ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА С ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ НА ТЕРМОЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ МНОГОСВЯЗНОЙ ПЛАСТИНКИ ИЗ ПЬЕЗОМАТЕРИАЛА С ЖЕСТКО ПОДКРЕПЛЕННЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№3 (80) / 2022.

УДК 539.3

doi:10.24412/0136-4545-2022-3-20-32 EDN:GRWIIZ

©2022. Е.С. Глушанков

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА С ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ НА ТЕРМОЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ МНОГОСВЯЗНОЙ ПЛАСТИНКИ ИЗ ПЬЕЗОМАТЕРИАЛА С ЖЕСТКО ПОДКРЕПЛЕННЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ

В данной работе приведены результаты исследований термоэлектромагнитоупругого состояния бесконечной многосвязной пластинки из пьезоматериала, находящейся в условиях конвективного теплообмена с внешней средой. Контуры некоторых отверстий в пластинке жестко подкреплены. С помощью численных исследований изучено влияние геометрических характеристик пластинки, свойств ее материала, характеристик конвективного теплообмена, а также подкреплений на контурах отверстий на значения основных характеристик термоэлектромаг-нитоупругого состояния пластинки.

Ключевые слова: линейный поток тепла, конвективный теплообмен, многосвязная пластинка из пьезоматериала, жестко подкрепленные контуры отверстий, температурные напряжения, комплексные потенциалы.

Введение. В современной науке и технике широко используются конструкции, в которых в качестве элементов встречаются тонкие пластинки, изготовленные из пьезоматериалов [1]. В этих пластинках по технологическим или эксплуатационным причинам могут присутствовать концентраторы напряжений типа отверстий или трещин. В процесс эксплуатации пластинки могут подвергаться действию температурных полей, которые могут вызывать высокие концентрации напряжений в пластинке [2, 3]. К настоящему времени решены самые различные задачи о действии температурных полей в тонких пластинках из пьезоматериалов, в т.ч. разности температур [4], линейного потока тепла [5].

В работах [6, 7, 8, 9] решено множество задач термоупругости для тел из материалов, не обладающих пьезосвойствами, когда на границе тел имеет место конвективный теплообмен с внешней средой.

В работе [10] решена задача о действии линейного потока в многосвязной пластинке из пьезоматериала, на контурах которой действует конвективный теплообмен с внешней средой. При проведении численных исследований контуры пластинки полагались неподкрепленными.

В данной же работе исследовано влияние на термоэлектромагнитоупруго-го состояния (ТЭМУС) пластинки из пьезоматериала, находящейся в условиях при конвективного теплообмена с внешней средой, жесткого подкрепления контуров отверстий. Для случая бесконечной пластинки с одним жестко подкреп-

ленным эллиптическим отверстием приведено точное аналитическое решение задачи. Для общего случая многосвязности задача решена для пластинки как с жестко подкрепленными, так и с неподкрепленными контурами отверстий, с использованием метода наименьших квадратов. Проведены численные исследования термоэлектромагнитоупругого состояния (ТЭМУС) пластинки с одним или двумя круговыми отверстиями. Показано влияние жесткого подкрепления контуров отверстий, геометрических характеристик пластинки, свойств ее материала и коэффициента теплообмена на распределение напряжений в пластинке.

1. Постановка задачи. Рассмотрим многосвязную пластинку из пьезоматериала, занимающую бесконечную область ¿>, ограниченную контурами эллип- -— тических отверстий Гц (I = 1, С) с центрами в точках Ог(х01 ,у0г), полуосями щ, Ъг, углами поворота (рис. 1). Контуры отверстий могут произвольно располагаться относительно друг друга. Через контуры отверстий (I = 1, С) имеет место конвективный теплообмен с коэффициентами ^ с внешней средой Рис- 1 температуры Контуры не подкреплены либо жестко подкреплены. На бесконечности под углом а к оси Ох действует линейный тепловой поток плотности д, а напряжения и индукции электромагнитного поля равны нулю.

Несвязанную задачу термоэлектромагнитоупругости для пьезопластинки будем решать с использованием комплексных потенциалов. Задача сводится к последовательному определению сперва комплексного потенциала теплопроводности ^5(25), а затем комплексных потенциалов термоэлектромагнитоупругости (к = 1, 4) из соответствующих граничных условий. После этого значения основных характеристик ТЭМУС (температура Т, плотности потока тепла дх, ду, напряжения ох, оу, тху, индукции электромагнитного поля Дх, Ду, Вх, Ву, напряженности электромагнитного поля Ех, Еу, Нх, Ну, перемещения и, V, потенциалы электромагнитного поля ф, ф) в любой точке пластинки определяются по формулам [4, 5]

Т = Т * + 2И,е ^5(25); (1)

(дх,ду) = (д*х,д*) + 2Ие гкт(^5, -1)Р5(25); (2)

5

(vx, оу, тху) = 2Ке^2(^1,1 )фк(2к); (3) к=1

5

(Дх, Ду, Вх, Ву) = 2Ъе^(ик Цк, -Vк, Рк Цк, -рк )Ф'к (2к); (4)

к=1

(Ех, Еу, Их, Ну) = (Е*, Е*, И*, И*) — 2Ке^(г°к, цкт°к, К, цкН°к)Ф'к(гк); (5)

к=1

5

(и, V, V, ф) = (и*, Vу, <ру, фу) + 2Ке^2(Рк, Чк, г0, Ь°к)Фк(гк). (6)

к=1

Здесь

Т * = д^хХ + гу у)

^22 сое (X — к\2 ЭШ (X кц вШ (X — к\2 сое (X

''Х — 9 ) Ъу — о ,

к

т

к

т

КТ = \Jknk22 - к\2]

дУ = —д соё а, д*у = —д 8т а;

ц5 — корень характеристического уравнения задачи теплопроводности [4, 5]

к22Ц2 + 2к\2 ц + кц = 0;

(7)

¡лк {к = 1,4) — корни характеристического уравнения задачи термоэлектромаг-нитоупругости [4, 5]

где

к(ц) =

¡8(ц) = 0;

кз (ц) 1зд (ц) 1зр (ц) кд (ц) 12в (ц) Ьи (ц) 1зр(ц) ¡2и (ц) 12х (ц)

(8

14з(ц) = SllЦ4 + 2в16ц3 + (2в12 + вбб)ц2 + 2в2&ц + в22, 1зд (ц) = диц3 — (921 + 91б)ц2 + (912 + 926 )ц + 922, 1зр(ц) = Риц3 — (Р21 + Р1б)ц2 + (Р12 + Р2б)ц + Р22,

12в (ц) = —виц2 + 2в\2ц — в22, ки (ц) = —^цц2 + 2^12 ц — V22, 12х(ц) = —Хиц2 + 2Х12ц — Х22;

Vk

(к = 1,4), 1/5 =

Г 5 '

Г

X

Рк

кд(^к)ки(^к) ~ 1зр(У>к)кр(У>к)

Г5 = —-г, Г

к(^)

15 (У5) =

к (Р5) =

> 'X

к(^) к(№)'

(к = 1,4), р5 =

к (У5 )

Г5

к(№)

ка(Ц-5) кд (^5) кр(Ц-5)

1и(Ц-5) к/3 (^5) ки

кт(Ц-5) ки (^5) кх(^5)

1Ав(^5) ка(Ц-5) кр(Ц-5)

кд (^5) 1и(№) ки(^5)

кр (^5) 1\т (У5) 12х (№'5)

кв (^5) 13д (^5) 12а (^5)

кд (^5) к/3 (^5) кг (ц-5)

кр(^5) ки (^ь) кт(^5)

ка(№) = —а\^5 + абУ5 - а2, кг(ц-5) = - г2, кт(ц-5) = т\ц,5 - т2;

Рк = Эц^к - в1Фк + $12 - (ди^к - 912)"к - (Р11 Ук - Р12)рк +

Ьк5а\

Э22

Г 5

5к5а2

Як = 812Цк - «26 Н---(921- 922)щ - (Р21^к ~ Р22)Рк +

Ук Г5Ц.5

гк = 911 ^к - 91бУк + 912 - (Рп^к - в12)^к - ("11^к - V12)Рк + Н°к = Р11Ук - Р1бУк + Р12 - ("11^к - Vl2)Vk - (Х11Ук - Х12)рк +

5къЬ

Г 5 , Г5 '

Е* Н^ Н*) = (Ь1,Ь2,т1,т2)Т*;

* I а^х 2 a2tx - 2 . ,

и =д[ -^-х----у + а^уху

* , а2 ^у 2 а1 Ч - а^х 2 , . V =д[ -^-у--^-Г-х + а2иху

2

* I 2 2 11 I

(т^х 2 т2^у 2 , ,

Ф = ~Я\ --7Г~У - т^хХу ;

г

$5(25) = т^ Г5(г5)

кц — коэффициенты теплопроводности материала пластинки; вц — коэффициенты деформации материала; дц и рц — пьезоэлектрические и пьезомагнитные коэффициенты; вц, и хц — коэффициенты диэлектрической, электромагнитной и магнитной проницаемостей материала; а^ — коэффициенты теплового расширения материала; ^ и — пироэлектрические и пиромагнитные модули материала; — символ Кронекера.

Комплексные потенциалы ^5(2:5), Фк{%к) (к = 1,4) определены в многосвязных областях Б5, Б к, получаемых из области 5 аффинными преобразованиями

[4, 5]

25 = X + Ц5У, (9)

2к = X + ЦиУ- (10)

Эти функции в общем случае многосвязности имеют вид [4, 5]

С С <х

^5 (25) = С5 + ^ 051 ^2с51и^51и(25); (11)

1=1 1=1 п=1

С <х

Фк(2к) = (гк) + ^ ^2,аып<Рк1п(2к)■ (12)

1=1 п=1

Здесь С5 — вещественная постоянная, определяемая из условий на контурах пластинки; 051 = —д1/4пкт; — суммарный тепловой поток через контур Ь1 в область Б; w5l(25) = 1п (г5 — 251); 251 — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (9) произвольным точкам внутри контуров С51п — комплексные постоянные, определяемые из условий на контурах пластинки; ф5^(25) = (—п; (51 — комплексные переменные, определяемые из конформных отображений;

С

Nк(2к) = Г к 2к + (Ак12к + Вк1) 1п(2к — 2к1); 1=1

Гк, Ак1, Вк1 — постоянные, определяемые из систем уравнений 5

^2(1, Цк, »к, Як — »кРк, Vк, Цк^к, Рк, »кРк)Гк = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); к=1

5

^(1, »к, Рк, Як, Vk, Рк, тк, Ькк)гЛк1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); к=1

^(1, Ik, Pk, Qk, vk, pk, r0, h0k)iBki = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); k=l

= Г5С5; Á5l = r5D5f; B5l = Г5 (C511 R51 - D5lZ5l);

Wki = ln (zk — Zkl); Zkl — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (10) произвольным точкам внутри контуров Lf, Wkln(zk) = С-™'; Zkl — комплексные переменные, определяемые из конформных отображений.

В локальных системах координат OlXlyl параметрические уравнения эллипсов (рис. 1) имеют вид [4, 5]

xl = al cos в, yl = bl sin в,

а в основной системе OXy координат —

x = Xkl + Xl cos w — yl sin Wl, У = ykl + Xl sin w + yl cos w.

Здесь в (0 < в < 2п) — угловой параметр уравнения контура.

Комплексные переменные Zzl, Zkl определяются из конформных отображений внешностей единичных кругов | Zsl | > 1, IZkll > 1 на внешности эллипсов L^l, Lkl, получаемых из Li аффинными преобразованиями (9), (10) [4, 5]:

Zk = Zki + Rki (сы + ' (13)

где

Rkl =

mkl

Zkl = Xkl + ikykl,

Щ (cos Щ + fik sin Lpi) + jbl (sill Ifi I - Hk COS Ifii) 2

al(cos w + /Ik sin w) — ibl(sin w — /k cos w)

2Кк1

Функция В5(х5) должна удовлетворять граничному условию [4, 5, 10]

2И.е (кГ5(Т5) + Ытк^Щ(т5)) = д*п — к (Т* — %) , (14)

где

Яп = ЯХ сов(пх) + ду со8(ну);

где Т — аффикс граничной точки; Т5 — точка, получаемая из нее при аффинном преобразовании (9); 55,3(т5) = (1т5/(1в, в — дуга контура отверстия.

Функции Фк(%к) (к = 1,4) должны удовлетворять граничным условиям задачи термоэлектромагнитоупругости в дифференциальной форме [4, 5]

dki2, dki3, dm) 5k,s(rk )&'k T )

k=i

(15)

dfn dfi2 dfi3 dfu ds ' ds ' ds ' ds

где Tfc (k = 1,4) — точки, получаемые из граничных точек при аффинных преобразованиях (10); ôk,s(rk) = drk/ds; для неподкрепленных контуров Li

(dkll) dkl2, dkl3, dkl4) = (1) Ц-k, vk, Pk) )

(fil, fl2, fl3, fl4) = (Cll, Cl2, Cl3, Cl4) , а для жестко подкрепленных контуров

(dkll) dkl2, dkl3) dkl4) = (Pk, Qk, vk, Pk) ,

(fll) fl2, fl3) fl4) = (-u*) -v% cl3, cl4) .

2. Решение задачи для бесконечной пластинки с эллиптическим отверстием. Рассмотрим отнесённую к декартовой системе координат бесконечную пластинку с эллиптическим отверстием, контур которого обозначим через Ll, его полуоси — al, bl, угол поворота — фl (рис. 2). Центр эллиптического контура совпадает с центром координат. На бесконечности действует линейный поток тепла плотности q под углом a к оси Ox. Через контур имеет место конвективный теплообмен с внешней средой температуры Tl с коэффициентом теплообмена hl. На бесконечности отсутствуют силовые и электромагнитные воздействия. Контур отверстия жестко подкреплен, потоки электромагнитной индукции через него равны нулю.

Задача теплопроводности. На основе (11) функция F5(z5 ) принимает вид

[10]

Рис. 2

F5(z5) = C5 +

c5ln

=l z

(16)

Подставляя функцию (16) в граничное условие (14) и применяя метод рядов, получим, что с51П = 0 (п = 2, 3, ...), а для с5 и с5ц получаются следующие выражения [10]:

С5 = Тг/2,

C5ll =

q

2(hl + kt )

a^i sin(a — ф{) — hl(tx cos фl + ty sin фl)) +

+ ib^i cos(a — ф1) + hl(ty cos ф1 — tx sinф1 ))

Таким образом, комплексный потенциал теплопроводности (16) имеет вид

[10]

= + (17)

Ц51

Функция Е5(г5) становится известной, и тогда можно в любой точке пластинки находить температуру и плотности потока тепла по формулам (1), (2). Задача термоэлектромагнитоупругости. Для функции Ф5(г5) получим [10]

/&512 451

где

Г5 = Г5С5, В51 = Т5С5цК51, й512 = Г5С511Я51Ш51/2.

Тогда для функций &k(zk) (k = 1, 4) получим [10]

ak12

ф к(гк) = Ткгк + Вк1\п(к1 + -^-. (18)

4к1

Подставляя функции (18) в граничные условия (15) и применяя метод рядов, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных ак12'-

У] (Pk, Qk, Vk, pk) aki2 = (Ei,E2, E3, E4)

k=1

где

q

Ei = -p5a5i2 - - ((aiaj + a2b\){tx cost^i + tysmpi)~ 8

-(a6b1 — 2a1a1b1i)(ty cos p1 — tx sin p^) ,

q

E2 = -950512 - ц {{oi&b\ + 2a2aibii)(txcos<pi + tysmpi)~

8

—(a1 a\ + (i2bf)(ty cos P1 — tx sin p1))

q

Ез = -^50512 - ц {tiiaj + 2aibii)(txcos<fii +ty sinpi)-

8

—t2b1(ty cos p1 — tx sin p1))

I (mi (a?

—m2b"^(ty cos p1 — tx sin p1)) .

E4 = -p5a5i2 - - (mi(a\ + 2aibii)(tx cospi + ty sinpi)-8

После решения этой системы уравнений становятся известными постоянные ak12, а следовательно, и функции Фk(zk), и тогда можно в любой точке пластинки находить значения основных характеристик ТЭМУС по формулам (3)—(6).

3. Решение задачи для бесконечной многосвязной пластинки. В общем случае многосвязной области (рис. 1) неизвестные постоянные С5, D51, C5in, akin, входящие в функции (11) и (12), определяются из граничных условий (14)

и (15) с использованием метода наименьших квадратов. Для этого на контурах Ьг (г = 1, С) выберем систему точек (т = в которых следует минимизировать невязки граничных условий задач теплопроводности и термоэлектромагнитоупругости.

Задача теплопроводности. При подстановке функции (11) в граничное условие (14), для определения неизвестных постоянных С5, 051, С51п получается система линейных алгебраических уравнений [10]

2Re hic^ + 2Re ^ (hiw5i(r5im) + гкт55,s(T5im)w'5i(r5im)) D5i+ 1=1

L <x

+2 Re X] (hiV5ln(T5im) + гктfosTimWun(ГЫт)) C5ln =

(19)

1=1 n=1

= Qn(Tim) ~ hi (Т*(тгт) - %i) (i = l,£,m = 1, Mi),

где Т5гт = хгт + Ц5угт, тгт — аффикс точки Мгт. После решения этой системы с использованием метода сингулярных разложений [11] постоянные С5, 051, С51п, а следовательно, и комплексный потенциал теплопроводности (11) будут известны. По известной функции (11) можно в любой точке пластинки найти температуру и плотности потока тепла по формулам (1), (2) [4, 5, 10].

Задача термоэлектромагнитоупругости. При подстановке функций (11) и (12) в граничные условия (15) для определения неизвестных постоянных акы получается следующая система линейных алгебраических уравнений [10]:

4 С ж

^2 (кгр^к ,8(ткгт)^к1п(ткгт)ак1п — к=1 1=1 п=1 4

= —2^е^2 (кгр^к,в(Ткгт)^к (Ткгт)— (20)

к=1

-2Re d5iP55iS(T5im)r5F5(T5im) + -^-(пт)

(i = l,£,m = I,Mi, p = 1,4),

где Tkim = xim + цкyim. После решения этой системы с использованием метода сингулярных разложений [11] постоянные akin, а следовательно, комплексные потенциалы термоэлектромагнитоупругости (12), будут известны. По известным функциям (12) можно в любой точке пластинки найти значения основных характеристик ТЭМУС по формулам (3)-(6) [4, 5, 10].

4. Численные исследования. При проведении численных расчетов количество членов в рядах Лорана в функциях (11), (12) и количество точек Mim на контурах Li, для которых составлялись системы линейных алгебраических уравнений (19) и (20), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (относительная погрешность не становилась менее сотых долей процента). Для этого

необходимо было в указанных рядах оставлять от 30 до 40 членов, на каждом из контуров брать от 200 до 400 «коллокационных точек».

Были проведены численные исследования для пластинки из композита BaTiO3 — CoFe2O4 (материал М1) [12]. Физико-механические постоянные этого материала имеют значения:

sn = 7,165 ■ 10-6 МПа-1, $22 = 6, 797 ■ 10-6 МПа-1, see = 19,912 ■ 10-6 МПа-1,

s12 = —2, 337 ■ 10-6 МПа"1, g16 = 2, 028 ■ 10-2 МКл-1 ■ м2,

g21 = —0, 496 ■ 10-2 МКл-1 ■ м2, g22 = 1,157 ■ 10-2 МКл-1 ■ м2,

Р16 = 1, 850 ■ 10-5 МТл-1, p21 = 0, 576 ■ 10-5 МТл-1, Р22 = 1,186 ■ 10-5 МТл-1,

в11 = 0,156 ■ 103 МН ■ м2 ■ МКл-2, в22 = 0,137 ■ 103 МН ■ м2 ■ МКл-2,

v11 = —0,190 ■ 10-1 МКл-1 ■ м ■ МА, v22 = —0,185 ■ 10-1 МКл-1 ■ м ■ МА,

Х11 = 0, 336 ■ 10-1 МПа ■ МТл-1, Х22 = 0,119 ■ 10-1 МПа ■ МТл-1,

«1 = 8, 530 ■ 10-6 К-1, а2 = 1, 990 ■ 10-6 К-1,

t2 = 133, 000 ■ 10-3 МН ■ (МКл ■ К)-1, m2 = 133, 000 ■ 10-3 МА ■ (м ■ К)-1,

kn = 2, 500 ■ 1 Вт ■ (м ■ К)-1, k22 = 2, 500 ■ 1 Вт ■ (м ■ К)-1.

В таблице 1 для пластинки с одним круговым отверстием радиуса a (a1 = b1 = a) (рис. 3, a), в которой действует линейный поток тепла плотности q под углом а = п/2 рад., через контур которого имеет место конвективный теплообмен c коэффициентом h (Л4 = h) с внешней средой температуры T1 = 0, с точностью до множителя q приведены значения напряжений us в точках контура отверстия на площадках, перпендикулярных контуру, в зависимости от значения ha. В целях сравнения значения напряжений для случая жестко подкрепленного контура отверстия приводятся вместе со значениями для случая неподкрепленного контура, приведенными в работе [10].

В таблице 2 для пластинки с двумя круговыми отверстиями радиуса a (a1 = b1 = a2 = b2 = a), расстояние между которыми равно c (рис. 3, б), когда через их неподкрепленные контуры имеет место конвективный теплообмен c коэффициентом h (h1 = h2 = h) с внешней средой температуры T1 = T2 = 0, приведены значения напряжений as в точках контура левого отверстия, в зависимости от значения ha для случаев c/a = 1 и c/a = 10. В целях сравнения значения напряжений для случая жестко подкрепленных контуров отверстий приводятся вместе со значениями для случая неподкрепленных контуров, которые представлены в работе [10].

ц + + ц м + +

©

a J c

а) б)

Рис. 3

Таблица 1. Значения напряжений ав в точках контура отверстия

Тип задачи о, рад. Значения На

0 0,01 0,1 0,5 1 2 10 100 00

Контур отверстия жестко подкреплен

ТЭМУ тг/12 0,160 0,159 0,146 0,098 0,053 -0,007 -0,141 -0,207 -0,216

7г/6 0,291 0,288 0,263 0,172 0,087 -0,026 -0,280 -0,405 -0,422

тг/4 0,319 0,315 0,284 0,169 0,062 -0,080 -0,399 -0,556 -0,578

7Г/3 0,101 0,098 0,075 -0,010 -0,088 -0,193 -0,428 -0, 544 -0,560

5тг/12 -0,460 -0,459 -0,451 -0,420 -0,392 -0,354 -0,269 -0,227 -0,221

тг/2 -0,869 -0,865 -0,832 -0,710 -0,597 -0,445 -0,107 0,060 0,084

ТУ тг/12 -0,053 -0,052 -0,050 -0,040 -0,032 -0,020 0,006 0,018 0,020

7г/6 -0,155 -0,155 -0,148 -0,121 -0,097 -0,065 0,007 0,043 0,048

тг/4 -0,332 -0,330 -0,316 -0,264 -0,215 -0,150 -0,006 0,066 0,076

тг/4 -0,563 -0,561 -0,538 -0,454 -0,377 -0,273 -0,041 0,074 0,090

5тг/12 -0, 779 -0, 775 -0, 745 -0,634 -0,531 -0,394 -0,086 0,066 0,087

тг/2 -0,869 -0,866 -0,833 -0,711 -0,597 -0,446 -0,108 0,060 0,083

Контур отверстия не подкреплен [10]

ТЭМУ тг/12 0,188 0,187 0,174 0,125 0,081 0,021 -0,113 -0,179 -0,188

7г/6 0,357 0,354 0,329 0,238 0,153 0,040 -0,214 -0,339 -0,357

тг/4 0,448 0,445 0,414 0,299 0,192 0,050 -0,269 -0,427 -0,448

7г/3 0,330 0,328 0,305 0,220 0,142 0,037 -0,198 -0,314 -0,330

5тг/12 -0,120 -0,119 -0,110 -0,080 -0,051 -0,013 0,072 0,114 0,120

тг/2 -0,476 -0,472 -0,440 -0,317 -0, 204 -0,053 0,286 0,453 0,476

ТУ тг/12 -0,036 -0,036 -0,034 -0,024 -0,016 -0,004 0,022 0,035 0,036

тг/6 -0,102 -0,101 -0,094 -0,068 -0,044 -0,011 0,061 0,097 0,102

тг/4 -0, 204 -0,202 -0,188 -0,136 -0,087 -0,023 0,122 0,194 0,204

тг/3 -0,327 -0,324 -0,302 -0,218 -0,140 -0,036 0,196 0,311 0,327

5тг/12 -0,433 -0,430 -0,400 -0,289 -0,186 -0,048 0,260 0,412 0,433

тг/2 -0,476 -0,472 -0,440 -0,317 -0, 204 -0,053 0,286 0,453 0,476

Выводы. Из полученных данных следует, что коэффициент теплообмена Н заметно влияет на значения напряжений около контуров отверстий. При значениях На < 0, 01 контур отверстия может считаться теплоизолированным, а при На > 100 можно считать, что на контуре задана температура, равная температуре внешней среды.

При уменьшении расстояния между отверстиями значения напряжений в зоне между отверстиями уменьшаются, а вне этой зоны — возрастают, особенно в случаях значений На < 0, 01 или На > 100. При значениях На < 1 наличие жесткого подкрепления контуров отверстий приводит к более высоким концентрациям напряжений в пластинке, нежели при его отсутствии. При малых расстояниях между контурами в случае На > 5 и при больших расстояниях между контурами в случае На > 20 жесткое подкрепление контура отверстия ведет к его разгрузке.

Если расстояние между отверстиями с/а > 10, то влияние одного отверстия на ТЭМУС около другого отверстия становится незначительным и им можно пренебречь.

Таблица 2. Значения напряжений ав в точках контура левого отверстия

Тип задачи с/а рад. Значения На

0 0,01 0,1 1 10 100 00

Контуры отверстий жестко подкреплены

ТЭМУ 1 7г/12 -0,052 -0,052 -0,050 -0,038 -0,012 -0,002 0,000

к/А -0,223 -0,222 -0,216 -0,176 -0,114 -0,100 -0,098

к/2 -0,957 -0,952 -0,908 -0,611 -0,091 0,066 0,088

Ък/А 0,544 0,538 0,486 0,136 -0,484 -0,673 -0,698

Птг/12 0,195 0,192 0,173 0,045 -0,187 -0,259 -0,269

10 ■к/12 0,263 0,262 0,251 0,173 0,011 -0,043 -0,050

к/А 0,298 0,295 0,271 0,098 -0,258 -0,378 -0,395

к/2 -0,873 -0,869 -0,835 -0,597 -0,106 0,060 0,083

Ък/А 0,310 0,306 0,269 0,011 -0,520 -0, 700 -0, 724

Птг/12 0,045 0,043 0,029 -0,074 -0,285 -0,357 -0,367

ТУ 1 тг/12 -0,142 -0,141 -0,132 -0,074 0,019 0,041 0,044

к/А -0,497 -0,494 -0,466 -0,286 0,008 0,085 0,094

к/2 -0,961 -0,956 -0,911 -0,613 -0,090 0,068 0,090

Ък/А -0,341 -0,339 -0,323 -0,213 -0,011 0,054 0,063

Птг/12 -0,069 -0,069 -0,067 -0,050 -0,020 -0,009 -0,008

10 к/12 0,053 0,053 0,056 0,077 0,121 0,136 0,138

к/А -0,292 -0,291 -0,276 -0,168 0,053 0,127 0,138

к/2 -0, 874 -0, 870 -0,837 -0,598 -0,106 0,060 0,083

Ък/А -0,381 -0,379 -0,365 -0,267 -0,064 0,005 0,015

Птг/12 -0,163 -0,163 -0,161 -0,144 -0,110 -0,099 -0,097

Контуры отверстий не подкреплены [10

ТЭМУ 1 к/12 0,201 0,199 0,183 0,078 -0,087 -0,123 -0,127

к/А 0,171 0,169 0,156 0,069 -0,090 -0,142 -0,149

к/2 -0,713 -0, 706 -0,651 -0,284 0,354 0,544 0,569

Ък/А 0,619 0,613 0,566 0,248 -0,314 -0,484 -0,507

Птг/12 0,234 0,232 0,214 0,094 -0,121 -0,188 -0,197

10 к/12 0,209 0,208 0,193 0,089 -0,124 -0,196 -0,206

к/А 0,428 0,425 0,395 0,183 -0,254 -0,402 -0,422

к/2 -0,506 -0,502 -0,466 -0,216 0,300 0,475 0,499

Ък/А 0,467 0,464 0,431 0,199 -0,277 -0,439 -0,461

Птг/12 0,185 0,184 0,171 0,079 -0,110 -0,174 -0,183

ТУ 1 к/12 0,089 0,088 0,081 0,035 -0,041 -0,060 -0,062

к/А -0,054 -0,053 -0,049 -0,021 0,025 0,037 0,039

к/2 -0,661 -0,655 -0, 604 -0,264 0,329 0,505 0,528

Ък/А -0,388 -0,384 -0,354 -0,155 0,193 0,295 0,309

Птг/12 -0,108 -0,107 -0,098 -0,043 0,052 0,079 0,082

10 к/12 0,002 0,002 0,002 0,001 -0,001 -0,002 -0,002

к/А -0,141 -0,140 -0,130 -0,060 0,084 0,132 0,139

к/2 -0,494 -0,490 -0,455 -0,211 0,293 0,463 0,487

Ък/А -0,263 -0,261 -0,243 -0,112 0,156 0,247 0,259

Птг/12 -0,064 -0,064 -0,059 -0,027 0,038 0,060 0,063

Если в численных расчетах пренебрегать электромагнитными свойствами материала пластинки, то получаемые результаты будут искажены, поэтому в расчетах следует учитывать все свойства материала.

1. Желудев И. С. Физика кристаллических диэлектриков / И.С. Желудев. - М.: Наука, 1968.

- 463 с.

2. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред / Ж. Можен. - М.: Мир, 1991.

- 560 с.

3. Партон В.З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел /

B.З. Партон, Б.А. Кудрявцев. - М.: Наука, 1988. - 472 с.

4. Калоеров С.А. Плоская задача термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред /

C.А. Калоеров, О.А. Сорочан // Прикладная механика. - 2009. - Т. 45, № 4. - С. 81-91.

5. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинках с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Вестн. Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2018. - № 1. - С. 15-26.

6. Подстригач Я.С. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно // К.: Наук. думка, 1972. - 308 с.

7. Parihar K.S. Transient heat conduction and analysis of thermal stresses in thin circular plate / K.S. Parihar, S.S. Patil // J. Therm. Stress. - 2011. - Vol. 34, № 4. - P. 335-351.

8. Gaikwad K.R. Analysis of transient thermoelastic temperature distribution of a thin circular plate and its thermal deflection under uniform heat generation / K.R. Gaikwad, Y.U. Naner // J. Therm. Stress. - 2021. - Vol. 44, № 1. - P. 75-85.

9. Roozbahani M.M. Temperature and stress distribution in hollow annular disk of uniform thickness with quadratic temperature-dependent thermal conductivity / M.M. Roozbahani, H. Razzaghi, M. Baghani, M. Baniassadi, M. Layeghi // J. Therm. Stress. - 2017. - Vol. 40, № 7. - P. 828-845.

10. Глушанков Е.С. Термоэлектромагнитоупругое состояние бесконечной многосвязной пье-зопластинки в условиях конвективного теплообмена при действии линейного потока тепла / Е.С. Глушанков // Журн. теорет. и прикладной механики. - 2020. - Вып. 2 (75). -С. 18-29.

11. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.

12. Tian W.-Y. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids / W.-Y. Tian, U. Gabbert // Europ. J. Mech. Part A. - 2004. - Vol. 23. - P. 599-614.

E.S. Glushankov

The investigation of the effect of the convective heat transfer on the thermo-electro-magneto-elastic state of the multiply connected piezoelectric plate with reinforced holes.

In the paper, the results are presented for the investigation of thermo-electro-magneto-elastic state of infinite multiply connected piezoelectric plate under the action of convective heat transfer. The contours of some holes are reinforced. Through the numerical studies, the effects of plates's geometric characteristics, the properties of its material, the characteristic of convective heat transfer, and the holes' reinforcements on the values of the main characteristics of the thermo-electro-vagneto-elastic state of the plate was investigated.

Keywords: linear heat flux, convective heat transfer, multiply connected piezoelectric plate, reinforced contours of holes, thermal stresses, complex potentials.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 02.09.2022

Donetsk National University, Donetsk

evgenij.glushankov@gmail.com