CC BY
3ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№2 (70) / 2020.
УДК 539.3
©2020. Е.С. Глушанков
ДЕЙСТВИЕ ЛИНЕЙНОГО ПОТОКА ТЕПЛА В БЕСКОНЕЧНОЙ МНОГОСВЯЗНОЙ ПОЛОСЕ ИЗ ПЬЕЗОМАТЕРИАЛА
В данной работе с использованием конформных отображений и комплексных потенциалов решена задача определения термоэлектромагнитоупругого состояния бесконечной многосвязной полосы из пьезоматериала, находящейся под действием линейного потока тепла. Определение неизвестных постоянных, входящих в комплексные потенциалы, проводилось из граничных условий с использованием метода наименьших квадратов. Численными исследованиями установлены закономерности влияния геометрических характеристик полосы и свойств ее материала на концентрацию напряжений в полосе.
Ключевые слова: линейный поток тепла, термоэлектромагнитоупругое состояние, бесконечная полоса, температурные напряжения, комплексные потенциалы.
1. Введение. К настоящему времени разработаны методы и решены различные задачи термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред при действии разности температур на контурах [1] или линейного (однородного) потока тепла [2]. Среди прочих, решены задачи и для полуплоскости [3, 4]. В данной работе на основе подхода, описанного в работе [4], решена задача о действии линейного потока тепла в бесконечной многосвязной полосе из пьезоматериала.
2. Постановка задачи. Рассмотрим находящуюся в условиях плоской задачи полосу из пьезоматериа-ла, отнесенную к декартовой системе координат Оху, занимающую многосвязную область 5, ограниченную контурами эллиптических отверстий 1ц (I = 1, С) и прямолинейными границами Ь+ (р = 1, 2), параллельными между собой (рис. 1). Обозначим центры эллиптических контуров через О\(х01 ,уог), полуоси эллипсов — (ц, Ъ[, углы поворота эллипсов — щ, углы поворота прямолинейных границ
Рис. 1
+ п)
щр (для удобства, вместо равенства углов поворота положим Контуры пластинки могут располагаться произвольно относительно друг друга (в том числе, касаться, пересекаться, переходить в прямолинейные разрезы). Контуры криволинейных отверстий можно представить как совокупности дуг эллипсов и берегов прямолинейных разрезов. На контурах полосы заданы значения температуры 7} либо плотности потока тепла (I = 1; С + 2). Значения при I = С + р (р = 1,2) относятся к прямолинейным границам. Контуры по-
лосы не подкреплены либо жестко подкреплены. На бесконечности под углом а к оси Ох действует линейный поток тепла плотности д (причем а = ), а напряжения и индукции электромагнитного поля равны нулю.
Как и в случае других областей [1, 2], задача определения термоэлектромаг-нитоупругого состояния (ТЭМУС) многосвязной полосы, сводится к определению комплексного потенциала теплопроводности ^5(^5) и комплексных потенциалов термоэлектромагнитоупругости Ф^(-г^) (к = 1, 4). Эти функции определяются из соответствующих граничных условий. После этого становится возможным вычислять значения основных характеристик ТЭМУС в точках пластинки (температура Т, плотности потока тепла дх, ду, напряжения ох, оу, тху, индукции Бх, Бу, Вх, Ву и напряженности Ех, Еу, Нх, Ну электромагнитного поля, перемещения и, V, потенциалы у, ф электромагнитного поля) по формулам [1, 2]
Т = Т * + 2Яе Г5(г5); (1)
(Чх,Чу) = (дх,я*у) - (Ц5,1)^5(Х5)-, (2)
5
(&х, Оу, тху) = 2Ве^2(цк, 1 -Цк)фк(гк(3)
к=1
5
(Бх, Ву, Вх, Ву) = 2Я,в^2(икЦк, -Vк, ркЦк, -рк)Фк(гк); (4)
к=1
5
(Ех, Еу, Нх, Ну) = (Ех, Е*, Нх, Ну) - 2Ве^(т0к, Цкт°к, $, цкН%)Ф'к(*к); (5)
к=1
5
(и, V, у, ф) = (и*, V*, у*, ф*)+2^е^(Рк, дк, 4, Н°к)Фк(гк)■ (6)
к=1
Здесь
Т * = д(Ьх:х + Ьу у),
к22 сов а - к\2 8т а
Ьх —
жт
к\\ вт а — к\2 сое а 2 Г. ' ГТ~
2-! Ч =-2-' ЖТ = V «11 «22 - к|2;
дх = -д сов а, ду = -д 8т а;
¿¿5 и Цк (к = 1, 4) — корни характеристических уравнений теплопроводности и электромагнитоупругости [1, 2]
к22 Ц2 + 2кХ2 Ц + ки = 0; (7)
А(ц) = 0; (8)
А(ц) = ¡4з(ц)[12в (ц)12х(ц) - 12и (ц)] - 13д (ц)[кд (ц)кх (ц) - 1зр(ц)12и (ц)\--1зр(ц)[1зр (ц)кр (ц) - 1зд (ц)ки (ц)],
ks(ß) = SllI4 + 2Sl6l3 + (2Sl2 + S66)l2 + 2S26I + S22, l3g(ß) = gm3 - (921 + gw)! + (gl2 + g26)i + g22, hp(ß) = PllI3 - (P21 + Pl6)l2 + (Pl2 + P26)l + P22, l2ß (ß) = -ßllI2 + 2ßl2l - ß22, hv (ß) = -Vlll2 + 2Vl2ß - V22, l2x(!) = -xuß2 + 2Xl2i- X22;
Vk
Pk
(Л = 1,4), г/5 = Л
r5
kip(ßk)hu(ßk) — hg(ßk)hx(P-k)
l2ß (ßk)l2x(ßk) - l2v (ßk)
hg{ßk)hv{ßk) - hp(ßk)hß(ßk) p5 - — ■
hß(ßk)hx(ßk) - l22V(ßk) ' r5'
hD r5 = ——~ i r
&(ß5 )
x
ДЫ;
hD =
l2a(ß5) l3g (ß5) l3p(ß5) llt (I5) l2ß (ß5) l2v (ß5) llm(ß5) l2v (ß5) l2x (ß5)
x
lx (I5) =
_ Lißb)
~ äW
l4s(ß5) l2a(ß5) l3p (ß5)
l3g (le) llt(l5) l2v (ßb) l3p(ß5) llm (l5) l2x(l5)
L (15) =
l4s (I5) l3g (I5) ha (I5) hg (ß5 ) hß (ß5 ) llt(l5) l3p(ß5) l2x (ß5) llm(ß5)
ha(ße) = -alß2 + a6l5 - a2, llt(l5) = tll5 - t2, llm(ße) = mlß5 - Ш2;
Pk = Sllßk - Sl6ßk + S12 - (gllßk - gl2)Vk - (Pllßk - P12)Pk +
6¡ al
r5
Qk = S12ßk - S26 + — - (921 ßk - 922)Vk - (P2lßk - p22)pk +
ßk r5ß5
Ö5 tl
ri = gnßl - gmßk + g 12 - (Aißk - ßnH - {vußk - ^12)pk + ,
r5
h°k = Pußl - Vi&ßk +V12 - (vußk - V12)vk - (Xnßk - X12)Pk + !
r5
(Ex, Ey, Hx, Hv) = (tl,t2,ml,m2)T *;
*
u =
x y x y
alqtxm2 (a2tx - a6ty)qn¿
-X —
22
a2qty 2 (alty - a6tx)q 2
2
-y
y + alqty xy, x2 + a2qtx xy,
tlqtx 2 t2qty 2 , ,
V =--ж--тг-У - hqtxxy,
v
шгдгх 2 т2д1у 2 Ф =--—х--—у - ггцд^ху,
Фб(гб) = Г5 ! Р5(г5)
кц — коэффициенты теплопроводности материала пластинки, в^ — коэффициенты деформации, д^ и р^ — пьезоэлектрические и пьезомагнитные коэффициенты деформаций и напряженностей, (в^, Vij и — коэффициенты диэлектрической, электромагнитной и магнитной проницаемости, а^ — коэффициенты теплового расширения, ^ и — пироэлектрические и пиромагнитные модули; 5* — символ Кронекера.
3. Решение задачи. Комплексные потенциалы ^5(2:5), Фк{%к) (к = 1,4) определены в многосвязных полосах Бб, Б к, получаемых из полосы 5 аффинными преобразованиями [1, 2]
= X + Цбу, (9)
гк = х + Цк у. (10)
Будем рассматривать полосу как пересечение двух полуплоскостей, тогда в общем случае эти функции примут вид [2, 4]
С С ж 2
Рб(гб) = е5 + + ^ ^ Сб1пфб1п(гб)
+ Е р+р г); (11)
1=1 1=1 п=1 р=1
С С ж 2
Фк (гк) = Г к гк + ^(Аыгк + В^ш^к) + ^ ^ акыфк1п(гк) + ^ Ф+Р(гк). (12)
1=1 1=1 п=1 р=1
Здесь С5 — вещественная постоянная, определяемая из условий на контурах пластинки; ^ = —дх/Алк^; д\ — суммарный поток тепла через контур Ь[ в область Б; Шб[(гб) = 1п(гб — гб1); гб1 — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (9) произвольным точкам внутри эллиптических контуров Ьбг, получаемых из Ь[ аффинными преобразованиями (9); Сб\п — комплексные постоянные, определяемые из условий на контурах пластинки; фб[п(гб) = (—п; (б[ — переменные; Р+р(гб) — функции, голоморфные в сплошных полуплоскостях Б+р, ограниченных линиями Ь+р, которые получаются из полуплоскостей Б+, ограниченных прямолинейными границами Ь+, аффинными преобразованиями (9); Гк, Ак1, Вк1 — постоянные, определяемые из систем уравнений
5
^2(1, Цк, цк, дк — ЦкРк, Vк, ЦкVк, рк, ЦкРк)Гк = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); (13)
к=1
5
^2(1, Цк, Рк, дк, Vk, Рк, Г0, Н°к)гАкг = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); (14)
к=1
Цк, Pk, Qk, vk, pk, r0, h0k)iBki = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); (15)
k=1
Г5 = т5С5; А51 = т5А; В51 = т5(Ъ51 — Бггы); Ъы — вычет функции Е5(г5) в точке г5г; 'кг = 1п(гк — гы); — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (10) произвольным точкам внутри контуров Ькг, получаемых из Ь[ аффинными преобразованиями (10); фк1п(%к) = С-™'; (кг — переменные; Ф+р(гк) — функции, голоморфные в сплошных полуплоскостях ограниченных линиями Ь+р, которые получаются из полуплоскостей Б+, ограниченных прямолинейными границами Ь+, аффинными преобразованиями (10).
Следуя [2], выберем вне каждой полуплоскости (р = 1,2) эллиптические контуры Ьс+Р (рис. 1). Обозначим их центры как Ос+р(хо,с+р,Уо,с+р), полуоси ~ ас+р, Ъс+р-, углы поворота — фс+р• Обозначим через Ь^^+р-, {р = 1,2)
эллиптические контуры, получаемые из Ьс+р аффинными преобразованиями (9), (10). _
В качестве функций Р^р(х5), Ф¿(-г^) (р = 1,2), голоморфных в соответствующих полуплоскостях, выберем функции, голоморфные вне контуров Ь5,с+р, Ь-,с+р, кроме, быть может, бесконечно удаленной точки. Тогда их можно представить в виде [4]
те
с5, С+р, п^р5, С+р, п (г 5),
n=1
4p(zk) = (Ak ,L+pZk + Bk,L+p) In (zk — Zk,L+p) + Y^ ak, L+p, nfk, L+p, n (zk ).
' +p(
n=1
Таким образом, функции F5(z5), Фk(zk) примут такой вид:
L+2 L+2 ж
Fb(Zb) = C5 + DlW5i(z5) + Y J2c5in^5ln(Z5); (16)
l=1 l=1 n=1
L+2 L+2 ж
(Zk) = TkZk + ^(AklZk + Bkl)wkl(zk) + Y a,kln<Pkln(zk)■ (17)
l=1 l=1 n=1
В локальных системах координат OiXiyi (I = 1; С + 2) параметрические уравнения эллипсов (рис. 1) имеют вид [1, 2]
xl = al cos в, yl = bl sin в, а в основной системе Oxy координат —
x = x0l + xi cos ipl - yl sin ^l, y = yol + xi sin ^l + yl cos pl, где в — параметр параметрического задания эллипса (0 < в < 2п).
Действие линейного потока тепла в бесконечной многосвязной полосе Переменные (ы (к = 1,5) определяются из конформных отображений [1, 2]
Zk = Zki + Rki (<ki + ^¡r^J , (18)
внешностей единичных кругов \Zki\ > 1 на внешности эллипсов Lki- Здесь
Zki = Xoi + ¡kVoi, ai (cos pi + Цк sin pi) + ibi (sin pi - ¡лк cos pi)
Rkl =
mki =
2
ai(cos pk + ¡k sin pk) - ibi (sin pk - ¡k cos pk)
2Як1
Функция ) должна удовлетворять граничному условию [1, 2]
2КсйгЕ5 (г5) = ¡¡(1), (19)
в котором в случае задания значений температуры Т
йг = 1, ¡1 = Ти
а в случае задания плотности потока тепла дп
^ = гит, ¡1 = ! (д*п - Яы) йв + С1 о
Функции Фк(гк) (к = 1,4) должны удовлетворять граничным условиям [1, 2] 5
2Кв^2(йкИ, йк12, йш, йш) Фк(Ьк) = (М(Ь), М(Ь), ¡¡з(Ь), ¡и(Ь)), (20) к=1
где для неподкрепленных контуров
(dk¡l, dk¡2, йЫ3,, йк14) = (1, Лк, Vк, рк) ,
(¡11(Ь), ¡¡2(Ь), ¡¡з(Ь), ¡¡4(Ь)) = Ы, С12, С13, Си) , а для жестко подкрепленных контуров
(dk¡1, dk¡2, dk¡3, йк14) = (Рк, Як, Vк, рк) ,
(¡¡1(Ь), ¡¡2(Ь), ¡¡з(Ь), ¡¡4(Ь)) = (-и*, -V*, С13, Си).
В общем случае многосвязной полосы (рис. 1) неизвестные постоянные С5, О, С51п, йкы определяются из граничных условий (19) и (20) с использованием метода наименьших квадратов (МНК). Для этого на контурах Ь выбирается система точек М\т (т = 1, М», г = 1; С + 2, где г = С + р (р = 1, 2) относятся
к прямолинейным границам), в которых удовлетворяются граничные условия соответствующих задач.
В задаче теплопроводности, при подстановке функции (16) в граничное условие (19), для определения неизвестных постоянных C5, Di, C5in получается система линейных алгебраических уравнений [1, 2]
2 Re diC5 + 2 Re (kwu{him)Di + 2 Re (к^Ып^ышУып = fi(Um)
(г = l,£ + 2, т = ~рЩ),
где t5im = Xim + ¡15V im, tim = tim(xim, yim). Систему (21) решаем с использованием метода сингулярных разложений [5, 6]. После этого становятся известными постоянные C5, Di, C5in и, как следствие, комплексный потенциал теплопроводности (16). По известной функции (16) можно вычислять температуру и плотности потока тепла в любой точке полосы по формулам (1), (2) [1, 2].
В задаче термоэлектромагнитоупругости, граничным условиям (20) удовлетворить в дифференциальной форме [1, 2]:
2ReJ2dkiaSk,s&k(tk) = ^ - 2Bed5laS5>8r5F5(t5) (а = 1~4), (22)
где
ds k=l
Sk,s = dtk/ds,
L+2 те
Ф (zk) = Nk (Zk) + akin^kin(zk), (23)
Akizk + Bki
l=l n=l
L+2
Nk (Zk) = Tk + J2
i=i
Aki ln(zk - Zki) +
Vkln(zk) =
zk — zki n
КыСш1 ((I - ты) ■
При подстановке функций (16) и (23) в условия (22) для определения неизвестных постоянных аы1п получается следующая система линейных алгебраических уравнений [1, 2]:
4 С+2 те 4
2 ^ ^ ^ 2 ^е^кга^к,вЩк1п(^кгт)ак1п = —2 ^ ¿кга^к,в^ккгт) —
к=1 1=1 п=1 к=1 (24)
Л". _____
-2RedЪia5^srъFъ{tЪim) + (г = 1,С + 2, т = \,Ми а = 1,4),
где ^кгт — хгт + ркугт.
Систему (24) решаем с использованием метода сингулярных разложений [5, 6]. После этого становятся известными постоянные ак\п и, как следствие, комплексные потенциалы термоэлектромагнитоупругости (17). По известным
функциям (17) можно вычислять основные характеристики ТЭМУС в любой точке полосы по формулам (3)-(6) [1, 2].
4. Численные исследования. Были проведены численные исследования для полосы, изготовленной из композита на основе титаната бария-феррита (II) кобальта ВаТЮз — CoFe2O4 [7]. Его физико-механические и теплофизические постоянные приведены в табл. 1.
Таблица 1. Постоянные материала
Величина Значение Величина Значение
«п/«о 7,165 /З22//З0 0,137
«22/«0 6,797 VII/щ -0,190
«бб/«о 19,912 1*22/Щ -0,185
«12/«0 -2,337 Хи/Хо 0,336
016/до 2,028 Х22/Х0 0,119
921/до -0,496 0.1/0.0 8,530
322/до 1,157 0.2/0.0 1,990
Р1б/Р0 1,850 ¿2 До 133,000
Р2\/Р0 0,576 т^/то 133,000
Р22/Р0 1,186 кц/ко 2,500
Рп/Ро 0,156 к22/к0 2,500
Здесь приняты обозначения:
¿о = 10-6 МПа-1, д0 = 10-2 МКл-1 • м2, р0 = 10-5 МТл-1,
во = 103 МН • м2 • МКл-2, и0 = 10-1 МКл-1 • м • МА, %0 = 10-1 МПа • МТл-1, а0 = 10-6 К-1, г0 = 10-3 МН • (МКл • К)-1, т0 = 10-3 МА • (м • К)-1, к0 = 1 Вт • (м • К)-1.
Этот материал относится к кристаллографическому классу 6тт.
При проведении численных расчетов количество членов в рядах Лорана в функциях (16) и (17) и точек М\ на контурах Ь^, для которых составлялись системы линейных алгебраических уравнений (21) и (24), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (относительная погрешность не становилась менее сотых долей процента). Для этого, как показали исследования, в решаемых задачах, в зависимости от геометрических характеристик пластинок необходимо было в указанных рядах оставлять от 20 до 120 членов, на каждом из контуров брать от 500 до 2000 «коллокационных точек». Длина участков прямолинейных границ, на которых выбирались «коллокационные точки», составляла от 40 до 60 радиусов отверстий. Как показали исследования, для оптимальной сходимости численных результатов вспомогательные контуры Ьс+Р (р = 1,2) можно положить круговыми и размещенным на расстоянии 4-6 радиусов от соответствующих прямолинейных границ.
При проведении численных исследований решались задачи термоупругости (ТУ), когда не учитывались электромагнитные свойства материала, и термо-электромагнитоупругости (ТЭМУ), когда учитывались все свойства материала.
Рассматривался случай вертикальной полосы с одним круговым отверстием (а\ = Ъ\ = а) (рис. 2). Прямолинейные границы полосы считались теплоизолированными (д2п = Язп = 0). Линейный поток тепла направлялся вдоль полосы, т.е. под углом а = п/2 рад. [8, 9].
НИ
я ь
+ н н
я ь
к
а)
б)
Рис. 2
В табл. 2 для случая, когда круговое отверстие равноудалено от прямолинейных границ полосы (рис. 2, а), когда на контуре отверстия заданы значения температуры Т = 0 либо он теплоизолирован (д\п = 0), с точностью до плотности линейного потока тепла ц как множителя, приведены значения нормальных напряжений а3 в некоторых точках контура отверстия и прямолинейной границы на площадках, перпендикулярных контуру, в зависимости от значения отношения й/а расстояния между отверстием и прямолинейными границами й к радиусу отверстия а.
Таблица 2. Значения напряжений а. в точках полосы (рис. 2, а)
Тип задачи Точка Значения ¿/а
0,5 1 2 10 100 00
Тг = 0
ТЭМУ К -0,035 -0,178 -0, 283 -0,433 -0,448 -0,448
ь 0,212 0,274 0,356 0,465 0,476 0,476
к -0, 094 -0,091 -0,111 -0,032 0,000 0,000
ТУ к 0,130 0,249 0,216 0,210 0,204 0,204
ь 0,147 0,199 0,330 0,460 0,476 0,476
к -0,150 -0,198 -0,163 -0,030 -0,004 0,000
Яы = о
ТЭМУ к 0,094 0,262 0,335 0,438 0,448 0,448
ь -0,412 -0, 396 -0, 420 -0,470 -0,476 -0,476
к 0,179 0,136 0,132 0,032 0,000 0,000
ТУ к -0, 279 -0, 352 -0, 255 -0,212 -0, 204 -0, 204
ь -0, 323 -0, 299 -0,391 -0,465 -0,476 -0,476
к 0,328 0,280 0,186 0,028 0,004 0,000
Из результатов, приведенных в табл. 2, следует, что расстояние между отверстием и прямолинейными границами существенно влияет на значения напряжений в пластинке. Если на контуре отверстия заданы значения температуры, то наибольшая концентрация напряжений в полосе наблюдается, когда расстояние между отверстием и прямолинейными границами соизмеримо с радиусом отверстия (1 < й/а < 2). При приближении прямолинейных границ к контуру отверстия значения напряжений напряжений в зоне-перемычке и около контура
отверстия убывают. Если расстояние возрастает, то значения напряжений около контура отверстия возрастают, а около прямолинейных границ концентрация напряжений убывает. Если же контур отверстия теплоизолирован, то значения напряжений в перемычке и около отверстия сначала убывают, однако при расстоянии й/а < 0, 5 концентрация напряжений в перемычке начинает возрастать. Это связано с тем, что сужение перемычек с теплоизолированными краями вызывает рост плотности потоков тепла в перемычках. Если й/а > 10, то в обоих случаях взаимовлияние прямолинейных границ и отверстия становится незначительным и им можно пренебречь. При дальнейшем увеличении расстояния между отверстием и прямолинейными границами значения напряжений около отверстия стремятся к значениям для случая бесконечной пластинки с одним отверстием [9], а около прямолинейных границ они стремятся к нулю. Из других полученных результатов следует, что для всех случаев концентрация напряжений в полосе на большом расстоянии от отверстия снижается.
В табл. 3 для случая, когда расстояние от кругового отверстия до левой прямолинейной границы равно а, до правой — й (рис. 2, б), когда на контуре отверстия заданы значения температуры Т = 0 либо он теплоизолирован (Яы = 0), с точностью до плотности линейного потока тепла я как множителя, приведены значения нормальных напряжений а3 в некоторых точках контура отверстия и прямолинейных границ, в зависимости от значения отношения й/а.
Таблица 3. Значения напряжений а., в точках полосы (рис. 2, б)
Тип задачи Точка Значения ¿/а
1 2 10 100 00
Тг = 0
ТЭМУ К -0,178 -0,271 -0, 484 -0, 535 -0,538
ь 0,274 0,320 0,407 0,413 0,414
м -0,178 -0,187 -0,137 -0,118 -0,114
к -0,091 -0,093 -0,141 -0,162 -0,165
Б -0,091 -0,118 -0, 048 -0,001 0,000
ТУ К 0,249 0,131 0,024 -0, 003 -0,004
ь 0,199 0,282 0,303 0,311 0,311
м 0,249 0,311 0,351 0,354 0,355
к -0,198 -0,261 -0, 270 -0, 267 -0,269
Б -0,198 -0,148 -0,014 -0, 003 0,000
Ч\П = о
ТЭМУ К 0,262 0,349 0,552 0,604 0,605
ь -0,396 -0,413 -0,462 -0, 464 -0,464
м 0,262 0,245 0,156 0,129 0,127
к 0,136 0,126 0,168 0,191 0,193
Б 0,136 0,153 0,055 0,001 0,000
ТУ К -0,352 -0,169 -0,027 0,003 0,014
ь -0,299 -0, 365 -0, 348 -0, 342 -0, 340
м -0,352 -0, 400 -0, 400 -0, 447 -0,455
к 0,280 0,330 0,306 0,317 0,318
Б 0,280 0,180 0,015 0,003 0,000
Из результатов, приведенных в табл. 3, следует, что при увеличении отношения d/a напряжения около отверстия и в зоне-перемычке с левой прямолинейной границей стремятся к значениям для случая полуплоскости с отверстием [4], а около правой прямолинейной границы напряжения стремятся к нулевым значениям. Из других полученных результатов следует, что на большом удалении от отверстия концентрация напряжений полосе снижается.
Выводы. В результате исследований установлено, что пренебрежение электромагнитными свойствами материала приводит к большому искажению результатов. Для получения корректных оценок напряженного состояния эти свойства следует учитывать в расчетах по разработанной в статье методике.
1. Калоеров С.А. Плоская задача термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред / С.А. Калоеров, О.А. Сорочан // Прикладная механика. - 2009. - Т. 45, № 4. - С. 81-91.
2. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинках с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2018. - № 1. - С. 15-26.
3. Калоеров С.А. Термоэлектромагнитоупругое состояние многосвязной анизотропной полуплоскости / С.А. Калоеров, О.А. Сорочан // Теорет. и прикладная механика. - 2010. -Вып. 1 (47). - С. 45-61.
4. Глушанков Е. С. Действие линейного потока тепла в многосвязной полуплоскости из пье-зоматериала / Е.С. Глушанков // Журн. теорет. и прикл. мех. - 2020. - №. 1. - С. 16-27.
5. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.
6. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.
7. Tian W.-Y. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids / W.-Y. Tian, U. Gabbert // Europ. J. Mech. Part A. - 2004. - Vol. 23. - P. 599-614.
8. Калоеров С.А. Потенциальные электромагнитные поля в пьезопластинах при механических, электромагнитных и тепловых воздействиях / С.А. Калоеров // Вестник Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2016. - № 4. - С. 19-34.
9. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинах / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Вестн. Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2017. - № 1. -С. 12-25.
E.S. Glushankov
The linear heat flux action in infinite multiply connected piezoelectric strip.
With using the conformal mapping and the complex potentials the problem of determining the thermo-electro-magneto-elastic state of infinite multiply connected piezoelectric strip under linear heat flux action is solved. The evaluation of the unknown coefficients of complex potentials is carried out using the boundary conditions and the least squares. The regularities of effect of strip's geometric characteristics and the properties of its material on the stress concentration in the strip are set with the numerical studies.
Keywords: linear heat flux, thermo-electro-magneto-elastic state, infinite strip, thermal stresses, complex potentials.
ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», г. Донецк Получено 14.08.2020
evgenij.glushankov@gmail.com
