ТЕРМОНАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ В УСЛОВИЯХ НЕРАВНОМЕРНОГО КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА С ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛИНЕЙНОГО ПОТОКА ТЕПЛА Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

doi:10.24412/0136-4545-2023-2-39-47

EDN:FLTAHT

©2023. Е.С. Глушанков1

ТЕРМОНАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ В УСЛОВИЯХ НЕРАВНОМЕРНОГО КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА С ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛИНЕЙНОГО ПОТОКА ТЕПЛА

В данной работе представлено решение задачи о действии линейного потока тепла в бесконечной многосвязной пластинке из анизотропного материала, когда на ее контурах имеет место неравномерный конвективный теплообмен с внешней средой. Решение было получено с применением конформных отображений, функций комплексной переменной и метода наименьших квадратов. Численными исследованиями установлено влияние геометрических характеристик пластинки, механических свойств ее материала, а также коэффициента теплообмена на термонапряженное состояние пластинки.

Ключевые слова: линейный поток тепла, многосвязная анизотропная пластинка, конвективный теплообмен, температурные напряжения, комплексные потенциалы.

Введение. В настоящее время широкое применение в науке и технике находят конструкции, содержащие в качестве элементов тонкие пластинки из анизотропных материалов. По технологическим и эксплуатационным причинам эти пластинки могут иметь отверстия или трещины, около которых под воздействием температурных полей могут возникать высокие концентрации напряжений [1]. К настоящему времени решено большое количество задач о влиянии температурных воздействий на напряженно-деформированное состояние пластинок [2, 3, 4, 5]. Также решено большое количество задач о влиянии конвективного теплообмена на напряженно-деформированное состояние упругих тел [6, 7, 8, 9].

Целью данной работы является решение задачи термоупругости о действии линейного потока тепла в пластинке из анизотропного материала, когда на контурах пластинки имеет место неравномерный конвективный теплообмен с внешней средой. Задача решена с использованием конформных отображений, функций многих обобщенных комплексных переменных, метода наименьших квадратов. Проведены численные исследования упругого состояния пластинки с одним

1 Глушанков Евгений Сергеевич - канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости и вычислительной математики имени акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: evgenij.glushankov@gmail.com.

Glushankov Evgenij Sergeevich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

круговым отверстием. Показано влияние механических свойств материала пластинки, а также характеристик коэффициента теплообмена на распределение напряжений в пластинке.

1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную многосвязную пластинку из анизотропного материала, занимающую область S, ограниченную контурами эллиптических отверстий Li (I = 1, С) с центрами в точках Oi(x0i,y0i), с полуосями щ, bi и углами поворота pi (рис. 1). Контуры Li могут располагаться произвольно относительно друг друга. Через контуры пластинки имеет место конвективный теплообмен с внешней средой температуры Ti, характеризуемый переменным коэффициентом hi (т) . Контуры отверстий свободны либо жестко подкреплены. На бесконечности под углом а к оси Ox действует линейный тепловой поток плотности q, а механические воздействия отсутствуют.

Несвязанную задачу термоупругости для анизотропной пластинки будем решать с использованием комплексных потенциалов. Задача сводится к последовательному определению сперва комплексного потенциала теплопроводности F3(z3), а затем комплексных потенциалов упругого состояния &k{zk) (k = 1, 2) из соответствующих граничных условий.

Значения основных характеристик температурного поля (температура T, плотности потока тепла qx, qy) в любой точке пластинки можно определять по формулам [4, 5]

T = T * +2Re F3(z3), (1)

(qx, qy) = (q*x, q*) +2Re in (цэ, -1) F3(z3). (2)

Здесь

T* = q (txX + tyy),

tx =

k22 cos a — k\2 sin a

ty =

kn sin a — k12 cos a

qX = —q cos a, qy = —q sin a;

к

\]кцк22 ~ &i2;

цэ — корень характеристического уравнения теплопроводности [4, 5]

k22h2 + 2ki2 ц + kn = 0.

(3)

kij — коэффициенты теплопроводности материала пластинки.

Значения основных характеристик термонапряженного состояния (напряжения ax, uy, Txy, перемещения u, v) в любой точке пластинки можно определять

по формулам [4, 5]

где

3

(ox, Oy, TXy) = 2Re ^ p, 1, —рк) Ф'к(гк), к=1

3

(u, v) = 2 Re E (pi, qi) Фк(zi),

к=1

Pk

all Pk — а1бРк + ai2 +

$кЗ®1

Г3

. a22 . &к3а2

Qk — d\2Pk — «26 4------1-----,

Рк Г3Р3

_ ка(рз)

3 ка(рз) ’

l2a(P3) = —aip3 + a6P3 — a2,

$3^3) = r J F3(z3) dz3,

(4)

(5)

цк (k = 1, 2) — корни характеристического уравнения плоской задачи теории упругости [4, 5]

Мр) = 0, (6)

ka(p) = aii p4 + 2ai6p3 + (2ai2 + абб)р2 + 2a26P + a22,

aj — коэффициенты деформации материала пластинки; a — коэффициенты линейного теплового расширения материала пластинки; bj — символ Кронекера.

Функции F3(z3), Фk{zk) (к = 1, 2) определены в многосвязнв1х областях S3, Si , получаемых из области S аффинными преобразованиями [4, 5]

Z3 = ж + p3y, (7)

zi = х + рк у. (8)

В общем случае функции F3(z3), Фk{zk) (к = 1, 2) будут иметв вид [4, 5]

L Lx

F3(z3) = С3 + ^ D31 W3i(z3) + ЕЕ c3lnlp3ln(z3)] (9)

l=i l=i n=i

L ж

Фк (zi) = Ni (zi) + EE aklnlpkln(zk). (10)

l=i n=i

Здесь C3, D3l — вещественные постоянные, определяемая из граничных условий задачи теплопроводности; w3l(z3) = ln(z3 — z3l); z3l — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (7) произвольным точкам внутри контуров Li;

c3in — комплексные постоянные, определяемые из граничных условий задачи теплопроводности; w3ln(z3) — Z—n; (3i — комплексные переменные, определяемые из конформных отображений;

L

Nk(zk) — rkzk + ^ 'XAklzk + Bkl)wkl(zk); l=1

rk, Akl, Bkl — комплексные постоянные, определяемые из решений систем уравнений

3

Y1 (!> ^, Pk, qk - mk rk — (о, о, о, о),

k=1

3

^ (1, Pk, Pk, Qk) iAkl — (0, 0, 0, 0),

k=1

3

^ (1, Pk, Pk, Qk) iBkl — (0, 0, 0, 0) ;

k=1

Гз — ГзСз; A3l — r:iD3l; Вз1 — гз (сзцЕз1 - D3lz3l); wH(zk) — In (zk - zw); zH

— точки, соответствующие при аффинном преобразовании (8) произвольным точкам внутри контуров Li; akln — комплексные постоянные, определяемые из граничных условий задачи термоупругости; Wkln(zk) — СйП; Zkl — комплексные переменные, определяемые из конформных отображений.

В локальных системах координат OlXlyl параметрические уравнения эллипсов (рис. 1) имеют вид [4, 5]

xl — al cos 9, yl — bl sin 9,

а в основной системе координат OXy —

x — xoi + xi cos Wl - yl sin Wl,

У — yol + xi sin wl + yl cos Wl ■

Здесь 9 (0 < 9 < 2п) — угловой параметр уравнения контура.

Комплексные переменные (k = 1, 3) подлежат определению с исполь-

зованием функций конформных отображений внешностей единичных кругов \Zkl\ > 1 на внешности эллипсов Lkl [4, 5]

Zk = zkl + Rkl (Сы + ^ ) (11)

где

Rkl

zkl — xol + Pk yol,

Щ(cos ipi + Pk sin^) +ibi (sin <fi 2

Pk COS ifi)

)

mkl =

Щ(cos щ + ilk sin (pi) - ibi(sin qy - цк cos ipt) 2Rki

Функция Fs(z3) должна удовлетворять граничному условию [4, 5]

2Re (hi(т)F3(тз) + гк53,з(t3)F3(r3)) = q*n(т) - hi(r) (T*(т) - %), (12)

где 53,s(r3) = dr3/ds, s — дуга контура отверстия;

qn(т) = q*x cos(nx) + q* cos(ny);

r — аффикс граничной точки; т3 — точка, получаемая из т при аффинном преобразовании (7).

Функции Фk(zk) (k = 1, 2) должны удовлетворять граничным условиям задачи термоупругости [4, 5]

2Re^(dfcn, dki2) 5к>3(тк)Ф'к(тк) =

k=1 ' S S

(13)

где 5к>3(тк) = drk/ds', тк (к = 1, 2) — комплексные переменные, отвечающие точкам на контуре при аффинных преобразованиях (8). Для неподкрепленных контуров Li

(dkl1, dkl2) = (1, Pk) , (fl1, fl2) = (cl1, cl2) , а для жестко подкрепленных контуров

(dkl1, dkl2) = (Pk, qk), (fl1, fl2) = ( u*(т) + cn, -у*(т) + cl2);

Clj — неизвестные постоянные интегрирования.

2. Решение задачи. В общем случае многосвязной области (рис. 1) неизвестные постоянные c3, D3l, c3ln, akln, входящие в функции (9) и (10), определяются из граничных условий (12) и (13) с использованием метода наименьших квадратов. Для этого на контурах Д (г = 1,£) выбирается система точек Mim(xim,yim) (m = 1,Л4г), в которых следует удовлетворять граничным условиям задач теплопроводности и термоупругости.

Задача теплопроводности. При подстановке функции (9) в граничное условие (12), для определения неизвестных постоянных c3, D3l, c3ln получается следующая система линейных алгебраических уравнений:

L

2Rehl(nm)c3 +2Re^ (hl(тim)wзl(т3т) + 1к53^(т3гт)^^1 )) D3l+

l=1

L ^ (14)

+2Re EE {hl(тim)(Pзln(т3гт) + iк8з>s(т3im)Pзln(т3im) c3ln =

l=1 n=1

= q*n(Tim) - hi(Tim) (T*(Tim) - %) (i = 1, С, m = l, Mi),

где T3im = xim + p3yim, Tim — аффикс точки Mim. После решения этой системы с использованием метода сингулярных разложений [10] постоянные С3, D31, C3in, а следовательно, и комплексный потенциал теплопроводности (9) будут известны. По известной функции (9) можно в любой точке пластинки найти температуру и плотности потока тепла по формулам (1), (2) [4, 5].

Задача термоупругости. При подстановке функций (9) и (10) в граничные условия (13) для определения неизвестных постоянных akin получается следующая система линейных алгебраических уравнений:

2 L о

2Re ЕЕЕ dkip^k,s{,Tkim)^kln (Tkim) akln

k=l l=1 n=l

2

= 2Re dkipdk,s{Tkim)Nk (Tkim)

k=1

-2Red3ip^3;s(T3im)r3F3(T3im) +

dfip

ds

(Tim)

(i = 1, C, m = 1, Mi, p = 1, 2),

(15)

где Tkim = xim + pkyim. После решения этой системы с использованием метода сингулярных разложений [10] постоянные akin, а следовательно, комплексные потенциалы термоупругости (10) будут известны. По известным функциям (10) можно в любой точке пластинки находить значения основных характеристик термонапряженного состояния по формулам (4)—(5) [4, 5].

3. Численные исследования. Были проведены численные исследования для пластинок из следующих материалов:

— текстолит КАСТ-В изотропный [3] модифицированный (материал М1):

ап = 74,92ao, a22 = 74,92ao, ai2 = —8,99ao, a66 = 167, 79ao,

a1 = 3,0ao, a2 = 3,0ao, k11 = 144, 00ko, k22 = 144, 00ko;

— стеклопластик косоугольной намотки с наполнителем из алюмоборосиликатного стекла и связующим агентом из малеиновой эпоксидной смолы [3] модифицированный (материал М2):

a11 = 272,17ao, a22 = 1019,37ao, a12 = —76,15ao, a66 = 2548,42ao,

ai =0, 7ao, a2 = 3,8ao, kn = 2, 79ko, k22 = 1,21ko.

Здесь a0 = 10 6 МПа

-1

ао

= 10-5 К-1, k0 = 10-2 Вт • (м • К)

1

При проведении численных расчетов количество членов в рядах Лорана в функциях (9), (10) и количество точек Mim на контурах Li, для которых составлялись системы линейных алгебраических уравнений (14) и (15), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (относительная погрешность не становилась менее сотых долей процента). Для этого, как показали расчеты, в решаемых задачах для случая материала М1, являющегося изотропным, необходимо было в рядах Лорана сохранять от 30 до 40 членов, на каждом из контуров брать от 200 до 400 «коллокационных» точек, а для случая материала М2, обладающего сильной анизотропией, необходимо было в рядах сохранять от 100 до 200 членов, на каждом из контуров брать от 1000 до 3000 «коллокационных» точек.

В таблице 1 для пластинки с одним круговым отверстием радиуса a (a1 = b1 = a) (рис. 2), в которой действует линейный поток тепла плотности q под углом а = п/2, через неподкрепленный контур которого имеет место конвективный теплообмен c коэффициентом h = H (1 + cos в) с внешней средой температуры T = 0, с точностью до q, как множителя, приведены значения напряжений us/ao в некоторых точках контура отверстия с центральным углом в на площадках, перпендикулярных контуру, в зависимости от значения Ha.

ц + +

Рис. 2

Таблица 1. Значения нормированных напряжений as/a0 в точках контура отверстия

в, Значения На

рад. 0 0,001 0,01 0,1 1 10 1000 ОС

Материал Ml

7г/12 -0,072 -0,072 -0,071 -0,063 -0,015 0,049 0,069 0,072

7Г/6 -0,139 -0,139 -0,137 -0,121 -0,030 0,095 0,133 0,139

7г/4 -0,197 -0,196 -0,194 -0,171 -0,042 0,135 0,188 0,197

tv/3 -0,241 -0,240 -0,238 -0,210 -0,051 0,165 0,230 0,241

5тг/12 -0,269 -0,268 -0,265 -0,234 -0,057 0,184 0,257 0,269

tv/2 -0,278 -0,278 -0,274 -0,242 -0,059 0,190 0,266 0,278

7тг/12 -0,269 -0,268 -0,265 -0,234 -0,057 0,184 0,257 0,269

2тг/3 -0,241 -0,240 -0,238 -0,210 -0,051 0,165 0,230 0,241

Зя/4 -0,197 -0,196 -0,194 -0,171 -0,042 0,135 0,188 0,197

57г/6 -0,139 -0,139 -0,137 -0,121 -0,030 0,095 0,133 0,139

Птг/12 -0,072 -0,072 -0,071 -0,063 -0,015 0,049 0,069 0,072

Материал М2

tv/12 -0,314 -0,267 -0,013 0,355 0,460 0,475 0,476 0,477

TV/6 -0,535 -0,459 -0,040 0,592 0,782 0,809 0,812 0,812

Тг/4 -0,700 -0,607 -0,088 0,747 1,018 1,057 1,062 1,062

tv/3 -0,926 -0,812 -0,163 0,946 1,338 1,398 1,405 1,406

5тг/12 -1,396 -1,227 -0,267 1,390 2,008 2,106 2,118 2,119

tv/2 -1,880 -1,637 -0,277 1,931 2,711 2,838 2,853 2,855

7тг/12 -1,396 -1,204 -0,135 1,522 2,033 2,109 2,118 2,119

2тг/3 -0,926 -0,800 -0,096 1,024 1,357 1,400 1,405 1,406

Зтг/4 -0,700 -0,611 -0,110 0,733 1,022 1,058 1,062 1,062

5тг/6 -0,535 -0,473 -0,118 0,505 0,763 0,808 0,812 0,812

Птг/12 -0,314 -0,280 -0,083 0,266 0,425 0,468 0,476 0,477

В таблице 2 для пластинки из материала М1 с одним круговым отверстием радиуса a, в которой действует линейный поток тепла плотности q под углом a = п/2, через неподкрепленный контур которого имеет место конвективный теплообмен c коэффициентом hi = H (1 + sin 9) с внешней средой температуры Ti = 0, с точностью до q, как множителя, приведены значения напряжений as/ao в некоторых точках контура отверстия, в зависимости от значения Ha.

Таблица 2. Значения нормированных напряжений as/ao в точках контура отверстия

<9, Значения На

рад. 0 0,01 0,1 1 10 100 ОС

■к/12 -0,072 -0,071 -0,067 -0,039 0,022 0,057 0,072

7г/6 -0,139 -0,138 -0,130 -0,075 0,042 0,111 0,139

7г/4 -0,197 -0,195 -0,184 -0,105 0,060 0,157 0,197

7г/3 -0,241 -0,239 -0,225 -0,129 0,073 0,192 0,241

5тг/12 -0,269 -0,267 -0,251 -0,144 0,082 0,214 0,269

тг/2 -0,278 -0,276 -0,260 -0,149 0,085 0,221 0,278

В таблицах случай Ha = 0 соответствует теплоизолированному контуру отверстия, а Ha = ж соответствует случаю, когда на контуре отверстия задана температура, равная температуре внешней среды.

Выводы. Из представленных данных следует, что коэффициент теплообмена оказывает очень сильное влияние на значения напряжений в окрестности контуров отверстий. Для вышеуказанных распределений коэффициента теплообмена часть контура отверстия плохо поддерживает теплообмен (практически теплоизолирована) при любых значениях параметра Ha.

Для материала М1, обладающего более высокими значениями коэффициентов теплопроводности (лучшей теплопроводностью), при значениях Ha < 0, 01 контур отверстия можно считать полностью теплоизолированным; при значениях Ha > 100 теплоизолированная зона оказывается достаточно малой, чтобы оказывать существенное влияние термонапряженное состояние, и можно полагать, что на контуре отверстия задана температура, равная температуре внешней среды. Для материала М2, обладающего более низкой теплопроводностью, при значениях Ha < 0, 001 контур отверстия можно считать полностью теплоизолированным; а при Ha > 10 можно полагать, что на контуре отверстия задана температура, равная температуре внешней среды.

Для случая пластинки из изотропного материала М1, значения напряжений as по контуру обладают симметрией относительно линии действия линейного потока тепла (относительно точки 9 = п/2 рад.). В пластинке из сильно анизотропного материала М2, если коэффициент теплообмен не симметричен, указанная симметричность напряжений отсутствует, сохраняясь лишь для предельных случаев Ha = 0 и Ha = ж. При этом, более высокие значения напряжений возникают в зоне с ухудшенным теплообменом.

Более высокая концентрация напряжений наблюдается в пластинке из материала М2, обладающего более низкими коэффициентами теплопроводности

(худшей теплопроводностью). При этом, материал М2 обладает и более высокими значениями коэффициентов деформации (меньшей жесткостью), отчего следует ожидать меньших значений напряжений. Следовательно, влияние теплопроводящих свойств материала является более значительным по сравнению с упругими свойствами.

Исследования проводились по теме государственного задания в ФГБОУ ВО «ДонГУ» (код FRRE-2023-0001).

1. Мотовиловец И.А. Термоупругость / И.А. Мотовиловец, В.И. Козлов. - К.: Наук. думка, 1987. - 264 с. (Механика связных полей в элементах конструкций: В 5 т., Т. 1).

2. Подстригач Я.С. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно. - К.: Наук. думка, 1972. - 308 с.

3. Космодамианский А. С. Температурные напряжения в многосвязных пластинках / А.С. Космодамианский, С.А. Калоеров. - Киев-Донецк: Вища школа, 1983. - 160 с.

4. Калоеров С.А. Термонапряженное состояние анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Ю.С. Антонов // Прикладная механика. - 2005. - Т. 41, № 9. - С. 127-136.

5. Калоеров С.А. Термоупругое состояние анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами при действии линейного потока тепла и температуры на контурах / С.А. Калоеров, Ю.С. Антонов // Теорет. и прикладная механика. - 2005. - Вып. 40. - С. 102-116.

6. Гарматт Г.Ю. Термопружний стан безмежного термочутливого тша з цилшдричною порожниною за умови конвективного теплообмшу / Г.Ю. Гарматш, В.С. Попович // Мат. методи i ф1з.-мех. поля. - 2009. - Вип. 52, № 3. - С. 192-200.

7. Parihar K.S. Transient heat conduction and analysis of thermal stresses in thin circular plate / K.S. Parihar, S.S. Patil // J. Therm. Stress. - 2011. - Vol. 34, № 4. - P. 335-351.

8. Gaikwad K.R. Analysis of transient thermoelastic temperature distribution of a thin circular plate and its thermal deflection under uniform heat generation / K.R. Gaikwad, Y.U. Naner // J. Therm. Stress. - 2021. - Vol. 44, № 1. - P. 75-85.

9. Nguyen T.D. Frequency dependence of the magnitude of thermal stresses in a flat plate subjected to rapid thermal cycling by convective heating and cooling / T.D. Nguyen, J.R. Thomas Jr., D.P.H. Hasselman // J. Therm. Stress. - 1987. - Vol. 10, № 3. - P. 163-175.

10. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.

E.S. Glushankov

The thermoelastic state of the infinite multiply connected anisotropic plate in conditions of non-uniform convective heat transfer under linear heat flux action.

A solution is presented for the problem of linear heat flux acting in the infinite multiply connected anisotropic plate, when a non-uniform convective heat transfer with external environment occurs on its contours. The solution was obtained with using the conformal mappings, the complex potentials and the least squares. The effect of plates’s geometric characteristics, the properties of its material, and the heat transfer characteristics on the thermoelastic state of the plate was brought out with the numerical studies.

Keywords: linear heat flux, multiply connected anisotropic plate, convective heat transfer, thermal stresses, complex potentials.

Получено 17.05.2023