ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНКИ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№4 (77) / 2021.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3

©2021. С.А. Калоеров, А.Б. Мироненко, М.А. Полянский

ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНКИ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ

Дано решение задачи электромагнитоупругости для пьезопластинки с криволинейными отверстиями, использующее комплексные потенциалы, аппроксимацию контуров отверстий дугами эллипсов и берегами прямолинейных разрезов, конформные отображения, представления голоморфных функций рядами Лорана и по полиномам Фабера и удовлетворение граничным условиям на контурах обобщенным методом наименьших квадратов. Описаны результаты численных исследований для пластинки с треугольным или квадратным отверстием. Изучено влияние на значения и распределение основных характеристик электромагнитоупругого состояния пьезосвойств материала пластинки, геометрических характеристик отверстий. Показано, при каких острых углах заключающие их стороны многоугольников можно интерпретировать берегами трещин.

Ключевые слова: пьезопластинка, криволинейные отверстия, комплексные потенциалы, обобщенный метод наименьших квадратов.

Введение. Пластинки из пьезоматериалов находят широкое применение в качестве элементов различных конструкций [1—6]. Зачастую эти элементы имеют технологические или эксплуатационные отверстия или трещины, вблизи которых при действии различных механических сил и электромагнитных полей могут возникать высокие концентрации напряжений, что может приводить к разрушению этих элементов и что нужно учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций. Поэтому необходимы достаточно надежные методы определения электромагнитоупругого состояния (ЭМУС) многосвязных пьезо-пластин. Как показывают исследования, такими оказываются методы, использующие обобщенные комплексные потенциалы плоской задачи электромагнито-упругости [7]. При этом в случае канонических односвязных областей (конечной эллиптической пластинки или бесконечной пластинки с эллиптическим отверстием) удается получить точные аналитические решения ряда задач с использованием метода рядов, а для многосвязных областей задачи решаются приближенными методами, причем наиболее сложными являются решения задач для пластинки с криволинейными отверстиями. И здесь достаточно надежные результаты можно получать, аппроксимируя криволинейные контуры совокупностями дуг эллипсов и берегов прямолинейных разрезов и применяя для удовлетворения граничным условиям либо дискретный метод наименьших квадратов

[7], либо обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК) [8]. Результаты же, получаемые при решении аналогичных задач даже классической теории упругости (без учета пьезосвойств материалов) другими методами [9, 10], как показано в работе [11], значительно отличаются от истинных значений.

В данной статье с использованием обобщенных комплексных потенциалов и ОМНК решена задача электромагнитоупругости для пластины с криволинейными отверстиями. Описаны результаты численных исследований для пластинки с треугольным или квадратным отверстием.

1. Постановка и метод решения задачи. Рассмотрим занимающую многосвязную область S электромагнитоупругую пластинку с отверстиями произвольной конфигурации. Для упрощения записей некоторых из приводимых ниже соотношений будем считать, что на контурах отверстий главные векторы механических воздействий и суммарные потоки электрической и магнитной индукций равны нулю на каждом из них, во внутренних точках пластинки отсутствуют сосредоточенные воздействия. При решении задачи криволинейные контуры пластинки будем аппроксимировать дугами эллипсов и берегами прямолинейных разрезов, которые будем рассматривать также эллипсами, одна из полуосей которых равна нулю. При таком подходе исходная задача сводится к решению задачи электромагни-тоупругости для пластинки с конечным числом эллиптических отверстий. В связи с этим рассмотрим отнесенную к прямоугольной декартовой системе координат электромагнито-упругую пластинку, занимающую многосвязную область S (рис. 1), ограниченную внешним контуром Lo и контурами эллиптических отверстий L¡ (l = 1, /2) с полуосями a¡, bi, причем в локальных системах координат OiXiyi с началами в центрах эллипсов Li и направлениями осей вдоль осей эллипсов их параметрические уравнения будут такими:

xi = ai cos в, yi = bi sin в, (1)

а в основной системе координат OXy имеют вид

x = xoi + xi cos pi — yi sin pi,

(2)

У = yoi + xi sin pi + yi cos pi,

где в - угловая переменная параметрического задания эллипса, изменяющаяся от 0 до 2n; xoi, yoi - координаты начала локальной системы координат Oi xi yi в основной системе координат Oxy; pi — угол между направлениями осей Ox и Oi xi, отсчитываемый от Ox против часовой стрелки. В случае удаленного от отверстий контура Lo рассматривается бесконечная многосвязная область. В

последнем случае будем считать, что на бесконечности заданы напряжения

ж

' x J

av°, TX-y; компоненты векторов напряженностей электромагнитного поля ЕЖ

И™, Иу^ (или индукций , БуЗ, Б™, Бу°); угол поворота всей пластинки как целой = 0.

Если для определения ЭМУС пластинки использовать комплексные потенциалы электромагнитоупругости, то решение рассматриваемой задачи сводится к нахождению из граничных условий на контурах области функций Фд(г к) (к = 1, 4) обобщенных комплексных переменных [7]

гд = х + цку, (3)

где Цк - корни характеристического уравнения 8-го порядка

(4)

(5)

lis (м) l3g (м) hpM

l3g (М) к? (М) l2v (М)

l3pM l2v (М) l2x (м)

lij (м) - полиномы вида

lis (М) = «ИМ4 - 2SioM3 + (2s 12 + See) М2 - 2S26M + S22, l3g (м) = 911М - (921 + 916) М + (gi2 + 926) М - 922, l3p (м) = Р11М3 - (Р21 + Р16) М + (Р12 + Р2б) М - Р22, 12в (м) = -виМ2 + 2(012М - $22, l2v (м) = -V11M2 + 2V12М - V22, l2x (м) = -Х11М + 2Х12М - Х22;

Sij - коэффициенты деформации материала, измеренные при постоянных индукциях электрического и магнитного полей; 9j и pj - пьезоэлектрические и пьезомагнитные коэффициенты деформаций и напряженностей, измеренные при постоянных напряжениях и индукциях; 0j, Vj, Xij - коэффициенты диэлектрической, магнитной и электромагнитной восприимчивостей, измеренные при постоянных напряжениях. При этом граничные условия (механические и электромагнитные) для определения комплексных потенциалов имеют вид

2te^gik$k(tk) = fi(t) (г = 1, 4), (6)

k=1

где в случае механических граничных условий (при i=1, 2)

(91k, 92k) = (1, -Мк),

(Yn, Xn) as + (С1, С2) ,

если на границе заданы усилия, и

(f1(t), f2(t)) = Т Г (Yn, Xn) as + (C1, C2)

0

(gik, 92k) = (Pk, Qk) , (8)

(fi(t), f2(t)) = (u* + w3y - Uo, u* - Ш3Х - Vo) ,

когда на границе заданы перемещения u*, u*; в случае электромагнитных граничных условий (при i=3, 4)

(9зк, 94к) = (-Vк, -рк),

(Шз(Ь), М)) = Т [ Оп, Вп) ds + (Сз, С4), ■)о

если на границе заданы индукции поля,

(9зк, 94к) = (гк, Ьк), (Шз(ь), №)) = (р*(ь) - ро + Сз, Ф*(ь) - Фо + С4),

когда на границе заданы потенциалы поля р* (Ь), ф*(Ь);

Рк = SllЦ2k - Sl6Цк + Sl2 + (9\\Ц-к - 921) Vk + (рцЦк - Р21) рк,

(9)

(10)

, s22 . / 922

Qk = S 12/ifc - «26 H---Ь ^12--

Vk V Vk

P22

Vk+\Vl2--Рк,

Vk

rk = 9iiVk - 9i6Vk + 9i2 - (PnVk - в\2) Vk - (viiVk - V12) Pk, hk = PiiVk - Pi6Vk + Pi2 - (ViiVk - V12) Vk - (xiiVk - X12) Pk;

(11)

A

Vk

ik

A

A

ok

Pk

2k

A

A

ok

A

ik =

-1з g (Vk) l2 v (Vk) -kip (vk) l2 x (Vk)

ok

A

l2 в (Vk) l2 v (Vk)

l2 v (Vk) l2 x (Vk )

2k =

l2 в (Vk) -l3g (Vk) l2 v (Vk) -kip (Vk)

С - постоянные, произвольные на одном из контуров; ио, Уо - жесткие перемещения; ро, Фо - постоянные потенциалы; шз - угол поворота пластинки как целой. Верхние знаки перед интегралами выбираются для внешнего контура области Ьо, нижние знаки - для контуров отверстий.

Комплексные потенциалы Фк (^к) определены в многосвязных областях Б к, ограниченных контурами Ьк1, соответствующими контурам Ь1 области Б при аффинных преобразованиях (3), и в рассматриваемом случае отсутствия сосредоточенных воздействий и равенства на каждом контуре нулю главных векторов внешних механических и индукционных воздействий и задании на бесконечности векторов напряженностей электромагнитного поля имеют вид [7]

(zk) = gTkZk + &kt (zk)

(12)

i=g

где д = 0 в случае конечной области S; g = 1, если область S бесконечна; Гн -постоянные, которые находятся из решения системы уравнений

4

2Re^] (1, /н, ni, qk - /kPk, rk, /нГк, hk, Пнhk) Гн =

k=i (13)

_ ( го „_го _го Г) го Трго Трго ТГго Т7го\ ■

= \ ay , —Txy, ax , 2Ш3 , -Ex , -Ey , -Hx , -Hy ) ;

Фно (zk) - функции, голоморфные внутри контуров Lk0 областей Sk; Фн1 (zk) (l = 1, С) - функции, голоморфные вне контуров Lj-i областей Sk- Для нахождения этих функций используем конформные отображения.

Отобразим конформно внешность единичной окружности |Zki| > 1 на внешности контура Lki по формулам [12]

Zk = Zoki + Rki ((ki + , (14)

в которых

zoki = xoi + /k yoi, ai (cos pi + /k sin pi) + ibi (sin pi - /k cos pi)

Rki =-2-' (15)

ai (cos pi + /k sin pi) - ibi (sin pi - /k cos pi)

mkl =-Щ*-•

Тогда функции Фно (zh), голоморфные внутри контуров Lko, могут быть представлены рядами по полиномам Фабера или после преобразований - степенными рядами, а функции Фы {zk) (I = 1, £), голоморфные вне контуров L^i и исчезающие на бесконечности, в областях переменных Zki будут голоморфными вне окружностей IZkil > 1 и могут быть представлены рядами Лорана по отрицательным степеням Zki, т. е.

го го

$fco (zk) = akOnZk, Фи (zk) = ^

n=0 n=1 ki

Окончательно для комплексных потенциалов (12) имеем

L го

Фк (zk) = дГкzk + (1 - g)akoo + ^ ^ pkinakin, (16)

i=g n=l

где

Ркоп = ¿fc i Pkin = -p^ (l = i, £);

akin - произвольные постоянные, которые будем определять из граничных условий на контурах отверстий.

Заметим, что конформные отображения (14) можно построить и по координатам концов осей эллипсов Ц (ха1 , Уа1 ), (хв1, Ув1), (хс1, Ус), (хо1, Уо1 )• В этом случае в формулах (15) нужно принять

2\J(xAl -XClj2 + (уА: — Ус\)2, Ъ1 = \ \!(xBi - xDli2 + (уВi -VDt)2,

(17)

X0l

XAi + XCl 2

yol

У Ax + yct 2

pi = arctg

VA, - УС,

XA, ~ XC,

у

Если контур отверстия имеет участки с угловыми точками, то при решении задач возникает необходимость аппроксимации сторон угла в окрестности его вершины А[ (ха1 , Уа1 ) дугой окружности Ц, вписанной в этот угол, с центром на биссектрисе угла (рис. 2). Если обозначить углы между положительным направлением оси Ох и сторонами угла А1 через ф и ф+1, то угол Д будет равен фг+1 — щ. Поэтому угол наклона указанной биссектрисы к оси Ох

ЛУ1

ЛФ;

Ф/+1

ф = (ф1 + Ф1+1) /2. Выбрав на сторонах угла отрезки А1В1 и А\ С одинаковой длины 5[ от вершины, для радиуса вписанной окружности и координат ее центра будем иметь

о

х

Рис. 2. Аппроксимация сторон угла многоугольника вблизи вершины дугой вписанной окружности

a'l = tg {{<Pl+l — <Pl) /2) , I = fif + af, x'oi = XAi - \°'lAl \ sin ((pi + pi+i) /2),

y01 = УА1 - \O'iAi\ cos ((pi + pi+i) /2).

Зная координаты x'0l, y'0г центра O[ вписанной окружности L[, ее радиус a[ и угол pi между осью Ox и биссектрисой угла Ai, и принимая, что b[ = a[, по формулам (14) найдем функцию, отображающую внешность единичного круга на внешность окружности L[, вписанной в угол Ai.

Для определения неизвестных постоянных akin используем граничные условия на контурах пластинки. В случае многосвязной области этим условиям удобнее удовлетворять в дифференциальной форме, получаемой из условий (16) их дифференцированием по дуге контура. Последние условия не содержать имеющихся в обычных граничных условиях аддитивных постоянных и имеют вид

4

2Re^gikp5kps$k (tk) = k=i

dfipjt) ds

(18)

в котором

С го

{.к) = дгк + ^ ^ ашФи*(гк)

1=д п=1

Мк х' + /ЛкУ1 /х'2 + У'

6кР* - ^ - л/г/2 + 1/2' (19)

РкОгЛ^к) = пх1 \ (р'к1п(гк) = ——Т

п

СПГ1^ (СккI - ты)

(/ = 1, £);

ж', у' - производные по переменной 0 параметрического уравнения эллипсов (1).

Граничным условиям (18) будем удовлетворять обобщенным методом наименьших квадратов [8, 13, 14]. Для этого выберем на каждом из контуров Ьр (р = О, С) систему точек Мрт(хрт, урт), в которых удовлетворим заданным граничным условиям. Подставив функции (19) в граничные условия (18), получим переопределенную систему линейных алгебраических уравнений

4 С го 4

^ дъкрЬкрвР'кЫ ^крт) ак1п = дгкр^крвГк +

к=1 1=д п=1 к=1 (20)

р = ^ ш = 17~Мр) .

После нахождения псевдорешения системы (20) методом сингулярного разложения [15, 16] постоянные акы, а, следовательно, и комплексные потенциалы (16), будут известны и можно найти основные характеристики ЭМУС (напряжения, индукции, напряженности, перемещения и потенциалы электромагнитного поля) по формулам [7]

4

,2

{Гх, Су, тХу) = Же^ №к, 1 — Рк) ф'к {гк); (21) к=1

4

{Бх, Бу, Ех, Еу) = 2Ее^2 {VкРк, —Vк, Гк, РкГк)Ф'к {¿к); (22)

к=1 4

{Вх, Ву, Нх, Ну) = 2Яе^2 {ркРк, —рк, Ьк, РкНк)Ф'к {¿к); (23)

к=1

{и, V, р, ф) = 2ЕеУ {рк, Як, Гк, Нк)Фк {¿к) +

+ {—ш3у + ио, ШзХ + V0, Ф0, фо) .

4

При этом, если некоторый эллипс Ь\ переходит в прямолинейный разрез (трещину или жесткое линейное включение), то в его концах производные комплексных потенциалов (19), а следовательно, и напряжения, индукции и напряженности будут иметь сингулярность, и можно определить и коэффициенты интенсивности напряжений, индукций и напряженностей (КИНИН), используя известные формулы [17].

В случае бесконечной пластинки с одним эллиптическим отверстием или трещиной Ь\ можно найти и точное решение задачи. В этом случае выражения для комплексных потенциалов (16) принимают вид

те

+ (25)

п=1 ^к1

в котором Г к - постоянные, определяемые из системы уравнений (13); ^к1 - переменные, определяемые из конформных отображений (14) при I = 1. Учитывая, что на контуре отверстия (к1 = = а и удовлетворяя граничным условиям на контуре отверстия методом рядов, находим, что ады = 0 при п > 2, а постоянные ад11 определяются из системы 4 линейных алгебраических уравнений

4 4

V] (1, - Цк, -Vк, -рк) ак11 = - У" [(1, -цк, -Vк, -рк) Я^т^Гк+

к=1 к=1 (26)

+ (1, -Дь -"к, ~Рк) Як^к] ,

т. е. комплексные потенциалы и их производные имеют вид

а-кп

¿п ' (27)

Фк (zk) = Tk Zk + &'k(Zk) =Гк -

Rki {(ll — mkl)

Если эллипс переходит в прямолинейный разрез-трещину при bi = 0, то 2Rki = ai (cos <рi + Цк sin ), mki = 1, ^k(zk) = Tk- ükn

^ (С1 - 1'

откуда следует, что в концах разреза, где (к1 = ±1, функции Ф'к (гк), а следовательно, и все основные характеристики ЭМУС имеют особенность, и для концов трещины можно вычислить КИНИН. В частности, для коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) получаем

2

^ = = (28) к=1 1

где знаки + и - относятся к правому и левому концам трещины.

Как частные случаи из приведенного выше решения следуют решения задач электроупругости, магнитоупругости и теории упругости анизотропного тела. Эти решения следуют из приведенного, если в нем соответствующие постоянные в основных уравнениях полагать равными нулю. Эти решения можно получать и решением общей задачи электромагнитоупругости для модельного материала с постоянными дз, в'з, р'ц, Хгз, ^, связанными с постоянными истинного материала соотношениями

д V = Ад дгЗ, в гз = /Ад, р V = Арргз,

X гз = ХгЗ /Ар, V гЗ = ,

где Хд, Ар, Хдр - параметры, характеризующие отклонение электромагнитных постоянных модельного материала от истинных постоянных. Тогда случай Ад = = Ар = Адр = 1 соответствует задаче электромагнитоупругости (ЭМУ); Ад = 1, АР = Адр = 0 - задаче электроупругости (ЭУ); Ар = 1, Ад = Адр = 0 - задаче магнитоупругости (МУ); Ад = Ар = Адр = 0 - задаче теории упругости (ТУ). Таким подходом можно пользоваться и при проведении численных расчетов по программе, реализующей общее решение задачи электромагнитоупругости. Но в программе реализации общего решения любой из указанных параметров не может принимать нулевое значение. В то же время, как показывают расчеты, значения основных характеристик для указанных задач практически не отличаются от получаемых по общей программе, если вместо нулевой величины параметра придавать ему значение не более 10"3. Из этого следует, что нужно принять:

- для задачи ЭМУ Ад = Ар = Адр = 1;

- для задачи ЭУ Ад = 1, Ар = Адр < 10"3;

- для задачи МУ Ар = 1, Ад = Адр < 10"3;

- для задачи ТУ Ар = Ад = Адр < 10"3.

Также заметим, что по общей программе можно получать результаты и для случая изотропной пластинки. В последнем случае один из коэффициентов деформации вгз нужно брать несколько отличным от реального, например вп и в22 брать отличающимися друг от друга в третьей значащей цифре. В этом случае корни характеристического уравнения (4) будут близки к мнимой единице г, но несколько (в третьей значащей цифре) отличаться друг от друга (слабая анизотропия) и общая программа позволит получать значения основных характеристик, практически совпадающие с данными, получаемыми при решении задачи теории упругости изотропного тела с использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили [18].

И, наконец, по общей программе можно получать результаты и для решения задачи электромагнитостатики, когда пластинка абсолютно мягкая. В этом случае нужно рассматривать модельный упругий материал с постоянными в'гз = А3вгз и для задачи элетромагнитостатики брать А5 < 10"3.

2. Решение некоторых частных задач. Приведенный подход был использован для решения задач об ЭМУС пластин с отверстиями различной конфигурации при действии различных механических сил и электромагнитных полей. Исследования проводились для пластин из следующих материалов: композит на основе титаната бария-феррита (II) кобальта БаТЮ3 — СоГв204 (материал М1) [19]; композит, упругие, пьезоэлектрические и электрические постоянные которого соответствуют селениду кадмия СйБе, а пьезомагнитные и магнитные -БаТЮз [20] (М2); композит, упругие, пьезоэлектрические и электрические постоянные которого соответствуют PZT — 4, а пьезомагнитные и магнитные -Со¥е2Ю± [20] (М3). Постоянные для этих материалов приведены в таблице 1.

Таблица 1. Постоянные материалов

Величина Материалы

М1 М2 МЗ

«и/«о = «зз/«о 7,165 22,260 10,745

«22/«0 6,797 14,984 7,398

«44/«0 = «бб/^О 19,912 47,481 7,637

«бб/«0 19,802 69,204 32,680

«12/«0 = «2з/«0 -2,337 -6,437 -2,542

-2,736 -11,942 -5,595

91в/до = ды/до 2,028 109,22 2,054

921/90 = д2з/до -0,496 -4,333 -1,159

922/до 1,157 8,016 2,458

Р1б/Р0 = рм/ро 1,850 268,318 98,843

ри/ро = Р23/Р0 0,576 17,778 12,102

Р22/Р0 1,186 31,206 22,268

Ри/Ро = Рзз/Ро 0,156 19,612 0,106

1322/Ро 0,137 10,612 0,090

ни/ио = ^зз/ио -0,190 213,404 -14,931

1^22/^0 -0,185 -5,534 -3,740

хп/хо = хзз/хо 0,336 0,590 0,805

Х22/Х0 0,119 0,575 0,704

В которой

в0 = 10-6 МПа-1, до = 10-2 МКл-1м2,

р0 = 10-5 МТл-1, в0 = 103 МН • м2 • МКл-2,

щ = 10-1 МКл • м • МА-1 ,х0 = 10-1 МПа • МТл-2.

При проведении исследований количество членов в рядах (19) для каждого отверстия Ьр и «коллокационных точек» Мр на каждом из контуров Ьр, для которых составлялись уравнения (20), увеличивалось до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (пока значения напряжений и индукций на площадках, касательных к контурам, не были менее 10-3). В описываемых ниже случаях для такого удовлетворения граничным условиям необходимо было в указанных рядах оставлять от 20 до 50 членов, и на каждом из контуров брать от 100 до 300 «коллокационных точек». Ниже описаны некоторые из полученных результатов пластинки с треугольным или квадратным отверстием.

Рис. 3.

При проведении исследований для пластинки с треугольным отверстием последнее представлялось равнобедренным треугольником АБС (рис. 3) с боковыми сторонами АБ и АС, углом между ними а и основанием БС. Считалось, что

длины боковых сторон треугольника равны 2а\ (АБ = АС = 2а1). Тогда длина основания БС = 4а 1 8т(а/2), а его высота Н = ОА = 2а1 сан (а/2). Так, что в прямоугольной системе координат Оху с началом в центре основания и осью Ох вдоль высоты треугольника ОА вершины треугольника находятся в точках А (Н, 0), Б (0, Н1д(а/2)), С (0, -Н1д(а/2)). При этом стороны треугольника АБ, БС и СА представлялись внешними берегами эллиптических разрезов Ь2 и со следующими полуосями, координатами центров локальных систем координат и углами между осью Охосновной системы координат и осями О\Х\ локальных систем координат:

Ь1 : а1,Ь1 = 10-4а1, Х01 = Н/2, уо1 = а1/2, у 1 = -а/2;

: а2, Ь2 = 10-4а2, Х02 = У02 = 0, = п/2;

Ь3 : а1,Ь1 = 10-4аь хоз = Н/2, уоз = -а1/2, = п + а/2.

Для внешнего берега каждого разреза считалось, что параметр 9 параметрического задания эллипса (1) изменяется от 0 до п.

Для растяжения пластинки с треугольным отверстием усилиями ау™ = р (при а~ = г™ = Е™ = Е~ = Н~ = Н= = 0) в таблице 2 с точностью до множителя р приведены значения напряжений ау в некоторых точках отрезка на продолжении высоты треугольника ОА в зависимости от значения угла а при вершине треугольника с абсциссой ха. Данные для а = 0 относятся к пластинке с прямолинейной трещиной длины 2а1 вдоль оси Ох. Значения напряжений приведены для задач ЭМУ (с учетом всех электромагнитоупругих свойств пластинки) и ТУ (когда учитывались только механические свойства без электромагнитных, т. е. не учитывался пьезоэффект). Для некоторых значений угла а в пластинке из М1 на рисунке 4 изображены графики распределения вдоль стороны АБ нормальных напряжений а3 на площадках, перпендикулярных этой стороне.

Из данных таблицы 2 и рисунка 4 видно, что при уменьшении угла а при вершине А треугольника значения напряжений вблизи этой вершины растут, претерпевая незначительные изменения вблизи других частей контура отверстия, включая боковые стороны треугольника, кроме небольшой зоны вблизи вершины угла треугольника. При малых углах а (а < п/18) значения напряжений близи вершины треугольника получаются такими же, как в пластинке с одной прямолинейной трещиной. Но при этом даже для весьма малых углов а значения напряжений вблизи конца Б стороны АБ значительно отличаются

Таблица 2. Значения напряжений ау /р

в точках отрезка на продолжении высоты треугольника О А в зависимости от угла а

Материал о, рад. (.т - .Т_4)/в1

0,0001 | 0,001 | 0,01 | 0,1 | 0,2 | 1 | 2 0,0001 | 0,01 | 0,1

ЭМУ ТУ

М1 175тг/180 1,19 1,15 1,10 1,05 1,04 1,01 1,00 1,18 1,11 1,05

5тг/6 2,38 2,06 1,87 1,71 1,51 1,11 1,02 2,03 1,14 1,65

2тг/3 16,42 12,88 5,41 2,25 1,74 1,10 1,03 16,02 5,40 2,24

тг/2 24,57 18,96 6,94 2,46 1,83 1,13 1,04 24,29 6,93 2,43

7Г/3 28,03 21,57 7,36 2,47 1,85 1,16 1,06 27,17 7,21 2,44

Тг/6 31,63 22,46 7,14 2,34 1,75 1,13 1,05 28,03 7,26 2,46

тг/18 32,41 22,96 7,31 2,45 1,84 1,16 1,06 31,12 7,29 2,47

тг/36 42,75 26,40 7,31 2,42 1,82 1,16 1,06 42,50 7,31 2,51

тг/180 64,59 34,05 7,50 2,42 1,81 1,15 1,06 63,10 7,34 2,56

0 64,80 34,20 7,37 2,31 1,79 1,15 1,06 63,90 7,35 2,55

М2 175тг/180 1,25 1,20 1,13 1,06 1,04 1,00 1,00 1,19 1,11 1,05

5тг/6 5,12 4,19 2,99 1,91 1,54 1,03 1,01 4,78 2,55 1,77

2тг/3 21,78 16,74 6,05 2,03 1,51 1,05 1,02 17,77 5,63 2,24

тг/2 25,72 19,57 6,36 1,94 1,45 1,06 1,03 25,18 6,28 2,42

7Г/3 27,30 19,34 5,97 1,80 1,36 1,06 1,03 26,36 7,35 2,46

7Г/6 34,46 23,22 7,06 2,37 1,79 1,15 1,05 29,28 7,39 2,45

тг/18 40,99 26,29 7,59 2,52 1,88 1,17 1,07 38,24 7,54 2,81

тг/36 54,89 30,99 7,62 2,48 1,86 1,16 1,06 47,38 7,55 2,82

тг/180 81,06 39,87 7,69 2,42 1,82 1,15 1,06 81,51 7,56 2,80

0 81,91 39,97 7,12 2,40 1,81 1,15 1.06 81,71 7,12 2,35

МЗ 175тг/180 1,12 1,10 1,09 1,05 1,03 1,01 1,00 1,15 1,09 1,05

тг/2 21,83 17,98 6,95 2,44 1,83 1,13 1,04 26,18 7,26 2,49

тг/18 30,16 22,08 7,24 2,44 1,83 1,16 1,06 37,05 7,30 2,43

тг/180 70,30 22,22 7,12 2,41 1,81 1,15 1,06 70,11 22,08 7,21

0 70,72 22,38 7,12 2,40 1,81 1,15 1,06 70,52 22,28 7,12

О л/С л/3 I\!1 2л/Э 5л/5 в, рад-

Рис. 4.

от их значений для случая трещины. Это связано с тем, что при стремлении основания BC треугольника к нулю все равно не получается фигура, соответствующая трещине, и углы при основании стремится не к нулю, а к п/2. Это подтверждает и тот факт, что трещину нельзя представлять прямоугольником даже при весьма малой ширине последнего. Как показывают исследования, при действии на пластинку магнитного поля около отверстия за счет пьезоэффекта возникают значительные напряжения.

В случае пластинки с квадратным отверстием последнее представлялось квадратом ABCD (рис. 5) с центром в начале координат и сторонами длины 2ai каждая: AB = BC = CD = DA = 2a\. В этом случае вершины квадрата находятся в точках A (a1, a1), B (—a1, a1), C (—a1, —a1), D (a1, —a1). Стороны квадрата DA, AB, BC, CD рассматривались внешними берегами эллиптических разрезов L1, L2, L3, L4 со следующими полуосями, координатами центров локальных систем координат и углами между осью Ox основной системы координат и осями O¡x¡ локальных систем

В

F А

D

Рис. 5. Пластинка с квадратным отверстием

координат:

Ьг : 01,61 = 10 4аь Ж01 = аь уог = 0, рг = -п/2;

¿2 : 02 = аь 62 = 10-4а2, Х02 = о, У02 = аь ^2 = 0;

Ьз : аз = аг, 63 = 10-4аз, Хоз = -аг, уоз = 0, рз = п/2;

Ь4 : а4 = аг, 64 = 10-4а4, х04 = 0, у04 = -аг, р4 = п.

Для внешнего берега каждого разреза считалось, что угловая переменная в в параметрическом задании эллипса изменяется от 0 до п.

Для случая растяжения пластинки из слабо анизотропного материала М1 с квадратным отверстием усилиями р вдоль оси Ох (при а%° = р, аУу = тХЦУу = Еу = Еу = ИУ = Иу° = ■Уу = 0) на рис. 6 изображены графики распределения нормальных напряжений а3 вблизи сторон квадрата (ау вблизи БЛ и аХ вблизи ЛВ), причем сплошные линии относятся к задаче ЭМУ, штриховые к задаче ТУ. Видно, что при приближении к вершинам квадрата значения напряжений а3 стремятся к бесконечности; при подходе к середине горизонтальной стороны они стремятся к 2; при подходе к середине вертикальной стороны к -1; при подходе к вершине вдоль вертикальной стороны напряжения растут быстрее, чем при подходе по горизонтальной стороне. Для заданного загруже-ния пластинки и ориентации квадратного отверстия влияние электромагнитных свойств на значения напряжений невелико.

На рисунке 7 для всестороннего растяжения пластинки из материала М1 с квадратным отверстием усилиями аУ = аУу = р изображены графики распределения напряжений а3 вблизи сторон квадрата. Видно, что, как и в случае одностороннего растяжения, при приближении к вершинам квадрата значения

напряжений а3 стремятся к бесконечности, причем рост напряжений при подходе к вершинам почти одинаковый (в силу слабой анизотропии материала).

Рис. 6. Рис. 7.

Выводы. Таким образом, с использованием комплексных потенциалов в статье решена задача электромагнитоупругости для многосвязной пьезопластинки с произвольными количеством и взаиморасположением отверстий. Описаны результаты численных исследований для пластинки из различных материалов с треугольным или квадратным отверстием. Изучено влияние геометрических характеристик отверстий и свойств материалов на значения возникающих в них напряжений.

1. Берлинкур Д. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях / Д. Берлинкур, Д. Керран, Г. Жаффе // Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. - М.: Мир, 1966. - Т. 1, ч. А. - С. 204-326

2. Магнитоэлектрические материалы / М.И. Бичурин, В.М. Петров, Д.А. Филиппов др. -М.: Изд-во «Академия Естествознания», 2006. - 296 с.

3. Кирилюк В. С. О расклинивании пьезокерамических материалов / В.С. Кирилюк, О.И. Лев-чук // Прикладная механика. - 2010. - Т. 46, № 5. - С. 46-57.

4. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практическое применение / У. Кэди. - М.: Иностр. лит., 1949. - 717 с.

5. Пятаков А.П. Магнитоэлектрические материалы и их практическое применение / А.П. Пятаков // Бюллетень МАГО. - 2006. - Т. 5, № 2. - С. 1-3.

6. Srinivas S. The effective magnetoelectric coefficients of polycrystalline multiferroic composites / S. Srinivas, Y.L. Jiang // Acta Mater. - 2005. - Vol. 53. - P. 4135-4142.

7. Калоеров С.А. Двумерная задача электормагнитоупругости для многосвязных сред / С.А. Калоеров, А.В. Петренко // Мат. методы и физ.-мех. поля. - 2008. - Т. 51, № 2. - С.208-221.

8. Калоеров С.А. Термовязкоупругое многосвязной анизотропной пластинки / С.А. Калоеров, О.А. Паршикова // Прикладная механика. - 2012. - № 3 (48). - С. 103-116.

9. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий / Г.Н. Савин. - К.: Наук. думка, 1968. - 888 с.

10. Космодамианский А.С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями / А.С. Космодамианский. - К., Донецк: Вища шк., 1976. - 200 с.

11. Калоеров С.А. Эффективный метод определения напряженного состояния пластинки с криволинейными отверстиями / С.А. Калоеров, А.И. Занько // Прикладная механика. -2017. - Т. 53, № 1. - С. 108-120.

12. Калоеров С.А. Двумерное напряженное состояние многосвязного анизотропного тела с полостями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Горянская // Теорет. и прикладная механика. - 1995. - Вып. 25. - С. 45-56.

13. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.

14. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.

15. Drmac Z. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 1 / Z. Drmac, K. Veselic // SIAM J. Matrix Anal. Appl. - 2008. - Vol. 29, № 4. - P. 1322-1342.

16. Drmac Z. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 2 / Z. Drmac, K. Veselic // SIAM J. Matrix Anal. Appl. - 2008. - Vol. 29, № 4. - P. 1343-1362.

17. Калоеров С.А. Определение коэффициентов интенсивности напряжений, индукции и напряженности для многосвязных сред / С.А. Калоеров // Прикладная механика. - 2007. -Т. 43, № 6. - С. 56-62.

18. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1966. - 708 с.

19. Yamamoto Y. Electromagnetomechanical Interactions in Deformable Solids and Structures / Y. Yamamoto, K. Miya. - Amsterdam: Elsevier Science-North Holland, 1987. - 450 p.

20. Hou P.-F. Three-dimensional Greens function for a point heat source in two-phase transversely isotropic magneto-electro-thermo-elastic material / P.-F. Hou, G.-H. Teng, H.-R. Chen // Mech. Mat. - 2009. - Vol. 41. - P. 329-338.

S.A. Kaloerov, A.B. Mironenko, M.A. Polyanskiy Electromagneticelastic state of the plate with curved holes.

A solution is given to the problem of electromagnetoelasticity for a piezoelectric plate with curvilinear holes, using complex potentials, approximation of the contours of holes by arcs of ellipses and edges of straight cuts, conformal mappings, representations of holomorphic functions by Laurent series and by Faber polynomials and satisfying the boundary conditions by the boundary method least squares. The results of numerical studies for a plate with a triangular or square hole are described. The influence on the values and distribution of the main characteristics of the electromagnetoelastic state of the piezoelectric properties of the plate material and the geometric characteristics of the holes is studied. It is shown at what acute angles the sides of the polygons that are enclosing them can be interpreted as the edges of the cracks.

Keywords: piezoplate, curved holes, complex potentials, generalized least squares method.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 17.11.2021

Donetsk National University, Donetsk

kaloerov@mail.ru max_polyny@mail.ru