ДЕЙСТВИЕ ЛИНЕЙНОГО ПОТОКА ТЕПЛА В МНОГОСВЯЗНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ИЗ ПЬЕЗОМАТЕРИАЛА Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№1 (70) / 2020.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3

©2020. Е.С. Глушанков

ДЕЙСТВИЕ ЛИНЕЙНОГО ПОТОКА ТЕПЛА В МНОГОСВЯЗНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ИЗ ПЬЕЗОМАТЕРИАЛА

В данной работе с использованием конформных отображений и комплексных потенциалов решена задача определения термоэлектромагнитоупругого состояния многосвязной полуплоскости из пьезоматериала, находящейся под действием линейного потока тепла. Определение неизвестных постоянных, входящих в комплексные потенциалы, проводилось из граничных условий с использованием метода наименьших квадратов. Численными исследованиями установлены закономерности влияния геометрических характеристик пластинки и свойств ее материала на концентрацию напряжений в пластинке.

Ключевые слова: линейный поток, тепла термоэлектромагнитоупругое состояние, полуплоскость, температурные напряжения, комплексные потенциалы.

Введение. К настоящему времени разработаны различные методы решения задач термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред, приведены решения ряда задач о действии разности температур в многосвязной пластинке [1, 2], а также в многосвязной полуплоскости [3]. Также имеются решения задач о действии линейного потока тепла в бесконечной многосвязной пьезопластин-ке [4, 5]. В данной работе решена задача о действии линейного потока тепла в многосвязной полуплоскости из пьезоматериала.

1. Постановка задачи. Рассмотрим находящуюся в условиях плоской задачи пластинку из пьезоматериала, отнесенную к декартовой системе координат Оху, занимающую многосвязную полуплоскость 5, ограниченную контурами эллиптических отверстий

(I = 1, С) и прямолинейной границей Ь+ (рис. 1). Обозначим центры эллипсов через Ог(хоьУог), полуоси эллипсов — щ, углы поворота эллипсов — фI, угол поворота прямолинейной границы — . Контуры пластинки могут располагаться произвольно относительно друг друга, в том числе, касаться, пересекаться, переходить в прямолинейные разрезы. Контуры криволинейных отверстий можно аппроксимировать совокупностями дуг эллипсов и берегов прямолинейных разрезов. На контурах

Рис. 1

пластинки заданы значения температуры Т либо плотности потока тепла д\п (I = 1; С + 1). Значения при I = С + 1 относятся к прямолинейной границе. Контуры пластинки не подкреплены либо жестко подкреплены. На бесконечности под углом а к оси Ох действует линейный поток тепла плотности д, а напряжения и индукции электромагнитного поля равны нулю (а£° = а? = = Б? = Б? = Б? = В? = 0).

Следуя [2, 5], несвязанная задача определения термоэлектромагнитоупруго-го состояния (ТЭМУС) многосвязной полуплоскости, сводится к последовательному определению комплексного потенциала теплопроводности ^5(25), а затем комплексных потенциалов термоэлектромагнитоупругости Фк{%к) (к = 1, 4) из соответствующих граничных условий. После их определения значения основных характеристик ТЭМУС в точках пластинки (температура Т, плотности потока тепла дх, ду, напряжения ах, ау, тху, индукции Б х, Бу, Бх, Бу и напряженности Ех, Еу, Нх, Ну электромагнитного поля, перемещения и, V, потенциалы V, ф электромагнитного поля) можно вычислять по формулам [2, 5]

Т = Т * + 2И,е Б5(г5)] (1)

(дх,ду) = (д**,д*) - 2ЪеЫт(цъ, 1)б5Ы; (2)

5

.2

(ах, ау, тх у) = 2^е^(цк, 1 -Цк )фк(2к), (3)

к=1

5

(Бх, Бу, Бх, Бу) = 2Ъе^(ик Цк, -Vк, Рк Цк, -рк )Ф'к (2к); (4)

к=1

5

(Ех, Еу, Нх, Ну) = (Е**, Е*, Н*, Н*) - 2Ъе^(г1, Цк т°к, ^, Цк Ь°к ); (5)

к=1

5

(и, V, V, ф) = (и*, V*, <р*, ф*)+2Ъе^(Рк, дк, г0, $)Фк2). (6)

к=1

Здесь

Т * = д(ЬхХ + Ьу у),

к22 сое а — ки ё'т а кц вт а — ки сое а

х = 172 ' у = ~2 '

Кт Кт

= \/кцк22 ~ к\2]

дх = -д сов а, ду = -д 8т а

¿¿5 и А4к (к = 1, 4) — корни характеристических уравнений теплопроводности и электромагнитоупругости [2, 5]

к22 Ц2 + 2кХ2 Ц + ки = 0; (7)

A(ß) = 0;

A(ß) = lis (ß)[l2ß (ß)l2x (ß) - l2v (ß)] - l3g (ß)[l3g (ß)l2x (ß) - l3p(ß)l2v (ß)\--l3p(ß)[l3p(ß)l2ß (ß) - l3g (ß)hv (ß)], lis(ß) = Sllß4 + 2Sl6ß3 + (2Sl2 + S66)ß2 + 2S26ß + S22,

l3g(ß) = guß3 - (g2l + gl6)ß2 + (gl2 + g26)ß + g22,

l3p(ß) = PllßS - (P2l + Pl6)ß2 + (Pl2 + P26)ß + P22, l2ß (ß) = -ßllß2 + 2ßl2ß - ß22, hv (ß) = -Vllß2 + 2Vl2 ß - V22, l2x(ß) = -Xllß2 + 2Xl2ß - X22;

Vk

Pk

hp{ßk)hv{ßk) — hg{ßk)hxißk) hß{ßk)hx{ßk) - l22V(ßk)

hg{ßk)hv{ßk) — hp{ßk)hß{ßk) l2ß (ßk)l2x (ßk) - l2v (ßk)

(k = 1,4), г/5 = Л

r5

{k = i,4), P5 = — ;

r5

r5=

h(ßb) A(/X5):

A(/x5);

гш =

lb(ßb) =

l2a (ßb) l3g (ßb) l3p(ßb) llt (ßb) l2ß (ßb) l2v (ßb) llm(ßb) l2v (ßb) l2x (ßb)

lx (ß5) =

L(ßb) %)'

l4s(ßb) l2a(ßb) l3p (ßb)

l3g (ßb) llt(ßb) l2v (ßb)

hp(ßb) llm (ßb) l2x(ßb )

l4s (ßb) l3g (ßb) ha (ßb) L (ßb) = l3g (ßb ) hß (ßb ) llt(ßb) l3p(ßb) l2x (ßb) llm(ßb)

ha (ßb) = -alßb + a6ßb - a2,

llt(ßb) = tlßb - t2,

llm(ßb ) = ml ßb - m2;

Pk = Sllßl - SWßk + S12 - (gußk - 9u)Vk - (Pllßk - pn)pk + !

rb

Qk = Sl2ßk - S26 + — - (921 ßk - 922)vk - (V2lßk - P22)pk +

ßk rbßb

ßb t

ri = gnßl - gmßk + g 12 - (Aißk - A2H - (vUßk - ^12)pk + k

rb b

h°k = Pllßk - Pl6ßk + Pl2 - (Vllßk - Vl2)Vk - (Xllßk - Xl2)pk +

(Ex, E*, Hx, H*) = (tl,t2,ml,m2)T * ;

¿¡mi

rb

* агдЬх 2 (а2Ьх - а6Ьу)д 2 ,

и = ----—у + а^уХу,

* а2дЬу 2 (а\Ьу - а6Ьх)д 2 ,

V = —^уг--у—-аГ + а2дгхху,

Ь1дЬх 2 Ь2дЬу 2 . .

V =--^-х--—у -идЬхху,

шгдЬх 2 т2дЬу 2 ,

Ф =--^—X--—^у - тхд^ху,

Ф5(25) = Г5 ! Б5(25) Агь;

к^ — коэффициенты теплопроводности материала пластинки; в^ — коэффициенты деформации материала, измеренные при постоянных индукциях электрического и магнитного полей и температуре; д^ и — пьезоэлектрические и пьезомагнитные коэффициенты деформаций и напряженностей, измеренные при постоянных напряжениях, индукциях и температуре; (в^, ^ и — коэффициенты диэлектрической, электромагнитной и магнитной проницаемости, измеренные при постоянных напряжениях и температуре; аг — коэффициенты теплового расширения, измеренные при постоянной индукции электромагнитного поля; Ьг и тг — пироэлектрические и пиромагнитные модули, измеренные при постоянных напряжениях; Ь^ — символ Кронекера.

2. Решение задачи. Функции ^5(25), Ф(к = 1,4) определены в многосвязных полуплоскостях 6*5, Б к, получаемых из полуплоскости 5 аффинными преобразованиями [3, 5]

25 = Х + Ц5У. (9)

2к = Х + Цк у. (10)

В общем случае эти функции имеют вид [2, 5]

с С ?

Б5(25) = С5 + ^ Бг-Ш51(г5) + ^ ^2с51и^51и(25) + Р+_(г5), (11)

1=1 1=1 п=1

с с ?

Фк(2к) = Гк2к + ^(Лкг2к + Бы^кг^к) + ^ ^ аыпфып&к) + Ф+г^к). (12)

1=1 1=1 п=1

Здесь С5 — вещественная постоянная, определяемая из условий на контурах пластинки; Бг = -дг/Апкт; дг — суммарный поток тепла через контур Ьг в область Б; w5г(z5) = 1п(25 - г5г); г5г — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (9) произвольным точкам внутри эллиптических контуров Ь5г, получаемых из Ьг аффинными преобразованиями (9); С5гп — комплексные постоянные, определяемые из условий на контурах пластинки; V5гп(25) = С—п;

(5г — переменные; К+(25) — функция, голоморфная в сплошной полуплоскости

с \

У I У 55; Гд, Лдг, Бдг — постоянные, определяемые из систем уравнений

1=1 )

5

^(1, ¡д, ¡¡к, дд — Цк'Рк, , ¡кщ, рк, ¡¡кРк)Гд = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); (13) к=1

5

5^(1, ¡к, Рк, дк, Vк, Рк, к )Лк1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); (14)

к=1

5

5^(1, ¡к, Рк, дк, Vk, Рк, гк, ЬкД)1БЫ = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); (15)

к=1

Гб = г5С5; Лбг = Г5Б1; Б51 = ГбЬг—Бг25г); Ъбг — вычет функции Кб(25) в точке 25г; мкг = 1п (гк — 2кг); 2кг — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (10) произвольным точкам внутри контуров Ькг, получаемых из Ьг аффинными преобразованиями (10); ^дгп(2к) = Сй"; Скг — переменные; Ф+^д) — функции,

голоморфные в сплошных полуплоскостях ^ У т1Ьдг^ и 5д•

Выберем вне полуплоскости I У т1Ьг I У 5 некоторый эллиптический кон-

\г=1 /

тур Ьс+1 (рис. 1). Обозначим его центр как Ос+1(хк>с+1,ук,с+1), полуоси — ас+ь Ъс+1, угол поворота — ^>с+ь Обозначим через Ь5,с+ъ Ьд,с+1 эллиптические контуры, получаемые из Ьс+1 аффинными преобразованиями (9), (10).

В качестве функций К+ (25), Ф+1(гк), голоморфных в полуплоскостях, выберем функции, голоморфные вне контуров Ь5 ,с+1, Ьк,с+1, кроме, быть может, бесконечно удаленной точки. Тогда их можно представить в виде

те

Р51(25) = Б с+1 1п (25 — 25,£+1) + ^ С5,£+1,п^5,£+1,п(25),

п=1

те

Ф+1(2к) = (Лк,с+12к + Бк,с+1) 1п (2к — 2к,£+1) + ^ ак,£+1,пРк,£+1,п(гк)•

п=1

Тогда комплексные потенциалы К5 (25), Фд(гк) окончательно примут такой вид:

с+1 с+1 те

^5(25) = С5 + ^ БгМ5г(25) + ^ ^ СЫп^Ып^); (16)

г=1 г=1 п=1

с+1 с+1 те

Фк(2к) = Гк2к + ^(Лкг2к + Бкг)мдг(2к) + ^ ^ аЫп<£кгп(2к)• (17)

г=1 г=1 п=1

Параметрические уравнения эллипсов L¡ в локальных системах координат Oíxiyi (рис. 1) имеют вид [2, 5]

xi = ai cos в, yi = bl sin в,

а в основной системе Oxy координат —

x = xoi + xi cos pi - yi sin pi, y = yoi + xi sin pi + yi cos pi,

где в — параметр параметрического задания эллипса (0 < в < 2п).

Переменные Zzi, Zki определяются из конформных отображений [2, 5]

Zk = Zki + Rki (<ы + ^¡r^J , (18)

внешностей единичных кругов \(ы\ > 1, \Zki\ > 1 на внешности эллипсов L$i, Lki. Здесь

Zki = xoi + ¡kyoi, ai (cos pi + ¡k sin pi) + ibi (sin pi - ¡лk cos pi)

Rki =

mki

2

ai(cos pk + ¡k sin pk) - ibi (sin pk - ¡k cos pk)

2Кы

Функция ) определяется из граничного условия [2, 5]

2КейгЕъ (Ь5) = ¡¡(1), (19)

в котором в случае задания значений температуры Т

й = 1, ¡1 = Ти

а в случае задания плотности потока тепла дп

й = гкт, ¡1 = ! (д*п - Яы) йв + С1 о

Функции Фк(%к) (к = 1,4) определяются из граничных условий [2, 5]

5

2Кв^(Лки, с1ш, Лип) Фк(*к) = (Ш), ¡¡2(1), ¡¡з(*), М*)), (20) к=1

где для неподкрепленных контуров

(dк¡1, dk¡2, dk¡3, йк14) = (1, Цк, Vк, Рк) , (М^), ¡¡2&), ¡¡з(*), М*)) = (СИ, С12, С13, Си) ,

а для жестко подкрепленных контуров

(dkгl, Лш, dm, Лдц) = (Рк, дд, ^, Рк),

(Ы*), 1Ш, /Ш, ¡и(^) = (—п*, —у*, сгз, Си) •

В общем случае многосвязной полуплоскости (рис. 1) неизвестные постоянные с5, Бг, с5гп, адгп определяются из граничных условий (19) и (20) с использованием метода наименьших квадратов (МНК). Для этого на контурах Ь^ выбирается система точек Мгт (т = 1, М^, г = 1; С + 1, где г = С + 1 относится к прямолинейной границе), в которых удовлетворяются граничные условия соответствующих задач.

В задаче теплопроводности, при подстановке функции (16) в граничное условие (19), для определения неизвестных постоянных С5, Бг, С5гп получается система линейных алгебраических уравнений [2, 5]

2 И,е Л С5 + 2 И,е ^^г (¿ыт )Бг + 2 И,е Л ^5гп(Ьт)с5гп = /¿(¿¿т)

(г = 1,С + 1, т = 1, Мг),

(21)

где t5im — хт + ¡5yim, — tim(Xim, Угт). После решения системы (21) с использованием метода сингулярных разложений [6, 7]. становятся известными постоянные С5, Бг, С5гп, а следовательно, и комплексный потенциал теплопроводности (16). После этого становится возможным в любой точке полосы находить температуру и плотности потока тепла по формулам (1), (2) [2, 5].

В задаче термоэлектромагнитоупругости, граничным условиям (20) проще удовлетворить в дифференциальной форме [2, 5]:

211 е^ЛыаЬМ^к) = ^г - 2Ъе<151а65>8г5Р5(и) (а = 1~4), (22) к=1

где

$к,8 = йЬк/Лв,

с+1 те

Ф'к(2к) = К(2к) + акгп^кгп(2к), (23)

г=1 п=1

N (2 к ) = Г к +

с+1 +1

г=1

Л г2 + Б г

Аш -гы)-\--

2к — 2к г

п

^к1п(гк) - лга_1 / 2

^гСкГ1 (аг — ткг)'

После подстановки функций (16) и (23) в граничные условия (22) для определения неизвестных постоянных akin получается такая система линейных алгебраических уравнений [2, 5]:

4 L+1 те 4

2 Re ^ ^ ^ 2 Redkia&k,s^l'kln(tkim)akln = —2 Re ^ dkia^k,sN'k(tkim) —

k=1 l=1 n=1 k=1 (24)

dfia _ _ _

-2Red5ia55iSr5F5(t5im) + -^(tim) (г = 1,£ + 1, m = l,Mj, a = 1,4)

где tkim — xim + PkVim-

После решения системы (24) с использованием сингулярных разложений [6, 7] становятся известными комплексные постоянные akin, а следовательно, и комплексные потенциалы (17). После этого становится возможным в любой точке полосы находить значения основных характеристик ТЭМУС в точках пластинки по формулам (3)-(6) [2, 5].

3. Численные исследования. Были проведены численные исследования для полуплоскости с отверстиями, изготовленной из композита на основе тита-ната бария-феррита (II) кобальта BaTiO3 — CoFe204 [8]. Его физико-механические и теплофизические постоянные приведены в табл. 1.

Таблица 1. Постоянные материала

Величина Значение Величина Значение

sn/so 7,165 /W/Зо 0,137

«22/«о 6,797 vii/vo -0,190

«бб/«о 19,912 V22/V0 -0,185

«12/«о -2,337 Хи/Хо 0,336

316/до 2,028 Х22/Х0 0,119

921/90 -0,496 ai/ao 8,530

922/90 1,157 0.2/0.0 1,990

Р1б/Р0 1,850 Ц/to 133,000

Р2\/Р0 0,576 m^/mo 133,000

Р22/Р0 1,186 kn/ko 2,500

Рп/Ро 0,156 k22/k0 2,500

Здесь приняты обозначения:

¿о = 10-6 МПа-1, д0 = 10-2 МКл-1 • м2, р0 = 10-5 МТл-1,

во = 103 МН • м2 • МКл-2, и0 = 10-1 МКл-1 • м • МА,

Х0 = 10-1 МПа • МТл-1, а0 = 10-6 К-1, г0 = 10-3 МН • (МКл • К)-1,

т0 = 10-3 МА • (м • К)-1, к0 = 1 Вт • (м • К)-1.

Указанный материал относится к кристаллографическому классу 6тт гексагональной сингонии.

При проведении численных расчетов количество членов в рядах Лорана в функциях (16) и (17) и точек Mim на контурах Li, для которых составлялись системы линейных алгебраических уравнений (21) и (24), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (относительная погрешность не становилась менее сотых долей процента). Для этого, как показали исследования, в решаемых задачах, в зависимости от геометрических характеристик пластинок необходимо было в указанных рядах оставлять от 50 до 90 членов, на каждом из контуров брать от 500 до 1500 «коллокационных точек». Длина участка прямолинейной границы, на котором выбирались «коллокационные точки», составляла от 40 до 60 радиусов отверстий. Как показали исследования, для оптимальной сходимости численных результатов вспомогательный контур Ll+i в виде кругового, расположенного на расстоянии 4-6 радиусов от прямолинейной границы.

При проведении численных исследований решались задачи термоупругости (ТУ), когда не учитывались электромагнитные свойства материала, и термо-электромагнитоупругости (ТЭМУ), когда учитывались все свойства материала.

Линейный поток тепла направлялся под углом а = п/2 рад. [10, 4].

R O

а)

+ н н

Сш

б)

HtHHH

C B

Ei V4

H

F* - 'с

"гЛ ,d

о P

в)

Рис. 2

В табл. 2 для полуплоскости с одним круговым отверстием радиуса а (а\ = = Ъ\ = а), когда на контуре отверстия и на горизонтальной прямолинейной границе заданы значения температуры Т = Т2 = 0 (рис. 2, а), с точностью

Таблица 2. Значения напряжений as в точках полуплоскости (рис. 2, а)

Тип задачи Точка Значения d/a

0,01 0,1 0,5 1 2 10

ТЭМУ А 0,307 0,281 -0, 659 -0,926 -1,338 -5,425

В 1,331 1,325 1,772 2,005 2,456 6,117

С 0,806 0,349 1,995 1,749 1,911 5,302

о 0,652 0,051 0,490 0,801 1,254 3,353

R 0,020 0,005 1,023 0,971 1,196 3,245

ТУ А -0, 292 -0, 248 0,039 0,136 0,157 0,448

В 0,628 0,694 0,765 1,010 1,500 5,803

С -0,431 -0,056 -0,651 -0,259 0,330 4,773

о -0,371 -0,145 -0, 380 -0,587 -0,813 -1,635

R 0,015 -0,001 -0,499 -0,589 -0, 747 -1,495

до плотности линейного потока тепла д как множителя, приведены значения нормальных напряжений а3 в некоторых точках контура отверстия и прямолинейной границы на площадках, перпендикулярных контуру, в зависимости от значения отношения й/а расстояния между отверстием и прямолинейной границей й к радиусу отверстия а.

Из результатов, приведенных в табл. 2, следует, что расстояние между отверстием и горизонтальной прямолинейной границей существенно влияет на значения напряжений в пластинке. Наименьшие значения напряжений наблюдаются при расстоянии й/а = 0,1, однако при дальнейшем сближении отверстия и прямолинейной границы концентрация напряжений возрастает. Но особенно сильно и резко она возрастают при отдалении отверстия, что связано с возрастанием плотностей потока тепла, действующих около контура отверстия и прямолинейной границы [9]. Из других полученных результатов следует, что на большом удалении от отверстия концентрация напряжений в полуплоскости снижается.

В табл. 3 приведены аналогичные значения напряжений для полуплоскости с одним круговым отверстием, когда на контуре отверстия задана температура Т = 0 либо он теплоизолирован (д\п = 0), а вертикальная прямолинейная граница теплоизолирована (д2п = 0) (рис. 2, б).

Таблица 3. Значения напряжений а., в точках полуплоскости (рис. 2, б)

Тип задачи Точка Значения ¿/а

0,1 1 10 100 00

Тг =0

ТЭМУ К -0,553 -0, 538 -0,482 -0, 450 -0,448

ь 0,289 0,414 0,474 0,476 0,476

м 0,001 -0,114 -0, 403 -0, 447 -0,448

к -0,104 -0,165 -0,032 0,000 0,000

ТУ к -0,104 -0, 004 0,161 0,203 0,204

ь 0,054 0,311 0,469 0,476 0,476

м 0,138 0,355 0,248 0,204 0,204

к -0,106 -0, 269 -0,029 -0, 004 0,000

Ч\П = о

ТЭМУ к 0,838 0,605 0,484 0,450 0,448

ь -0, 374 -0, 464 -0, 475 -0, 476 -0,476

м -0,055 0,127 0,405 0,447 0,448

к 0,153 0,193 0,033 0,000 0,000

ТУ к 0,168 0,014 -0,161 -0, 203 -0, 204

ь -0,072 -0, 340 -0,471 -0, 476 -0,476

м -0,235 -0,455 -0, 249 -0, 204 -0, 204

к 0,163 0,318 0,029 0,004 0,000

Из результатов, приведенных в табл. 3, следует, что расстояние между отверстием и вертикальной прямолинейной границей также существенно влияет на значения напряжений в пластинке, однако закономерности изменения значений напряжений здесь иные. Если на контуре заданы значения температуры, то при приближении отверстия к прямолинейной границе значения напряжений

в зоне-перемычке убывают, а с противоположной стороны контура отверстия — возрастают. Если контур отверстия теплоизолирован, то значения напряжений в перемычке и около отверстия сначала возрастают, однако при расстоянии й/а < 0,1 концентрация напряжений в перемычке начинает убывать. Если же й/а > 10, то в обоих случаях взаимовлияние прямолинейной границы и отверстия становится малосущественным и им можно пренебречь. При дальнейшем увеличении расстояния между отверстием и прямолинейной границы значения напряжений около отверстия стремятся к значениям для случая бесконечной пластинки с одним отверстием [4], а около полуплоскости они стремятся к нулю. Из других полученных результатов следует, что для всех случаев концентрация напряжений в полуплоскости на большом расстоянии от отверстия снижается.

В табл. 4 приведены аналогичные значения напряжений для полуплоскости с двумя одинаковыми и равноотстоящими от прямолинейной границы круговыми отверстиями радиуса а (а1 = Ъ1 = а2 = Ъ2 = а), когда на контуре отверстия и на горизонтальной прямолинейной границе заданы значения температуры Т1 = Т2 = Т3 = 0 (рис. 2, в), при некоторых значениях отношения й/а, в зависимости от значения отношения с/а расстояния между отверстиями с к радиусу отверстий а.

Таблица 4. Значения напряжений а., в точках полуплоскости (рис. 2, в)

Тип задачи Точка ¿/а = 0, 1 ¿/а = 1

Значения с/а

2 10 00 2 10 00

ТЭМУ А 0,565 -0,102 0,281 -0, 340 -0,638 -0,926

В -0,912 -1,054 -1,011 -0,328 -0,928 -1,012

С 1,281 1,183 1,325 2,328 2,231 2,005

в -0, 940 -0,915 -1,011 -0,898 -1,077 -1,012

Е 0,193 -0,161 0,281 -0,820 -0,629 -0,926

^ -0,127 -0,100 -0, ИЗ 0,346 -0,205 -0,109

С 0,169 0,649 0,349 1,991 1,685 1,749

Н -0,115 -0, 030 -0, ИЗ -0,346 -0,194 -0,109

О 0,073 0,439 0,051 0,781 0,509 0,801

В 0,593 -0, 634 0,000 1,414 -0,268 0,000

ТУ А -0, 420 -0,037 -0, 248 -0,043 0,027 0,136

В 0,703 0,183 0,555 0,262 0,451 0,483

С 0,863 1,014 0,694 1,041 1,247 1,010

в 0,673 0,235 0,558 0,567 0,510 0,482

Е -0, 248 0,191 -0, 249 0,076 0,326 0,136

^ 0,079 0,010 0,089 -0,007 0,285 0,121

С -0,101 -0, 374 -0,056 -0,357 -0,104 -0,259

Н 0,112 0,022 0,088 0,289 0,189 0,120

О -0, 228 -0, 304 -0,145 -0,641 -0,653 -0,587

В 0,026 -0, 548 0,000 -0, 740 -0,758 0,000

Из данных табл. 4 и других полученных результатов следует, что расстояние между отверстиями также значительно влияет на значения напряжений в полуплоскости. Если с/а > 20, то влияние одного отверстия на ТЭМУС около

другого отверстия становится незначительным и им можно пренебречь.

Во всех вышеописанных случаях пренебрежение пьезоэффектом (электромагнитными свойствами материала) приводило к большому искажению результатов. Поэтому при проведении расчетов следует учитывать электромагнитные свойства материала.

1. Калоеров С.А. Двумерные задачи термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред / С.А. Калоеров, О.А. Сорочан // Теорет. и прикладная механика. - 2008. - Вып. 44. -С. 61-79.

2. Калоеров С.А. Плоская задача термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред / С.А. Калоеров, О.А. Сорочан // Прикладная механика. - 2009. - Т. 45, № 4. - С. 81-91.

3. Калоеров С.А. Термоэлектромагнитоупругое состояние многосвязной анизотропной полуплоскости / С.А. Калоеров, О.А. Сорочан // Теорет. и прикладная механика. - 2010. -Вып. 1 (47). - С. 45-61.

4. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинах / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2017. - № 1. -С. 12-25.

5. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинках с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2018. - № 1. - С. 15-26.

6. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.

7. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.

8. Tian W.-Y. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids / W.-Y. Tian, U. Gabbert // Europ. J. Mech. Part A. - 2004. - Vol. 23. - P. 599-614.

9. Глушанков Е. С. К вопросу корректности принципа стабильности теплового потока для задачи о действии линейного потока тепла в многосвязной пьезопластинке / Е.С. Глушанков // Журн. теорет. и прикладной механики. - 2019. - Вып. 4 (69). - С. 21-31

10. Калоеров С.А. Потенциальные электромагнитные поля в пьезопластинах при механических, электромагнитных и тепловых воздействиях / С.А. Калоеров // Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2016. - № 4. - С. 19-34.

E.S. Glushankov

The linear heat flux action in the multiply connected semi-infinite piezoelectric plate.

With using the conformal mapping and the complex potentials the problem of determining the thermo-electro-magneto-elastic state of multiply connected semi-infinite piezoelectric plate under linear heat flux action is solved. The evaluation of the unknown coefficients of complex potentials is carried out using the boundary conditions and the least squares. The regularities of effect of plate's geometric characteristics and the properties of its material on the stress concentration in the plate are set with the numerical studies.

Keywords: linear heat flux, thermo-electro-magneto-elastic state, semi-infinite plate, thermal stresses, complex potentials.

ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», г. Донецк Получено 03.02.2020

evgenij.glushankov@gmail.com