ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМОЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ МНОГОСВЯЗНОЙ ПЬЕЗОПЛАСТИНКИ В СЛУЧАЕ НЕОДНОРОДНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ЕЕ КОНТУРАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№2-3 (67-68) / 2019.

УДК 539.3

©2019. Е.С. Глушанков

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМОЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ МНОГОСВЯЗНОЙ ПЬЕЗОПЛАСТИНКИ В СЛУЧАЕ НЕОДНОРОДНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ЕЕ КОНТУРАХ

В данной работе решена задача определения термоэлектромагнитоупругого состояния многосвязной пластинки из пьезоматериала, когда на ее контурах задано неоднородное распределение значений температуры. Решение построено с использованием конформных отображений и комплексных потенциалов. Для случая пластинки с одним эллиптическим отверстием найдено точное аналитическое решение задачи. В общем случае многосвязности задача решена с применением метода наименьших квадратов.

Ключевые слова: термоэлектромагнитоупругое состояние, температурные напряжения, многосвязная пластинка, комплексные потенциалы.

Введение. В различных областях науки и техники в качестве элементов конструкций широко применяются пластинки из пьезоматериалов. Эти пластинки могут содержать концентраторы напряжений типа отверстий или трещин. В процессе эксплуатации пластинки могут подвергаться действию различных температурных полей, в результате чего в них могут возникать высокие концентрации напряжений [1, 2]. Это следует учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций. К настоящему времени были проведены обширные исследования различных случаев температурных воздействий, в том числе, действия на контурах пластинки разности температур, но при этом распределение температуры на каждом контуре полагалось однородным [3].

В данной работе рассмотрен случай действия неоднородно распределенной температуры на контурах отверстий. Для случая пластинки с одним отверстием построено точное аналитическое решение задачи, а в общем случае многосвязной области для решения задачи применен метод наименьших квадратов. Проведены численные исследования термоэлектромагнитоупругого состояния (ТЭМУС) с выявлением закономерностей влияния геометрии пластинки и свойств ее материала на значения основных характеристик ТЭМУС.

1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную пластинку из пьезоматериала, находящуюся в условиях плоской задачи, занимающую многосвязную область 5, ограниченную контурами эллипти-

ческих отверстий Ьг (I = 1, С) с центрами Ог(жоь Ум)> полуосями а, Ъ[, углами поворота щ (рис. 1). Контуры Ь\ располагаются произвольно относительно друг друга, они могут касаться, пересекаться, переходить в прямолинейные разрезы. В случае наличия криволинейных отверстий

Рис. 1

их контуры можно аппроксимировать совокупностями дуг эллипсов и берегов прямолинейных разрезов. На контурах пластинки заданы непрерывные, гладкие, в общем случае, неоднородные распределения температуры TJ. Контуры не подкреплены либо жестко подкреплены, а нормальные компоненты векторов индукций электромагнитного поля равны нулю. На бесконечности напряжения, компоненты векторов индукции электромагнитного поля равны нулю (а? = а? = т? = D? = D? = B? = B? = 0).

Если несвязанную задачу определения ТЭМУС пластинки решать с использованием комплексных потенциалов, то она сводится к определению комплексного потенциала теплопроводности F5(z^) и комплексных потенциалов термо-электромагнитоупругости &k(zk) (к = 1, 4) из соответствующих граничных условий. Если эти функции определены, то основные характеристики ТЭМУС (температура T, напряжения ах, oy, тху, индукции Dx, Dy, Bx, By и напряженности Ex, Ey, Hx, Hy электромагнитного поля, перемещения u, v, потенциалы ф, ф электромагнитного поля) вычисляются по формулам [3]

T = 2Re F5 (z5)-, (1)

5

(ox, °y, Txy) = 2ReJ2(Vk, 1 -VkWk(zk); (2)

k=i

5

(Dx, Dy, Bx, By ) = 2Re^(vk Vk, -Vk, pk Vk, -pk )$k (zk ); (3)

k=l

5

(Ex, Ey, Hx, Hy ) = -2ReY,(r°k, Vk r0, hk, Vk hk M (zk ); (4)

k=l

5

(u, v, <p,ф) = 2 ReJ2(P°k, Q°k, rQk, h0^k(zk). (5)

k=l

Здесь //5 и /j,k (к = 1, 4) — корни характеристических уравнений теплопроводности и электромагнитоупругости [3, 4]

к22 V2 + 2ki2 V + kii = 0; (6)

A(v) = 0; (7)

A(V) = ¡4s(V)[l2/3 (V)l2x(V) - ¡2v (V)] - ¡3g (V)[l3g (V)l2x (V) - ¡3p(V)l2v (V)\--¡3p(v)[kp (v)h/3 (v) - ¡3g (v)hv (v)], ¡4s (v) = S11V4 + 2si6V3 + (2si2 + s6e)v2 + 2S26 V + S22,

13g (v) = giiv3 - (g2i + gi6)v2 + (gi2 + 926 )v + 922,

¡3p(v) = PiiV3 - (P2i + Pie)v2 + (pi2 + P26)v + P22,

Vк =

Рк =

кр (р) = -ДпР2 + 2ДпР - Д22,

ку (р) = -Уцр + 2иир - V22, кх(Р) = -ХиР2 + 2Х12Р - Х22; 1зР(Рк)ки(Рк) ~ кд(Рк)кх(Рк) п _ -¡—р

к/3 (Рк)12х (Рк ) - Щи (Рк) кд{Рк)кЛРк) ~ кр(Рк)к^(Рк) п _ -т—г

(к = 1,4), г/5 = Л

Г5

кц (Рк )12х (Рк) - ^ (Рк)

(к = 1,4), Рб = —;

Г5

Г 5 =

к(Р5)

А {РЪУ

А (р5)'-

Тш =

к(.Рб)

А {РЪУ

к(рь) =

ка(Р5) кд (Р5) кр(Р5) кг (Рь) к/з (Рь) ки (Рь) кт(рь) ки (Рь) кх (РЬ)

1х (Р5) =

кз(Р5) ка(Р5) кр (Р5) 1зд (рЬ) кгр) ки (рЬ) кр(Рь) кт (рь) кх(Р5)

к (рь) =

кв (рь) кд (Р5) ка(рь) 1зд (Рь ) к/з (Рь ) кг(рь) кр(Р5) кх (Р5) 1\т(Р5)

ка(рь) = -а\р5 + а6Рь - а2,

кг(рь) = ^рь - г2,

кт(рь) = т1 Рь - т2;

Рк = Яцрк - вгбРк + в 12 - (9\\Рк - 912Ук - (РиРк - Р12)Рк +

51а 1.

Гь

Як = «12Рк ~ «26 + — - (921 Рк ~ 922)^к ~ (Р21Рк ~ Р22)Рк +

Рк ГьРь

55

1"к = 9пРк - дтРк + 912 ~ (/5цРк ~ /?12Н - ("и Рк ~ ^п)рк + ,

Г5

Ь°к =рпр1 -Р\фк +Р12 - {VиРк - »12- (хиРк -Х12)рк +

Г5

§5^5) = гь ! ) ахЬ;

кц — коэффициенты теплопроводности материала пластинки; вц — коэффициенты деформации материала, измеренные при постоянных индукциях электрического и магнитного полей и температуре; дц и рц — пьезоэлектрические и пьезомагнитные коэффициенты деформаций и напряженностей, измеренные

и Хи — ко-

при постоянных напряжениях, индукциях и температуре; Д эффициенты диэлектрической, магнитной и электромагнитной проницаемости, измеренные при постоянных напряжениях и температуре; а^ — коэффициенты

теплового расширения, измеренные при постоянной индукции электромагнитного поля; Ьг и — пироэлектрические и пиромагнитные модули, измеренные при постоянных напряжениях; Ь^ — символ Кронекера.

Функции ^5(25), (к = 1,4) определены в многосвязных областях ¿>5,

Б к, получаемых из заданной области 5 аффинными преобразованиями [3, 4]

= X + ц5у, (8)

^ = X + ¡!к у. (9)

В общем случае многосвязной области эти функции имеют вид [3, 4]

С С те

= С5 + + ^2 Сыпфып&ъ); (10)

1=1 1=1 П=1

С С те

Фк^к) = Гкгк + ^2(Аыгк + Вкг^ы^к) + ^ ^ аыпРкы&к). (11)

1=1 1=1 п=1

Здесь с- — вещественная постоянная, определяемая из условий на контурах пластинки; ^ = —цг/Апкт; Цг — суммарный поток тепла через контур Ьг в область Б; ят = л/кцк22 ~ к'(2] £51 ~~ точки, соответствующие при аффинном преобразовании (8) произвольным точкам внутри контуров Ьг; = 1п — г5г); С5гп — комплексные постоянные, определяемые из условий на контурах пластинки; Фып(%5) = С-™'; С5г — переменные; Гк, Акг, В кг — постоянные, определяемые из систем уравнений

^2(1, Vk, ¡4, qk - VkPk, Vk, VkVk, Pk, VkPk)Гк = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (12) к=1

5

J](1, Vk, Pk, qk, Vk, Pk, r0, hk)iAki = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (13)

k=i

5

^2(1, Vk, Pk, qk, Vk, Pk, r0, hk)iBki = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); (14)

k=i

Г5 = Г5С5; A51 = Г5Di; B51 = r5(b5i DiZ51); b5i — вычет функции F5Z) в точке zK; Zki — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (9) произвольным точкам внутри контуров Li; wki = ln (zk - Zki); Pkin(zk) = Z-in; Zki — переменные.

В локальных системах координат Oixiyi параметрические уравнения эллипсов (рис. 1) имеют вид [3, 4]

xi = ai cos 0, yi = bi sin в,

а в основной системе Oxy координат —

x = xoi + xi cos pi - yi sin pi, y = yoi + xi sin pi + yi cos pi,

5

где в — параметр параметрического задания эллипса, изменяющийся от 0 до 2п.

Переменные (ы, Ск1 определяются из конформных отображений внешностей единичных кругов \ > 1, \(к[\ > 1 на внешности эллипсов Ьы, Ьк\, получаемых из Ь1 аффинными преобразованиями (8), (9). Эти конформные отображения имеют вид [3, 4]

где

Rkl —

muí

Zk — Zkl + Rkl ( Ckl + ) ) kkl

Zkl — Xoí + Pk yol,

Щ (cos (fil + pk sin Lpi) + jbl (sill tpi - Hk COS Lpi) 2

Щ (cos LP к + Цк sin LP к) - jbl (sill ipk - Hk COS Lpk) 2 Rkl

(15)

Функция Еь(гь) должна удовлетворять граничному условию [3, 4]

2КвГь&)= ВД. (16)

Функции Фк(%к) (к = 1,4) должны удовлетворять граничным условиям [3, 4]

(dkll, dkl2, dku) фk(tk) — (cll, cl2, clз, cl4)

k=l

где для неподкрепленных контуров Li

(dkll, dkl2, dklз, dku) — (^ Pk, vk, Pk), а для жестко подкрепленных контуров

(dkll, dkl2, dkl3, dkl4) — (Pk, Qk, vk, Pk) •

2. Бесконечная пластинка с одним отверстием.

Рассмотрим бесконечную пластинку с одним эллиптическим отверстием. Обозначим его контур как Li, его полуоси — ai и bi (рис. 2). На контуре отверстия задано непрерывное и гладкое распределение температуры Т1.

Исходя из (10), для комплексного потенциала теплопроводности имеем

<х

n=l z5i

На контуре отверстия x — al cos в, y — bl sin в,

cos в + i sin в — егв — a,

(17)

Li

У

O ai Рис. 2

(18)

(19)

где в — параметр задания эллипса (центральный угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ox против часовой стрелки). Тогда

a ( 1 \ ib ( 1

X=2{a+a)> У = ~2 {a~a

л 1 ( 1 ^ • л i ( 1

cos в = - [ a -\— , sin& = — a--

2 V (т/ 2 V о-

Сб1 = Ck1 = о.

Представим непрерывную и гладкую функцию температуры на контуре T в виде тригонометрического ряда Фурье:

A ж ж

ti(°) = -у + j2ancosne + j2bns[une> (20)

n=1 n=1

где Aq, An, Bn — коэффициенты ряда Фурье, определяемые по формулам

2п 2п 2п

Ао = i У Ti(0)d0, А^1-/Ti (0) cos nOde, Bn = i J Тг(в) sin n9d9.

0 0 о

Учитывая (19), получим

cos пв + i sin пв = вгпв = an,

cos пв = - (V + —У sin пв = --(an-—). (21)

2 V on J 2 \ an J y J

Подставляя (21) в (20), получим

Подставляя (18) и (22) в граничное условие (16) и применив метод рядов, для неизвестных постоянных с-, с-1п получим

Ао Ап — гВп

Сб — . ) С51п

4 ' 4

а функция (18) принимает вид

Fb(z = ^ + (23)

п=1

Интегрируя (23), получим

ж

ФбЫ =Г5^5 + Б511пС51 + Е^, (24)

,__1 Z51

где

^ r5A0 т5Е51 (Ai — iBi) r5R51 (A2 — 1B2) I5-—, -4-' fl511--4-'

r5 R5I i An+i — iBn+i , An-i — iBn-i\

аып = —— -—;--Ь m51--- (n = 2, 3, ...).

4 \ n + 1 n — 1 J

На этой основе для комплексных потенциалов термоэлектромагнитоупруго-сти Фк(гк) (к = 1,4) имеем

те

Ф/сЫ =rkzk + Bkl\n(kl + Y,Y^, (25)

n=i Zki

где Г^, Bki — постоянные, определяющиеся из решений систем (12), (14).

Подставив функции (25) в граничные условия (17) и применив метод рядов, для определения неизвестных постоянных akin получим системы

4

У (dkii, dki2, dki3, dki4) akin — (d5ii5 d5i2, d5i3, d5i4) a5in . .

k=i (26)

(n = 1, 25 3, ...)

После решения этих систем коэффициенты akin и, следовательно, функции $k (zk) станут известными и по ним можно определять значения основных характеристик ТЭМУС в любой точке пластинки по формулам (2)—(5).

Были проведены численные исследования для пластинки из материалов: композит на основе титаната бария-феррита (II) кобальта BaTiO3 — CoFe2O4 (материал М1) [5]; композит на основе PZT — 4 и CoFe2O4 (материал М3) [6]. Физико-механические постоянные этих материалов приведены в табл. 1.

Таблица 1. Постоянные материалов

Величина Материалы Величина Материалы

Ml МЗ Ml МЗ

su/so 7,165 10, 745 ¡З22/Р0 0,137 0,090

S22/S0 6,797 7, 398 vn/vo -0,190 -14,931

«бб/«о 19,912 7, 637 V22/V0 -0,185 -3, 740

«12/«о -2,337 -2,542 Хи/Хо 0,336 0,805

016/до 2,028 2,054 Х22/Х0 0,119 0,704

ff2l/ff0 -0,496 -1,159 «l/ao 8,530 -1,578

922/90 1,157 2,458 0.2/0.0 1,990 -0,326

Р1б/Р0 1,850 98, 843 Ц/to 133,000 2,405

V2\/V0 0,576 12,102 т^/тоо 133,000 0,207

Р22/РО 1,186 22,268 hi/ко 2,500 1,200

Рп/Ро 0,156 0,106 hl/h 2,500 1,500

При этом для нормирующих величин приняты значения:

So = 10-6 МПа-1, g0 = 10-2 МКл-1 • м-2, p0 = 10-5 МТл-1,

во = 103 МН • м2 • МКл-2, v0 = 10-1 МКл-1 • м • МА, Х0 = 10-1 МПа • МТл-1, а0 = 10-6 К-1, t0 = 10-3 МН • (МКл • К)-1, m0 = 10-3 МА • (м • К)-1, k0 = 1 Вт • (м • К)-1.

Указанные материалы относятся к кристаллографическому классу 6mm гексагональной сингонии.

В табл. 2 для пластинки с круговым отверстием радиуса а\ у,, (bl = а1) (рис. 3), на неподкрепленном контуре которого поддерживается температура Tl = cos (в + al) = cos al cos в — sin al sin 0, в зависимости от значения параметра («фазы») al приведены значения нормальных напряжений us в некоторых точках контура

Рис. 3

отверстия на площадках, перпендикулярных к контуру, для задач термоупругости (ТУ), когда не учитываются электромагнитные свойства материала, и термоэлектромагнитоупругости (ТЭМУ), когда учитываются все свойства материала.

Из результатов следует, что при неоднородном распределении температуры по контуру отверстия возникают значительные концентрации напряжений вблизи отверстия. Чем выше степень анизотропности материала, тем сильнее изменяется характер распределения напряжений при изменении параметра a1. Так, в пластинке из материала М1 (с меньшей количественной мерой анизотропии) зона наивысшей концентрации напряжений около контура отверстия равномерно перемещалась по контуру с изменением значения параметра al, а в пластинке из материала М3 (более анизотропного) эта зона оставалась малоподвижной. На распределение напряжений также влияет учет электромагнитных свойств материала, поэтому при проведении расчетов не следует пренебрегать электромагнитными свойствами, а следует учитывать все свойства материала.

3. Многосвязная бесконечная пластинка. В общем случае многосвязной области (рис. 1) неизвестные постоянные С5, Di, C5in, akin определяются из граничных условий (16) и (17) с использованием метода наименьших квадратов (МНК). Для этого на контурах L¿ выбирается система точек M¿m (т = 1 ,M¿), в которых удовлетворяются граничные условия соответствующих задач.

В задаче теплопроводности, при подстановке функции (10) в граничное условие (16), для определения неизвестных постоянных C5, Di, C5in получается система линейных алгебраических уравнений [3, 4]

2с5+ 2Rew5i(t5im)Di+2Re(p5in(t5im)c5in = Ti(t5im) {i = l,C, m = l,M¿), (27)

где t5im = xim + V5yгm, tim = tгm(xгm, yim). Систему (27) можно решать, например, с использованием метода сингулярных разложений [7, 8]. После решения этой системы постоянные C5, Di, C5in, а следовательно, и комплексный потенциал теплопроводности (10) будут известны. По известной функции можно в любой точке найти температуру по формуле (1).

Таблица 2. Значения напряжений ав в точках контура отверстия

Материал Тип задачи в рад. Значения параметра «1

0 тг/12 тг/6 тг/4 тг/3 5тг/12 тг/2

М1 ТЭМУ 0 1,817 1,755 1,573 1,285 0,908 0,470 0,000

тг/12 1,755 1,574 1,285 0,908 0,470 0,000 -0, 470

Тг/6 1,544 1,261 0,891 0,461 0,000 -0,461 -0,891

тг/4 1,121 0,793 0,410 0,000 -0,410 -0,793 -1,121

Тг/3 0,477 0,247 0,000 -0,247 -0,477 -0, 674 -0, 826

5тг/12 -0, 080 0,000 0,080 0,155 0,219 0,268 0,299

тг/2 0,000 0,308 0,595 0,842 1,031 1,150 1,190

7тг/12 0,080 0,155 0,219 0,268 0,299 0,309 0,299

4тг/3 -0, 477 -0, 674 -0, 826 -0,921 -0,953 -0,921 -0, 826

Зтг/2 -1,121 -1,373 -1,531 -1,585 -1,531 -1,373 -1,121

5тг/3 -1,544 -1,722 -1,783 -1,722 -1,544 -1,261 -0,891

Птг/12 -1,755 -1,817 -1,755 -1,574 -1,285 -0,908 -0, 470

ТГ -1,817 -1,755 -1,573 -1,285 -0,908 -0,470 0,000

ТУ 0 -0, 293 -0, 283 -0, 254 -0,207 -0,146 -0,076 0,000

тг/12 -0, 340 -0, 305 -0, 249 -0,176 -0,091 0,000 0,091

Тг/6 -0, 440 -0, 360 -0, 254 -0,132 0,000 0,132 0,254

тг/4 -0,510 -0, 360 -0,187 0,000 0,187 0,360 0,510

7Г/3 -0,471 -0, 244 0,000 0,244 0,471 0,667 0,817

5тг/12 -0, 290 0,000 0,290 0,560 0,792 0,971 1,083

тг/2 0,000 0,308 0,595 0,842 1,031 1,150 1,190

7тг/12 0,290 0,560 0,792 0,971 1,083 1,121 1,083

4тг/3 0,471 0,667 0,817 0,911 0,943 0,911 0,817

Зтг/2 0,510 0,624 0,696 0,721 0,696 0,624 0,510

5тг/3 0,440 0,491 0,509 0,491 0,440 0,360 0,254

Птг/12 0,340 0,352 0,340 0,305 0,249 0,176 0,091

тг 0,293 0,283 0,254 0,207 0,146 0,076 0,000

МЗ ТЭМУ 0 0,135 0,130 0,117 0,095 0,067 0,035 0,000

тг/12 0,150 0,133 0,108 0,075 0,037 -0,004 -0, 044

тг/6 0,172 0,138 0,094 0,044 -0,008 -0,061 -0,109

тг/4 0,149 0,101 0,046 -0,011 -0,068 -0,120 -0,165

тг/3 0,088 0,040 -0,011 -0,061 -0,106 -0,145 -0,173

5тг/12 0,033 -0, 007 -0, 047 -0,083 -0,114 -0,137 -0,151

тг/2 0,000 -0,035 -0,068 -0,096 -0,118 -0,131 -0,136

7тг/12 -0,033 -0,071 -0,105 -0,131 -0,148 -0,155 -0,151

4тг/3 -0,088 -0,130 -0,163 -0,185 -0,194 -0,190 -0,173

Зтг/2 -0,149 -0,186 -0,211 -0,221 -0,217 -0,197 -0,165

5тг/3 -0,172 -0,194 -0, 203 -0,198 -0,180 -0,149 -0,109

Птг/12 -0,150 -0,156 -0,152 -0,137 -0,113 -0,082 -0, 044

тг -0,135 -0,130 -0,117 -0,095 -0,067 -0,035 0,000

В задаче термоэлектромагнитоупругости, граничным условиям (17) удовлетворим в дифференциальной форме, чтобы не определять функции $5(2:5) и неизвестные постоянные Сга, входящие в граничные условия [3, 4]:

4

2Ке^ЛыайьзФ'М = -2Пег151а65,3г5Г5(^) (а = ТД), (28)

к=1

где

&к,з = ^к/йв, С те

Фк(хк) = N(хк) + аыпР'ып^к), (29)

N(хк) = Е

1=1

1=1 п=1

А к 1хк + В к I

Ак11п(хк - хы) +

ф'кЫ&к) - - „ лга-1

хк — хк I П

Кк 1(ПГ (аI — т к О'

При подстановке функций (10) и (29) в условия (28) для определения неизвестных постоянных ак1п получается следующая система линейных алгебраических уравнений [3, 4]:

4 С те

(30)

к=1 1=1 п=1 к=1

(г = 1,£, т = 1,Мг, а = 1,4)

где tк%т — хгт + ркугт.

После решения с использованием сингулярных разложений [7, 8] системы (30) становятся известными постоянные акгп, а следовательно, комплексные потенциалы (11), и по ним можно находить значения основных характеристик ТЭМУС в точках пластинки по формулам (2)—(5) [3, 4]. А если эллипс Ьг является прямолинейным разрезом (Ъ[ = 0), то можно вычислить и коэффициенты интенсивности напряжений, индукций и напряженностей по формулам [9]

к± = 2 Ие ^2 Рк ^п2 уг + еов 2 уI + 2рк вт уг еов уг] М± =1

4

к± = 2 Ие ^2 [(! — Р к) ^п уг еов уг — р к (еов2 уг — вт2 уг )] М± к=1

4

(,к±,к±) = 2Ке^ [(—ик,т0рк) еовуг — {укРк,т°к) втуг] М±, =1

4

(к±, кН) = 2 Ие ^ [(—рк, ЬРк) еов уг — (ркрк, Ь) вт уг] М к

± к

=1

где

1 / те

М± = — ± аг) + Вк1 - ^(±1 )гапаЫга^ .

4

Численными исследованиями было установлено, на значения основных характеристик ТЭМУС, помимо свойств материала пластинки, заметное влияние оказывают геометрические характеристики пластинки. Так, расстояние между отверстиями существенно влияет на значения напряжений в зоне между этими отверстиями и несущественно — вне этой зоны. Если средние температуры на контурах двух отверстий мало отличаются, то при расстояниях, превышающих 10 размеров этих отверстий, влияние одного отверстия на значения основных характеристик ТЭМУС вблизи контура другого отверстия незначительно и им можно пренебречь.

1. Желудев И.С. Физика кристаллических диэлектриков / И.С. Желудев. - М.: Наука, 1968. - 463 с.

2. Партон В.З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел /

B.З. Партон, Б.А. Кудрявцев. - М.: Наука, 1988. - 472 с.

3. Калоеров С.А. Плоская задача термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред /

C.А. Калоеров, О.А. Сорочан // Прикладная механика. - 2009. - Т. 45, № 4. - С. 81-91.

4. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинках с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков// Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2018. - № 1. - С. 15-26.

5. Tian W.-Y. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids / W.-Y. Tian, U. Gabbert // Europ. J. Mech. Part A. - 2004. - Vol. 23. - P. 599-614.

6. Hou P.-F. Three-dimensional Green's function for a point heat source in two-phase transversely isotropic magneto-electro-thermo-elastic material / P.-F. Hou, G.-H. Teng, H.-R. Chen// Mech. Mat. - 2009. - Vol. 41. - P. 329-338.

7. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.

8. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.

9. Калоеров С.А. Определение коэффициентов интенсивности напряжений, индукции и напряженности для многосвязных электроупругих многосвязных сред / С.А. Калоеров // Прикладная механика. - 2007. - Т. 43, № 6. - С. 56-62.

E.S. Glushankov

Determiming the thermo-electro-magneto-elastic state of multiply connected piezoelectric plate in case of inhomogeneously distributed temperature acting on its contours.

The problem of deteremining the thermo-electro-vagneto-elastic state of multiply connected piezoelectric plate with inhomogeneously distributed temperature acting on its contours is solved. The solution is constructed with using the conformal mappings and complex potentials. In case of a plate with one elliptic hole an exact solution is constructed. In general case of multiply connected plate the problem is solved with using the least squares.

Keywords: thermo-electro-magneto-elastic state, thermal stresses, multiply connected plate, complex potentials.

ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», г. Донецк Получено 15.05.2019

evgenij.glushankov@gmail.com