Расчет железобетонных плит и пологих оболочек с учетом ползучести бетона Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.04

РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ

ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА

*

Чепурненко А.С., Сайбель А.В.

ФГБОУ ВО «Донской государственный технический университет» Адрес: г. Ростов-на-Дону, Социалистическая, 162 E-mail: angelica_70@mail.ru

Аннотация. В работе приводится вывод разрешающих уравнений для реологического расчета железобетонных плит и пологих оболочек. Для бетона принимается вязкоупругая реологическая модель, в соответствии с которой полные деформации представляют сумму упругих деформаций и деформаций ползучести. Задача сводится к системе из двух дифференциальных уравнений, которая решается численно методом конечных разностей. Приведен пример расчета прямоугольной в плане пологой оболочки в форме эллиптического параболоида.

Ключевые слова: железобетонные конструкции, пластины и пологие оболочки, ползучесть, численные методы.

ВВЕДЕНИЕ

Тонкостенные пространственные конструкции в виде пологих оболочек и пластин относятся к наиболее прогрессивным видам строительных конструкций, которые совмещают в себе несущие и ограждающие функции и при этом способны перекрывать большие пролеты. Исследование напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек часто связано с большими математическими трудностями.

Трудность расчета резко возрастает при учете физической нелинейности материала.

Физическую нелинейность можно условно разделить на мгновенную, обусловленную нелинейной зависимостью между напряжениями и деформациями при кратковременном воздействии, а также проявляющуюся во времени (явление ползучести). Ползучесть характерна практически для всех строительных материалов, включая дерево, бетоны, полимербетоны, пластмассы и металлы при высоких температурах. Влияние ползучести на напряженно-деформированное состояние

строительных конструкций носит неоднозначный характер. С одной стороны - это значительное увеличение перемещений, потеря

предварительных напряжений в железобетонных конструкциях. С другой стороны, при ползучести возможно перераспределение и снижение напряжений, уменьшение ширины раскрытия трещин и т.д. Поэтому совершенствование методов расчета конструкций и их элементов с учетом фактора времени относится к одному из приоритетных направлений строительной механики.

АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ

Вопросам расчета пластин и оболочек посвящено большое количество публикаций, в том числе [1-12]. В указанных работах авторы ограничиваются упругой стадией работы конструкции.

В работе [13] приводятся математические модели деформирования изотропных и ортотропных ребристых оболочек с учетом ползучести материала, а также геометрической нелинейности. В качестве закона деформирования используется линейная теория наследственности. В статье [14] приводятся разрешающие уравнения для расчета пологих железобетонных оболочек и пластин в условиях термоползучести. В основу также положена линейная теория наследственности.

В статьях [15-16] рассматриваются вопросы

расчета с учетом пластин и оболочек.

В большинстве ограничиваются уравнением связи ползучести и необходимость

ползучести полимерных

случаев исследователи каким-то конкретным

между деформациями напряжениями. Существует в универсальной методике

расчета, подходящей для произвольных законов ползучести.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ

Элемент рассматриваемой пологой железобетонной оболочки показан на рис. 1. Изгибающие моменты и продольные силы представляют сумму усилий, воспринимаемых бетоном и арматурой:

Mx = Mbx + Msx; My = Mby + My;

Nx = Nbx + Nsx; Ny = Nby + Nsy .

(1)

Крутящие моменты Н и сдвигающие силы полностью воспринимаются бетоном. Уравнения равновесия пологой оболочки имеют вид [17]:

N

дх

дS = 0 3S_

ду ' дх

dNz ду

= 0;

о 2Mx дх2

д2 H

д M„

(2)

дхду ду

у - kxNx - kyNy

• = 0,

где кх и ку - главные кривизны оболочки.

Рис. 1. Элемент пологой оболочки

Первые два уравнения в (2) могут быть удовлетворены, если ввести функцию напряжений Ф по формулам:

И/2

МЬу = | аЬу^ = -

- И/2

( д2 w д2 w Л

-Г + у—Г

ду2 дх2

- м;;

И/2 д2

Н = Г тЪу2ск = -Д(1 -у) -Н*; Л Ьху А ' дхду

-И/2 И/2

N = ¡Ъх^ = -Еу ^ у)- N;

Е%,И / п х\ м* ■

х Ьх

-И/2

И/2

Ку = Г *-у* = ЕМ

-И/2

®у0 + УХ )

И/2

5 = Г ъ

-И/2

Ьху

. ЕьИ 2(1 + у)

у0 - 5*

где Въ = ЕьИ3/(12(1 -у2)),

N =-д2Ф; N =д!Ф; 5 = -^Ф. (3)

И/2

ду

2 ' у я,,2

дх

дхду

Деформации бетона представляют сумму деформаций срединной поверхности и деформаций, вызванных изменением кривизны:

8ъх = ех + х; 8ъу = еу + у;

Г Ьху =/ + 2 гХху .

(4)

Изменения кривизн пологой оболочки определяются по формулам:

д2 w д2 w д2 w

Хх = Г^, Ху = ГТ", Хху = - (5)

дх

ду

дхду

Связь между напряжениями и деформациями в бетоне с учетом ползучести запишется в виде:

аЬу =

ЕЬ / / * * \\

-у \еЬх + УЬу - (еЬх + УЬу )) ;

-у (£ъу + у£ъх- (4;у + у4х)); (6)

(<^Ьху У Ьху ^

ТЬху =

2(1 + у)

Ч! 45 Ч! 1

где еЪх, еЬу, уЪху - деформации ползучести.

Внутренние усилия, воспринимаемые бетоном, вычисляются следующим образом:

И/2 ( Я2 Я2 Л

С л тл ( д w д w

МЬх = ] аЬх^ = - ВЬ

-И/2

- + у-

дх2 ду2

- м;

м;=-

н *=-

—у Г (4х +у4) ^,

1 -у - И/2

Е И/2

—Ч Г(4;+у£;)zdz,

1 -у

-И/2 Е И/2

-—- Г (4х +у4; )dz,

1 -У -И/2

Е И/2

—Ч Г (е'у +у4х)dz, 1 -у

-И/2

Е И/2 Е И

У*, 5 * =-Ь— У;„Дг.

J /Ьху 2(1 + у) ^ Ьху

му =-

N1 =■

ну =.

И/2

2(1 + у)

И/2

И/2

Деформации арматуры определяются из условий совместной ее работы с бетоном:

4зх 4 х + гзхХх ; ену 4 у + гзуХу ;

е' = е х - г' Х • е' = е х - г ' Х

зх х зхЛ,х> зу у зуЛу •

(8)

Внутренние усилия, воспринимаемые арматурой, записываются в виде:

М = а и, Иг -а'^ Иг' ;

зх зх> зх зх зхг^з'х 3-х '

М = а и Иг -а' и Иг ;

зу зуг^зу зу зуг*зу зу^

зу зу г зу зу зу г зу зу? нзх = И(азхМзх +а'зхМзх ); нзу = И(азуМзу +а'зуМ'зу X

где изх(у), и3х(у) - коэффициенты армирования.

В случае симметричного армирования

(изх и-х , Мзу , гзх гзх , гзу гзу ):

= 2 ЕМи^Хх = ВхХх;

(9)

= ЩЬИ^уХу = ВуХу • Полные изгибающие моменты запишутся в

виде:

М = -а

Му = -В2

182 ^ 82 ^

{8х2 + к2—г 2 8у2

( 82 ^ 82 ^

и2 + к —г-

1 8х2

-К*;

-МЬу ,

(10)

где Д = Въ + В*, В2 = Въ + Ву ,к2 = Вък/В„ к = ВЬУ/Вт

Подставляя (10), а также выражение для крутящего момента из (7) в третье уравнение равновесия в (2), получим первое разрешающее уравнение:

^84^ „^ 84w ^ 84w , 82Ф В1 —г + 2 В3 —2—Г + В2 —г + кх —т + 8х 8х 8у 8у 8у

( я2»г"Л (11)

+к.

8 2Ф

у 8х2

= Ч

82М" „ 82И 82МУ

8х1

- + 2

8х8у 8у

где В3 = (Вху2 + В2кх) / 2 + 2Вк, Вк =

ЕЛ?

24(1 + к)

Деформации срединной поверхности выражаются через внутренние усилия следующим образом:

£ = — + И") + И");

х Е1я х х Е2 к у у

е0 = —N + N1) -+ );

Е2 к у у Ехк х х

у

(12)

о ^ + ^

у =-

Ок '

где Оъ = Еъ /(2(1 + к)),

Е =

1 -к2

1 --

к2 Е

Еъ + (1 -к2) Е (р ),

+Е <Ах + М1х X

+Е, (м.у +м!у )■

к, =

кЕ1Еъ

1 Е2(ЕЪ + (1 -к2щ (^х +м!х )'

кЕ2 Еъ

ЕД Еъ + (1 -к2) Е (Ру + М'у)

Для деформаций срединной поверхности справедливо уравнение совместности деформаций:

д2 0 8 £

я2 0

8 £у

2 0

2

8 у

8у2 8х 8х8у 2

, 82w , 82w -К—г- + к,

у Я,,2

8х

(13)

Подставляя (12) в (13) с учетом (3), получим второе разрешающее уравнение:

1

1 8 Ф 8 Ф

(

Е2 8х

V ^

8х 2ду2

1

\

-к

82 w 82w

~ - ку 1ххг

О Е2 Е1 У

1 , 1 82 5 *

2.8ф

1 82 N*

8у/

2 к (О 8х8у Е1 2

8 N 1 82 И*

Е2 8у2

Е2 8х2

А 82 И*

Е1 8х2

Таким образом, задача расчета пологой железобетонной оболочки свелась к системе из двух дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно прогиба и функции напряжений. В частном случае при кх = ку = 0 получим уравнения

для плиты.

Решение данной системы выполнялось методом конечных разностей. Для определения деформаций ползучести вводилась равномерная сетка по времени. На первом шаге решалась упругая задача, по напряжениям вычислялись скорости роста деформаций ползучести. Далее деформации ползучести на следующем шаге определялись по известным значениям предыдущего шага при помощи метода Эйлера.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Был выполнен расчет прямоугольной в плане пологой оболочки, поверхность которой представляет эллиптический параболоид (рис. 2). Уравнение этой поверхности имеет вид:

\2 г /■ \ 2

^ = /

А N х и , -/2 N У

2--1 I + -1 I -1 /1 « ) / ( ъ

(14)

где / = / + /2 - стрела подъема оболочки.

Е2 =

1 -к2

1-

к2Е

Еъ + (1 -к2Щ (Рх +Рх ) У

Рис. 2. Пологая оболочка

При расчете принимали, что по краям оболочка соединена с диафрагмами, абсолютно жесткими в их плоскости и гибкими из нее. В качестве закона ползучести принималось уравнение вязкоупругой модели наследственного старения бетона [18], имеющее вид:

е^-^^ <15»

где С (;, т) - мера ползучести, имеющая

вид:

а; - ат

С (, т ) = С^ + В (- е-у ).

Данное уравнение записано для одноосного напряженного состояния. Переход к плоскому напряженному состоянию выполняется на основе принципа суперпозиции. Далее интегральное уравнение представляется в дифференциальной форме.

Расчет выполнялся при И = 15 см, q = 1Х кПа, а = 4 м, Ь = 6 м, ЕЬ = 2-1Х4 МПа, Е% = 2-1Х5 МПа, V = Х.2, а = Х.Х32 сут -1, у = Х.Х62 сут -1, С = 3.77-1Х-8 м2/кН, В = 5.68-1Х-8 м2/кН, д8Х = Х.ХХ5, д8у = Х.ХХ7.

На рис. 3 показан полученный в результате график роста максимальной величины прогиба. Прогиб в процессе ползучести вырос в 1.62 раза.

6-1-1-1-1-1-1-1-

20 30 40 50 60 70 80 90 100

г, сут

Рис. 3. График роста прогиба

На рис. 4 приведен график изменения напряжений сЬх в центре оболочки у верхней поверхности. Знаку «+» на данном графике

соответствует сжатие. Рис. 5 показывает изменение во времени максимальных растягивающих напряжений с8Х в арматуре. Из представленных графиков видно, что в процессе ползучести происходит существенное перераспределение напряжений между арматурой и бетоном. В бетоне напряжения снизились в 2.7 раз, а в арматуре

выросли в 4.9 раз.

0.8

0.7

0.6

ей

С

2 0.5

ль

0.4

0.3

0.2

0 50 100 150 200 250 300

сут

Рис. 4. Изменение напряжений сЬх в центре оболочки у верхней поверхности

Рис. 5. Изменение максимальных растягивающих напряжений в арматуре

ВЫВОДЫ

Получена система из двух дифференциальных уравнений относительно прогиба и функции напряжений для расчета с учетом ползучести бетона железобетонных плит и пологих оболочек. Данные уравнения универсальны и позволяют использовать произвольный закон ползучести. Исследовано напряженно-

деформированное состояние пологой

прямоугольной в плане оболочки в форме эллиптического параболоида при ползучести. Установлено, что в процессе ползучести происходит существенное перераспределение напряжений между арматурой и бетоном: в бетоне напряжения убывают, а в арматуре возрастают.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Калафатов, Д. А. Результаты исследований численных моделей двухслойных железобетонных плитных фундаментов каркасных зданий / Д. А. Калафатов // Строительство и техногенная безопасность. - 2016. - № 4 (56). - С. 66-69.

2. Якупов, Н.М. Расчет тонкостенных сферических оболочек с углублениями на базе трехмерных конечных элементов // Н.М. Якупов, Ф.Г. Ахмадиев, Х.Г. Киямов // Строительство и техногенная безопасность. - 2014. - № 50. - С. 185190.

3. Чемодуров, В.Т. Оценка прочности цилиндрических баков с жидким наполнителем при динамических нагрузках / В. Т. Чемодуров, Ю.С. Кузьмина // Строительство и техногенная безопасность. - 2016. - № 2 (54). - С. 31-34.

4. Калафатов, Д.А. Планирование экспериментальных исследований работы двухслойных железобетонных плитных фундаментов / Д.А. Калафатов // Строительство и техногенная безопасность. - 2014. - № 50. - С. 9499.

5. Тарабара, И.Ю. Изгибно-крутильные колебания плоской пластины в потоке воздуха / И.Ю. Тарабара, В.Т. Чемодуров // Строительство и техногенная безопасность. - 2014. - № 49. - С. 2731.

6. Погорелый, Д.Ф. Демпфирование колебаний оболочки при полигармоническом нагружении / Д.Ф. Погорелый, С.М. Малинский, А.Ю. Чернявский, В. А. Бойко // Строительство и техногенная безопасность. - 2013. - № 48. - С. 137141.

7. Чемодуров, В. Т. Расчет многослойной пластины с приведенной жесткостью / В. Т. Чемодуров, П.М. Канцеров // Строительство и техногенная безопасность. - 2012. - № 42. - С. 1825.

8. Чемодуров, В.Т. Выбор параметров многослойной пластины методом планирования эксперимента / В. Т. Чемодуров, В.И. Шинкарук // Строительство и техногенная безопасность. - 2012.

- № 42. - С. 26-30.

9. Чемодуров, В.Т. Выбор параметров многослойной пластины методом случайного поиска / В. Т. Чемодуров, М.С. Сейтжелилов // Строительство и техногенная безопасность. - 2012.

- № 42. - С. 31-36.

10. Трегубова, И.А. Выбор систем координат при численном описании конечно- элементной

модели оболочки // Строительство и техногенная безопасность. - 2012. - № 41. - С. 222-224.

11. Якупов, Н.М. Компьютерное моделирование расчета напряженно-деформированого состояния оболочечной конструкции сложной геометрии / Н.М. Якупов, Х.Г. Киямов, Ф.Г. Ахмадиев // Строительство и техногенная безопасность. - 2012. - № 41. - С. 261267.

12. Литовченко, П.А. Распределение напряжений в нормальном сечении облегчённых трёхслойных сборно-монолитных железобетонных панелей при изгибе / П.А. Литовченко, Н.И. Глушаков // Строительство и техногенная безопасность. - 2012. - № 43. - С. 31-35.

13. Жгутов, В. М. Математические модели деформирования ортотропных и изотропных ребристых оболочек при учете ползучести материала/ В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал. - 2009. - №. 7. - С. 46-54.

14. Тамразян, А.Г. Термоползучесть пологих железобетонных оболочек и плоских пластин при высоких температурах / А.Г. Тамразян, А.С. Кожанова // Промышленное и гражданское строительство. - 2015. - № 10. - С. 15-20.

15. Андреев В.И. Расчет трехслойной пологой оболочки с учетом ползучести среднего слоя / В.И. Андреев, Б.М. Языев, А.С. Чепурненко, С.В. Литвинов // Вестник МГСУ. - 2015. - № 7. - С. 17-24.

16. Языев, Б.М. Расчёт трёхслойной пластинки методом конечных элементов с учётом ползучести среднего слоя / Б.М. Языев, А.С. Чепурненко, С.В. Литвинов, С.Б. Языев // Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. - 2014. - Т. 33. - № 2. - С. 4755.

17. Mailyan, L.R. Calculation of shallow polymer shell taking the creep into account / L. R. Mailyan, A.S. Chepurnenko, S. B. Yazyev, B. M. Yazyev // MATEC Web of Conferences. - 2017. - № 106. - Режим доступа: https://www.matec-conferences.org/articles/matecconf/abs/2017/20/matecc onf_spbw2017_04010/matecconf_spbw2017_04010.ht ml

18. Тамразян, А.Г. Механика ползучести бетона: монография/ А.Г. Тамразян, С. Г. Есаян. -Москва: МГСУ, 2012. - 490 с.

Chepurenko, A. S., Saybel A.V.

CALCULATION OF REINFORCED CONCRETE PLATES AND SHELTER SHELLS WITH THE ACCOUNT OF CREATURE OF CONCRETE

Annotation. In the work the derivation of the resolving equations for rheological calculation of reinforced concrete slabs and sloping shells is given. For concrete, a viscoelastic rheological model is adopted, in accordance with which the total deformations represent the sum of elastic deformations and creep strains. The problem is reduced to a system of two differential equations, which is solved numerically by the method of finite differences. An example is given of calculating a rectangular, planar shell in the form of an elliptical paraboloid.

Key words: reinforced concrete structures, plates and gently sloping shells, creep, numerical methods