CC BY
3ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№2 (79) / 2022.
УДК 539.3
doi:10.24412/0136-4545-2022-2-16-29 EDN:BPVMVU
©2022. Е.С. Глушанков
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМОЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ КОНЕЧНОЙ МНОГОСВЯЗНОЙ ПЛАСТИНКИ ИЗ ПЬЕЗОМАТЕРИАЛА В СЛУЧАЕ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА НА ЕЕ КОНТУРАХ
Предложен способ определения термоэлектромагнитоупругого состояния конечной многосвязной пьезопластинки с отверстиями, находящейся в условиях конвективного теплообмена с внешней средой. Решение задачи построено с помощью комплексных потенциалов задач теплопроводности и термоэлектромагнитоупругости. С помощью метода наименьших квадратов задача сведена к решению двух переопределенных систем линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложений функций в ряды Лорана и по полиномам Фабера. Численными исследованиями установлено влияние на значения основных характеристик термоэлектромагнитоупругого состояния учета электрических и магнитных свойств материала, а также геометрических характеристик отверстий.
Ключевые слова: пьезопластинка, многосвязная пластинка, конвективный теплообмен, температурные напряжения, комплексные потенциалы.
Введение. Во многих научно-технических отраслях находят применение конструкции с элементами, изготовленными из пьезоматериалов, которые в процессе эксплуатации подвергаются воздействию тепловых, механических и электромагнитных полей [1]. Вследствие указанных физических воздействий в этих элементах могут возникать значительные уровни концентрации напряжений, что необходимо учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций.
К настоящему времени разработано большое количество методов определения термоэлектромагнитоупругого состояния тел из пьезоматериалов, решено множество классов задач данного типа для тел с различной геометрией [2-5]. Среди прочих, решена задача о действии разности температур в конечных пластинках, содержащих отверстия и трещины [6]. В то же время, для изотропных и анизотропных тел из материалов, не обладающих пьезосвойствами, решено большое количество задач теплопроводности и термоупругости для случая, когда на границе тел имеет место конвективный теплообмен с внешней средой [7-12]. Решена и задача о действии линейного потока в бесконечной многосвязной пьезопластинке, находящейся в условиях конвективного теплообмена [13].
В данной статье способ определения термоэлектромагнитоупругого состояния (ТЭМУС) конечной многосвязной пластинки, находящейся под действием разности температур, распространен на случай, когда на контурах пластинки
имеет место конвективный теплообмен с внешней средой. Методом комплексных потенциалов исходная задача сведена к задаче определения неизвестных коэффициентов разложений голоморфных функций в ряды Лорана и по полиномам Фабера. Проведены различные численные исследования ТЭМУС конечной пластинки, установлены закономерности влияния характеристик конвективного теплообмена, свойств материала и геометрических особенностей на распределение напряжений в пластинке.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу обобщенного плоского напряженного состояния для конечной пластинки из пьезо-материала, занимающей многосвязную область 5. Пластинка ограничена внешним контуром Ьо и контурами эллиптических отверстий с центрами (I = 1, С) Ог(жоьУсц)) полуосями а1, Ъ[ и углами поворота щ (рис. 1). Контуры Ь\ могут располагаться произвольно относительно друг друга, касаться, пересекаться, переходить в прямолинейные разрезы. На каждом из контуров Ь имеет место конвективный теплообмен с внешней средой температуры Т и коэффициентом теплообмена Ь[. Контуры пластинки свободны от внешних усилий или жестко подкреплены, потоки электромагнитной индукции по направлению нормали равны нулю.
Определение ТЭМУС пластинки сводится к последовательному двухэтап-ному решению задачи теплопроводности, а затем - собственно задачи термо-электромагнитоупругости. Для решения этих задач будем использовать теорию комплексных потенциалов. В этом случае задачи сводятся к определению комплексного потенциала теплопроводности ^5 (¿5) и комплексных потенциалов термоэлектромагиитоуиругости Ф^(-г^) (к = 1, 4) из граничных условий соответствующих задач. После определения этих функций становится возможным вычислять значения основных характеристик ТЭМУС (температуры Т; плотностей теплового потока ях, яу; напряжений ох, оу, тху; индукций электрического и магнитного полей Ох, Бу, Вх, Ву; напряженностей электрического и магнитного полей Ех, Еу, Нх, Ну; перемещений и, V; потенциалов электромагнитного поля щ, ф) в любой точке пластинки [6,13,14] с использованием представлений
Рис. 1
Т = 2Ие ^(¿5); (Ях, Яу) = 2И,егкт (¡5, -1) ^5(¿5);
(1) (2)
о у, тху) = 2Ие ^ (¡к 1, -Лк) ф'к(гк); (3) к=1
5
(Бх, Бу, Вх, Ву) = 2И,е ^ (Ук¡¡к, -Vк, РкЛк, -рк) Ф'к^к); (4)
к=1
5
Е.С. Глушанков 5
(Ех, Еу, Их, Ну) = {4, цкг0, Н°к, ЦкН%) Ф'к(гк); (5)
к=1 5
(и, V, р,ф) = 2Яе^ (Рк, Чк, г0, Фк(гк). (6)
к=1
Здесь г5, гк — комплексные переменные, вводимые посредством аффинных преобразований плоскости М2 в комплексную плоскость С
г5 = х + Ц5У, (7)
гк = х + ЦкУ. (8)
В формулах (7)-(8) ц5 — корень характеристического уравнения задачи теплопроводности [6,13,14]
к22Ц2 + 2к12 ц + кц = 0, (9)
который определяется выражением
к\2 . Кт
V 5 = —7--\-l-j—,
к22 к22
где
- . / /->„ „ „ /
П2;
Хт = \!кцк22 ~ к\2]
цк {к = 1,4) — корни характеристического уравнения задачи термоэлектромаг-нитоупругости [6,13,14]
А(ц) = 0; (10)
А(ц) = 14з(ц) [120(ц)12х(Ц) - Йг,Ш - 13д (Ц) [13д ^кх(Ц) - кр^ки (Ц)\ -
-кр(ц) [1зр(ц)12в (Ц) - кд (Ц)ки (Ц)] , ¡4з(ц) = вцЦ4 + 2в1бЦ3 + (2в12 + 8бб)Ц2 + 2в2бЦ + 822,
1зд (ц) = 911Ц3 - (921 + 91б)ц2 + (912 + 926 )ц + 922, 1зр(ц) = РиЦ3 - (Р21 + Р1б)ц2 + (Р12 + Р2б)ц + Р22, кр (Ц) = -виЦ2 + 2^12Ц - $22, ки (Ц) = -^11Ц2 + 2Р12Ц - V22, 12х(Ц) = -ХиЦ2 + 2Х12Ц - Х22;
к МЫМЫ ~12г,Ы) 5 Гь
кд(Рк)к^(Рк) ~ кр(р>к)кр(р>к) п -г-гч Гш
Рк =-;——г;——:--рт!—:- (к = 1, 4), р5 = —;
кр(ЦкЦ2х(Цк) - 1&,(Цк) Г5
15Щ 1ХШ 5 А Ы' х %)' и %)'
¿2а(^5) ¿3д (^5) ¿3р(^5)
¿5 (^5) = кг(ц-5) ¿2в (^5) ¿2^ (^5)
¿1т(№) ¿2^ (^5)
¿2а(^5) ¿3р(^5)
Ы.^ = ¿3д (Р5) 1и(Ц-5) ¿2^ (^5)
¿3р (^5) 11т (^5) ¿2х(^5)
¿4« (^5) ¿3д (^5) ¿2а (^5)
¿ш (^5) = ¿3д (^5) ¿20 (^5) ¿14 (^5)
¿3р(^5) ¿2^ (^5) ¿1т(^5)
¿2а (^б) = + - а2, = ¿1^5 - ¿2, ¿1т(^) = - Ш2;
Рк = «11^1 - «16№ + «12 - (#11 Цк - #12) ^ - (Р11 Цк - Р12) Рк +
«22
¿кба2
Як = «12№ - «26 Н---(#21/^ - #22) ^ - (Р21Цк - Р22) рк +
г51^5
Г5 ' Г5 ;
Г0 = - 916^к + #12 - (3и^к - £12) Vк - ("11^к - ^12) Рк + Н°к = Р11^| - Р1б^к + Р12 - ^и^к - ^12) Vk - (Х11^к - Х12) Рк +
$5(^5) = Г5 У ^5(^5) ^5;
к— — коэффициенты теплопроводности материала пластинки; «— — коэффициенты деформации материала, измеренные при постоянных индукциях электрического и магнитного полей и температуре; д— и р— — пьезоэлектрические и пьезомагнитные коэффициенты деформаций и напряженностей, измеренные при постоянных напряжениях, индукциях и температуре; , V— и х— — коэффициенты диэлектрической, электромагнитной и магнитной проницаемости, измеренные при постоянных напряжениях и температуре; аг — коэффициенты теплового расширения, измеренные при постоянной индукции электромагнитного поля; ¿г и тг — пироэлектрические и пиромагнитные модули, измеренные при постоянных напряжениях; 6— — символ Кронекера.
2. Определение комплексных потенциалов. Комплексные потенциалы задачи в общем случае многосвязности имеют вид [6,13,14]
С С <х
Ж^) = ^ ^5^(25) + ^ ^ 051п<Р51п(25); 1=1 1=0 n=sgn I
(11)
Фк(2к) = N (2к) + ^ ^ Рк1п(2к )•
1=0 n=sgn I
(12)
В выражениях (11)—(12) — вещественные постоянные, определяемые из граничных условий и имеющие вид = , где д[ — суммарный тепловой поток через контур ^ в область Б; w5l(г5) = 1п(г5 — г51); — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (7) произвольным точкам внутри контуров С51п — коэффициенты, определяемые из граничных условий; V50n(z5) = Сбо + т5о/Сбо> Рып(г5) = (¿¡га (7 = 1, £); (ы — комплексные переменные, определяемые из соответствующих конформных отображений;
с
Nk(гк) = ^ (AkiZk + Bki) ln(zk -
i=i
Aki, Bki — постоянные, определяемые из систем уравнений 5
(!' Vk, Pk, qk, Vk, Pk, r0, h0) iAki = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
k=l
5
E
k=i
(1, Vk, Pk, qk, Vk, Pk, r4, h0) iBki = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0);
A5i = r5Ü5i; B5i = Г5(c5iiR5i - D51 Z5i); Wki(zk) = ln (zk - Zki); Zki — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (8) произвольным точкам внутри контуров Lf, LpkOn(zk) = Cfco + mfco/CfcO' <Pkin(zk) = СкГ (1 = с и — комплекс-
ные параметры соответствующих конформных отображений.
В локальных системах координат Oixiyi параметрические уравнения эллипсов (рис. 1) имеют вид [6,13,14]
xi = ai cos в, yi = bi sin в,
а в основной системе Oxy координат —
x = Xki + xi cos ^i - yi sin Vi, y = yki + xi sin Vi + yi cos vi-
Здесь в (0 < в < 2п) — угловой параметр уравнения эллипса в параметрической форме.
Комплексные переменные Z5i, Zki являются параметрами конформных отображений внешностей единичных кругов |Z5iI > 1, \ZkiI > 1 на внешности эллипсов L5i, Lki, получаемых из Li аффинными преобразованиями (7), (8) [6,13,14]:
Zk = zki + Rki ((¡a + ' (13)
где
Zki = xki + Vk yki,
ai (cos vi + Vk sin vi) + ibi (sin vi - Vk cos Vi) -Kfcí — ---,
Щ (cos pi + Hk sin pi) - ibi (sin pi - Hk cos pi)
mkl =-Щ*-•
На контурах Li функция F5(z§) должна удовлетворять граничному условию [6,13,14]
2Re( hi F5 (r5) + íkt S5,s(t5)F5 (r5)) = h{Zh (14)
где ó5,s(r5) = dr5/ds, s — дуга контура отверстия, а на контурах Li функции Фk(zk) (к = 1,4) должны удовлетворять граничным условиям задачи тер-моэлектромагнитоупругости, которые в дифференциальной форме принимают вид [6,13,14]:
2Re¿(4n, dW2> dm, dku) М^Ы = (f1, f^, f^, f1) , (15) k=i \ s s s s /
где 5k,s(rk) = drk/ds. Для неподкрепленных контуров Li
(dkl1, dkl2, dkl3, dkl4) = Pk, vk, Pk) , (fl1, fi2, f^ fl4) = (cl1, cl3, cl4) , а для жестко подкрепленных контуров
(dkl1, dkl2, dkl3, dkl4) = (Pk, qk, vk, Pk) , (fl1, fl2, fl4) = (uh vh cl^ cl4) ,
ui, vi — заданные на контуре значения перемещений.
3. Определение неизвестных постоянных. Неизвестные постоянные D$i, C5in, akin определяются соответственно из граничных условий (14) и (15). Эти условия удовлетворяются с применением метода наименьших квадратов [5, 11]. Для этого на контурах Lj (j = О, С) выбираются системы точек Mjm(xjm, yjm) (m = 0J\d~).
В задаче теплопроводности, подставляя функцию (11) в граничное условие (14), получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных постоянных D$i, c^in [13]:
L
2RehjC5 + 2Re^ (hjw5i(r5jm) + íkt55,s(T5jm)W5i(r5jm)) D5i+ i=1
L ~ (16) + 2 Re {hjP5ln(T5jm) + ÍKT$5,s(T5jm)p'5ln(T5j mj) c5ln — hj Tj
l=1 n=1
0' = 1, А т = 1,М3),
где Т53т = Хут + ЦгУзт, Тзт = Тут(хут, Ут). Постоянные Б 51, С51П определяются в результате решения этой системы с использованием метода сингулярных разложений [15,16].Соответственно по известной функции (11) можно в любой точке пластинки найти температуру и плотности потока тепла с использованием формул (1), (2) [6,13,14].
В задаче термоэлектромагнитоупругости, подставляя функции (12) в граничные условие (15), получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных постоянных а^1п [13]:
4 С оо
2Re ^ ^ dkipSk ,s(,Tkim)V kln(.Tkim)akln
k=l l=l n=l 4
-2 Re dkip&k,s(Tkim)Nk (tkim) — (17)
k=l
dfi,
-2Re d5iP55iS(T5im)r5F5(T5im) + -^(rim)
(i = l,C,m = 1 ,Mi} p = 1,4),
где Tkjm = Xjm+¡ikVjm- Постоянные akin и соответствующие комплексные потенциалы термоэлектромагнитоупругости (12) определяются решениями системы (17) с использованием метода сингулярных разложений [15,16]. По известным функциям (12) с применением формул (3)—(6) можно в любой точке пластинки найти значения основных характеристик ТЭМУС [6,13,14].
4. Результаты численных исследований. При реализации расчетов с применением разработанной методики количество членов в рядах Лорана в функциях (11), (12) и количество точек Mjm на контурах Lj, для которых составлялись системы линейных алгебраических уравнений (16) и (17), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (относительная погрешность не становилась менее сотых долей процента). Для этого, как показали численные исследования, необходимо было в указанных рядах оставлять от 30 до 80 членов, на каждом из контуров выбирать от 300 до 700 точек Mjm(xjm, Vjm).
Были проведены численные исследования для конечной пластинки из композита на основе BaTiO3 — CoFe2O4. Физико-механические постоянные этого материала [17]:
sll = 7,165 • 10"6 МПа^, s22 = 6, 797 • 10"6 МПа"1, s66 = 19,912 • 10"6 МПа^,
sl2 = —2, 337 • 10"6 МПа"1, gl6 = 2, 028 • 10"2 МКл"1 • м2, g2l = —0, 496 • 10"2 МКл"1 • м2, g22 = 1,157 • 10"2 МКл"1 • м2, Pl6 = 1, 850 • 10"5 МТЛ"1, p2l = 0, 576 • 10"5 МТЛ"1, Р22 = 1,186 • 10"5 МТЛ"1, Рп = 0,156 • 103 МН • м2 • МКл"2, в22 = 0,137 • 103 МН • м2 • МКл"2, vll = —0,190 • 10" МКл"1 • м • МА, v22 = —0,185 • 10"l МКл"1 • м • МА, Xll = 0, 336 • 10" МПа • МТл"1 , %22 = 0,119 • 10" МПа • МТл"1 ,
al = 8, 530 • 10"6 к"1 , а2 = 1, 990 • 10"6 к"1, t2 = 133 • 10"3 МН • (МКл • к)"1, m2 = 133 • 10"3 МА • (м • к)"1,
кц = к22 = 2, 5 Вт • (м • К)
-1
Рис. 2
В таблице 1 для кругового концентрического кольца с внешним радиусом г0 (а0 = Ь0 = г0) и внутренним радиусом г1 (а1 = Ь1 = г1) (рис. 2), на контурах которого поддерживается конвективный теплообмен с внешней средой с коэффициентом теплообмена Н (Н1 = Н2 = Н), с точностью до разности температур внешних сред Т — То как множителя, в зависимости от отношения Г0/Г1, приведены значения нормальных напряжений и3 в некоторых характерных точках внешнего контура Ьо с центральным углом в, отсчитываемым от положительного направления оси Ох, на площадках, перпендикулярных к контуру. Представлены расчеты для случаев задачи термоэлектромагнитоупруго-сти (ТЭМУ), когда учитываются все свойства материала пластинки, и задачи термоупругости (ТУ), когда не учитываются электромагнитные свойства материала.
В таблице 2 для этих же случаев приведены значения нормальных напряжений и3 в некоторых характерных точках внутреннего контура Ь1.
На рисунке 3 изображены графики распределения напряжений и3 по внешнему контуру Ьо концентрического кольца для отношений Г0/Г1 = 2; 10; 100 при
Таблица 1. Значения напряжений ав в точках внутреннего контура Ьо
Го Г1 о, рад. Значение Лп
0,01 0,1 1 10 100 ос 0,01 о, 1 1 10 100 ос
Задача ТЭМУ Задача ТУ
1,01 0 0,000 0,000 -0,001 -0,010 -0,088 -0,525 0,000 0,000 0,001 0,007 0,061 0,366
тг/4 0,000 0,000 -0,001 -0,010 -0,087 -0,522 0,000 0,000 0,001 0,007 0,061 0,365
тг/2 0,000 0,000 -0,001 -0,011 -0,090 -0,537 0,000 0,000 0,001 0,007 0,061 0,364
1,1 0 0,000 -0,001 -0,010 -0,085 -0,341 -0,511 0,000 0,001 0,007 0,060 0,242 0,362
тг/4 0,000 -0,001 -0,010 -0,081 -0,324 -0,486 0,000 0,001 0,007 0,060 0,238 0,357
тг/2 0,000 -0,001 -0,012 -0,102 -0,407 -0,611 0,000 0,001 0,007 0,058 0,233 0,349
2 0 -0,001 -0,007 -0,059 -0, 244 -0,357 -0,376 0,001 0,006 0,050 0,207 0,303 0,320
7г/6 0,000 -0,005 -0,041 -0,172 -0,251 -0,264 0,001 0,006 0,048 0,199 0,290 0,306
тг/4 0,000 -0,005 -0,039 -0,162 -0,237 -0,250 0,001 0,005 0,045 0,188 0,274 0,289
7г/3 -0,001 -0,007 -0,058 -0,239 -0,350 -0,369 0,000 0,005 0,042 0,175 0,256 0,269
тг/2 -0,001 -0,010 -0,088 -0,367 -0,537 -0,566 0,000 0,004 0,039 0,160 0,235 0,247
10 0 0,000 -0,001 -0,004 -0,008 -0,009 -0,009 0,002 0,015 0,089 0,175 0,193 0,196
71"/6 -0,001 -0,009 -0,056 -0,109 -0,121 -0,122 0,001 0,013 0,079 0,155 0,172 0,174
тг/4 -0,002 -0,015 -0,088 -0,173 -0,192 -0,194 0,001 0,012 0,070 0,136 0,151 0,153
7г/3 -0,002 -0,018 -0,109 -0,213 -0,235 -0,238 0,001 0,010 0,060 0,118 0,130 0,132
тг/2 -0,002 -0,021 -0,121 -0,238 -0,263 -0,266 0,001 0,009 0,051 0,099 0,110 0,111
100 0 0,000 0,003 0,012 0,017 0,018 0,018 0,002 0,016 0,068 0,099 0,104 0,105
71"/6 -0,001 -0,010 -0,044 -0,064 -0,067 -0,068 0,002 0,014 0,059 0,087 0,091 0,092
тг/4 -0,002 -0,017 -0,069 -0,102 -0,107 -0,107 0,001 0,012 0,052 0,076 0,079 0,080
7г/3 -0,002 -0,020 -0,083 -0,121 -0,127 -0,128 0,001 0,011 0,044 0,065 0,068 0,068
тг/2 -0,002 -0,021 -0,090 -0,132 -0,138 -0,139 0,001 0,009 0,036 0,054 0,056 0,056
Таблица 2. Значения напряжений ав в точках внутреннего контура
Го п о, рад. Значение Лп
0,01 0,1 1 10 100 ос 0,01 0,1 1 10 100 ос
Задача ТЭМУ Задача ТУ
1,01 0 0,000 0,000 0,001 0,010 0,088 0,528 0,000 0,000 -0,001 -0,007 -0,061 -0,367
тг/4 0,000 0,000 0,001 0,010 0,089 0,531 0,000 0,000 -0,001 -0,007 -0,062 -0,368
тг/2 0,000 0,000 0,001 0,010 0,086 0,516 0,000 0,000 -0,001 -0,007 -0,062 -0,369
1,1 0 0,000 0,001 0,011 0,090 0,362 0,542 0,000 -0,001 -0,007 -0,062 -0,249 -0,373
тг/4 0,000 0,001 0,011 0,095 0,380 0,570 0,000 -0,001 -0,007 -0,063 -0,253 -0,379
тг/2 0,000 0,001 0,008 0,069 0,277 0,416 0,000 -0,001 -0,008 -0,065 -0,259 -0,388
2 0 0,001 0,010 0,088 0,367 0,537 0,566 -0,001 -0,007 -0,061 -0,256 -0,374 -0,394
7г/6 0,001 0,013 0,113 0,470 0,687 0,724 -0,001 -0,008 -0,065 -0,270 -0,394 -0,415
тг/4 0,002 0,016 0,136 0,564 0,825 0,869 -0,001 -0,008 -0,069 -0,287 -0,420 -0,443
7г/3 0,002 0,015 0,129 0,536 0,784 0,826 -0,001 -0,009 -0,074 -0,310 -0,453 -0,477
тг/2 0,000 -0,002 -0,016 -0,064 -0,094 -0,099 -0,001 -0,009 -0,081 -0,338 -0,495 -0,521
10 0 0,009 0,079 0,468 0,918 1,015 1,027 -0,003 -0,029 -0,169 -0,332 -0,367 -0,371
7г/6 0,010 0,091 0,538 1,054 1,166 1,180 -0,004 -0,036 -0,214 -0,419 -0,464 -0,469
тг/4 0,010 0,092 0,545 1,068 1,181 1,195 -0,005 -0,044 -0,260 -0,510 -0,565 -0,571
7г/3 0,007 0,068 0,399 0,782 0,866 0,876 -0,006 -0,053 -0,311 -0,610 -0,675 -0,683
тг/2 -0,005 -0,046 -0,271 -0,531 -0,588 -0,595 -0,007 -0,063 -0,370 -0,725 -0,803 -0,812
100 0 0,025 0,216 0,904 1,326 1,391 1,399 -0,006 -0,052 -0,217 -0,318 -0,334 -0,336
7г/6 0,026 0,226 0,944 1,386 1,454 1,462 -0,009 -0,075 -0,316 -0,464 -0,486 -0,489
тг/4 0,025 0,212 0,889 1,305 1,369 1,377 -0,012 -0,099 -0,415 -0,609 -0,639 -0,642
7г/3 0,016 0,141 0,589 0,864 0,906 0,911 -0,014 -0,124 -0,520 -0,764 -0,801 -0,806
тг/2 -0,016 -0,135 -0,563 -0,827 -0,867 -0,872 -0,018 -0,153 -0,640 -0,939 -0,985 -0,990
значениях Нт\ = 0,1; 10 в зависимости от центрального угла в для задач ТУ и ТЭМУ. На рисунке 4 для этих же случаев изображены графики распределения напряжений и3 по внутреннему контуру Ь\.
Рис. 3. График распределения напряжений по внешнему контуру кольцевой пластинки при значениях Нт1 =0,1 (рис. а) и Нт1 =0,1 (рис. б) для значений т0/т1, равных 2 (сплошные линии), 10 (штриховые линии), 100 (пунктирные линии), для задач ТУ и ТЭМУ
б)
Рис. 4. График распределения напряжений а, по внутреннему контуру кольцевой пластинки при значениях Нт1 =0,1 (рис. а) и Нт1 =0,1 (рис. б) для значений т0/т1, равных 2 (сплошные линии), 10 (штриховые линии), 100 (пунктирные линии), для задач ТУ и ТЭМУ
В таблице 3 для концентрического кругового кольца с внешним радиусом г0 и внутренним радиусом г1 = г0/2, для случая, когда через контуры кольца действует конвективный теплообмен с внешней средой с коэффициентами теплообмена Н0 и Н1 соответственно, приведены значения напряжений и3 в некоторых точках внешнего контура Ь0 и внутреннего контура Ь1 с центральными углами в в зависимости от значений Н0Г1 и Н1Г1 для случая задачи ТЭМУ.
Таблица 3. Значения напряжений а., в точках контуров концентрического кольца
/?1'Г1 0, рад. Внешний контур Внутренний контур
Значение /?rrri
0,01 0,1 1 10 ос 0,01 0,1 1 10 ос
0,01 0 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 0,002
тг/4 -0,000 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002
тг/2 -0,001 -0,001 -0,002 -0,002 -0,002 -0,000 -0,000 -0,000 -0,000 -0,000
0,1 0 -0,002 -0,007 -0,010 -0,010 -0,010 0,003 0,010 0,015 0,015 0,015
тг/4 -0,001 -0,005 -0,006 -0,007 -0,007 0,004 0,016 0,022 0,023 0,023
тг/2 -0,003 -0,010 -0,015 -0,015 -0,015 -0,000 -0,002 -0,003 -0,003 -0,003
1 0 -0,002 -0,017 -0,059 -0,079 -0,082 0,003 0,025 0,088 0,118 0,123
тг/4 -0,001 -0,011 -0,039 -0,052 -0,054 0,005 0,038 0,136 0,182 0,189
тг/2 -0,003 -0,025 -0,088 -0,118 -0,123 -0,001 -0,004 -0,016 -0,021 -0,022
10 0 -0,002 -0,019 -0,119 -0,244 -0,276 0,003 0,029 0,179 0,367 0,416
тг/4 -0,001 -0,013 -0,079 -0,162 -0,184 0,005 0,045 0,275 0,564 0,639
тг/2 -0,003 -0,029 -0,179 -0,367 -0,416 -0,001 -0,005 -0,031 -0,064 -0,073
ос 0 -0,002 -0,020 -0,134 -0,319 -0,376 0,003 0,030 0,202 0,480 0,566
тг/4 -0,001 -0,013 -0,089 -0,212 -0,250 0,005 0,046 0,310 0,736 0,869
тг/2 -0,003 -0,030 -0,202 -0,479 -0,566 -0,001 -0,005 -0,035 -0,084 -0,099
В таблице 4 для неконцентрического кругового кольца с внешним радиу-
сом т0 (а0 = Ь0 = то) и смещенным по оси Ох отверстием радиуса т1 (а1 = Ь1 = т1) (рис. 5), когда через контуры действует конвективный теплообмен с коэффициентом теплообмена Н (Н = Н2 = Н) с внешней средой, с точностью до разности температур внешних сред %1 — То как множителя, приведены значения нормальных напряжений и3 в некоторых характерных точках внешнего контура Ьо и внутреннего контура Ь1 с центральными углами в в зависимости от значения Нт1 при некоторых значениях отношения
Таблица 4. Значения напряжений ав в точках контуров неконцентрического кольца
ЗД1 74 0, рад. Внешний контур | Внутренний контур
Значение Нг\
0,01 0,1 1 10 ос 0,01 0,1 1 10 ос
0 0 -0,001 -0,007 -0,059 -0,244 -0,376 0,001 0,010 0,088 0,367 0,566
■к/12 -0,001 -0,006 -0,054 -0,224 -0,345 0,001 0,011 0,094 0,393 0,605
Тг/6 0,000 -0,005 -0,041 -0,172 -0,264 0,001 0,013 0,113 0,470 0,724
тг/4 0,000 -0,005 -0,039 -0,162 -0,250 0,002 0,016 0,136 0,564 0,869
■к/2 -0,001 -0,010 -0,088 -0,367 -0,566 0,000 -0,002 -0,016 -0,064 -0,099
Зтг/4 0,000 -0,005 -0,039 -0,162 -0,250 0,002 0,016 0,136 0,564 0,869
ТГ -0,001 -0,007 -0,059 -0,244 -0,376 0,001 0,010 0,088 0,367 0,566
0,5 0 -0,001 -0,010 -0,064 -0,324 -0,687 0,001 0,009 0,048 0,291 0,724
■к/VI -0,001 -0,009 -0,063 -0,317 -0,646 0,001 0,010 0,053 0,303 0,725
Тг/6 -0,001 -0,006 -0,051 -0,261 -0,500 0,001 0,010 0,067 0,345 0,744
тг/4 -0,001 -0,005 -0,056 -0,267 -0,472 0,001 0,013 0,094 0,434 0,818
тг/2 -0,001 -0,006 -0,065 -0,284 -0,425 -0,001 -0,006 -0,023 -0,066 -0,130
Зтг/4 0,000 0,001 -0,010 -0,052 -0,060 0,001 0,015 0,146 0,592 0,853
ТГ 0,000 -0,002 -0,028 -0,113 -0,155 0,000 0,005 0,077 0,333 0,448
0,75 0 -0,001 -0,011 -0, 042 -0,253 -0,903 0,001 0,010 -0,007 0,057 0,717
тг/12 -0,001 -0,008 -0,060 -0,329 -0,847 0,001 0,009 0,009 0,121 0,732
Тг/6 0,000 -0,002 -0,059 -0,325 -0,630 0,001 0,008 0,043 0,246 0,750
тг/4 0,000 -0,004 -0,068 -0,332 -0,578 0,001 0,008 0,076 0,363 0,771
тг/2 0,000 0,000 -0,035 -0,189 -0,289 -0,002 -0,012 -0,031 -0,061 -0,158
Зтг/4 0,000 0,004 0,008 0,004 0,013 0,001 0,013 0,139 0,563 0,823
7Г 0,000 0,000 -0,010 -0,044 -0,062 0,000 0,000 0,055 0,289 0,404
0,9 0 -0,002 -0,013 0,009 0,018 -0,946 0,002 0,014 -0,097 -0,447 0,333
тг/12 0,000 -0,002 -0,088 -0,482 -1,148 0,001 0,009 -0,024 -0,092 0,616
7г/6 0,001 0,003 -0,073 -0,412 -0,748 0,000 0,004 0,060 0,313 0,864
тг/4 0,000 -0,002 -0,069 -0,343 -0,618 0,000 0,002 0,086 0,429 0,837
тг/2 0,001 0,004 -0,009 -0,108 -0,191 -0,002 -0,015 -0,036 -0,082 -0,193
Зтг/4 0,001 0,005 0,018 0,046 0,059 0,001 0,013 0,128 0,505 0,773
тг 0,000 0,000 -0,001 0,003 -0,005 -0,001 -0, 004 0,034 0,228 0,354
0,95 0 -0,002 -0,014 0,063 0,317 -0,732 0,004 0,018 -0,189 -0,962 -0,350
тг/12 0,001 0,004 -0,132 -0,716 -1,497 0,001 0,007 -0,007 -0,024 0,695
тг/6 0,001 0,005 -0,071 -0,402 -0,754 -0,001 -0,001 0,097 0,503 1,112
тг/4 0,000 -0,002 -0,062 -0,304 -0,585 -0,001 -0,001 0,095 0,480 0,910
тг/2 0,000 0,001 -0,013 -0,087 -0,161 -0,002 -0,014 -0,041 -0,123 -0,245
Зтг/4 0,001 0,005 0,022 0,066 0,083 0,001 0,013 0,119 0,461 0,726
тг 0,000 0,000 0,003 0,024 0,021 -0,001 -0,005 0,022 0,187 0,312
Рис. 5
Х01/т1 величины смеще-
ния (абсциссы центра) отверстия х01 к радиусу отверстия г1, для случая задачи ТЭМУ.
На рисунке 6 изображены графики распределения напряжений а3 по внешнему контуру Ьо неконцентрического кольца для отношений х01 /г1 = 0; 0, 5; 0, 75; 0, 9; 0, 95 при значениях Нт1 = 0,1; 10 в зависимости от центрального угла в для задачи ТЭМУ. На рисунке 7 для этих же случаев изображены графики распределения напряжений а3 по внутреннему контуру Ь1.
0,005
о.ооо
-0.005
-0.010
-0.015
-0,020
/ /( / '/ -
/ ___' 4 / / / N
1 л \ у / ч / * V
--- -• хо !г\ = ° - 0,5 - 0,75 - . 0,9 0,95
- . -
0.2
0.0
-0.2
-0,4
-0.6
-0,8
\
\ // // ^ ~ -
// / / * /
— .... *01/>1 =0 - 0,5 - 0,75 - . 0,9 0,95
\1 —. _
0 л/6 к/3 л/2 2 л/3 в, рад. О л/6 л/3 л/2 2л/3 в, рад.
а) б)
Рис. 6. График распределения напряжений а., по внешнему контуру неконцентрического кольца при Нт1 =0,1 (рис. а) и Нт1 = 10 (рис. б) для некоторых значений Х01/Г1.
0,015 0,010 0,005 0,000 -0.005 -0,010 -0.015
\
✓ г \\ ¡1
\л _ \ 11 $ \ \ к \
^ . /й д V V 4
// V
V \\ 1 [..............0 ---0,75 ----0,9 -0,95
0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0
ч
"Ь г 1
Л Щ ы
} /
/1
/ ..............хт!г\ 0 А ?
-- - 0,75 - . 0,9 0,95
О л/6 л/3 л/2 2 л/3 в, рад. 0 л/6 л/3 л/2 2 л/3 6, рад.
а) б)
Рис. 7. График распределения напряжений а. по внутреннему контуру неконцентрического кольца при Нт1 =0,1 (рис. а) и Нт1 = 10 (рис. б) для некоторых значений х01/т1.
Выводы. Из приведенных таблиц и рисунков и других полученных результатов следует, что значения hi f\, которые являются критериями Био, оказывают значительное влияние на уровни напряжений в пластинке. Если hiri > 1000, то можно полагать, что на контуре Li задано значение температуры T = Ti; если hiri < 0, 01, то можно полагать, что контур Li теплоизолирован. Наибольшая концентрация напряжений наблюдается при достаточно больших значениях критериев Био. Если значение критерия Био для одного из контуров пластинки достаточно мало, то значения напряжений во всей пластинке убывают. Особенно сильным влиянием на значения напряжений в пластинке обладает критерий Био для внешнего контура пластинки. На напряженное состояние пластинки также существенно влияет взаиморасположение внешнего и внутреннего контуров. Так, в случае неконцентрических колец при сближении отверстия с внешним контуром пластинки концентрация напряжений в ней возрастает, а особенно сильный рост имеет место в области перемычки. Вблизи внутреннего контура также значительно возрастают значения напряжений в окрестности точки д = п/2. Это, по-видимому, связано с тем, что материал пластинки поляризован по направлению оси Oy. Как показали результаты исследований, при проведении расчетов следует учитывать все свойства материала пластинки, в т. ч. электромагнитные свойства; при пренебрежении электромагнитными свойствами материала пластинки происходит существенное искажение результатов.
1. Берлинкур Д. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях / Д. Берлинкур, Д. Керран, Г. Жаффе // Физическая акустика. - М.: Мир, 1966. - Т. 1, ч. А. - С. 204-326.
2. Желудев И. С. Физика кристаллических диэлектриков / И.С. Желудев. - М.: Наука, 1968.
- 463 с.
3. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред / Ж. Можен. - М.: Мир, 1991.
- 560 с.
4. Гринченко В.Т. Электроупругость / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульга. - К.: Наук. думка, 1989. - 280 с. (Механика связных полей в элементах конструкций: В 5 т., Т. 5).
5. Партон В.З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел /
B.З. Партон, Б.А. Кудрявцев. - М.: Наука, 1988. - 472 с.
6. Калоеров С.А. Плоская задача термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред /
C.А. Калоеров, О.А. Сорочан // Прикладная механика. - 2009. - Т. 45, № 4. - С. 81-91.
7. Подстригач Я. С. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно // К.: Наук. думка, 1972. - 308 с.
8. Гарматгй Г.Ю. Термопружний стан безмежного термочутливого тша з цилшдричною порожниною за умови конвективного теплообмшу / Г.Ю. Гарматш, В.С. Попович // Мат. методи i ф1з.-мех. поля. - 2009. - Вип. 52, № 3. - С. 192-200.
9. Parihar K.S. Transient heat conduction and analysis of thermal stresses in thin circular plate / K.S. Parihar, S.S. Patil // J. Therm. Stress. - 2011. - Vol. 34, № 4. - P. 335-351.
10. Gaikwad K.R. Analysis of transient thermoelastic temperature distribution of a thin circular plate and its thermal deflection under uniform heat generation / K.R. Gaikwad, Y.U. Naner // J. Therm. Stress. - 2021. - Vol. 44, № 1. - P. 75-85.
11. Nguyen T.D. Frequency dependence of the magnitude of thermal stresses in a flat plate subjected to rapid thermal cycling by convective heating and cooling / T.D. Nguyen, J.R. Thomas Jr., D.P.H. Hasselman // J. Therm. Stress. - 1987. - Vol. 10, № 3. - P. 163-175.
12. Roozbahani M.M. Temperature and stress distribution in hollow annular disk of uniform thick-
ness with quadratic temperature-dependent thermal conductivity / M.M. Roozbahani, H. Razzaghi, M. Baghani, M. Baniassadi, M. Layeghi // J. Therm. Stress. - 2017. - Vol. 40, № 7. - P. 828-845.
13. Глушанков Е. С. Термоэлектромагнитоупругое состояние бесконечной многосвязной пье-зопластинки в условиях конвективного теплообмена при действии линейного потока тепла / Е.С. Глушанков // Журн. теорет. и прикладной механики. - 2020. - Вып. 2 (75). - С. 1829.
14. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинках с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2018. - № 1. - С. 15-26.
15. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.
16. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.
17. Tian W.-Y. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids / W.-Y. Tian, U. Gabbert // Europ. J. Mech. Part A. - 2004. - Vol. 23. - P. 599-614.
E.S. Glushankov
Determining the thermo-electro-magneto-elastic state of finite multiply connected piezoelectric plate in case of convective heat transfer acting on its contours.
A method is proposed for determination of the thermo-electro-magneto-elastic state of a finite multiply connected piezoelectric plate with holes under the conditions of convective heat transfer acting on the contours of the holes. The solution of the problem is built with using the thermoconduc-tivity and thermo-electro-magneto-elasticity problems' complex potentials. Using the least squares, the problem is reduced to solving two overdetermined systems of linear algebraic equations for the Laurent series and Faber polynomials series expansions' unknown coefficients. The influence of heat transfer characteristics, electromagnetic properties of the material and the geometric characteristics of the plate on the main characteristics of thermo-electro-magneto-elastic state are obtained with the numerical studies.
Keywords: piezoelectric plate, multiply connected plate, convective heat transfer, thermal stresses, complex potentials.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 31.01.2022
Donetsk National University, Donetsk
