CC BY
5ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№4 (69) / 2019.
УДК 539.3 : 536.21
©2019. Е.С. Глушанков
К ВОПРОСУ КОРРЕКТНОСТИ ПРИНЦИПА СТАБИЛЬНОСТИ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ДЛЯ ЗАДАЧИ О ДЕЙСТВИИ ЛИНЕЙНОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА В МНОГОСВЯЗНОЙ ПЬЕЗОПЛАСТИНКЕ
В данной работе рассмотрен вопрос корректности принципа стабильности теплового потока в задаче о действии линейного теплового потока в многосвязной пластинке из пьезоматериала. С помощью численных исследований термоэлектромагнитоупругого состояния многосвязной пластинки установлено, что принцип может нарушаться, объяснены физические причины нарушения, показано влияние на термоэлектромагнитоупругое состояние пластинки. Ключевые слова: принцип стабильности теплового потока, линейный тепловой поток, температурные напряжения, многосвязная пластинка, комплексные потенциалы.
Введение. Во многих областях науки и техники в качестве конструкционных элементов широко используются пластинки из пьезоматериалов [1]. По технологическим или эксплуатационным причинам эти пластинки могут содержать концентраторы напряжений типа отверстий или трещин. В процессе эксплуатации пластинки могут подвергаться температурному воздействию, которое может порождать высокие концентрации напряжений в пластинке. Это необходимо учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций [2, 3]. К настоящему времени были проведено множество исследований температурного воздействия [4], в том числе, действия линейного (однородного) теплового потока [5].
В работе [6] Вейник А.И., основываясь на аналогиях из теории упругости (принцип Сен-Венана) и гидродинамики (свойство стабильности потока вязкой жидкости) и сходстве дифференциальных уравнений теории упругости и теории гидродинамики с дифференциальными уравнениями теплопроводности, предположил существование подобного принципа и в теории теплопроводности. Пользуясь также практическими результатами, он выдвинул общее предположение: «Любое местное возмущение данного температурного поля является локальным и не распространяется на отдаленные участки поля» [6]. Это свойство он назвал принципом стабильности теплового потока [6].
Результаты многих исследований [4, 5] и др. входят в соответствие с принципом стабильности теплового потока.
В данной работе исследован вопрос корректности принципа стабильности теплового потока для задачи о действии линейного теплового потока в многосвязной пьезопластинке. Проведены численные исследования термоэлектромаг-нитоупругого состояния (ТЭМУС) находящейся под действием линейного теплового потока пьезопластинки с двумя отверстиями, в которых показано влияние
У/А
Рис. 1
геометрических характеристик пластинки на корректность принципа стабильности теплового потока (на температурное поле в пластинке) и, как следствие, на распределение напряжений в пластинке.
1. Постановка и решение задачи о действии линейного теплового потока в многосвязной пьезопластинке. Рассмотрим пластинку из пьезо-материала, занимающую бесконечную многосвязную область 5, ограниченную контурами эллиптических отверстий Ь1 (I = 1, С) с центрами Ог(жоьУсц)) полуосями щ, Ъ, углами поворота щ (рис. 1). Контуры Ь[ могут располагаться произвольно относительно друг друга, в том числе, касаться, пересекаться,
переходить в прямолинейные разрезы. Контуры криволинейных отверстий можно аппроксимировать совокупностями дуг эллипсов и берегов прямолинейных разрезов. На контурах пластинки заданы значения температуры Т либо плотности теплового потока д\п. Контуры не подкреплены либо жестко подкреплены. На бесконечности под углом а к оси Ох действует линейный тепловой поток плотности д, а напряжения и индукции электромагнитного поля равны нулю.
Если несвязанную задачу определения ТЭМУС пьезопластинки решать с использованием комплексных потенциалов, то она сводится к определению сперва комплексного потенциала теплопроводности ^5(25), а затем комплексных потенциалов термоэлектромагнитоуиругости Ф^(-г^) (к = 1, 4) из соответствующих граничных условий. После определения этих функций значения основных характеристик ТЭМУС (температура Т, плотности теплового потока дх, ду, напряжения ах, иу, тху, индукции Бх, Бу, Вх, Ву и напряженности Ех, Еу, Нх, Ну электромагнитного поля, перемещения и, V, потенциалы щ, ф электромагнитного поля) в точках пластинки вычисляются по формулам [4, 5]
Т = Т * + 2И,е ^5(25); (дх,ду) = (дх,д*) - 2Иегкт(Р5,1)^5(25);
(1) (2)
(3)
(&х, Су, тху) = 2Ве^2(р1, 1 -Рк)ф'к(2к); к=1
5
(Бх, Ву, Вх, Ву) = 2Я,е^2(икрк, -Ук, РкРк, -рк)Ф'к(*к); (4
к=1
5
(Ех, Еу, Нх, Ну) = (Ех, Е*, Н*х, Н*) - 2 Ие^к, Рк т°к, $, рк К )Ф'к(*к); (5
к=1
5
(и, V, щ, ф) = (и*, V*, щ*, ф*) + 2Ие^(Рк, дк, г0, $)Фк2). (6
к=1
5
К вопросу корректности принципа стабильности теплового потока
Здесь
T * = q(txx + ty y),
tX -
k22 cos a — ki2 sin a
к
ty =
kn sin a — ki2 cos a
T
к
T
>4 = \Jkuk22 - k\2] qX — —q cos a, q* — —q sin a; pe - корни характеристических уравнений теплопроводности
k22 p2 + 2ki2 p + kii — 0;
(7)
и fik (к = 1, 4) - корни характеристических уравнений электромагнитоупругости
[4, 5]
ДР = l4s (p)[l2/3 (p)l2x ip) — l2v (p)] — l3g (p)[l3g (p)l2x(p) — l3p(p)l2v (p)\ — (8)
— hp(v)[hp (p)hfi (p) — hg (p)l2v (p)] — 0, lis (p) = Slip4 + 2S16P3 + (2Si2 + S66)p2 + 2S26P + S22,
hg (p) = giip3 — (g2i + gw)p2 + (m + 926 )p + 922,
l3p(p) = Pii p3 — (P2i + pie)p2 + (pi2 + p26)p + P22, h/3 (p) = —Piip2 + 2fii2p — $22, hv (p) = —Viip2 + 2Vi2 p — V22, l2x(p) = —xiip2 + 2xi2p — X22;
Vk = hp{Pk)hu{Pk) - hg(Pk)hx(Pk) ^ = YJ^ U5 = ?2L hfÁPk)l2x(Pk) - ЩЛрк) ' Гь
hg(Pk)hÁPk) - hp{Pk)hfj{Pk) n T-r, Гш
Pk =-j—-f—r;—-f—^--pn—^- {K = J-, 4), P5 = —;
• r5
l2l3 (pk)l2x(pk) — lL (pk) hp) _ lx(p5)
Г5
ДЫ'
hp) =
l2a(p5) l3g (p5) l3p (p5) lit p) h/3 p) l2v p) lim p) l2v (p5) l2x (p5)
ДЫ'-
lx (p5) =
_ Lp)
~ AW
l4s(p5) l2a(p5) l3p (p5)
l3g p) litp) l2v p)
l3p (p5) lim p) l2x(p5)
l4s (p5) l3g (p5) l2a(p5) L (p5) = hg (pe) h/3 p) litp) l3p(p5) l2x(p5) lim(p5)
hap) = —aip5 + a6p5 — a2,
litp) = tp — t2,
11т(Р5) = т1 ¡15 - т2;
Рк = «п/4 - «16/¿к + «12 - (диц-к - д\2)^к - (риц-к - рп)рк + ^
г5
Як = «12Цк - «26 + — - (921- 922^к - (Р21^к - р22)рк +
¡¡к Г 5 ¡5
55 ¿1
гк = 911 /4 - 91бЦк + 912 ~ (РпЦк - /З12Н - ("пЦк - "12)рк + —,
г5
« - рш4 - + м - Си» - - Сш» - хпЫ + &21;
г5
(Ех, Е*, Нх, Ну) = (¿1,12,т1,т2)Т*;
* а1д/х 2 ^¿х - а^Ьу)д 2 ,
и = --2-У а1Ц1ухУ>
* а2дЬу 2 (а1 ¿у - абЬх)д 2 , ,
V* = уг---хг + а2дгхху,
Ь1дЬх 2 Ь2дЬу 2 11
V =--ж--2 ~ Ь&хЯУ'
т1дЬх 2 т2дЬу 2 ,
Ф =---—Ж--2 у - т1 &хху;
Ф5(25) = Г5 ! Е5(25) АХ5;
кц — коэффициенты теплопроводности материала пластинки; в^ — коэффициенты деформации материала, измеренные при постоянных индукциях электрического и магнитного полей и температуре; д^ и ргз — пьезоэлектрические и пьезомагнитные коэффициенты деформаций и напряженностей, измеренные при постоянных напряжениях, индукциях и температуре; вгз, ^ и хгз — коэффициенты диэлектрической, магнитной и электромагнитной проницаемости, измеренные при постоянных напряжениях и температуре; аг — коэффициенты теплового расширения, измеренные при постоянной индукции электромагнитного поля; Ьг и тг — пироэлектрические и пиромагнитные модули, измеренные при постоянных напряжениях; 53 — символ Кронекера.
Функции ^5(25), Фк(%к) (к = 1,4) определены в многосвязных областях ¿>5, Б к, получаемых из области 5 аффинными преобразованиями [4, 5]
25 = х + ¡5У. (9)
2к = х + 1кУ• (10)
В общем случае эти функции имеют вид [4, 5]
С С <х
Р5(25) = С5 + ^ П1™51(25) + ^ ^ С5ПЩ51п(25); (11)
1=1 1=1 п=1
К вопросу корректности принципа стабильности теплового потока С С <х
Фк(гк) = Гкгк + + Бы^ы^к) + ^ ^ аыпРкы^к)■ (12)
1=1 1=1 П=1
Здесь С5 — вещественная постоянная, определяемая из условий на контурах пластинки; = -д[/4пкт; — суммарный тепловой поток через контур Ь[ в область 5; w5l(г5) = 1п (г5 — г51); г51 — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (9) произвольным точкам внутри контуров С51п — комплексные постоянные, определяемые из условий на контурах пластинки; ) = С-";
Гк, Ак1, Бк1 — постоянные, определяемые из систем уравнений
5
^2(1, Vk, Vk, Qk - VkPk, Vk, VkVk, Рк, VkPk)Гк = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0);
5
Vk, Pk, Qk, Vk, Pk, rI, hk)iAki = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0);
k=l
5
k=l
5
Vk, Pk, Qk, Vk, Pk, rk, hk)iBki = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0);
k=l
Г5 = Г5С5; A51 = r5Di; B51 = r5(^51 DiZ51); b5i — вычет функции F5(z5) в точке Z51; Wki = ln (zk — Zki); Zki — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (10) произвольным точкам внутри контуров Li; <£kin(zk) = Z-Г-
В локальных системах координат Oixiyi параметрические уравнения эллипсов (рис. 1) имеют вид [4, 5]
xi = ai cos 0, yi = bi sin в,
а в основной системе Oxy координат —
x = xki + xi cos vi — yi sin pi, y = yki + xi sin pi + yi cos pi,
где в — параметр параметрического задания эллипса (0 < в < 2п).
Переменные Z5i, Zki определяются из конформных отображений [4, 5]
Zk = zki + Rki (сы + ' (13)
внешностей единичных кругов |Z5i| > 1, IZkil > 1 на внешности эллипсов L5i, Lki, получаемых из Li аффинными преобразованиями (9), (10) . Здесь
Rki = mki =
Zki = xki + Vkyki,
Щ (cos tpi + Hk sin Lpi) + ibi (sill Lpi - Hk COS щ) 2
Щ (cos tpk + Hk sin <fk) - ibi( Sin tpk - ¡лк COS Lpk) 2Rki
Функция F5(z^) должна удовлетворять граничному условию [4, 5]
2Redi F5(t5) = fi(t), (14)
в котором в случае задания значений температуры Ti
di = 1, fi = Ti, а в случае задания плотности теплового потока qin
s
di = гкт, fi = j (qn - qin) ds + cA.
0
Функции Фk(zk) (k = 1,4) должны удовлетворять граничным условиям [4, 5] 5
2Re^2(dkn, dki2, dki3, dkU)$k(tk) = (fii(t), Mt), fi3(t), fu(t)), (15) k=i
где для неподкрепленных контуров Li
(dkiU dki2, dkl3, dki4) = (1, Pk, vk, Pk) ,
(fil(t), fi2(t), fi3(t), fu(t)) = (Ci1, Ci2, Ci3, CiA) , а для жестко подкрепленных контуров
(dkl1, dki2, dkl3, dki4) = (Pk, qk, vk, Pk) ,
(fil(t), fi2(t), fi3(t), fi4(t)) = (-П*, -V*, Ci3, Ci4) .
В общем случае многосвязной области (рис. 1) неизвестные постоянные C5, Di, C5in, akin определяются из граничных условий (14) и (15) с использованием метода наименьших квадратов (МНК). Для этого на контурах Li выбирается система точек Mjm (т = 1, Mi), в которых удовлетворяются граничные условия соответствующих задач.
В задаче теплопроводности при подстановке функции (11) в граничное условие (14) для определения неизвестных постоянных C5, Di, C5in получается система линейных алгебраических уравнений [4, 5]
2 Re diC5 + 2 Re diW5i(t5im)Di + 2 Re diIfi5in(t5im)C5in — fi(tim) , .
_ _ (16)
(i = 1, С, m = 1, Mi),
где t5im = Xim+H5Vim, tim = tim(xim, Vim). Систему (16) можно решать с использованием метода сингулярных разложений [7, 8]. После решения этой системы постоянные C5, Di, C5in, а следовательно, и комплексный потенциал теплопроводности (11) будут известны. По известной функции можно в любой точке найти температуру и плотности потока тепла по формулам (1)—(2).
К вопросу корректности принципа стабильности теплового потока
В задаче термоэлектромагнитоупругости граничным условиям (15) проще удовлетворить в дифференциальной форме, чтобы не определять функции ФбС^б) (коэффициенты а^[п) и неизвестные постоянные са, входящие в граничные условия. Дифференцируя (15) по дуге контура в, получим [4, 5]
211е^41а6к,8Ф'к(*к) = -21^^55,^5^5(45) (« = М), (17) к=1
где
$к,з = ЛЬк/йв,
С оо
Ф'к (Zk) = N'k (zk) + akln^'kln(Zk), (18)
N (zk) = £
1=1
l=1 n=1
Aklzk + Bkl
Aki ln(zk - Zkl) +
zk - zkl n
^^'ШкГЧаг-гпкгУ
При подстановке функций (11) и (18) в условия (17) для определения неизвестных постоянных akln получается следующая система линейных алгебраических уравнений [4, 5]:
4 L <х 4
Redkia^k )akln = -2Re^ dkia^k,sN'k (tkim)-
k=1 l=1 n=1 k=1 (19)
-2Red5ia55tSr5F5(t5im) + ^-(tim) (i = l,C, m = l,Mi, a = 1,4)
где tkim — xim + t^kVim-
Систему (19) можно решать с использованием метода сингулярных разложений [7, 8]. После решения этой системы постоянные akln, а, следовательно, комплексные потенциалы термоэлектромагнитоупругости (12) будут известны, и по ним можно находить значения основных характеристик ТЭМУС в точках пластинки по формулам (3)-(6) [4, 5].
2. Численные исследования. При проведении численных расчетов количество членов в рядах Лорана в функциях (11) и (12) и точек Mi на контурах Li, для которых составлялись системы линейных алгебраических уравнений (16) и (19), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (относительная погрешность не становилась менее сотых долей процента). Для этого, как показали исследования, в решаемых задачах, в зависимости от геометрических и упругих характеристик пластинок необходимо было в указанных рядах оставлять от 30 до 40 членов, на каждом из контуров брать от 200 до 400 «коллокационных точек».
Были проведены численные исследования для пластинки из композита на основе титаната бария-феррита (II) кобальта БаТЮ3 — СоГв204 [9]. Физико-механические и теплофизические постоянные приведены в табл. 1.
Таблица 1. Постоянные материала
Величина Значение Величина Значение
sn/s0 7,165 ß22/ßo 0,137
«22/«0 6,797 VH/VQ -0,190
«бб/«о 19,912 V22/V0 -0,185
Sl2 / S§ -2,337 Xn/Xo 0,336
gm/до 2,028 X22/X0 0,119
92i/go -0,496 <y.i/a0 8,530
922/90 1,157 0.2/0.0 1,990
pw/po 1,850 t2/t0 133,000
V2l/V0 0,576 m2/m0 133,000
P22/P0 1,186 kn/ko 2,500
ßll/ßo 0,156 ^22/ко 2,500
При этом приняты обозначения:
¿о = 10-6 МПа-1, д0 = 10-2 МКл-1 • м2, р0 = 10-5 МТл-1,
во = 103 МН • м2 • МКл-2, и0 = 10-1 МКл-1 • м • МА, %0 = 10-1 МПа • МТл-1, а0 = 10-6 К-1, г0 = 10-3 МН • (МКл • К)-1, т0 = 10-3 МА • (м • К)-1, к0 = 1 Вт • (м • К)-1.
Данный материал относится к кристаллографическому классу 6тт.
Рассматривался случай действия линейного теплового потока под углом а = п/2 рад. в пластинке с двумя одинаковыми круговыми отверстиями радиуса а (а1 = Ь1 = а2 = Ь2 = а), расстояние между которыми равно с, расположенными вдоль направления теплового потока (рис. 2), когда на неподкрепленных контурах отверстий задана температура Т1 = Т2 = 0.
В табл. 2, с точностью до плотности линейного теплового потока д как множителя, приведены значения плотности теплового потока дп через контур нижнего отверстия по направлению нормали в некоторых точках контура в зависимости от центрального угла в, отсчитываемого от положительного направления оси Ох. В табл. 3 приведены значения нормальных напряжений а3 в некоторых точках контура нижнего отверстия на площадках, перпендикулярных контуру, при некоторых значениях отношения с/а, для задач термоупругости (ТУ), когда не учитываются электромагнитные свойства материала, и термоэлектромагнитоупругости (ТЭМУ), когда учитываются все свойства материала.
По контуру верхнего отверстия значения плотности теплового потока и напряжений имеют распределены симметрично, но с противоположным знаком.
К вопросу корректности принципа стабильности теплового потока Таблица 2. Значения плотности теплового потока в точках контура нижнего отверстия
рад. Значения с/ а
0,01 0,1 0,5 1 2 10 100
—тг/2 -2,469 -2,488 -2,568 -2,664 -2, 845 -4, 030 -12,811
—5тг/12 -2,408 -2,426 -2,507 -2,604 -2, 786 -3,971 -12,750
—тг/З -2,228 -2,247 -2,330 -2,428 -2,612 -3, 800 -12,571
—тг/4 -1,947 -1,966 -2,051 -2,152 -2, 340 -3, 530 -12,287
—тг/6 -1,588 -1,609 -1,697 -1,801 -1,992 -3,181 -11,916
—тг/12 -1,188 -1,209 -1,300 -1,406 -1,600 -2, 780 -11,485
0 -0, 786 -0,808 -0, 900 -1,007 -1,199 -2,356 -11,023
тг/12 -0,432 -0,453 -0,541 -0,643 -0, 826 -1,941 -10,562
тг/6 -0,172 -0,189 -0,263 -0,351 -0,513 -1,563 -10,132
тг/4 -0,035 -0,045 -0,091 -0,154 -0,281 -1,245 -9, 764
7г/3 -0,001 -0,003 -0,018 -0,050 -0,134 -1,006 -9,481
5тг/12 0,000 0,000 -0,002 -0,012 -0, 060 -0, 858 -9, 304
7Г/2 0,000 0,000 0,000 -0,004 -0,038 -0, 808 -9, 243
Из результатов следует, что отношение с/а значительно влияет на значения плотности теплового потока и напряжений, особенно в зоне между отверстиями.
Таблица 3. Значения напряжений ав в точках контура нижнего отверстия
Тип задачи 0, рад. Значения с/ а
0,01 0,1 0,5 1 2 10 100
ТЭМУ -тг/2 -0, 860 -0, 876 -0,946 -1,032 -1,204 -2, 694 -21,305
-5тг/12 -0, 203 -0, 206 -0,216 -0,227 -0,250 -0, 508 -4,542
—7г/3 0,662 0,678 0,750 0,841 1,025 2,481 18,982
—ТГ /4 0,960 0,984 1,091 1,226 1,498 3,719 29,871
—7г/6 0,886 0,910 1,020 1,158 1,439 3,791 32,261
-тг/12 0,675 0,698 0,798 0,926 1,187 3,463 31,739
0 0,446 0,466 0,556 0,670 0,912 3,134 31,126
тг/12 0,250 0,268 0,347 0,453 0,687 2,953 31,281
тг/6 0,108 0,122 0,187 0,284 0,519 2,863 31,418
тг/4 0,025 0,032 0,073 0,153 0,377 2,606 28, 847
тг/З -0,001 -0, 002 0,000 0,048 0,209 1,696 18,251
5тг/12 -0,001 -0,011 -0,031 -0,025 -0,012 -0, 226 -4,273
тг/2 -0, 009 -0,031 -0,038 -0,051 -0,148 -1,592 -20, 260
ТУ -тг/2 -1,097 -1,127 -1,259 -1,421 -1,736 -4,068 -28,472
—5тг/12 -1,012 -1,040 -1,163 -1,315 -1,608 -3, 785 -26,621
-тг/З -0, 797 -0,819 -0,920 -1,044 -1,283 -3,061 -21,880
-тг/4 -0,531 -0, 547 -0,619 -0, 707 -0,876 -2,147 -15,896
-тг/6 -0,281 -0,291 -0,333 -0,384 -0,483 -1,264 -10,123
-тг/12 -0,093 -0,097 -0,112 -0,132 -0,177 -0, 592 -5,803
0 0,009 0,010 0,011 0,007 -0,016 -0, 303 -4,140
тг/12 0,031 0,034 0,037 0,025 -0,021 -0,468 -5,703
тг/6 0,015 0,016 0,001 -0,045 -0,158 -0, 994 -9,885
тг/4 0,002 -0,001 -0,060 -0,166 -0,372 -1,704 -15,471
тг/З 0,001 -0,012 -0,155 -0,331 -0,619 -2,433 -21,243
5тг/12 -0, 002 -0,062 -0,312 -0,516 -0,839 -3,005 -25, 804
тг/2 -0, 045 -0,182 -0,417 -0,610 -0,932 -3,228 -27, 584
Однако гораздо более существенно на значения плотности теплового потока и напряжений влияет ориентация отверстий относительно направления действия теплового потока. Так, из результатов, приведенных в работе [5], видно, что если отверстия расположены поперек направления теплового потока, то при увеличении расстояния между отверстиями значения напряжений около их контуров стремятся к конечным значениям для случая пластинки с одним отверстием [10]. Если же отверстия расположены вдоль направления теплового потока, то, как установлено в данной работе, при увеличении расстояния значения напряжений резко возрастают. Это связано с резким увеличением плотности теплового потока вблизи контуров отверстий, поскольку одно отверстие оказывается в более холодной зоне, второе отверстие — в более горячей зоне, и при удалении отверстий контраст температур около отверстий нарастает.
Из результатов, полученных для пластинки с двумя теплоизолированными отверстиями следует, что в этом случае температура на контурах отверстий приближается к локальной температуре материала, плотности теплового потока изменяются слабо, а следовательно, слабо изменяется и ТЭМУС. Возрастание концентрации напряжений около отверстий при увеличении расстояний между ними не наблюдается.
Таким образом, если в пластинке с одним круговым отверстием, на контуре которого заданы значения температуры, на большом расстоянии по направлению теплового потока добавить второе отверстие с такими же условиями на контуре, то температурное поле около первого отверстия резко и существенно изменится (нарушается принцип стабильности теплового потока), вследствие чего существенно изменится и ТЭМУС. Если же контуры отверстий теплоизолированы, то нарушения принципа не происходит.
1. Желудев И. С. Физика кристаллических диэлектриков / И.С. Желудев. - М.: Наука, 1968. - 463 с.
2. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред /Ж. Можен. - М.: Мир, 1991. -560 с.
3. Партон В.З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел /
B.З. Партон, Б.А. Кудрявцев. - М.: Наука, 1988. - 472 с.
4. Калоеров С.А. Плоская задача термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред /
C.А. Калоеров, О.А. Сорочан// Прикладная механика. - 2009. - Т. 45, № 4. - С. 81-91.
5. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинках с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2018. - № 1. - С. 15-26.
6. Вейник А.И. Приближенный расчет процессов теплопроводности / А.И. Вейник. - М.: Госэнергоиздат, 1959. - 184 с.
7. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.
8. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.
9. Tian W.-Y. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids / W.-Y. Tian, U. Gabbert // Europ. J. Mech. Part A. - 2004. - Vol. 23. - P. 599-614.
10. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинах / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков// Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2017. - № 1. - С. 12-25.
К вопросу корректности принципа стабильности теплового потока E.S. Glushankov
To the problem of correctness of the principle of heat flux stability in the problem of linear heat flux action in multiply connected piezoelectric plate.
A problem of correctness of the principle of heat flux stability is considered for the problem of linear heat flux action in multiply connected piezoelectric plate. With the numerical studies of the thermo-electro-magneto-elastic state of the multiply connected plate it is found out the principle can be violated, its physical cause is explained, its influence on the thermo-electro-magneto-elastic state is shown.
Keywords: the principle of heat flux stability, linear heat flux, thermal stresses, multiply connected plate, complex potentials.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 23.09.2019
evgenij.glushankov@gmail.com
