к настоящему времени разработаны методы анализа изгибного электроупругого деформирования тонких плит из пьезоактивных материалов [4, 5] и решены некоторые конкретные задачи этого типа [6, 7]. В частности, в работе [7] построено решение задачи об изгибе пьезоэлектрической полосы при действии нагрузки, распределенной по основанию. Целью данной работы является получение и исследование решения задачи об изгибе полосы из пьезоэлектрического материала при действии разности электрических потенциалов на краях полосы. Дано описание общего решения задачи и получены частные решения для нескольких физически реализуемых типов механических краевых условий на боковых граничных поверхностях. Основания полосы при этом полагаются неэлектродированными. Рассмотрены следующие случаи задания механических граничных условий -

3 х

О

■ - - - ^0

__^

г'

один из краев полосы жестко защемлен, а второй или жестко защемлен, или свободно оперт, или свободен от внешних воздействий; оба края полосы свободно оперты. На основе проведенных численных исследований установлены закономерности влияния вида граничных условий на краях и свойств материала полосы на характеристики ее электроупругого состояния.

1. Постановка задачи теории из- ^_________^

гиба тонких пьезоэлектрических плит. Рассмотрим отнесенную к декартовой си- 2Н стеме координат Охуг тонкую плиту тол- ■

щины 2Н, изготовленную из пьезоэлектри- у ческого материала. Срединная плоскость плиты лежит в плоскости Оху. Пусть для каждой точки плиты имеет место плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости. Основания плиты свободны от внешних механических воздействий и неэлектродированы. По краю плиты имеется электродное покрытие, через которое на плиту действует электрическое поле с плотностью потенциала

В этом случае определение электроупругого состояния тонкой плиты сводится к интегрированию однородной следующей системы дифференциальных уравнений относительно функции прогиба плиты ■ (х,у) и функции плотности потенциала электрического поля ^0(х,у): [5, 7]

Рис. 1

(1)

Ь^ы(х,у) + Ьзс^о (х,у) = 0, Ьзс■(х, у) + ¿2Б^о(х, у) = 0,

где Ь^, Ь3с, Ь2б — дифференциальные операторы, определяемые следующими выражениями:

д4

Ь4в = -

~ д4 ~ д4 ^Ц-г—Т + 45167-77— дх4 дх3ду

~ д3

¿3 С = Сц——т + С 21 + С

+ 2 ^12 + 2^66

дх3

'16 д2

\ д3

/ дх2ду

¿2В = Вц—-г + 2В12

дх2 дхду

дх2ду

+ (с 12 + ^26 д2

+ 4,26

д3

дхду2

д4 | ~ д4 дхду3 22 ду4

~ д3 + С22 777-, ду3

+ 022777-, ду2

2Ь? 5г], 2Ь3 . 2Ь?

Су = 3 -Су, В у = —Щ;

/ ,11 512 516 С11 С21 \ 811 812 816 д11 д21 -1

5*12 522 526 С12 С22 812 822 826 д12 д22

5*16 526 566 С16 С26 = 816 826 866 д16 д26

—Сц — С12 -С16 В11 В12 -ди -д12 -д16 ви в12

\-C21 -С22 -С26 В12 В22 \-д21 -д22 -д26 в12 в22/

8у — коэффициенты деформации материала плиты, ду — пьезоэлектрические модули, ву — коэффициенты диэлектрической проницаемости.

После решения системы дифференциальных уравнений (1) при определенных граничных условиях становятся известными функции прогиба плиты и> и плотности потенциала электрического поля фо, и по ним можно определять в точках плиты изгибающих моментов Мх, Му, крутящего момента Нху, перерезывающих сил N, N, моментов электрической индукции Мдх, М^у [5, 7]:

н

[ , (-х 92,т ~ д2-ш ~ д2w ~ дюо ~ д^о\

Мх = / хох(1х = - - + 2516—— + £121Г2 - Сп-^ - ,

) \ дх2 дхду ду2 дх ду )

-н

н

[ , (-х д2-ш ~ д2-ш ~ д~ д^о ^ д^о Му = / Х0У(1Х = - <§12К + 2526—— + 522—т - - с22

дх2 дхду ду2 дх ду -h

h q2 q2 q2 Q Q

Hxy = / XTxydx = — 5i6tt"9 + 25*66^—т;—Ь 5*2бтг^т — --G2q —— ,

J \ дх2 дхду ду2 дх ду ) -h

h

/(~ C3w ~ д3w ~ \ C3w ~ C3w

rxzdx = — 5ц—-т- + 35i6 „ 9о—Ь 512 + 25бб » » 9 + 52бтг^-

\ дх3 дх2ду V / дхду2 ду3

j2 ду3

-h

я /я я \ дУо я

—Ьц—-5--Ь-21 + Lrl6 Т—7Г--1г26 9

дх2 V / дхду ду2

h

/(~ д3 w ~ \ C3w ~ д3 w ~ д3 w

Tyzdx = — Sie—~ir + 5i2 + 25бб п 9o—b 3526 „ „ 9 + 522—-r-\ дх3 \ J дх2ду дхду2 ду3

-h

Г (г , я Я —--Lrl2 + Lr26 Т—7Г--1г22 9 ,

дх2 V / дхду ду2 /

h

Mdx = zDxdx = Gn^+ 2 + + B12§*,

У дх2 дхду ду2 дх ду

-h

h

Моу= [zDydz = G21p±+2G^ + G^+B12^+B^. (2)

У дх2 дхду ду2 дх ду

-h

Здесь axi ay, тху, Txz, Txz - компоненты тензора напряжений, Dx, Dy - компоненты вектора индукции электрического поля.

Тогда становится возможным определение моментов и перерезывающих сил на произвольной площадке с нормалью n и касательной s [4, 5, 7]:

Mn = Mx еов2(пх) + My еов2(пу) — 2Hxy еов(пх) еов(пу),

Ы3 = Ых е082(иу) + Ыу е082(их) + 2ИХу е08(их) е08(иу),

ИПа = (Ыу — Ых) ео8(их) ео8(иу) + Иху (ео82(их) — ео82(иу)) , = N ео8(их) + N ео8(иу), = N ео8(иу) — Ыу ео8(их), Ырп = Ыдх ео8(их) + Ы^у ео8(иу), Ыр3 = Ыдх ео8(иу) — Ы^у ео8(их).

(3)

Механические граничные условия [7]. Если край плиты жестко защемлен, то механические граничные условия имеют вид

■

0,

дw ди

0.

(4а)

Если край плиты свободно оперт, то механические граничные условия имеют

вид

■ = 0, Ып = 0.

(4б)

Если край плиты свободен от механических усилий, то механические граничные условия имеют вид

Ып = 0, Ып +

дНп. д8

0.

(4в)

Электрическое граничное условие [7]. Поскольку электродное покрытие присутствует, то в этом случае по краю задано распределение потенциала электрического поля [8, 7]:

Ро = РО

(4б)

V'

у

О

и

х

2а Рис. 2

0

2. Постановка задачи об изгибе тонкой полосы. Рассмотрим отнесенную к декартовой системе координат Охуг тонкую полосу толщины 2Н и ширины 2а, изготовленную из пьезоэлектрического материала, ориентированную вдоль оси Оу (рис. 2). Срединная плоскость полосы лежит в плоскости Оху. Основания полосы свободны от механического воздействия и неэлектродирова-

ны. По краям полосы полосы заданы равномерные (одинаковые вдоль каждого края) механические воздействия. Каждый край полосы электродирован, причем на левом краю полосы плотность потенциала равна V, а на правом краю она равна нулю.

Поскольку электроупругое состояние полосы не зависит от координаты у, то система (1) преобразуется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функции прогиба ■(х) и функции плотности потенциала

электрического поля ро(х) [7], которая ввиду отсутствия поперечной нагрузки примет следующий вид:

~ (1Аы ~ (131р0

ах4 ах3 (г\

С ^ О

Ьц——Т- + В11 — и.

ах3 ах2

Эту систему уравнений следует решать при соответствующих граничных условиях, после чего прогиб плиты и плотность потенциала электрического поля становятся известными и по ним в любой точке плиты можно находить значения изгибающих моментов Ых, Ыу,

крутящего момента Иху, перерезывающих сил Ых, Ыу, моментов электрической индукции Ы^х, Ы^у [7]:

Мх = — 5ц—-у + Сц-^., Му = — 512ТГ7Т +

дх2 дх дх2 дх

тт а д2™ , Я

дх2 дх

д3w ~ д2р0 ~ д3■ ~ д2^{

Nx — — 5цт—т- + Gu~—77, — —5i67T^- + Gi6

v-Jz-vx) ^

0

дх3 дх2 ' y дх3 дх2 '

М Г °2w 4- R М Г °2w 4- R

-Mdz = Gil—7 + Bu——, M]jy = G217777 + B12——. (b)

дх2 дх дх2 дх

После этого становится возможным определение моментов на произвольной площадке с нормалью n и касательной s по формулам (3) [7].

Механические граничные условия [7]. Если край полосы жестко защемлен, то механические граничные условия имеют вид

dw .

w = 0, 7-— = 0. 7а

дх

Если край полосы свободно оперт, то механические граничные условия имеют вид

w = 0, Mx = 0. (7б)

Если край полосы свободен от механических усилий, то механические граничные условия имеют вид

Mx = 0, Nx = 0. (7в)

Электрическое граничное условие [7]. Если край полосы электродирован и задано значение V плотности потенциала электрического поля, то электрическое граничное условие имеет вид

^о = V. (8)

3. Действие разности потенциалов на краях полосы. Общее решение системы (5) имеет вид [7]

w(x) = С1В цх3 + С2х2 + С3х + С4,

Ро (х) = -3С1(^11 х2 + С5х + Се,

где = 1, 6) - неизвестные постоянные, определяемые из граничных условий.

Решения краевых задач [7]. Из (8) получаем следующие электрические условия для краев плиты: ро(—а) = V, ро(а) = 0.

а) Оба края полосы жестко защемлены. Решение задачи имеет вид

и)(х) = О, <ро(х) = • -—-.

2 а

Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

Мх = -У-^, Му = -УНху = -У

2а 2а 2а

М = 0, Му = 0,

В11 В12

2а 2а

б) Левый край полосы жестко защемлен, правый край свободно оперт. Решение задачи имеет вид

, Л т, (х + а)2 (а — х) <В11 ии(х) = V

Ро (х) = V ■

4а2 (4ВцВц +3((?1)' (х — а)(зС2пх — а (эВпБц + 3((11))

4а2 (4В11В11 +3((21) Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

3 (х — а) (В 11В11 + (2Л ((11 МХ = У 4 у

2а2 (4В11В11 + 3((21)

11

2

3 ( В 11»(12 + В(11В(12) (В11 В 11В12((11 — ( 4В11 В11 + 3(В11 ) (В12

Му = V • | „-х +--г^Цз-„ '-

2а2 (4В11 ^ц + 3(В2п) а (4ВП5И + 3(В21]

3 (В 11*В1е + ((11 (В1^ (В11 В11 ^1е(В11 — (4В 11*В11 + 3(В1^ (В1е Нху — V • I у — — — г х Н — — — г

2а2 (4В11 ВЦ + 3(2п) а (4Ви5И + 3(В21]

Решение задачи об изгибе тонкой пьезоэлектрической полосы

3 иВп + С^ ^ С11 3(В 11В16 + СцСю ^ Сц

Мх = у- х „-Иу = У

2а2 (4В11Ви + 3(В2^ 2а2 (4ВПВП + 3(В2^

2 11 <Ви + В11

МВх = —V

а (4В11В11 +3(?21)

(3 ( (В11В 12 — В 11(В21) (В11 В 11(В21(В11 + ( 4В11В11 + 3(В11 ) В12

4 , „ „-х---„ ч У

2а2 (^4В11В11 + 3(?2д а (4ВПВИ + 3С2П)

в) Левый край полосы жестко защемлен, правый край свободен от механических воздействий. Решение задачи имеет вид

, . V (х + а)2 С11 , . V а — х и<Х> = "4 ' а&'п ■ Ы*> = !

Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

В В В В В В В В

2а Вц 2а В 11

^ = 0, Му = 0,

мПх = -уВп3п + с2п, мПу = -уВ123п + СпС21.

2 а В11 2 а В11

г) Оба края свободно оперты. Решение задачи имеет вид

. , V (а2 — х2) в и , ч V а — х

а,(1) = т—¡3^—• «>(«) = т ■—•

Тогда для моментов и перерезывающих сил получаются следующие формулы:

В В В В В В В В

2 а В11 2 а В11

Мх = 0, Му = 0,

мПх = -уВп3п + с2п, мПу = -уВ123п + СпС21.

2 а В11 2 а В11

4. Численные исследования. Были проведены численные исследования электроупругого состояния бесконечных полос из следующих материалов: 1) се-ленид кадмия СаВе [9, 10] (материал ЭМ1); 2) титанат бария БаТг03 [9, 11] (материал ЭМ4); 3) пьезокерамика Р2Т — 4 [9, 11] (материал ЭМ5); 4) пьезокерами-ка PZT — 5А [9, 11] (материал ЭМ6). Физические постоянные материалов приведены в таблице 1. Были приняты следующие обозначения: во = 10_6 МПа-1,

Таблица 1. Физические постоянные материалов

Величина Материалы, поляризованные вдоль Оу Материалы, поляризованные вдоль Ох

ЭМ1(Ог/) ЭМ4(Ог/) ЭМ5(Ог/) ЭМ6(Ог/) ЭМ1(Ож) ЭМ4(Ож) ЭМ5(Ож) ЭМб(Ож)

sil/so 23,21 8,70 10,90 14,40 16,68 7,10 7,90 9,46

S22/SO 16,68 7,10 7,90 9,46 23,21 8,70 10,90 14,40

вбб/so 74,46 17, 50 19,30 25,20 74,46 17,50 19,30 25,20

S12/SO -5,38 -1,90 -2,10 -2,98 -5,38 -1,90 -2,10 -2,98

911/90 0,00 0,00 0,00 0,00 -81,15 -12,60 -26,10 -24,80

912/90 0,00 0,00 0,00 0,00 41,61 5,20 11,10 11,40

91&/90 -124,40 20,20 39,40 38,20 0,00 0,00 0,00 0,00

92l/90 -41,61 -5,20 -11,10 -11,40 0,00 0,00 0,00 0,00

922/90 81,15 12,60 26,10 24,80 0,00 0,00 0,00 0,00

926/90 0,00 0,00 0,00 0,00 124,40 -20,20 -39,40 -38,20

Pu/Po 118987,10 77,93 76,61 65,31 106071, 50 66,47 86,92 66,46

#22/А) 106071,50 66,47 86,92 66,46 118987, 10 77,93 76,61 65,31

g0 = 10 3 МКл 1 • м2, во = 1 МН • м2 • МКл 2. Рассматривались случаи, когда указанные материалы поляризованы вдоль оси Oy и вдоль оси Ox.

В таблице 2 приведены значения крутящего момента Hxy в некоторых точках продольно поляризованной полосы из различных материалов для различных типов механических граничных условий (м.г.у.) (тип а - оба края полосы жестко защемлены, тип б - левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободно оперт, тип в - левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободен от внешних воздействий, тип г - оба края полосы свободно оперты).

В таблице 3 приведены значения момента электрической индукции MBx в некоторых точках продольно поляризованной полосы из различных материалов для этих же типов механических граничных условий.

На рисунке 3 приведены графики распределения значений прогиба w поперечно поляризованной полосы из материалов ЭМ1(Ох) (линия 1), ЭМ4(Ох) (линия 2), ЭМ5(Ох) (линия 3), ЭМ6(Ох) (линия 4), когда оба края полосы элек-

Таблица 2. Значения момента ИХу, 10 в точках продольно поляризованной полосы

Материал Тип М.Г.у. Точка

—а — 2а/3 -а/3 0 а/3 2а/3 а

ЭМ1(Ог/) а, б, в, г -0,467 -0,467 -0,467 -0,467 -0,467 -0,467 -0,467

ЭМ4(Ог/) а, б, в, г 380, 025 380, 025 380, 025 380, 025 380, 025 380, 025 380, 025

ЭМ4(Ог/) а, б, в, г 433, 310 433, 310 433, 310 433,310 433,310 433,310 433, 310

ЭМ6(Ог/) а, б, в, г 410, 084 410, 084 410, 084 410,084 410,084 410,084 410, 084

Таблица 3. Значения момента Мвх, 10 6 в точках продольно поляризованной полосы

Материал Тип М.Г.у. Точка

—а — 2а/3 -а/3 0 а/3 2а/3 а

ЭМ1(Ог/) а, б, в, г -0,280 -0,280 -0,280 -0,280 -0,280 -0,280 -0,280

ЭМ4(Ог/) а, б, в, г -329,229 -329,229 -329,229 -329,229 -329,229 -329,229 -329,229

ЭМ5(Ог/) а, б, в, г -212,256 -212,256 -212,256 -212,256 -212,256 -212,256 -212,256

ЭМ6(Ог/) а, б, в, г -270,527 -270,527 -270,527 -270,527 -270,527 -270,527 -270,527

т, 10-7

-0.5

0.5

1,2,3,4

т, 10-6 -250 -200 -150 -100 -50 0 50

1

-а -а/2 0 а/2

а)

/

7/

/ У,

X

Л

1

-а/2 0 а/2

т, 10-

10

15

-а -а/2 0 а/2

б)

т, 10-6

20

40

60

80

-а/2 0 а/2

1

Л к2 У

/

\ а У

V J

\ /

ч<- у

в) г)

Рис. 3. Графики прогиба срединной плоскости полосы с поперечной поляризацией

Vо, 10-

750

500

250

0

\

\

\ 1,2,3,4

\

^о, 10-

-а -а/2 0 а/2 а)

750

500

250

1

УЛ. 3

4 4

-а -а/2 0 а/2

б)

Рис. 4. Графики распределения плотности потенциала электрического поля полосы с поперечной поляризацией

6

0

0

5

х

х

0

х

х

а

а

х

х

тродированы, для случаев, когда оба края полосы жестко защемлены (рис. а), когда левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободно оперт (рис. б), когда левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободен от внешних воздействий (рис. в), оба края полосы свободно оперты (рис.

г).

На рисунке 4 приведены графики распределения значений плотности потенциала электрического поля ро для поперечно поляризованной полосы из материалов ЭМ1(Ож) (линия 1), ЭМ4(Ох) (линия 2), ЭМБ(Ож) (линия 3), ЭМб(Ох) (линия 4) для случаев, когда оба края полосы жестко защемлены, когда левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободен от внешних воздействий, когда оба края полосы свободно оперты (все - рис. а), когда левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободно оперт (рис. б).

В таблице 4 приведены значения моментов Мх, Му, Нху в некоторых точках поперечно поляризованной полосы из материалов ЭМ1(Ож), ЭМ4(Ох) и ЭМб(Ох) для различных типов механических граничных условий (м.г.у.) (тип

Таблица 4. Значения моментов Мх и Му в точках поперечно поляризованной полосы

Величина Тип м.г.у. Точка

—а — 2а/3 -а/3 0 а/3 2а/3 а

Материал ЭМ1(Ож)

Мх, а -1,491 -1,491 -1,491 -1,491 -1,491 -1,491 -1,491

б -2,238 -1,865 -1,492 -1,119 -0,746 -0,373 0,000

в, г 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Му, а 0,216 0,216 0,216 0,216 0,216 0,216 0,216

б 0,043 0,129 0,216 0,302 0,389 0,475 0,562

в, г 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563

Материал ЭМ4(Ож)

мх, 10~2 а -640,577 -640,577 -640,577 -640,577 -640,577 -640,577 -640,577

б -1016,873 -847,394 -677,915 -508,436 -338,958 -169,479 0,000

в, г 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Му, 10~2 а 83,364 83, 364 83, 364 83, 364 83, 364 83, 364 83, 364

б 14,198 51,210 88,223 125,235 162,248 199,261 236,273

в, г 286,346 286,346 286,346 286,346 286,346 286,346 286,346

Материал ЭМ5(Ож)

Мх, Ю~'2 а -609,530 -609,530 -609,530 -609,530 -609,530 -609,530 -609,530

б -1026,767 -855,639 -684,511 -513,383 -342,256 -171,128 0,000

в, г 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Му, ю-2 а 76,734 76,734 76,734 76,734 76,734 76,734 76,734

б 20,234 53,204 86,173 119,143 152,112 185,082 218,052

в, г 345,588 345,588 345,588 345,588 345,588 345,588 345,588

Материал ЭМб(Ож)

Мх, Ю~'2 а -638,724 -638,724 -638,724 -638,724 -638,724 -638,724 -638,724

б -1073,488 -894,573 -715,658 -536,744 -357,829 -178,915 0,000

в, г 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Му, а 83,364 83, 364 83, 364 83, 364 83, 364 83, 364 83, 364

б 1,114 38,140 75,165 112,190 149,216 186,241 223,267

в, г 349,591 349,591 349,591 349,591 349,591 349,591 349,591

а - оба края полосы жестко защемлены, тип б - левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободно оперт, тип в - левый край полосы жестко защемлен, правый край полосы свободен от внешних воздействий, тип г - оба края полосы свободно оперты).

В таблице 5 приведены значения момента электрической индукции Ы^х в некоторых точках поперечно поляризованной полосы из материалов ЭМ1(Ож), ЭМ4(Ож) и ЭМб(Ож) для этих же типов граничных условий.

Таблица б. Значения момента Мох, 10 6 в точках поперечно поляризованной полосы

Материал Тип м.г.у. Точка

—а — 2а/3 -а/3 0 а/3 2а/3 а

ЭМ1(Ож) a -0,313 -0,313 -0,313 -0,313 -0,313 -0,313 -0,313

б -0,313 -0,313 -0,313 -0,313 -0,313 -0,313 -0,313

в, г -0,314 -0,314 -0,314 -0,314 -0,314 -0,314 -0,314

ЭМ4(Ож) a -373,531 -373,531 -373,531 -373,531 -373,531 -373,531 -373,531

б -395,303 -395,303 -395,303 -395,303 -395,303 -395,303 -395,303

в, г -479,078 -479,078 -479,078 -479,078 -479,078 -479,078 -479,078

ЭМ5(Ож) a -190,668 -190,668 -190,668 -190,668 -190,668 -190,668 -190,668

б -214,123 -214,123 -214,123 -214,123 -214,123 -214,123 -214,123

в, г -339,362 -339,362 -339,362 -339,362 -339,362 -339,362 -339,362

ЭМб(Ож) a -251,703 -251,703 -251,703 -251,703 -251,703 -251,703 -251,703

б -282,021 -282,021 -282,021 -282,021 -282,021 -282,021 -282,021

в, г -441,589 -441,589 -441,589 -441,589 -441,589 -441,589 -441,589

Из полученных результатов видно, что на электроупругое состояние пьезоэлектрической полосы очень заметно влияют электрические свойства материала, в т.ч. направление электрической поляризации, а также механические граничные условия (условия закрепления границы).

В случае продольной поляризации полосы пьезоэлектрический модуль дц = 0, тогда С11 = Сц = 0, тогда система (5) распадается на два несвязанных уравнения, и значения прогиба определяются только упругими свойствами материала и механическими граничными условиями [7]. А поскольку полоса испытывает воздействие электрического поля, то прогиб в ней не возникает. Плотность потенциала электрического поля выражается линейной функцией. Кроме этого, в полосе не возникают изгибающие моменты Мх, Му и момент электрической индукции в продольном направлении Мду. Однако в полосе возникает значительный крутящий момент Нху и момент электрической индукции в продольном направлении Мдх. Установлено, что значениях этих величин не зависят от механических граничных условий, а также одинаковы во всех точках полосы.

В случае поперечной поляризации материала полосы прогиб может иметь ненулевые значения, а также возникают изгибающие моменты Мх, Му и момент электрической индукции в продольном направлении Мдх, а крутящий момент Нху отсутствует. Если оба края полосы жестко защемлены (тип м.г.у. а), то прогиб полосы отсутствует, а значения моментов Мх и Му постоянны по ширине полосы, причем значения Мх превышают значения Му в несколько раз (при данных материалах - в 7-8 раз). Если левый край полосы жестко защем-

лен, а правый край свободно оперт (тип б), то у левого края значения момента Mx становятся еще больше, а значения момента My - в несколько раз меньше, однако при приближении к правому краю значение момента Mx убывает до нуля, а момент My существенно возрастает. Если левый край полосы жестко защемлен, правый край полностью свободен (тип в), то прогиб полосы является отрицательным (полоса выгибается вверх), момент Mx не возникает, а момент My постоянен по ширине полосы и становится довольно значительным. Если оба края полосы свободно оперты (тип г), то значения изгибающих моментов такие же, как в предыдущем случае. Во всех случаях, кроме типа б, плотность потенциала электрического поля описывается линейной функцией, а для случая типа б возникают слагаемые второго и третьего порядка, которые, впрочем, как показали численные исследования, незначительны: отклонение от линейной функции не превышает 20%. Значения момента электрической индукции Mdx во всех случаях постоянны по ширине, а наибольшие значения возникают, когда оба края полосы свободно оперты.

Наибольшие значения прогиба имеют место для полосы из материала ЭМ6. Вообще, значения всех величин для полосы из материалов ЭМ4, ЭМ5, ЭМ6 на 2-5 порядков выше, чем для полосы из материала ЭМ1. Это объясняется тем, что материал ЭМ1 обладает наибольшими значениями коэффициентов диэлектрической проницаемости ßij, для материалов ЭМ4 и ЭМ5 эти коэффициенты на 3 порядка меньше, а для материала ЭМ6 они являются вовсе наименьшими. Такой характер влияния диэлектрической проницаемости материала на прогиб объясняется существованием обратной связи интенсивности потока индукции с коэффициентами ßij при постоянной напряженности электрического поля. При этом, влияние упругих и пьезоэлектрических свойств материала является слабо выраженным и преимущественно состоит в слабой корректировке значений моментов.

1. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки / С.Г. Лехницкий. - М.: Гостехиздат, 1957. -463 с.

2. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - М.: Наука, 1966. - 636 с.

3. Mansfield E.H. The bending and stretching of plates / E.H. Mansfield. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. - 228 p.

4. Калоеров С.А. Краевые задачи прикладной теории изгиба тонких электромагнитоупругих плит / С.А. Калоеров // Вестн. Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2019. - № 1.

- С. 42-58.

5. Калоеров С.А. Задачи электроупругого, магнитоупругого и упругого изгиба тонких плит как частные задачи электромагнитоупругого изгиба / С.А. Калоеров // Вестн. Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2019. - № 3-4. - С. 58-79.

6. Глушанков Е. С. Решение задачи об изгибе защемленной по краю эллиптической пьезоэлектрической плиты / Е.С. Глушанков // Журн. теорет. и прикладной механики. - 2020.

- Вып. 4 (73). - С. 5-15.

7. Глушанков Е.С. Решение задачи об изгибе тонкой пьезоэлектрической полосы при действии поперечной нагрузки / Е.С. Глушанков // Журн. теорет. и прикладной механики.

- 2021. - Вып. 1 (74). - С. 31-55.

8. Гринченко В.Т.Электроупругость / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульга. - К.:

Наук. думка, 1989. - 280 с. (Механика связанных полей в элементах конструкций: В 5 т., Т. 5).

9. Калоеров С.А. Двумерные задачи электро- и магнитоупругости для многосвязных областей / С.А. Калоеров, А.И. Баева, О.И. Бороненко. - Донецк: Юго-Восток, 2007. - 268 с.

10. Liu J.X. Anisotropic thermopiezoelectric solids with an elliptic inslusion or a hole under uniform heat flow / J.X. Liu, X.S. Zhang, X.L. Liu, J. Zheng // Acta Mech. Sinica. - 2000. - Vol. 16. - P. 148-163.

11. Dunn M.L. Micromechanics of coupled electroelastic composites effective thermal expansion and pyroelectric coefficients / M.L. Dunn //J. Appl. Phys. - 1993. - Vol. 73. - P. 5131-5140.

E.S. Glushankov

The solution of the problem of bending of thin piezoelectric strip under the electric field potential difference action.

The solution is given for the thin piezoelectric strip bending problem with the electric potential difference being set on its bounds; the physically implementable cases of mechanical boundary condinitons are formulated. The investigation is reduced to constructing the analytical solution of the boundary value problems for system of ordinary differential equations and carrying out the numerical analysis of the effects of the strip's material's electric properties and mechanical boundary conditions on the electro-elastic state of the strip.

Keywords: thin plate bending theory, piezoelectric materials, electro-elastic strip's bending, electric potential difference action, electro-mechanical deformation effects, mechanical boundary conditions effects.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 14.09.2021

Donetsk National University, Donetsk

evgenij.glushankov@gmail.com