CC BY
5ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№1 (78) / 2022.
УДК 539.3
doi:10.24412/0136-4545-2022-1-32-43 EDN:IUZJLK
©2022. Е.С. Глушанков
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМОЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ БЕСКОНЕЧНОЙ МНОГОСВЯЗНОЙ ПЛАСТИНКИ ИЗ ПЬЕЗОМАТЕРИАЛА В СЛУЧАЕ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА НА ЕЕ КОНТУРАХ
Предложен способ определения термоэлектромагнитоупругого состояния бесконечной многосвязной пьезопластинки с отверстиями, когда на контурах отверстий имеет место конвективный теплообмен с внешней средой. Решение задачи получено с использованием комплексных потенциалов теплопроводности и термоэлектромагнитоупругости. Задача сведена к решению двух переопределенных систем линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложений функций в ряды Лорана. Численными исследованиями установлено влияние характеристик теплообмена, геометрических характеристик пластинки, электромагнитных свойств ее материала на значения основных характеристик термоэлектромаг-нитоупругого состояния.
Ключевые слова: пьезопластинка, многосвязная пластинка, конвективный теплообмен, комплексные потенциалы, температурные напряжения.
Введение. В различных областях науки и техники широкое применение в качестве элементов конструкций получили пластинки с отверстиями, изготовленные из пьезоматериалов [1]. Под действием тепловых, механических и электромагнитных полей в этих элементах могут возникать значительные концентрации напряжений. Это следует учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций. Поэтому являются актуальными вопросы разработки методов определения термоэлектромагнитоупругого состояния упругих тел из пьезоматериалов. К настоящему времени разработано множество методов, решено большое количество задач о действии различных физических полей в многосвязных пластинках из пьезоматериалов [2-5], в том числе, рассмотрены случаи действия температурных полей, возникающих от разности температур на контурах пластинки [6], от воздействия на пластинку линейного потока тепла [7]. Для тел из материалов, не обладающих пьезосвойствами, решено множество задач термоупругости для случая, когда на границе тел имеет место конвективный теплообмен с внешней средой [8-13]. Решена задача о действии линейного потока в бесконечной многосвязной пьезопластинке, находящейся в условиях конвективного теплообмена [14].
В данной статье метод определения термоэлектромагнитоупругого состояния (ТЭМУС), возникающего от разности температур, распространен на случай, когда на контурах пластинки имеет место конвективный теплообмен с внешней средой. Для решения задачи используются функции комплексной переменной.
Определение неизвестных коэффициентов разложений голоморфных функций в ряды Лорана сведено к решению переопределенных систем линейных алгебраических уравнений. Проведены численные исследования с установлением закономерностей влияния условий (характеристик) конвективного теплообмена, свойств материала пластинки, геометрических особенностей пластинки на значения напряжений в ней.
1. Постановка задачи. Рассмотрим находящуюся в условиях плоской задачи бесконечную пластинку из пьезоматериала, занимающую многосвязную область 5, ограниченную контурами эллиптических
отверстий Ь[ (I = 1, С) с центрами в точках Ох(Хо[,уо1), полуосями щ и Ъ[, углами поворота (рис. 1). Контуры Ь[ располагаются произвольно относительно друг друга. На каждом из контуров Ьх ^ имеет место конвективный теплообмен с коэффициентом теплообмена Нх с внешней средой температуры Тх. Эти контуры свободны от внешних усилий или жестко подкреплены; потоки электромагнитной индукции по направлению нормали равны нулю. На бесконечности напряжения, компоненты векторов индукции электромагнитного полей равны нулю.
Определение ТЭМУС сводится к последовательному решению двух задач: сперва - задачи теплопроводности, затем - собственно задачи термоэлектромаг-нитоупругости.
Решение задачи теплопроводности сводится к определению комплексного потенциала теплопроводности ^5(25). Эта функция определена в комплексной области 55, получаемой из области 5 аффинным преобразованием [6, 7, 14]
25 = Х + /5У, (1)
где у5 — корень характеристического уравнения задачи теплопроводности [6, 7, 14]
к22 / + 2^12 / + кп = 0, (2)
к^ — коэффициенты теплопроводности материала пластинки.
На контурах Ьх (I = 1, С) функция ^5(25) должна удовлетворять граничному условию теплопроводности [6, 7, 14]
211е (№(т5) + гх^М-пО^Ы) = (I = ГА (3)
где кТ = л/кцк22 - к\2\ = йть/йв, 8 — дуга контура Ьг.
После определения функции ^5(25) из граничного условия становится возможным вычисление значений температуры Т и плотностей потока тепла Ях, яу в любой точке пластинки по формулам [6, 7, 14]
Т = 2И,е ^5 (25); (4)
(Ях, Яу) = 2И,е гкт (у5, -1) Р5(25). (5)
Решение .задачи термоэлектромагнитоупругости сводится к определению комплексных потенциалов термоэлектромагнитоупругости Ф^(-г^) (к = 1, 4). Эти функции определены в комплексных областях Б к, получаемых из области 5 аффинными преобразованиями [6, 7, 14]
^ = Ж + РкУ, (6)
Цк (к = 1, 4) — корни характеристического уравнения задачи термоэлектромагнитоупругости [6, 7, 14]
А{Р) = 0; (7)
А{Р) = из{р) [120{р)кх{Р) - Ш - 13д {Р) [1зд {р)кх{Р) - {Р)\ -
-кр(^) [1зр{р)12в {Р) - ^Зд {Р)ки {Р)] , 1аз{Р) = вцР4 + 2в1бр3 + {2в12 + 8бб)р2 + 2826Р + 822, 1зд (р) = 911Р3 - {921 + 9\б)р2 + {912 + 926 )Р + 922, 1зр{р) = Р11Р3 - {)21 + Р16)Р2 + {)12 + Р26)Р + Р22, 12в {р) = -в11Р2 + 2в12Р - в22,
ки {р) = -Уцр2 + 2^12р - V22,
12х{р) = -ХиР2 + 2Х12Р - Х22;
вц — коэффициенты деформации материала; 9ц и р)ц — пьезоэлектрические и пьезомагнитные коэффициенты; /Зц, Vij и Хц — коэффициенты диэлектрической, электромагнитной и магнитной проницаемости.
На контурах (I = 1, С) функции Фк{гк) (к = 1, 4) должны удовлетворять граничным условиям задачи термоэлектромагнитоупругости, которые удобнее использовать в дифференциальной форме [6, 7, 14]:
5 / \ 211 (1к12, (1ш, (1ш) ёкАТк)^'к(Тк) = ("Г"' Т / ' ^
к=1 ^ в в в в '
где 5к,3{тк) = йтк/йв; для неподкрепленных контуров Ь[
{dkl1, dkl2, йк13,, йк14) = Рк, Vk, рк) ,
{fl1, 1'12, ¡13, ¡14) = {с1Ъ С12, С13, С14) , а для жестко подкрепленных контуров
{dkl1, йк12, Аш,, йк14) = {Рк, Як, ^, рк) , иIи ¡12, ¡14) = {ии VI, С13, Сц) .
Здесь
ик = 1зр(Рк)ки(Рк) - 1зд{Рк)12Х{Рк) „ = —г/5 = к 12ц{Рк)12Х{Рк) -ЩЛрк) 5 »V
рк
МЫМ/^) -Щи^к)
Г5
А(/Х5)
! 'X
А(/х5):
(Л = 1,4), р5 =
_ к (/б)
Г5
¿5 (/5) =
1Х(/5) =
к (/5 ) =
12а (/5) ¿Зд (/5) ¿Зр(/5)
1и(/5) ¿2/3 (/5) ¿2и (/5)
11т(/5) ки (/5) ¿2х(/5)
1Ав(/5) 12а(/5) 1зр(/5)
¿Зд (/5) ¿и(/5) ¿2и(/5)
¿Зр (/5) 11т (/5) ¿2х (/5)
кв (/5 ) ¿Зд (/5 ) 12а (/5 )
¿Зд (/5 ) ¿2/3 (/5) кг (/5 )
¿3р(/5) ки (/5) кт(у5)
¿2а(/5) = -а/ + а6/5 - (12, ¡и(/5) = 11/5 - ^2, кт/) = т/ - Ш2;
( — коэффициенты теплового расширения, измеренные при постоянной индукции электромагнитного поля; ^ и т1 — пироэлектрические и пиромагнитные модули, измеренные при постоянных напряжениях;
Ф5(25) = Г5 ! ¥5(25) (2;
их, Ух — заданные на контуре значения перемещений.
После определения функции Фк(%к) (к = 1, 4) из граничных условий становится возможным вычисление значений основных характеристик ТЭМУС (температуры Т; плотностей потока тепла Ях, яу; напряжений ах, оу, тху; индукций Бх, Бу, Вх, Ву и напряженностей Ех, Еу, Нх, Ну электромагнитного поля; перемещений и, V; потенциалов электромагнитного поля р, ф) в любой точке пластинки по формулам [6, 7, 14]
(ох^ Оу, тху) = 2Яе ^ {/I 1 -/к) Фк(2к);; (9)
к=1
5
(Бх, Ву, Вх, Ву) = 2Я,е^2 (Vк/к, -Vк, рк/к, -рк) Ф'к2); (10)
к=1
5
(Ех, Еу, Нх, Ну) = К /кт°к, Нк, /кК) Ф'к(2к); (11)
к=1
5
(и, V, р, Ф) = 2Яе^ {Рк, Як, г°, Нк) Фк(2к). (12)
к=1
Г
Здесь
Рк = «11 ¡Л - «16/к + «12 - (дп/к - 912) Vк - (рп/к - Р12) Рк + ;
г5
. ^22 , ч / ч 5к5а2
Як = 812/к - «26 Н---{921/к - 922) Vк - (Р21/к ~ Р22) Рк Н--;
/к Г5/5
0 2 5
Г0 = 911/к - 916/к + 912 - (ви/к - вп) Vк - - V12) Рк +
Ь°к = Р11/1 - Р1б/к + Р12 - (V11/к - V12) Vk - (Х11/к - Х12) Рк +
Г5 6к5Ш1
Г 5
5^ — символ Кронекера.
2. Построение функций комплексных потенциалов и удовлетворение граничным условиям. В общем случае многосвязной области комплексные потенциалы ^5(25) и Фк{гк) (к = 1, 4) имеют вид [6, 7, 14]
С С те
= С5 + в51 Ы51(25) + ^2С51и^51и(25)] (13)
1=1 1=1 п=1
С те
Фк(¿к) = N(¿к) + ^2ак1пШп^к)■ (14)
1=1 п=1
Здесь С5 — вещественная постоянная, определяемая из граничных условий; Оьх = -дх/Апкт — постоянные, определяемые из граничных условий; Я1 — суммарный тепловой поток через контур Ь[ в область 5; w5l(г5) = 1п (г5 - г51); г51 — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (1) произвольным точкам внутри контуров С51п — комплексные постоянные, определяемые из граничных условий; ^51п(г5) = (—п; (51 — комплексные переменные, определяемые из соответствующих конформных отображений;
С
Жфк) = Г к ¿к + (Аы%к + Вкг) 1п(гк - г^); 1=1
Гк, Ак1, Вк1 — постоянные, определяемые из решений систем уравнений 5
^2 (X /к, /к, Як - /кРк, Vk, /к^к, Рк, /крк) Гк = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) , к=1
5
^2 /к, Рк, Як, Vk, Рк, гк0, Н°к) %АЫ = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), к=1 5
^2 {1, /к, Рк, Як, Vk, Рк, гк, Ь0) %ВЫ = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0);
к=1
г5 = Г5С5; A51 = r5D5¡; B51 = v5(c5iiR51 -D51Z51); wki(zk) = ln(zk - Zki); Zki — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (6) произвольным точкам внутри контуров Li; akin — комплексные постоянные, определяемые из граничных условий; фkin(zk) = C—n; Zki — комплексные переменные, определяемые из соответствующих конформных отображений.
В локальных системах координат Oixiyi параметрические уравнения эллипсов (рис. 1) принимают вид [6, 7, 14]
xi = ai cos в, yi = bi sin в,
а в основной системе координат Oxy —
x = Xoi + xi cos щ - yi sin ^i, y = yoi + xi sin ^i + yi cos <Pi.
Здесь в (0 < в < 2п) — угловая переменная уравнения эллипса в параметрической форме.
Комплексные переменные Zzi, Zki определяются из конформных отображений внешностей единичных кругов | Zsi | > 1, IZkil > 1 на внешности эллипсов L^i, Lki, получаемых из Li аффинными преобразованиями (1), (6) [6, 7, 14]:
Zk = Zki + Rki (<ki + ^¡r^J , (15)
где
Rki =
mki
Zki = xoi + Hkyoi, (Ц (cos Lpi + ¿tfc sin Lpi) + ibi (sin Lpi - jj,k COS (fi) 2
ai (cos ф + ¡k sin pi) - ibi (sin щ - ¡лk cos щ)
2^к1
Неизвестные постоянные С5, ^51, С51п, йкы, входящие в функции (13) и (14), будем определять из граничных условий (3) и (8) с использованием метода наименьших квадратов. Для этого на контурах Ь^ (] = 1, С) выберем систему точек Мут(Х]т, У]т) (тп = 1 в которых следует удовлетворять граничным усло-
виям задач теплопроводности и термоэлектромагнитоупругости.
Задача теплопроводности. При подстановке функции (13) в граничное условие (3), для определения неизвестных постоянных С5, ^51, С51п получается система линейных алгебраических уравнений [14]
2RehjС5 + 2Re^ (hjw5i(r5jm) + íkt(r5jm)) D5i + i=i
L <x
+2 R^ ^^ (hjP5in(T5jm) + ÍKTh,s(T5jm)^5in(T5j mj) c5in — hj Tj i=l n=l
(16)
(j = l,C, m = 1, Mj),
где Т5т = Хт + /5Ут, Тт = т^т(х^т, Ут). После решения этой системы уравнений с использованием метода сингулярных разложений [15, 16] постоянные С5, В51, С51п, а следовательно, и комплексный потенциал теплопроводности (13), будут известны. По известной функции (13) можно в любой точке пластинки найти температуру и плотности потока тепла по формулам (4), (5) [6, 7, 14].
Задача термоэлектромагнитоупругости. При подстановке функций (13) и (14) в граничные условия (8) для определения неизвестных постоянных ак1п получается следующая система линейных алгебраических уравнений [14]:
4 С те
2 И,е ^ ^ ^ д,^р5к,8(т^т)^'к1п(ткт)ак1п = к=1 1=1 п=1 4
-2 dkjph,s(Tkjm)N'k (Tujm) — (17)
к=1
df ■
— 2Re d5jp55,s(T5jm)r5F5 (r5j m) + 1 (Tjrri)
(j = l,C,m = l, Mj, p = 1, 4),
где Tkjm = Xjm + /кVjm- После решения этой системы с использованием метода сингулярных разложений [15, 16] постоянные auin, а следовательно, комплексные потенциалы термоэлектромагнитоупругости (14) будут известны. По известным функциям (14) можно в любой точке пластинки найти значения основных характеристик ТЭМУС по формулам (9)-(12) [6, 7, 14].
3. Результаты численных исследований, выводы. Численные исследования были проведены для пластинки с двумя эллиптическими (круговыми) отверстиями. При проведении расчетов количество членов в рядах в представлениях (13), (14) и «коллокационных точек» на контурах Lj, для которых составлялись линейные алгебраические уравнения (16) и (17), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с высокой степенью точности. Как показали численные исследования, для этого необходимо было в указанных рядах оставлять от 30 до 70 членов, на каждом из контуров брать от 300 до 600 «коллокационных точек». Численные исследования были проведены для пластинки из композита на основе BaTiO3 — CoFe2O4. Физико-механические постоянные этого материала [17]:
Sn = 7,165 ■ 10-6 МПа-1, s22 = 6, 797 ■ 10-6 МПа-1, s66 = 19,912 ■ 10-6 МПа-1,
s12 = —2, 337 ■ 10-6 МПа"1, g16 = 2, 028 ■ 10-2 МКл-1 ■ м2, g21 = —0, 496 ■ 10-2 МКл-1 ■ м2, g22 = 1,157 ■ 10-2 МКл-1 ■ м2, Р16 = 1, 850 ■ 10-5 МТл-1, p21 = 0, 576 ■ 10-5 МТл-1, Р22 = 1,186 ■ 10-5 МТл-1, в11 = 0,156 ■ 103 МН ■ м2 ■ МКл-2, в22 = 0,137 ■ 103 МН ■ м2 ■ МКл-2, v11 = —0,190 ■ 10-1 МКл-1 ■ м ■ МА, v22 = —0,185 ■ 10-1 МКл-1 ■ м ■ МА,
Х11 = 0, 336 • 10-1 МПа • МТл-1, Х22 = 0,119 ■ 10-1 МПа ■ МТл-1,
«1 = 8, 530 ■ 10-6 К"1, а2 = 1, 990 ■ 10-6 К-1,
г2 = 133, 000 ■ 10-3 МН ■ (МКл ■ К)-1, т2 = 133, 000 ■ 10-3 МА ■ (м ■ К)-1,
кп = 2, 500 ■ 1 Вт ■ (м ■ К)-1, к22 = 2, 500 ■ 1 Вт ■ (м ■ К)-1.
В таблице 1 для пластинки с двумя неподкрепленны-ми круговыми отверстиями радиуса а (а1 = Ь1 = 0,2 = Ь2 = а) (рис. 2), на контурах которых поддерживается конвективный теплообмен с коэффициентом теплообмена Н (Н1 = Н2 = Н) с внешней средой, с точностью до разно- Рисс 2
сти температур внешних сред в правом и левом отверстиях
%2 - Т как множителя, в зависимости от отношения с/о расстояния С между контурами отверстий к радиусу отверстий, приведены значения нормальных напряжений и3 на площадках, перпендикулярных к контуру, в некоторых характерных точках контура левого отверстия с центральным углом в, отсчитываемым от положительного направления оси Ох. Исследования проводились
Таблица 1. Значения напряжений а., в точках контура левого отверстия
Тип задачи На о, рад. Значения с/а
0 0,01 0,1 0,5 1 2 10 100 ос
ТЭМУ 0,01 0 - -0,000 -0,002 -0,004 -0,005 -0,006 -0,010 -0,018 -0,042
тг/2 0,003 0,003 0,003 0,004 0,004 0,004 0,006 0,010 0,026
7Г -0,007 -0,007 -0,007 -0,007 -0,008 -0,008 -0,011 -0,018 -0,042
0,1 0 - -0,004 -0,016 -0,035 -0,047 -0,059 -0,094 -0,155 -0,298
тг/2 0,030 0,030 0,031 0,034 0,036 0,040 0,052 0,088 0,184
7Г -0,064 -0,064 -0,064 -0,068 -0,072 -0,078 -0,103 -0,156 -0,298
1 0 - -0,032 -0,136 -0,279 -0,359 -0,420 -0,524 -0,647 -0,776
тг/2 0,221 0,221 0,226 0,240 0,251 0,263 0,288 0,367 0,479
7Г -0,432 -0,432 -0,437 -0,454 -0,470 -0,493 -0,557 -0,650 -0,776
10 0 - -0,251 -0,709 -1,112 -1,181 -1,136 -0,984 -0,947 -0,925
тг/2 0,639 0,639 0,642 0,645 0,635 0,608 0,523 0,536 0,571
7Г -1,009 -1,010 -1,015 -1,029 -1,035 -1,033 -0,987 -0,948 -0,925
ос 0 - -2,329 -2,150 -1,848 -1,664 -1,435 -1,096 -0,999 -0,945
тг/2 0,838 0,818 0,816 0,795 0,764 0,709 0,575 0,565 0,583
7Г -1,169 -1,175 -1,178 -1,184 -1,180 -1,163 -1,075 -0,999 -0,945
ТУ 0,01 0 - 0,000 0,000 0,001 0,001 0,002 0,003 0,004 0,008
тг/2 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,002 0,004 0,009 0,024
7Г 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 0,002 0,003 0,004 0,008
0,1 0 - 0,000 0,004 0,009 0,012 0,016 0,025 0,034 0,055
тг/2 0,002 0,002 0,011 0,013 0,014 0,017 0,035 0,075 0,173
7Г 0,009 0,009 0,014 0,015 0,016 0,018 0,024 0,034 0,055
1 0 - 0,000 0,033 0,069 0,091 0,113 0,136 0,140 0,143
тг/2 0,003 0,002 0,078 0,086 0,096 0,114 0,194 0,311 0,471
7Г 0,059 0,058 0,094 0,100 0,106 0,114 0,132 0,140 0,143
10 0 - 0,000 0,156 0,258 0,287 0,294 0,253 0,205 0,171
тг/2 -0,176 -0,178 0,200 0,215 0,231 0,258 0,353 0,454 0,537
7Г 0,052 0,050 0,228 0,237 0,242 0,246 0,236 0,204 0,171
ос 0 - -0,004 0,416 0,410 0,393 0,365 0,281 0,216 0,174
тг/2 -27,258 -2,584 0,248 0,260 0,275 0,301 0,389 0,479 0,548
7Г 2,100 -1,079 0,271 0,278 0,281 0,280 0,257 0,215 0,174
для случаев задачи термоэлектромагнитоупругости (ТЭМУ), когда учитываются все свойства материала пластинки, и задачи термоупругости (ТУ), когда не учитываются электрические и магнитные свойства материала.
На рисунке 3 изображены графики распределения напряжений т3 вблизи контура левого отверстия для случаев значения с/а = 0, 01; 2; те при значениях На = 0,1; 10 в зависимости от центрального угла для задач ТУ и ТЭМУ.
О я/6 я/3 я/2 2я/3 9, рад. ' 0 я/6 я/3 ж/2 2я/3 в, рад.
а) б)
Рис. 3. Графики распределения напряжений аа в пластинке вблизи контура левого отверстия для некоторых значений с/а для задач ТУ (штриховые линии) и ТЭМУ (сплошные линии)
при значениях: а) На = 0,1; б) На = 10
На рисунке 4 для точки контура левого отверстия с центральным углом в = 0 рад. изображены графики распределения напряжений т3 (в указанной точке равных ту) в зависимости от значения ^ На при значениях с/а = 0, 01; 2; те.
В таблице 2 для пластинки с двумя неподкрепленными круговыми отверстиями радиуса а (рис. 2), на контурах которых поддерживается конвективный теплообмен с внешней средой, с точностью до разности температур внешних сред в правом и левом отверстиях — как множителя, для случая, когда отношение с/а = 2, в зависимости от значений коэффициентов теплообмена на контуре левого отверстия Н1 и на контуре правого отверстия Н2, приведены значения нормальных напряжений т3 в некоторых характерных точках контуров левого и правого отверстий, для случая задачи ТЭМУ.
Из данных, приведенных в таблицах и на рисунках, и других полученных результатов следует, что значения На, суть являющиеся критериями Био, оказывают значительное влияние на значения напряжений около отверстий. При значениях На > 1000 можно полагать, что на контуре Ь\ задано значение температуры Т = %1, а при значениях На < 0, 01 контур Ь\ можно считать теплоизолированным. При этом, если для всех контуров, кроме одного, имеет место На ^ 0, то во всей пластинке устанавливается одинаковая температура, равная температуре внешней среды в полости этого отверстия; если при этом на кон-
Таблица 2. Значения напряжений а, в точках контура левого и правого отверстия при с/а = 2
Н\а 0, рад. Левое отверстие | Правое отверстие
Значения Н2
0,01 0,1 1 10 ос 0,01 0,1 1 10 ос
0,01 0 -0,006 -0,011 -0,012 -0,011 -0,011 0,008 0,015 0,015 0,014 -0,011
тг/4 -0,004 -0,007 -0,007 -0,007 -0,006 0,007 0,012 0,013 0,012 -0,006
к/2 0,004 0,008 0,008 0,008 0,008 -0,004 -0,008 -0,008 -0,008 0,008
Зтг/4 -0,007 -0,012 -0,013 -0,013 -0,013 0,004 0,007 0,008 0,009 -0,013
К -0,008 -0,015 -0,016 -0,016 -0,016 0,006 0,011 0,013 0,015 -0,016
0,1 0 -0,011 -0,059 -0,101 -0,103 -0,102 0,015 0,078 0,129 0,124 0,120
тг/4 -0,007 -0,037 -0,061 -0,061 -0,060 0,012 0,065 0,109 0,108 0,106
тг/2 0,008 0,040 0,068 0,072 0,072 -0,008 -0,040 -0,069 -0,073 -0,072
Зтг/4 -0,012 -0,065 -0,112 -0,119 -0,119 0,007 0,037 0,068 0,084 0,088
к -0,015 -0,078 -0,134 -0,142 -0,143 0,011 0,059 0,111 0,136 0,144
1 0 -0,013 -0,111 -0,420 -0,568 -0,586 0,016 0,134 0,493 0,621 0,623
тг/4 -0,008 -0,068 -0,256 -0,336 -0,344 0,013 0,112 0,419 0,542 0,548
к/2 0,008 0,069 0,263 0,364 0,378 -0,008 -0,068 -0,263 -0,364 -0,377
Зтг/4 -0,013 -0,109 -0,419 -0,579 -0,603 0,007 0,061 0,256 0,413 0,454
к -0,015 -0,129 -0,493 -0,683 -0,712 0,012 0,101 0,420 0,681 0,753
10 0 -0,015 -0,136 -0,681 -1,136 -1,227 0,016 0,142 0,683 1,033 1,071
тг/4 -0,009 -0,084 -0,413 -0,671 -0,719 0,013 0,119 0,579 0,899 0,940
к/2 0,008 0,073 0,364 0,608 0,656 -0,008 -0,072 -0,364 -0,608 -0,652
Зтг/4 -0,012 -0,108 -0,542 -0,899 -0,970 0,007 0,061 0,336 0,671 0,771
к -0,014 -0,124 -0,621 -1,033 -1,114 0,011 0,103 0,568 1,136 1,314
ос 0 -0,016 -0,144 -0,753 -1,314 -1,435 0,016 0,143 0,712 1,114 1,163
тг/4 -0,010 -0,088 -0,454 -0,771 -0,835 0,013 0,119 0,603 0,970 1,021
к/2 0,008 0,072 0,377 0,652 0,709 -0,008 -0,072 -0,378 -0,656 -0,709
Зтг/4 -0,012 -0,106 -0,548 -0,940 -1,021 0,006 0,060 0,344 0,719 0,835
к -0,013 -0,120 -0,623 -1,071 -1,163 0,011 0,102 0,586 1,227 1,435
турах отсутствуют подкрепления, то температурные напряжения в пластинке не возникают. Наибольшая же концентрация напряжений возникает, если все значения На достаточно велики; концентрация остается значительной, если эти значения превышают 1; если одно из этих значений меньше 1, то значения напряжений в пластинке резко убывают. Также большое влияние на концентрацию напряжений оказывает расстояние между отверстиями (отношение с/а). При с/а > 10 влияние одного отверстия на напряженное состояние около другого становится незначительным, и им можно пренебречь. При сближении отверстий (уменьшении значения с/а) взаимовлияние контуров становится значительным, особенно в зоне между отверстиями. При этом, на характер изменений значений напряжений влияют и значения На. Так, при значениях На > 50 сближение отверстий приводит к росту концентрации напряжений, особенно в зоне между отверстиями. При значениях 5 < На < 50 наибольшая концентрация напряжений имеет место при 0, 5 < с/а < 2, а при дальнейшем сближении отверстий значения напряжений убывают. При значениях Н а < 5 напряжения около отверстий убывают при сближении отверстий. Пренебрежение электромагнитными свойствами пластинки приводит к искажению результатов, поэтому при проведении расчетов следует учитывают все свойства материала пластинки.
1. Берлинкур Д. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в пре-
образователях / Д. Берлинкур, Д. Керран, Г. Жаффе // Физическая акустика. - М.: Мир, 1966. - Т. 1, ч. А. - С. 204-326.
2. Желудев И. С. Физика кристаллических диэлектриков / И.С. Желудев. - М.: Наука, 1968.
- 463 с.
3. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред / Ж. Можен. - М.: Мир, 1991.
- 560 с.
4. Гринченко В.Т. Электроупругость / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульга. - К.: Наук. думка, 1989. - 280 с. (Механика связных полей в элементах конструкций: В 5 т., Т. 5).
5. Партон В.З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел /
B.З. Партон, Б.А. Кудрявцев. - М.: Наука, 1988. - 472 с.
6. Калоеров С.А. Плоская задача термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред /
C.А. Калоеров, О.А. Сорочан // Прикладная механика. - 2009. - Т. 45, № 4. - С. 81-91.
7. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинках с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2018. - № 1. - С. 15-26.
8. Подстригач Я. С. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно // К.: Наук. думка, 1972. - 308 с.
9. Гарматт Г.Ю. Термопружний стан безмежного термочутливого тша з цилшдричною порожниною за умови конвективного теплообмшу / Г.Ю. Гарматш, В.С. Попович // Мат. методи i ф1з.-мех. поля. - 2009. - Вип. 52, № 3. - С. 192-200.
10. Parihar K.S. Transient heat conduction and analysis of thermal stresses in thin circular plate / K.S. Parihar, S.S. Patil // J. Therm. Stress. - 2011. - Vol. 34, № 4. - P. 335-351.
11. Gaikwad K.R. Analysis of transient thermoelastic temperature distribution of a thin circular plate and its thermal deflection under uniform heat generation / K.R. Gaikwad, Y.U. Naner // J. Therm. Stress. - 2021. - Vol. 44, № 1. - P. 75-85.
12. Nguyen T.D. Frequency dependence of the magnitude of thermal stresses in a flat plate subjected to rapid thermal cycling by convective heating and cooling / T.D. Nguyen, J.R. Thomas Jr., D.P.H. Hasselman // J. Therm. Stress. - 1987. - Vol. 10, № 3. - P. 163-175.
13. Roozbahani M.M. Temperature and stress distribution in hollow annular disk of uniform thickness with quadratic temperature-dependent thermal conductivity / M.M. Roozbahani, H. Razzaghi, M. Baghani, M. Baniassadi, M. Layeghi // J. Therm. Stress. - 2017. - Vol. 40, № 7. - P. 828-845.
14. Глушанков Е. С. Термоэлектромагнитоупругое состояние бесконечной многосвязной пье-зопластинки в условиях конвективного теплообмена при действии линейного потока тепла / Е.С. Глушанков // Журн. теорет. и прикладной механики. - 2020. - Вып. 2 (75). -С. 18-29.
15. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.
16. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.
17. Tian W.-Y. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids / W.-Y. Tian, U. Gabbert // Europ. J. Mech. Part A. - 2004. - Vol. 23. - P. 599-614.
E.S. Glushankov
Determining the thermo-electro-magneto-elastic state of infinite multiply connected piezoelectric plate in case of convective heat transfer acting on its contours.
A method is proposed for determination of the thermo-electro-magneto-elastic state of an infinite multiply connected piezoelectric plate with holes, when there is a convective heat transfer acting on the contours of the holes. The solution of the problem is got with using the thermoconductivity
and thermo-electro-magneto-elasticity problems' complex potentials. The problem is reduced to solving two overdetermined systems of linear algebraic equations for the Laurent series expansions' unknown coefficients. The influence of heat transfer characteristics, geometric characteristics of the plate and electromagnetic properties of its material on the main characteristics of thermo-electro-magneto-elastic state are investigated with the numerical studies.
Keywords: piezoelectric plate, multiply connected plate, convective heat transfer, complex potentials, thermal stresses.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 31.01.22
Donetsk National University, Donetsk
evgenij.glushankov@gmail.com
