ТЕРМОЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ МНОГОСВЯЗНОЙ ПОЛОСЫ В ОКРЕСТНОСТИ ВЕРШИН ТРЕЩИН ПРИ ДЕЙСТВИИ ЛИНЕЙНОГО ПОТОКА ТЕПЛА Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№3 (72) / 2020.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3

©2020. Е.С. Глушанков

ТЕРМОЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ МНОГОСВЯЗНОЙ ПОЛОСЫ В ОКРЕСТНОСТИ ВЕРШИН ТРЕЩИН ПРИ ДЕЙСТВИИ ЛИНЕЙНОГО ПОТОКА ТЕПЛА

Данная работа посвящена исследованию термоэлектромагнитоупругого состояния бесконечной полосы с отверстиями и трещинами вблизи вершин трещин, когда в полосе действует линейный поток тепла. Задача сводится к определению комплексных потенциалов с использованием конформных отображений и метода наименьших квадратов. После этого становится возможным определение значений коэффициентов интенсивности напряжений, индукций и на-пряженностей электромагнитного поля в окрестности вершин трещин. С помощью численных исследований установлены закономерности влияния геометрических характеристик полосы и свойств материала полосы на значения коэффициентов интенсивности напряжений у вершин трещин.

Ключевые слова: линейный поток тепла, термоэлектромагнитоупругое состояние, бесконечная полоса, коэффициенты интенсивности напряжений.

Введение. К настоящему времени разработаны методы и решены различные задачи термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред при различных температурных воздействиях [1, 2]. В частности, решена задача о действии линейного потока в многосвязной полосе [3], здесь же приведены результаты исследования термоэлектромагнитоупругого состояния полосы с круговым отверстием.

Однако актуальным является также исследование состояния полосы с трещинами. В работах [4, 5] с использованием интегральных преобразований решены задачи определения термоэлектроупругого состояния полосы с одной трещиной и с двумя трещинами при действии линейного потока тепла.

В данной работе на основе подхода, описанного в работе [3], описана методика определения термоэлектромагнитоупругого состояния полосы с отверстиями и трещинами при действии линейного потока тепла, а также для полосы с одной трещиной приведены результаты исследования значений коэффициентов интенсивности напряжений, индукций и напряженностей вблизи вершин трещины в зависимости геометрических характеристик полосы и трещины.

1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную пластинку из пьезома-териала, отнесенную к прямоугольной системе координат Оху, занимающую многосвязную полосу 5, ограниченную контурами эллиптических отверстий Ь\

(I = 1, С) и парой прямолинейных границ Ь+ (р = 1, 2), параллельных между собой (рис. 1). Обозначим центры эллипсов — 0\(Хог,Ук1), полуоси эллипсов — 0,1, Ъ[, углы поворота эллипсов — углы поворота прямолинейных границ — (при этом, = + п). Прямолинейные разрезы (трещины) представляются эллиптическими контурами с полуосью Ъ = 0. Контуры отверстий и берега трещин могут располагаться произвольно относительно друг друга (в т.ч., касаться, пересекаться друг с другом и с прямолинейными границами). На контурах полосы заданы значения температуры Т либо плотности потока тепла Чы (I = 1; £ + 2). Значения при I = С+р (р = 1,2) относятся к прямолинейным границам. Контуры полосы не подкреплены либо жестко подкреплены. На бесконечности под углом а к оси Ох действует линейный поток тепла плотности ц (причем а = ), а напряжения и индукции электромагнитного поля равны нулю.

Значения основных характеристик термоэлектромагнитоупругого состояния (ТЭМУС) в точках полосы (температура Т; плотности потока тепла цх, цу; напряжения ох, оу, тху; индукции Дх, Ду, Вх, Ву и напряженности Ех, Еу,

Рис. 1

Нх, Н

у электромагнитного поля; перемещения и, V; потенциалы ф, ф электро-

магнитного поля) вычисляются по формулам [1, 3]

Т = Т * + 2И,е ^5(^5); (Чх,Чу) = (ч*х,Я*У) - 2 И.е гкт(ц5,1)^5(¿5);

(1) (2)

(3)

(оx, оу, тху) = 2Re^(цl, 1 -цк )ф'к (гк); к=1

5

(Дх, Ду, Вх, Ву) = 2Ъе^(икЦк, -Vк, РкЦк, -рк)$к(¿к); (4

к=1

5

(Ех, Еу, Нх, Ну) = (ЕУ, Еу, НУ, Н*) - 2Ве^(гк, Цк4, $, цкН%)Ф'к(гк); (5

к=1

5

(и, V, р, Ф) = (и*, V*, <р*, ф*) + 2Ие ^(рк, Цк, т°к, Ь^Фк(гк). (6)

к=1

Здесь ^5(^5) и Ф(к = 1,4) — комплексные потенциалы задач теплопроводности и термоэлектромагнитоупругости [1, 3];

Т * = д(ЬхХ + Ьу у),

5

^х —

к22 сов а — к12 вт а

К

, IУ —

кц 8ш а — к12 сов а 2

т

К

т

>4 = \Jkuk22 - Щ2,

дХ — —д сов а, дХ — —д 8т а;

Мб и /х^ (к = 1, 4) — корни характеристических уравнений теплопроводности и электромагнитоупругости [1, 2]

к22 Ц + 2к\2 Ц + кц — 0; А{ц) — 0;

А{Ц) — кз^Ш/З {^кхЫ — ¿2» {Ц)} — ¿Зд {Ц)[1зд {Ц)12х {Ц) — ¿Зр^^и {Ц)\ —

— ¿Зр{цШр {^¿2/3 (ц) — IЗд (ц)ки (ц)},

¿4в (ц) — 8цЦ4 + 2в1б1Л3 + {2в12 + 8бб)Ц + 2826Ц + 822, ¿Зд (ц) — 911Ц3 — {921 + 9\б)ц2 + {912 + 926 )Ц + 922, ¿Зр{ц) — Р11Ц — (Р21 + Р1б)ц2 + (Р12 + Р2б)Ц + Р22, ¿2в (ц) — —виЦ2 + 2@12Ц — $22,

¿2и (ц) — —V11Ц2 + 2^12Ц — V22,

12х{ц) — —хИц2 + 2Х12Ц — Х22; ик = кр{^к)12и{^к) ~ 1зд{^к)кХ{^к) „ = —^ = Гх

к МЫМЫ - ЩиЫ) 5

1зд(Рк)121^(^к) ~ 1зр(Цк)121з(Р>к) п -г-гч Гш

рк = -;—7——7—г-70-7—N- (к = -1-, 4;, р5 = —;

■ Г5

(7)

12в {Цк)12х{Цк) — ^ {Цк)

Г5

ЛЫ

х

¿х(^)

А(/х5):

к{цъ) —

¿2а {Ц5) ¿Зд {Ц5) ¿Зр {Ц5) ¿1г {Ц5) к/з {Ц5) ки Ц) кт {Ц5) ки {Ц5) кх {Ц5)

х

1х {Ц5) —

_ к(1^5)

~ АЫ'

¿Аз{Ц5) ¿2а{Ц5) кр {Ц5)

¿Зд Ц) кгЦ) киЦ)

13р {Ц5) кт {Ц5) кх {Ц5)

к {Ц5 ) —

¿4в {Ц5) IЗд {Ц5) ¿2а{Ц5) ¿Зд Ц) к/3 Ц) кгЦ) 1зр{цЪ) кх{Ц5) кт{Ц5)

ка{Цб) — —аЦ + абЦ5 — а2, кгЦ) — ^ц^ — Ь2, ктЦ) — Ш1Ц5 — Ш2;

Рк — 8цЦк — 81бЦк + 812 — (911 Цк — 9l2)Vк — (Р11Цк — Р12)рк + 822

5|о1

Г5

5к а2

дк = 8121Лк - 826 + — - (921^к - 922^к ~ (Р21^к ~ Р22)Рк +

Цк Г5Ц5

Ö5ti

rk = 9иßk - 9wßk + 912 - (Alßk - ßl2)Vk - (vußk - Vl2)pk +

r5

h°k =P11 ßl - VIФк +V12 - (vußk - V12)vk - (xnßk -X12)pk +

r5

{E*x, E*, H*, Hy) = (ti,t2,mi,m,2)T*;

* aiqtx 2 (a2tx - a6ty)q 2

u* = --2- y + а1<11УхУ>

* a2qty 2 (aity - a6tx)q 2 ,

v = --2- a2Qtxxy,

tlqtx 2 t2qty 2 Ii

v = —x —2~y ~ tl(itxXy>

miqtx 2 m2qty 2 ,

Ф =--—x--— у - miqtxxy;

&5(Z5) = Г5 j F5(z5) dZ5;

kij, Sij, gij, pij, ßij, Vij, Xíj, ai, ti, mi — постоянные материала пластинки.

В окрестности вершин трещин значения напряжений, индукций и напря-женностей электромагнитного поля имеют особенность порядка r-i/2, где r — расстояние от точки окрестности до самой вершины. Эту особенность можно выделить, и тогда ТЭМУС характеризуется значениями коэффициентов интенсивности напряжений нормального отрыва ki, напряжений поперечного сдвига k2, индукций ко и напряженностей kß электрического поля, индукций кв и напряженностей кн магнитного поля [6]:

к\ = lim \/2г (ах sin2 щ + ау cos2 щ — 2тху cos щ sin ф{) , (9)

= Hm л/2г (у{оу — ах) cos щ sin^ — тху (cos2 щ — sin2 íp¡)) , (10)

кв = lim V2r (Dy cos ípi — Dx sin^), (11)

kß = lim V2r (Ey cos ipi — Ex sin^), (12)

r^a * y

кв = lim V2r (By cos щ — Bx sin ipi), (13)

kH = Hm V2r(Hy

cos фi — Hx sin фi). (14)

2. Решение задачи. Функции ^5(25), Фк(%к) (к = 1,4) определены в многосвязных полосах S5, Sk, получаемых из полосы S аффинными преобразованиями [1, 2]

25 = X + ß5y, (15)

Zk = X + ßky. (16)

Будем рассматривать полосу как пересечение двух полуплоскостей [3]. Вне каждой полуплоскости (р = 1,2) выберем некоторые эллиптические контуры Ьс+р (рис. 1). Обозначим их центры — Ос+р(хо,с+р,Уо,с+р), полуоси — ас+р, Ъс+р, углы поворота — ^с+р.

В общем случае функции ^5(25), Фк(гк) {к = 1,4) примут вид [3]

С+2 С+2 те

Р5(г5) = с5 + ^ П^ы&ь) + ^ (17)

1=1 1=1 П=1

С+2 С+2 те

) = Гкгк + ^2(Ак1гк + Бк1^ы(гк) + ^ ^ аЫп<Рып(гк). (18)

1=1 1=1 п=1

Здесь сы — вещественная постоянная, определяемая из условий на контурах пластинки; V = —д1/4пкт; ® — суммарный поток тепла через контур отверстия (при I = 1, С) или прямолинейную границу (при I = С + р, р = 1, 2) в область 5; «^(2:5) = 1п (25 — (I = 1,£ + 2); — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (15) произвольным точкам внутри эллиптических контуров Ьы, получаемых из Ь аффинными преобразованиями (15); Сы\п — комплексные постоянные, определяемые из условий на контурах пластинки; фыы&ы) = (—п; Сы — переменные; Гк, Аи, Бы — постоянные, определяемые из систем уравнений

к=1

Х^1' Vi, Vк, Як - ViPi, Vk, ЦкVk, рк, Viрк)Гк = (о, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); (19)

5

^2(1, Vi, Рк, Як, Vк, Рк, к hi)гАц = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); (20)

к=1

5

^2(1, vi, Рк, Як, vI, Рк, к h\к)гВы = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); (21)

к=1

Г 5 = г5с5; Аы = r5D¡; Вы = r5(b5i-PiZ5i)] hi — вычет функции F5(z5) в точке z5¡] wk¡ = In (zk — zk¡) (I = l,£ + 2); zki — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (16) произвольным точкам внутри контуров Ьц, получаемых из Li аффинными преобразованиями (16); фкы&к) = Ck¡n; zii — переменные.

В системах координат OiX¡yi (I = 1; С + 2) (рис. 1) параметрические уравнения эллипсов имеют вид [1, 2]

xl = al cos в, yl = bl sin в,

а в основной системе координат Oxy координат —

x = xQl + xi cos ipl - yl sin ^l, y = yol + xi sin ^l + yl cos pl,

5

в — арактеристика параметрического задания эллипса (0 < в < 2п).

Комплексные переменные (и (к = 1,5) определяются из конформных отображений [1, 2]

Zk = Zki + Rki (сы + ' (22)

внешностей единичных кругов \Zki\ > 1 на внешности эллипсов Lk¡. Здесь

Zki = xoi + ¡k yol, ai(cos pi + ¡ik sin pi) + ibi(sin pi - ¡k cos pi)

Rkl =

mki

2

ai (cos pk + Ik sin pk) - ibi (sin pk - Ik cos pk)

2Ккг

Функция Е5 (г5) должна удовлетворять граничному условию [1, 2]

2Кейг Р5(Ь5) = ¡г(Ь), (23)

в котором в случае задания значений температуры Т

йг = 1, ¡г = Тг,

а в случае задания плотности потока тепла дгп

э

йг = гит, ¡г = ! (дП - дгп) йв + сг. к

Функции Фк(гк) (к = 1,4) должны удовлетворять граничным условиям [1, 2]

2Яе^ысА.аФ^) = ^ -2Вес151а65,аг5Р5(15) (а = М), (24) к=1 в

где

5k,s = dtk/ds,

L+2 те

&k(Zk) = Nk(Zk) + Y^ akinp'kin(zk), (25)

i=1 n=1

Nk (Zk) = Tk + J2 i=i

для неподкрепленных контуров

+ Г , w ч . Akizk + Bki

Aki In[zk ~Zki) +

Zk - Zki

^kil,, dki2, dkl3, dki4) = (1, Ik, vk, Pk) ,

(fil(t), fi2(t), fi3(t), fi4(t)) = (Cil, Ci2, Ci3, CiA) ,

а для жестко подкрепленных контуров

{Лка, Лш, (1к13, йк14) = {'Рк , Як, Vк, Рк) )

(Мг), ыг), ыг), 1Ш) = {-п*, -у*, сш щ).

Неизвестные постоянные С5, С51п, акы определяются из граничных условий (23) и (24) с использованием метода наименьших квадратов (МНК). Для этого на контурах Ь^ выбирается система точек М\т (т = 1 , М^, г = 1;£ + 2, где г = С + р (р = 1,2) относятся к прямолинейным границам), в которых удовлетворяются граничные условия соответствующих задач.

В задаче теплопроводности, при подстановке функции (17) в граничное условие (23), для определения неизвестных постоянных С5, С5\п возникает следующая система линейных алгебраических уравнений [1, 2]:

2 И,е йг С5 + 2 И,е йг ■Ш51{г5т)Р1 + 2 И,е йг Р51п(Ь5гт)С5Ы = й (кт) , Л

_ _ 26

(г = 1,£ + 2, ш = 1,Мг),

где г5гт = хгт + ^5yim, = tim{xim, Угт). Эту систему можно решить с использованием метода сингулярных разложений [7, 8], после чего становятся известными постоянные С5, С51п и, как следствие, функция (17). По ней можно вычислять температуру и плотности потока тепла в любой точке полосы по формулам (1), (2) [1, 2].

В задаче термоэлектромагнитоупругости, при подстановке функций (17), (25) в граничные условия (24) для определения неизвестных постоянных акы возникает следующая система линейных алгебраических уравнений [1, 2]:

4 С+2 те 4

2 ^ ^2 2 ^ейкга^к,в^к1п{гкгт)ак1п = —2 ^ йкга$к,з^к{гкгт) —

к=1 1=1 п=1 к=1 (27)

¿и

-2Re d5ia55íSr5F5(t5im) + (tim) (г = 1,С + 2, m = l,M¿, о; = 1,4),

где tkim = xim + ¡kyim- Эту систему можно решить с использованием метода сингулярных разложений [7, 8], после чего становятся известными постоянные akin и, как следствие, функция (18)- По ней можно вычислять основные характеристики ТЭМУС в любой точке полосы по формулам (3)-(6) [1, 2]. А если отверстие с контуром Li вырождается в трещину (bi ^ 0), то значения коэффициентов интенсивности (9)-(14) вблизи вершин этой трещины можно определять по формулам [9]

4

k± = 2 Re {¡I sin2 Pi + c°s2 Pi + 2Ik sin pi cos pi) M±, (28)

k=l

4

k± = 2 Re Y^ ((1 - ll) sin Pi cos pi - ¡k {cos2 pi - sin2 pi)) M±, (29) k=l

(,к±,к±) = 2И,е^ [-ксов щI - {ук/лк,т0к) 8т щ] М±, (30)

к=1

4

(к±,кН) = Ц-Рк,Ь°кЦк) сов щ - (ркРк,Ь°к) 8тщ] М±, (31)

к=1

где

1

у/Щ

^Л-кг&кг ± аг) + Бы - иаы^ .

В обозначениях «±» знак «-» соответствует левому концу трещины, знак «+» соответствует правому концу трещины.

3. Численные исследования. Были проведены численные исследования для полосы, изготовленной из композита на основе титаната бария-феррита (II) кобальта БаТгОз - СоЕв204 [10]. Его физико-механические и теплофизические постоянные приведены в таблице 1.

Таблица 1. Постоянные материала

Величина Значение Величина Значение

«п/«о 7,165 /З22//З0 0,137

«22/«0 6,797 VII/щ -0,190

«бб/«о 19,912 1*22/Щ -0,185

«12/«0 -2,337 Хи/Хо 0,336

016/до 2,028 Х22/Х0 0,119

921/до -0,496 0.1/0.0 8,530

322/до 1,157 0.2/0.0 1,990

Р1б/Р0 1,850 ¿2 До 133,000

Р2\/Р0 0,576 т^/то 133,000

Р22/Р0 1,186 кп/ко 2,500

Рп/Ро 0,156 к22/к0 2,500

Здесь приняты обозначения:

¿к = 10"6 МПа"1, дк = 10"2 МКл"1 • м2, рк = 10"5 МТл"1,

рк = 103 МН • м2 • МКл"2, ик = 10"1 МКл"1 • м • МА, %к = 10"1 МПа • МТл"1, ак = 10"6 К"1, гк = 10"3 МН • (МКл • К)"1, тк = 10"3 МА • (м • К)"1, кк = 1 Вт • (м • К)"1.

При проведении численных расчетов количество членов в рядах Лорана в функциях (17) и (18) и точек М\ на контурах Ь выбиралось таким, чтобы граничные условия на контурах удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (относительная погрешность становилась менее сотых долей процента). Для этого необходимо было в указанных рядах оставлять от 40 до 90 членов, на каждом из контуров брать от 500 до 1500 «коллокационных точек». Длина участков прямолинейных границ, на которых выбирались «коллокационные

точки», составляла от 40 до 60 характерных размеров концентраторов напряжений. Вспомогательные контуры Ьс+Р (р = 1,2) выбирались в виде круговых и расположенных на расстоянии 4-6 собственных радиусов от соответствующих прямолинейных границ.

При проведении исследований решались задачи термоупругости (ТУ), когда не учитывались электромагнитные свойства материала, и термоэлектромагни-тоупругости (ТЭМУ), когда подлежали учету все свойства материала.

Рассматривался случай действия линейного потока тепла в вертикальной полосе с одной теплоизолированной трещиной длины 21 (а\ = I, Ъ\ = 0; д\п = 0) (рис. 2). Прямолинейные границы полосы также полагались теплоизолированными (д2п = Язп = 0). Линейный поток тепла направлялся вдоль полосы, т.е. под углом а = п/2 [11, 12].

НИ

а)

НИ

й 1 I

41 б)

Рис. 2

В таблице 2 для полосы с наклонной трещиной длины 21 , равноотстоящей от прямолинейных границ (расстояние между центром трещины и прямолинейными границами равно й) (рис. 2, а), приведены значения коэффициентов ин-

тенсивности напряжений (КИН) к-зависимости от значения й/1.

к2 в окрестности левого конца трещины в

Таблица 2. Значения КИН к- , к- у левой вершины трещины (рис. 2, а)

Тип задачи Величина <1/1 Значения с^ч

0 7г/12 7г/6 тг/4 тг/З 5тг/12 тг/2

ТЭМУ к^ • 100 1,1 0, 0000 —27, 7906 —55,4497 2, 7453 0,4561 -0,5017 0, 0000

2 0, 0000 4,1000 4, 7370 4,3102 2,2912 0,6140 0, 0000

И 0, 0000 3,0769 4,7513 4,4446 2, 7003 0, 8024 0, 0000

00 0, 0000 3,0255 4, 6983 4,4296 2,7125 0,8106 0, 0000

Щ ■ 100 1,1 4,9611 -0, 8664 -27,0123 16,7124 11,0163 4,2891 0, 0000

2 0,9154 3, 5574 6,4701 8,2299 6, 9953 3, 9864 0, 0000

И 3, 8775 4,5832 6,1460 7, 2593 6, 6928 4, 0476 0, 0000

00 3, 9727 4, 6479 6,1529 7, 2386 6, 6846 4,0536 0, 0000

ТУ к{ ■ 100 1,1 0, 0000 -0,9189 -7, 3725 -3,0850 -2,4345 -0, 3902 0, 0000

2 0, 0000 1,0235 1,8749 2,1702 1,4791 0, 4449 0, 0000

И -0,0002 1,1308 1,7421 1,6258 0, 9862 0, 2927 0, 0000

00 0, 0000 1,0732 1,6665 1,5712 0, 9622 0, 2876 0, 0000

Щ ■ 100 1,1 -9,6757 -9,7115 -8,1024 -8,4596 -2,4657 -0,9331 0, 0000

2 -10,3799 -9,5599 -7, 7073 -5,3968 -3,0385 -1,2466 0, 0000

И -9,6314 -8,9955 -7,3191 -5,1584 -3,0809 -1,3840 0, 0000

00 -9,5323 -8, 9200 -7, 2931 -5,1693 -3,0997 -1,3940 0, 0000

В таблице 3 для полосы шириной 41 с поперечной смещенной трещиной длины 21 приведены значения КИН к-, в окрестности вершин трещины в зависимости от значения отношения й/1.

Таблица 3. Значения КИН к-, к+ у вершин трещины (рис. 2, б)

Тип задачи Величина Значения d/2l

2 1,9 1,7 1,5 1,3 1Д

ТЭМУ Щ • 100 0,9154 1,5337 4,2231 11,0987 14,4412 17,7176

k~2 • 100 -0,9154 -0,8757 -0,8362 -0,3466 -0,0042 21,9942

ТУ Щ • 100 -10,3799 -9,9960 -7, 6556 -2,0310 3,4296 5,3341

Щ ■ 100 10,3799 10,1294 10,6505 12,0965 13,1123 -16,5618

Из данных таблиц и других полученных результатов следует, что присутствие теплоизолированной трещины в полосе приводит к возникновению значительных концентраций напряжений вблизи трещины. Существенное влияние на значения КИН для вершин трещины оказывает угол наклона трещины, а также расстояние до прямолинейных границ полосы. Наибольшие значения КИН наблюдается при угле поворота трещины п/6. Когда трещина находится от прямолинейных границ на расстоянии более 10 своих длин, то прямолинейные границы слабо влияют на ТЭМУС вблизи трещины, и тогда можно решать задачу для бесконечной пластинки с одной трещиной. При сближении трещины с одной из прямолинейных границ значения КИН для ближней вершины трещины возрастают по модулю, для дальней — могут незначительно возрастать либо убывают. Однако при d/l < 0, 3 закономерности изменения КИН для дальней вершины изменяются — они резко возрастают по модулю, при этом меняя знак.

Пренебрежение электромагнитными свойствами материала приводит к искажению результатов, поэтому эти свойства следует учитывать в расчетах.

1. Калоеров С.А. Плоская задача термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред / С.А. Калоеров, О.А. Сорочан // Прикладная механика. - 2009. - Т. 45, № 4. - С. 81-91.

2. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинках с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2018. - № 1. - С. 15-26.

3. Глушанков Е. С. Действие линейного потока тепла в бесконечной многосвязной полосе из пьезоматериала / Е.С. Глушанков // Журн. теорет. и прикладной механики. - 2020. -Вып. 2 (71). - С. 26-36.

4. Ueda S. Thermal stress intensity factors for a normal crack in a piezoelectric material strip / S.Ueda //J. Therm. Stress. - 2006. - Vol. 29. - P. 1107-1125.

5. Ueda S. Thermal stress intensity factors for two coplanar cracks in a piezoelectric strip / S. Ueda, Y. Tani // J. Therm. Stress. - 2008. - Vol. 31. - P. 403-415.

6. Калоеров С.А. Двумерные задачи электро- и магнитомагнитоупругости для многосвязных тел / С.А. Калоеров, А.И. Баева, О.И. Бороненко. - Донецк: Юго-Восток, 2011. - 270 c.

7. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.

8. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.

9. Калоеров С.А. Определение коэффициентов интенсивности напряжений, индукции и напряженности для многосвязных электроупругих многосвязных сред /С.А. Калоеров // Прикладная механика. - 2007. - Т. 43, № 6. - С. 56-62.

10. Tian W.-Y. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids / W.-Y. Tian,

U.Gabbert // Europ. J. Mech. Part A. - 2004. - Vol. 23. - P. 599-614.

11. Калоеров С.А. Потенциальные электромагнитные поля в пьезопластинах при механических, электромагнитных и тепловых воздействиях / С.А. Калоеров // Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2016. - № 4. - С. 19-34.

12. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинах / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2017. - № 1. - С. 12-25.

E.S. Glushankov

The thermo-electro-magneto-elastic state of multiply connected strip at the cracks' tips under heat flux action.

This article is dedicated to studying the thermo-electro-magneto-elastic state of infinite strip with holes and cracks when a linear heat flow acts in the strip. The problem is reduced to evaluation of complex potentials with using the conformal mappings and least squares. Then it is possible to evaluate the stress, inductions and tensions intensity factors at the cracks' tips. The regularities of the effect of geometric characteristics and material's properties on the stress intensity factors' values at the cracks' tips are obtained with the numerical studies.

Keywords: linear heat flux, thermo-electro-magneto-elastic state, infinite strip, stress intensity factors.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 08.09.2020

[email protected]