CC BY
2ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№1 (82) / 2023.
УДК 539.3
doi:10.24412/0136-4545-2023-1-21-31 EDN:CAUKQV
©2023. Е.С. Глушанков1
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОСТИ ДЛЯ МНОГОСВЯЗНОЙ ПЛАСТИНКИ ИЗ ПЬЕЗОМАТЕРИАЛА ПРИ СКАЧКАХ ТЕМПЕРАТУРЫ НА КОНТУРАХ
В данной работе рассмотрена задача о действии температуры, имеющей конечное число скачков, на контурах бесконечной многосвязной пластинки из пьезоматериала. Численными исследованиями установлены закономерности влияния такого распределения температуры на возникающее термоэлектромагнитоупругое состояние с учетом физически реальных условий.
Ключевые слова: многосвязная пластинка, термоэлектромагнитоупругость, скачок температуры на контуре, температурные напряжения, комплексные потенциалы.
Введение. В различных типах научного оборудования, в приборах и технических устройствах в качестве конструкционных элементов находят достаточно широкое применение тонкие пластинки из пьезоматериалов [1]. Эти пластинки могут подвергаться действию внешних температурных, силовых и электромагнитных полей, в результате чего в них могут возникать значительные температурные напряжения, которые следует учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций [2-5]. К настоящему времени решены различные классы задач термоэлектромагнитоупругости для тел из пьезоматериалов, в т.ч. плоские задачи о действии разности температур на контурах пластинок [6], о действии линейного (однородного) потока тепла [7, 8]. А в статье [9] решена задача термоупругости для многосвязной анизотропной пластинки, на контурах которой имеют место скачки температуры.
В данной работе решена задача термоэлектромагнитоупругости для многосвязной пластинки из пьезоматериала, когда на контурах пластинки температура имеет конечное число точек разрыва 1-го рода (имеют место резкие скачки температуры). При решении задачи разрывная граничная функция аппроксимируется близкой к ней непрерывной функцией. Впрочем, в реальных условиях
1 Глушанков Евгений Сергеевич - канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости и вычислительной математики имени акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонНУ, Донецк, e-mail: [email protected].
Glushankov Evgenij Sergeevich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Donetsk National University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky
температура не может быть разрывной, т.е. на контуре она и будет непрерывной функцией, а изменение температуры между двумя «предельными» значениями скачка будет происходит в достаточно малой области контура. Учитывая это, решение задачи строится с использованием известного подхода с применением аппарата конформных отображений, комплексных потенциалов термоэлектро-магнитоупругости, метода наименьших квадратов. Проведены численные исследования термоэлектромагнитоупругого состояния (ТЭМУС) бесконечных пластинок с одним и двумя круговыми отверстиями с установлением закономерностей влияния распределения температуры на контурах, геометрических характеристик пластинки, свойств ее материала на значения основных характеристик ТЭМУС в пластинке.
1. Постановка и решение задачи. Рассмотрим пластинку из пьезоматериала, занимающую бесконечную многосвязную область 5, ограниченную контурами эллиптических отверстий Ь[ (I = 1, С) с центрами Ог{х01,у01), полуосями щ, Ъ[, углами поворота фI (рис. 1). Контуры Ь[ могут располагаться произвольно относительно друг друга, в т.ч. и пересекаться, образуя криволинейные контуры. На контурах ^ пластинки заданы разрывные значения температуры Т (т). Контуры не подкреплены либо жестко подкреплены, потоки индукций электромагнитного поля через контуры равны нулю. На бесконечности напряжения и индукции электромагнитного поля равны нулю.
Заданные функции Т\(т) = ?](ж, у) (I = 1, С) являются кусочно-непрерывными на контурах и имеют конечное число точек разрыва 1-го рода (скачков)
К{хЪУ?3) (1 = 1^,3 = 1^).
Если несвязанную задачу определения ТЭМУС пластинки решать с использованием комплексных потенциалов, то она сводится к определению сперва комплексного потенциала теплопроводности ^5 (¿5), а затем комплексных потенциалов термоэлектромагнитоупругости Ф¡-{¿к) (к = 1, 4) из граничных условий соответствующих задач. После определения этих функций значения основных характеристик ТЭМУС (температура Т, плотности потока тепла дх, ду, напряжения ох, оу, тху, индукции электромагнитного поля Ох, Ву, Вх, Ву, напряженности электромагнитного поля Ех, Еу, Нх, Ну, перемещения и, V, потенциалы электромагнитного поля ф, ф) в точках пластинки можно определять по формулам [6, 7]
Т = 2И,е ^5 (25); (1)
(Ях, Яу) = 2И,е гкт (^5, -1) ^5(25); (2)
5
(ох, Оу, тху) = 2Ие 1, -ук) Ф'к(2к); (3)
к=1
5
(Бх, Бу, Бх, Ву) = 2И,е ^ (икцк, -V к, ркцк, -рк) Ф'к(гк);
к=1
5
(Ех, Еу, Их, Ну) = -2Ке^ Н, цкг0, Нк, цк) Ф'к(*к);
к=1
(и, V, <р, ф) = 2Яе ^ (Рк, Чк, г0, Н0) Фк(гк).
(5)
(6)
=1
Здесь
= \!кцк22 - к\2]
1^5 и /¿к (к = 1, 4) — соответственно корни характеристических уравнений теп-
лопроводности
к22 Ц2 + 2^12 ц + кц = 0; и электромагнитоупругости [6, 7]
¡8(ц) = 0,
где
¡8 (ц) =
¡4з (ц) ¡3д (ц) ¡3р (ц) ¡3д (ц) ¡2/3 (ц) ¡2и (ц) ¡3р(ц) ¡2и (ц) ¡2х(ц)
¡4з (ц) = SllЦA + 2в16ц3 + (2в12 + 8бб)ц2 + 2в26ц + 822,
¡3д (ц) = 911ц3 - (921 + 91б)ц2 + (912 + 926)ц + 922, ¡3р(ц) = Р11 ц3 - (Р21 + Р1б)ц2 + (Р12 + Р2б)ц + Р22,
¡2/3 (ц) = -виц2 + 2в12ц - в22,
¡2и (ц) = -V11ц2 + 2^12 ц - »22, ¡2х(ц) = -хиц2 + 2Х12ц - Х22;
Vк
Рк =
¡3р(цк)¡2v (цк) - ¡3д (цк)^х(цк)
(к = 1,4), 1/5 =
¡2в (цк^2х (цк) - ¡1и (цк)
Г5 '
¡2в (цк)Ьх(цк) - Щи (цк)
(к = 1,4), Р5 =
Г5
¡5(ц5) ¡х(ц5) ¡ш (ц5)
Г5 = , гх = тЧ—Г, Ги
¡8(ц5)
¡5 (ц5) =
¡8(ц5)
¡8(ц5)
¡2а(ц5) ¡3д (ц5) ¡3р(ц5) ¡и(ц5) ¡2/3 (ц5) ¡2и (ц5) ¡1т(ц5) ¡2и (ц5) ¡2х(ц5)
(7)
г
х
г
ш
14«(У5) 12а(У5) 13р (У5)
1Х (У5) = 13д (У5) кг(У5) ¿2^ (У 5)
¿3р(У5) 11т (У5) 12х(У5 )
14«(У5) ¿3д (У5) ¿2а (У5)
к (У5) = ¿3д (У5 ) ¿2/3 (У5 ) ¿и(У5)
1зр(У5 ) ¿2^ (У5 ) ¿1т(У5)
¿2а(У5) = -а1у5 + абУ5 - а2, 1и(^5) = tlУ5 - ¿2, ктУ) = ^1^5 - Ш2;
Рк = Вцук - в1б^к + «12 - (911Ук - 912Н - (Р11 Ук - Р12)рк +
Ьк5(*1
«22
Г 5 Ьк5а2
Як = «12Цк - «26 Н---(921^к ~ 922)"к ~ ('Р21^к ~ Р22)рк +
Ук Г5У5
Г 5 , Г5 '
гк = 911 /Л - 91бУк + 912 - (впУк - А2Н - - ^12)рк +
^к = Р11/к - Р1б/к + Р12 - (^11/к - У12Н - (Х11/к - Х12)рк +
$5(25) = ^5(25) й25;
кц — коэффициенты теплопроводности материала пластинки; вц — коэффициенты деформации материала; и р^ — пьезоэлектрические и пьезомагнитные модули материала; вц, Щ и Х%] — коэффициенты диэлектрической, электромагнитной и магнитной проницаемостей материала; аг — коэффициенты теплового расширения; ¿г и тг — пироэлектрические и пиромагнитные модули материала; — символ Кронекера.
Функции ^5(25), Фк{%к) (к = 1,4) определены в многосвязных областях ¿>5, Б к, получаемых из области 5 аффинными преобразованиями [6, 7]
¿5 = х + /5У,
2к = х + УкУ-В общем случае эти функции имеют вид [6, 7]
С С <х
^5(25) = С5 + ^ АгW5l(Z5) + ^ ^ С51пф51п(25);
(9) (10)
(11)
1=1
1=1 п=1
С оо
Фк(¿к) = N(¿к) + ^ ^ ак1пфк1п(2к)- (12)
1=1 п=1
Здесь С5 — вещественная постоянная, определяемая из граничных условий; О51 = -дг/Апкт — вещественные постоянные, определяемые из граничных условий; дг — суммарный тепловой поток через контур Ь в область 5; w5l(z5) =
1п (¿5 — г5[); — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (9) произвольным точкам внутри контуров 1ц\ С5\п — комплексные постоянные, определяемые из условий на контурах пластинки; р5гп^5) = (—п; (51 — комплексные переменные, определяемые из конформных отображений;
L
Nk (zk) = Гк + ^2(AklZk + Bkl)wki(zk),
1=1
Гк, Aki, Bki — постоянные, определяемые из решений систем уравнений 5
Y (1 lk, lk, Qk - IkPk, Vk, lkVk, Pk, IkPk) rk = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ; k=i
5
Y^ (1, ik, Pk, Qk, Vk, Pk, rI, h°k) iAki = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ; k=i 5
Y (1, lk, Pk, Qk, Vk, Pk, r0, h°k) iBki = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0);
k=i
Г5 = Г5С5; A5i = Г5D5i; B5i = Г5(c5iiR5i - D5iZ5i); wki = 1n(zk - zki); Zki — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (10) произвольным точкам внутри контуров Li; pkin(zk) = Z-П; Zki — комплексные переменные, определяемые из соответствующих конформных отображений.
В локальных системах координат Oixiyi параметрические уравнения эллипсов (рис. 1) имеют вид [6, 7]
xi = ai cos в, yi = bi sin в,
а в основной системе координат Oxy —
x = Xki + xi cos ^i - yi sin pi, y = yki + xi sin pi + yi cos pi,
Здесь в — угловой параметр (0 < в < 2п).
Тогда каждой из точек скачка температуры M0 (xkj, yj соответствует некоторое значение этого параметра 00 такое, что
xkj = xki + ai cos pi cos O0j - bi sin pi sin 00, ykj = yki + ai sin pi cos в0 + bi cos pi sin в0.
Соответственно, каждая кусочно-непрерывная функция Ti(x, y) = Ti(0) на контуре Li представима в виде совокупности функций, определенных и непрерывных на каждой дуге контура Li, ограниченной точками скачка Mk:
Щх, у) = Т№ = {Ту (0) \j = hJi,9e (0°, e?tj+1)}.
Переменные (ы, (кг определяются из конформных отображений [6, 7]
= гы + В-ы ((ы + ^¡г^ (13)
внешностей единичных кругов | ^г | > 1, |Скг|> 1 на внешности эллипсов Ь5г, Ькг, получаемых из Ьг аффинными преобразованиями (9), (10). Здесь
Нкг = ткг =
¿кг = хог + У к У кг,
Щ(сое щ + ук эт <рг) + гб^т щ - ук соъ щ) 2
аг (сое фг + У к зт фг) - гЬг ^т фг - У к еоз фг)
2йкг
Функция ^5 (¿5) должна удовлетворять граничному условию [6, 7]
2Ке^5 (Г5)= Тг (т), (14)
а функции Фк{%к) (к = 1,4) — граничным условиям [6, 7] 5
2И,е^ ((ш, (1кг2, (кгз, ¿ш) Фк(тк) = (М(т), М(т), /гз(т), /и(т)), (15) к=1
где для неподкрепленных контуров Ьг
(dkl1, dkl2, (кгз,, (ш) = (1, Ук, Vк, рк) , (fl1, fl2, fl3, /г4) = (с1Ъ Cl2, Clз, Сг4) , а для жестко подкрепленных контуров
(dkl1, dkl2, (кгз,, (ш) = (Рк, Як, ^, рк) , (fl1, /г2, fl3, /г4) = ^^ Щ,, с14) -
Здесь сц (¿ = 1,4)— произвольные постоянные; щ = щ(т), VI = ^(т) — заданные на контуре значения перемещений.
Неизвестные постоянные С5, О5г, С5гп, акгп определяются из граничных условий (14) и (15) с использованием метода наименьших квадратов. Для этого на контурах Ьг выбирается система точек Мгт (т = 1,Л^г), в которых удовлетворяются граничные условия соответствующих задач.
В задаче теплопроводности, при подстановке функции (11) в граничное условие (14), для определения неизвестных постоянных С5, О5г, С5гп получается система линейных алгебраических уравнений [6, 7]
С С <х
2С5 + 2 И,е V" W5l(т5im)О5г + 2 Ие V] V" ф5гп(т5гт)С5гп = Тг(тт) ,
(16)
г=1 г=1 п=1 у '
(г = 1 ,С,тп = 1 ,Мг),
где T5im = Xim+-5Vim, Tim = Tim(xim, yim). Систему (16) можно решать с использованием метода сингулярных разложений [10, 11]. После решения этой системы постоянные С5, D51, C5in, а следовательно, и комплексный потенциал теплопроводности (11) будут известны. По известной функции можно в любой точке найти температуру и плотности потока тепла по формулам (1)—(2).
В задаче термоэлектромагнитоупругости граничным условиям (15) будем удовлетворить в дифференциальной форме [6, 7]. Тогда при подстановке функций (11) и (12) в продифференцированные условия (15) для определения неизвестных постоянных akin получается следующая система линейных алгебраических уравнений [6, 7]:
4 С оо
2Re ^ Y Y dkia^k
,s{Tkim) Vkln(Tkim) akln
k=l1=1 n=l
4
(17)
-2 Re^ dkia^k,s(Tkim)N'k (Tkim) - 2Re d5ia85,s(T5im)r5 F5 (T5im) +
k=l
dfi<
+-^г(тгт) (г = l, С, m = 1 ,Mi, a = 1,4)
где 5k,s{Tk) = dTk/ds, Tkim — xim + —kyim. Систему (17) можно решать с использованием метода сингулярных разложений [10, 11]. После решения этой системы постоянные akin, а следовательно, комплексные потенциалы термоэлектромагнитоупругости (12) будут известны, и по ним можно находить значения основных характеристик ТЭМУС в точках пластинки по формулам (3)—(6) [6, 7].
2. Численные исследования. При проведении численных расчетов количество членов в рядах Лорана в функциях (11) и (12) и точек на контурах Li, для которых составлялись системы линейных алгебраических уравнений (16) и (17), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (относительная погрешность не становилась менее сотых долей процента). Для этого, как показали исследования, в решаемых задачах, в зависимости от геометрических и упругих характеристик пластинок, необходимо было в указанных рядах оставлять от 120 до 200 членов, на каждом из контуров брать от 1500 до 2500 точек.
Были проведены численные исследования для пластинки из композита на основе титаната бария-феррита (II) кобальта BaTiO3-CoFe2O4 [12]. Физико-механические постоянные этого материала:
sii = 7,165 ■ 10-6 МПа-\ S22 = 6, 797 ■ 10-6 МПа-\ see = 19,912 ■ 10-6 МПа"1, sl2 = -2, 337 ■ 10-6 МПа"1, gl6 = 2, 028 ■ 10-2 МКл-1 ■ м2, g2l = -0, 496 ■ 10-2 МКл-1 ■ м2, g22 = 1,157 ■ 10-2 МКл-1 ■ м2, pl6 = 1, 850 ■ 10-5 МТл-1, p2l = 0, 576 ■ 10-5 МТл-1, p22 = 1,186 ■ 10-5 МТл-1, вп = 0,156 ■ 103 МН ■ м2 ■ МКл-2, в22 = 0,137 ■ 103 МН ■ м2 ■ МКл-2, vll = -0,190 ■ ю-1 МКл-1 ■ м ■ МА, v22 = -0,185 ■ ю-1 МКл-1 ■ м ■ МА,
Х11 = 0, 336 • 10"1 МПа • МТл"1,
б1
Х22 = 0,119 • 10"1 МПа • МТл"1, б1
а1 = 8, 530 • 10"6 К"1, а2 = 1, 990 • 10"6 К ¿2 = 133, 000 • 10"3 МН • (МКл • К)"1, т2 = 133, 000 • 10"3 МА • (м • К)"1, кц = 2, 500 • 1 Вт • (м • К)"1, к22 = 2 , 500 • 1 Вт • (м • К)"1.
©
задана температура Т1(в) =
а)
с б)
В таблицах 1 и 2 для пластинки из материала М1 с одним круговым отверстием радиуса а (а1 = Ь1 = а) (рис. 2, а), на контуре которого
1, 0 <9 <в 0, в <9 < 2п '
приведены отнесенные к величине 10бМПа значения нормальных напряжений и3 в некоторых точках контура отверстия с центральным углом 9 на площадках, перпендикулярных контуру, в зависимости от значения угла в. Представлены данные для случаев задачи термоэлектромаг-нитоупругости (ТЭМУ), когда учитываются все свойства материала, и задачи
С9
Рис. 2
Таблица 1.
Значения напряжений а., в точках контура отверстия (задача ТЭМУ)
б, рад. Значение ¡3
тг 5тг/6 2тг/3 тг/2 7Г/3 тг/6
0 (-0,395) 0,000 ( 0,395) (-0,153) 0,242 ( 0,635) ( 0,039) 0,432 ( 0,825) ( 0,144) 0,534 ( 0,927) ( 0,148) 0,538 ( 0,925) ( 0,067) 0,453 ( 0,835)
7г/6 0,607 0,836 0,979 1,000 0,863 ( 0,287) -0, 387 (-0,398)
7г/3 0,368 0,512 0,513 0,279 (-1,064) -1,699 (-0,942) 0,029
тг/2 -0, 536 -0,691 -0, 874 (-1,313) -0,161 ( 0,746) 0,336 0,155
2тг/3 0,368 0,340 ( 1,363) 2,080 ( 1,368) 0,086 -0,147 -0,143
5тг/6 0,607 ( 1,054) 0,917 ( 0,290) -0, 256 -0,393 -0,371 -0, 227
71 ( 0,395) 0,000 (-0,395) -0,453 -0, 539 -0,534 -0,431 -0,241
7тг/6 -0, 607 -0,658 -0, 684 -0,630 -0,481 -0, 256
4тг/3 -0, 368 -0,478 -0, 548 -0,527 -0,405 -0, 209
Зтг/2 0,536 0,419 0,336 0,268 0,199 0,115
5тг/3 -0, 368 -0,158 0,038 0,160 0,180 0,109
Итг/6 -0, 607 -0,351 -0,125 0,023 0,077 0,050
Таблица 2.
Значения напряжений а., в точках контура отверстия (задача ТУ)
о, рад. Значение ¡3
71 5тг/6 2тг/3 тг/2 тг/З тг/6
0 (-0,138) 0,000 ( 0,138) (-0,203) -0, 064 ( 0,074) (-0,247) -0,106 ( 0,034) (-0,252) -0,109 ( 0,034) (-0,212) -0,067 ( 0,077) (-0,131) 0,014 ( 0,158)
7г/6 -0,169 -0,215 -0,214 -0,168 -0,105 (-0,188) -0, 385 (-0,318)
7г/3 -0, 542 -0, 568 -0,533 -0, 464 (-0,558) -0,593 (-0,407) -0,104
тг/2 -0, 726 -0, 705 -0,612 (-0,512) -0, 348 (-0,218) -0,115 -0,021
2тг/3 -0, 542 -0,437 (-0,133) 0,067 ( 0,011) -0, 078 -0,009 0,027
5тг/6 -0,169 ( 0,155) 0,202 ( 0,020) -0,064 -0,001 0,045 0,047
71 ( 0,138) 0,000 (-0,138) -0,014 0,067 0,109 0,106 0,064
7тг/6 0,169 0,268 0,294 0,258 0,178 0,082
4тг/3 0,542 0,558 0,495 0,373 0,225 0,090
Зтг/2 0,726 0,666 0,535 0,363 0,191 0,060
5тг/3 0,542 0,452 0,317 0,169 0,047 -0,016
Итг/6 0,169 0,086 -0,010 -0,089 -0,125 -0,099
термоупругости (ТУ), когда не учитываются его электромагнитные свойства. Для точек, являющихся точками скачка температуры, также приведены значения одноименных напряжений в точках, отстоящих от данной на угол п/180 рад. против часовой стрелки и по часовой стрелке; эти значения приводятся соответственно выше или ниже значения напряжений в данной точке скачка и взяты в скобки.
В таблице 3 для пластинки из материала М2 с двумя круговыми отверстиями радиуса а (а\ = Ъ\ = а2 = Ъъ2 = а) (рис. 2, б), на контурах которых задана температура Т\(0) = Т2(0) = | 0' П<<^в<<72П , приведены значения нормальных
напряжений и3 в некоторых точках контура левого отверстия в зависимости от значения отношения с/а расстояния с между контурами отверстий к их радиусу.
Таблица 3.
Значения напряжений ав в точках контура левого отверстия
Тип задачи рад. Значение с/а
0,01 0,1 1 10 100 00
ТЭМУ 7Г/180 0,066 0,431 0,406 0,397 0,395 0,395
7г/6 0,022 0,035 0,348 0,628 0,612 0,607
7Г/3 -0,391 -0,409 -0,429 0,244 0,353 0,368
тг/2 -0,673 -0,678 -0,717 -0, 573 -0, 535 -0,536
2тг/3 0,510 0,513 0,519 0,427 0,373 0,368
5тг/6 0,646 0,647 0,644 0,602 0,609 0,607
179тг/180 0,396 0,396 0,396 0,394 0,395 0,395
ТУ 7Г/180 0,016 0,132 0,150 0,143 0,139 0,138
7г/6 0,022 0,030 0,097 -0,069 -0,157 -0,169
7Г/3 -0,297 -0,311 -0, 387 -0, 464 -0, 533 -0,542
тг/2 -0,753 -0,759 -0, 805 -0, 743 -0, 726 -0,726
2тг/3 -0,669 -0, 674 -0,713 -0, 627 -0, 553 -0,542
5тг/6 -0,263 -0,267 -0, 294 -0,241 -0,178 -0,169
179тг/180 0,135 0,135 0,134 0,135 0,138 0,138
Выводы. Из данных таблиц и других результатов следует, что на значения основных характеристик ТЭМУС в пластинке влияют расстояния между точками скачков температуры, а также особенности распределения температуры. При увеличении расстояния между точками скачков концентрация напряжений в пластинке возрастает. Кроме того, в точках скачков температуры на контурах наблюдается резкие изменения значений напряжений. При этом, чем выше величина скачка температуры, тем выше значения напряжений и тем резче они изменяются. На расстоянии около 20 радиусов от отверстий в пластинке устанавливается температурное состояние, близкое к однородному, и напряжения здесь очень малы. В случае пластинки с несколькими отверстиями, если расстояние между контурами отверстий превосходит 20 — 30 радиусов, то влияние одного отверстия на ТЭМУС около другого отверстия является незначительным и им можно пренебречь. Пренебрежение электромагнитными свойствами материала приводит к существенному искажению результатов, поэтому при расчётах следует учитывать все свойства материала.
1. Берлинкур Д. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях / Д. Берлинкур, Д. Керран, Г. Жаффе // Физическая акустика. - М.: Мир, 1966. - Т. 1, ч. А. - С. 204-326.
2. Желудев И. С. Физика кристаллических диэлектриков / И.С. Желудев. - М.: Наука, 1968.
- 463 с.
3. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред / Ж. Можен. - М.: Мир, 1991.
- 560 с.
4. Гринченко В. Т. Электроупругость / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульга. - К.: Наук. думка, 1989. - 280 с. (Механика связных полей в элементах конструкций: В 5 т., Т. 5).
5. Партон В.З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел / В.З. Партон, Б.А. Кудрявцев. - М.: Наука, 1988. - 472 с.
6. Калоеров С.А. Плоская задача термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред / С.А. Калоеров, О.А. Сорочан // Прикладная механика. - 2009. - Т. 45, № 4. - С. 81-91.
7. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинках с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Вестн. Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2018. - № 1. - С. 15-26.
8. Калоеров С.А. Определение термоэлектромагнитоупругого состояния многосвязных кусочно-однородных пьезопластин / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Прикладная механика и техническая физика. - 2018. - T. 59, № 6. - С. 88-101.
9. Глушанков Е. С. Приближенное решение задачи термоупругости для многосвязной анизотропной пластинки при скачках температуры на контурах / Е.С. Глушанков // Журн. теорет. и прикладной механики. - 2022. - № 3(80). - С. 5-13. - doi:10.24412/0136-4545-2022-3-5-13. - EDN:BEKNUR.
10. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.
11. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Мал-кольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.
12. Tian W.-Y. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids / W.-Y. Tian, U. Gabbert // Europ. J. Mech. Part A. - 2004. - Vol. 23. - P. 599-614.
E.S. Glushankov
The approximate solution of the thermo-electro-magneto-elasticity problem for multiply connected piezoelectric plate in case of temperature jump discontinuities on the contours.
A problem of the temperature with finite number of discontinuities acting on the contours of infinite multiply connected piezoelectric plate is considered in this article. The regularies of the influence of considered thermal loading on the originated thermo-electro-magneto-elastic state with this thermal are obtained with the numerical studies.
Keywords: multiply connected plate, thermo-electro-magneto-elasticity, temperature jump discontinuity on the contour, thermal stresses, complex potentials.
Получено 16.01.2023
