CC BY
7ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№3 (80) / 2022.
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК 539.3
doi:10.24412/0136-4545-2022-3-5-13 EDN:BEKNUR
©2022. Е.С. Глушанков
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ МНОГОСВЯЗНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ ПРИ СКАЧКАХ ТЕМПЕРАТУРЫ НА КОНТУРАХ
В данной работе рассмотрена задача о действии на контурах бесконечной многосвязной анизотропной пластинки температуры, имеющей конечное число скачков. С помощью численных исследований установлены закономерности порождаемого такой температурной нагрузкой термонапряженного состояния с учетом физически реальных условий. Ключевые слова: многосвязная анизотропная пластинка, скачок температуры на контуре, температурные напряжения, комплексные потенциалы.
Введение. В различных областях науки и техники в качестве элементов и деталей конструкций находят широкое применение тонкие многосвязные пластинки из анизотропных материалов. В процессе эксплуатации эти пластинки могут подвергаться различным температурным воздействиям, в результате которых в пластинке могут возникать высокие концентрации напряжений, что следует учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций [1, 2]. К настоящему времени решены задачи о действии разности температур [3], линейного (однородного) теплового потока [4], неоднородности температуры.
В данной работе решена задача термоупругости для анизотропной многосвязной пластинки, когда на контурах имеют место резкие скачки температуры. При решении задачи граничная функция, математически имеющая точки разрыва 1-го рода, аппроксимируется близкой к ней непрерывной функцией. Здесь следует учитывать, что в действительности температура на контуре будет непрерывной функцией, а изменение температуры между двумя «предельными» значениями скачка будет происходит в достаточно малой области контура. С учетом этого, решение задачи строится с использованием конформных отображений, комплексных потенциалов. Проведены численные исследования термонапряженного состояния (ТНС) многосвязной пластинки с установлением закономерностей влияния геометрических характеристик пластинки, свойств ее материала, а также характера распределения температуры на значения напряжений в пластинке.
1. Постановка и решение задачи. Рассмотрим пластинку из анизотропного материала, занимающую бесконечную многосвязную область 5, ограниченную контурами эллиптических отверстий Ь[ (I = 1, С) с центрами 0|(жоь2Лм)> полуосями щ, Ъ, углами поворота щ (рис. 1). Контуры Ц могут располагаться произвольно относительно друг друга, в том числе и пересекаться, образуя криволинейные контуры. На контурах пластинки заданы распределения температуры Т[(т). Контуры отверстий не подкреплены либо жестко подкреплены. Значения напряжений на бесконечности равны нулю.
Функции ?](т) = ?](ж, у) (I = 1, С) кусочно-непрерывны на 1ц и имеют конечное число точек разрыва первого рода (скачков) (х^, у^ (I = 1, С,
3 = 1,^, — количество точек разрыва функции Тг(х, у) на контуре Ц).
Если несвязанную задачу определения ТНС анизотропной пластинки решать с использованием комплексных потенциалов, то она сводится к последо- Рис. 1 вательному определению комплексного потенциала теплопроводности ^3 (23) и комплексных потенциалов термоупругости Фк{%к) (к = 1, 2) из соответствующих граничных условий. После определения этих функций значения основных характеристик ТНС (относительной температуры Т, плотностей потока тепла Чх, Чу, напряжений ох, оу, тху, перемещений и, V) в точках пластинки вычисляются по формулам [3, 4]
Т = 2И,е ^э (23), (1)
(Чх, Чу) = 2Ие гжт (»3, -1) Р3(23), (2)
3
Оу, тху) = 2Ие (»^ 1 -»к) Ф'к(2к), (3)
к=1
(и, V) = 2 Ие ^ (Рк, Чк) Фк(2к)• (4)
к=1
Здесь
= \Jknk22 ~ Щ_2]
Из и цк (к = 1, 2) — корни характеристических уравнений теплопроводности и теории упругости [3, 4]
к22»2 + 2^12» + кп = 0, (5)
М») = 0, (6)
где
¿4а(») = йц»4 + 2а1б»3 + (2а12 + авв)»2 + 2а2б» + 022;
2 , , $к3а1 Рк = аиЦ-к ~ а1бЦ-к + «12 Н--,
г3
, «22 ,
Як = - «26 Н---Ь
гз
/к Гз/Лз 12а(/з)
14а(/з) '
¿2а(/з) = -«1/3 + «6/3 - «2;
Фз(гз) = г^ ) йгз;
кц — коэффициенты теплопроводности материала пластинки; ац — коэффициенты деформации материала; а^ — коэффициенты теплового расширения материала; 5^ — символ Кронекера.
Функции (23), Фк{%к) (к = 1,2) определены в многосвязных областях ¿>3, Б к, получаемых из области 5 аффинными преобразованиями [3, 4]
¿з = ж + /зУ, (7)
гк = ж + /к у. (8)
В общем случае эти функции имеют вид [3, 4]
С С те
^з(гз) = сз + ^ Азгwзl(zз) + ^ ^ сз^рзы^з); (9)
1=1 1=1 п=1
С те
Фк (¿к) = Nк (¿к) + ^ ^ ак1п<Рк1п(гк). (10)
1=1 п=1
Здесь сз — вещественная постоянная, определяемая из условий на контурах пластинки; Вз1 = —дг /4пкт; Цг — суммарный тепловой поток через контур Ьг в область Б; w3l(гз) = 1п (гз — гзг); гзг — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (9) произвольным точкам внутри контуров Ьг; сзгп — комплексные постоянные, определяемые из условий на контурах пластинки; фзгп(гз) = (—п; (зг — комплексные переменные, определяемые из конформных отображений;
С
N (¿к) = Гк гк + ^(Акггк + В^ы^к); г=1
Гк, Акг, В кг — постоянные, определяемые из решений систем уравнений з
к=1
(!, Лк, /к, Цк — ЛкРк) Гк = (0, 0, 0, 0)
з
(1 Лк, Рк, Цк) гАы = (0, 0, 0, 0),
к=1
^ (1, Vh, Ph, Qh) iBkl = (0, 0, 0, 0) ; h=1
Гз = Г3С3; A31 = гз D31;
B31 = r3(c3iiR31 - D31Z31); whi = ln (zh - zhi);
Zhi — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (10) произвольным точкам внутри контуров Li; phin(zh) = С-"'; Zhi — комплексные переменные, определяемые из конформных отображений.
В локальных системах координат Oixiyi параметрические уравнения эллипсов (рис. 1) имеют вид [3, 4]
xi = ai cos в, yi = bi sin в,
а в основной системе координат Oxy —
x = Xoi + xi cos ^i - yi sin pi, y = yoi + xi sin Pi + yi cos Pi-
Здесь в — угловой параметр контура (0 < в < 2п).
Для каждой из точек скачка температуры Mj (^Oj, y iQ существует значение этого параметра eij такое, что
xij = x01 + ai cos pi cos eij — bi sin pi sin eij, yi j = yo i + ai sin pi cos eij + bi cos pi sin ej.
Тогда каждая кусочно-непрерывная функция Тг(ж, у) = Тг (в) на контуре Ьг представима в виде совокупности функций, заданных и непрерывных на каждой эллиптической дуге контура Ьг, ограниченной точками скачка М^:
тг{х, у) = Т№ = {Ту(0) I 3 = Т^и в е вЪ+1)}.
Переменные (зг, (кг определяются из конформных отображений [3, 4]
= гк1 + Яы ((¡а + (п)
внешностей единичных кругов | £зг | > 1, Ккг|> 1 на внешности эллипсов Ьзг, Ькг, получаемых из Ьг аффинными преобразованиями (9), (10). Здесь
Rhi = mhi =
Zhi = xo i + Vh yo i,
Щ(cos Pi + Hk Sin Pi) + ib¡(sin Pi - jj,k eos Pi) 2
Щ (eos + Hk sin - ib¡ (sin p¡ - ¿tfc COS t¿?¿) 2Rhi
Функция F3(z3) должна удовлетворять граничному условию [3, 4]
2 Re F3 (тз )= Ti(t ), (12)
где т — аффикс граничной точки, а тз — точка, получаемая из нее аффинными преобразовании (9).
Функции &k(zk) (к = 1,2) должны удовлетворять граничным условиям [3, 4]
3
2Re^](4n, (1ш)Фк(тк) = (/ц(т), fi2(т)), (13)
k=1
где Tfc (к = 1,2) — точки, получаемые из граничных точек при аффинных преобразованиях (10); для неподкрепленных контуров Li
(dkl1,, dkl2) = (1 lk),
(/ii(t), /12(т)) = (cii, C12) ,
а для жестко подкрепленных контуров
(dkii, dki2) = (Pk, Qk),
(fll(T ),/l2(T )) = (ui (t ),Vi(T )) ,
ui(T), vi(t) — заданные на контуре значения перемещений.
В общем случае многосвязной области (рис. 1) неизвестные постоянные сз, D3i, C3in, akin определяются из граничных условий (14) и (13) с использованием метода наименьших квадратов. Для этого на контурах Li выбирается система точек Mim(xim, Him) (m = l,Mi), в которых минимизируются невязки граничных условий соответствующих задач.
В задаче теплопроводности, при подстановке функции (11) в граничное условие (14), для определения неизвестных постоянных сз, D3i, C3in получается система линейных алгебраических уравнений [3, 4]
L L <х
2С3 + 2 Re ^ W3i (T3im)D3i + 2 Re ^ ^ р3ln(T3im)C3ln = Ti (Tim)
l=1 l=1 n=1 (14)
{i=T^Z, rri = I, Mi),
где T3im = xim + i3yim, Tim — аффикс точки Mim. Систему (19) можно решать с использованием метода сингулярных разложений [5, 6]. После решения этой системы постоянные С3, D3i, c-3in, а следовательно, и комплексный потенциал теплопроводности (11) будут известны. По известной функции можно в любой точке найти температуру и плотности потока тепла по формулам (1)—(2).
В задаче термоупругости, граничным условиям (13) будем удовлетворять в дифференциальной форме [3, 4], тогда при подстановке функций (11) и (12)
в продифференцированные условия (13) для определения неизвестных постоянных йып получается следующая система линейных алгебраических уравнений
[3, 4]
2 С ж k=1 1=1 п=1
2 ^ (15)
= -2 Не )> ] йкга5к^М'к(ткгт) - й;ца5;^3Г3Р3(т;цт) +
к=1 8
(г = 1,£, rri = 1 ,Mi, а = 1,2),
где 5k,s(Tk) = dTk/ds, Tkim = xim+|kyim. Систему (20) можно решать с использованием метода сингулярных разложений [5, 6]. После решения этой системы постоянные akin, а следовательно, комплексные потенциалы термоупругости (12) будут известны, и по ним можно находить значения основных характеристик ТНС в точках пластинки по формулам (3)-(6) [3, 4].
2. Результаты численных исследований. При проведении численных расчетов количество членов в рядах Лорана в функциях (11) и (12) и точек на контурах Li, для которых составлялись системы уравнений (19) и (20), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности. Для этого, как показали исследования, необходимо было в указанных рядах оставлять от 120 до 200 членов, на каждом из контуров брать от 1200 до 2000 «коллокационных точек».
Были проведены численные исследования для пластинки из материалов: 1) стеклотекстолит КАСТ-В изотропный [2] (материал М1); 2) стеклопластик косоугольной намотки с наполнителем из алюмоборосиликатного стекла и связующим агентом из малеиновой эпоксидной смолы [7] (материал М2).
Физико-механические постоянные для материала М1 имеют значения
an = 7,210 • 10"3 МПа"1, a22 = 7,210 • 10"3 МПа"1,
a12 = -0,860 • 10"3 МПа"1, a66 = 16,150 • 10"3 МПа"1,
«1 = 3, 0 • 10"5 К"1, а2 = 3, 0 • 10"5 К"1,
кп = 20, 950 • 10"2 Вт/ (м • К), ^2 = 20, 950 • 10"2 Вт/ (м • К),
а для материала М2 равны
an = 1,000 • 10"3 МПа"1, a22 = 0,280 • 10"3 МПа"1, a12 = -0,077 • 10"3 МПа"1, a66 = 2, 700 • 10"3 МПа"1,
a1 = 0, 7 • 10"5 К"1, а2 = 3,8 • 10"5 К"1,
к11 = 0, 279 • 10"2 Вт/ (м • К), к22 = 0,121 • 10"2 Вт/ (м • К).
В таблице 1 для пластинки из материала М2 с одним круговым отверстием радиуса a (a1 = b1 = a), на контуре которого задана температура
(9) Г 1 К, 0 <9<в, T1 (9) = \ 0К, в<9< 2п,
приведены значения нормальных напряжений as в некоторых точках (с центральным углом в, отсчитываемым от положительного направления оси Ox) контура отверстия на площадках, перпендикулярных контуру, в зависимости от значения угла ß. Наряду с точками, являющимися точками скачков температуры с центральными углами в = в01 = 0 рад. и в = в02 = ß рад., в таблице 1 приведены значения указанных напряжений в точках с центральными углами в = eij ± п/180 рад. Эти значения приводятся соответственно выше и ниже значения напряжений в точке скачка и взяты в скобки.
Таблица 1. Значения напряжений as в точках контура отверстия
в, Значения ß
рад. 71 5тг/6 2тг/3 тг/2 тг/З тг/6
( 0,029) (-0,020) (-0,056) (-0,072) ( -0,064) ( -0,036)
0 0,000 -0, 048 -0,084 -0,100 -0,091 -0,063
( -0,029) (-0,077) (-0,112) (-0,127) ( -0,119) ( -0,089)
( -0,026)
7г/6 -0, 064 -0,101 -0,121 -0,121 -0,097 ( 0,005 0,003)
( 0,000)
7г/3 -0,103 -0,127 -0,127 -0,099 ( 0,014 -0,017) -0, 030
(-0,068)
тг/2 -0, 236 -0,210 -0,151 -0,126 (-0,169) -0,084 -0,025
(-0,097)
2тг/3 -0,103 -0, 073 -0,118 (-0,093) -0, 004 0,023 0,023
(-0,072)
5тг/6 -0, 064 -0, 064 (-0,031) 0,033 0,057 0,057 0,036
( -0,029)
7Г ( 0,000 0,029) 0,063 0,091 0,100 0,084 0,048
7тг/6 0,064 0,090 0,105 0,101 0,079 0,042
4тг/3 0,103 0,125 0,130 0, ИЗ 0,079 0,038
Зтг/2 0,236 0,224 0,180 0,117 0,055 0,011
5тг/3 0,103 0,065 0,024 -0,010 -0,026 -0,022
Итг/6 0,064 0,022 -0,015 -0,037 -0,041 -0,026
В таблице 2 для пластинки из материала М2 с двумя круговыми отверстиями радиуса а (щ = Ь = а) (рис. 2), на контурах которых задана температура /'ТЛ
V аУ
1К, 0 < 6> < 7Г,
0 К, п <9 < 2п,
Ti(0) = T2(0) =
c
Рис. 2
приведены значения нормальных напряжений а3 в некоторых точках контура левого отверстия в зависимости от относительного расстояния между контурами отверстий с/а.
Таблица 2.
Значения напряжений ав в точках контура левого отверстия
в, рад. Значения с/а
0,01 0,1 1 10 100 00
7Г/180 -0,001 -0,021 -0,027 -0,028 -0,028 -0,029
7г/6 0,000 0,001 -0, 003 -0, 045 -0,062 -0,064
со -0,014 -0,016 -0,027 -0, 078 -0,100 -0,103
to -0,220 -0,221 -0, 237 -0, 242 -0,236 -0,236
2тг/3 -0,130 -0,131 -0,139 -0,127 -0,106 -0,103
5тг/6 -0,078 -0, 079 -0,083 -0, 077 -0,066 -0,064
179тг/180 -0,027 -0,027 -0, 030 -0,029 -0,029 -0,029
Выводы. Из данных таблиц и других полученных результатов следует, что значения напряжений в пластинке из материала М2 на два-три порядка превосходят значения соответствующих напряжений в пластинке из материала М1, поскольку материал М2 обладает лучшей теплопроводностью. В случае пластинки с несколькими отверстиями, если расстояние между контурами отверстий превосходит 20 — 30 максимальных характерных размеров, то взаимовлиянием отверстий на термонапряженное состояние около друг друга можно пренебречь.
Помимо этого, на распределение напряжений в пластинке влияет также угловое расстояние между точками скачков температуры на контурах отверстий. Так, при увеличении углового расстояния между точками скачков температуры значения напряжений в пластинке возрастают. Более значительная величина скачка температуры приводит к существенному росту значений напряжений в окрестности соответствующей точки и к менее заметному росту на отдалении от нее. В точках скачков температуры на контурах резко изменяются и значения напряжений. Чаще всего значения напряжений в точках скачков с угловым параметром 0 = 00 рад. являются промежуточными между значениями напряжений в точках с угловыми параметрами в = 00 ± п/180 рад. Однако если материал пластинки обладает существенной анизотропией (как, например, материал М2), то напряжения в точке скачка может резко отличаться от среднего между вышеуказанными точками. На расстоянии от отверстий, составляющим
около 15 — 20 максимальных характерных размеров отверстий, в пластинке устанавливается близкое к однородному температурное состояние, и напряжения на
таком расстоянии являются незначительными.
1. Мотовиловец И.А. Термоупругость / И.А. Мотовиловец, В.И. Козлов. - К.: Наук. думка, 1987. - 264 с. (Механика связных полей в элементах конструкций: В 5 т., Т. 1).
2. Космодамианский А. С. Температурные напряжения в многосвязных пластинках / А.С. Космодамианский, С.А. Калоеров. - К. - Донецк: Вища школа, 1983. - 160 с.
3. Калоеров С.А. Термонапряженное состояние анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Ю.С. Антонов // Прикладная механика. - 2005. - Т. 41, № 9. -С. 127-136.
4. Калоеров С.А. Термоупругое состояние анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами при действии линейного потока тепла и температуры на контурах / С.А. Калоеров, Ю.С. Антонов // Теорет. и прикладная механика. - 2005. - Вып. 40. - С. 102-116.
5. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.
6. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.
7. Хорошун Л.П. Термоупругие постоянные стеклопластика косоугольной намотки / Л.П. Хорошун, А.Х. Меликбекян, П.Г. Шишкин // Прикладная механика. - 1979. - Т. 15, № 1. - С. 13-18.
E.S. Glushankov
The approximate solution of the thermoelasticity problem for multiply connected anisotropic plate in case of temperature jump discontinuities on the contours.
A problem of the temperature with finite number of discontinuities acting on the contours of infinite multiply connected anisotropic plate is considered in this article. The regularies of the thermal stress state originated with this thermal loading considering physically realistic conditions are obtained with the numerical studies.
Keywords: multiply connected anisotropic plate, temperature jump discontinuity on the contour, thermal stresses, complex potentials.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 15.06.2022
Donetsk National University, Donetsk
