ТЕРМОЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ МНОГОСВЯЗНОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЬЕЗОПЛАСТИНКИ С ЖЕСТКО ПОДКРЕПЛЕННЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В УСЛОВИЯХ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА С ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№4 (85) / 2023.

УДК 539.3

doi:10.24412/0136-4545-2023-4-48-60 EDN:RBCKMG

©2023. Е.С. Глушанков1, А.С. Гольцев2, А.Б. Мироненко3

ТЕРМОЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ МНОГОСВЯЗНОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЬЕЗОПЛАСТИНКИ С ЖЕСТКО ПОДКРЕПЛЕННЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В УСЛОВИЯХ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА С ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ

В данной работе приведены результаты исследований термоэлектромагнитоупругого состояния бесконечной многосвязной пластинки из пьезоматериала, находящейся в условиях конвективного теплообмена с внешней средой. Контуры некоторых отверстий в пластинке жестко подкреплены. С помощью численных исследований изучено влияние геометрических характеристик пластинки, свойств ее материала, характеристик конвективного теплообмена, а также подкреплений на контурах отверстий на значения основных характеристик термоэлектромаг-нитоупругого состояния пластинки.

Ключевые слова: линейный поток тепла, конвективный теплообмен, многосвязная пластинка из пьезоматериала, жестко подкрепленные контуры отверстий, температурные напряжения, комплексные потенциалы.

Введение. В современной науке и технике широко применяются конструкции, где в качестве элементов используются тонкие пластинки из пьезомате-риалов [1]. В этих пластинках по различным причинам могут присутствовать

1 Глушанков Евгений Сергеевич - канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости и вычислительной математики имени акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: evgenij.glushankov@gmail.com.

Glushankov Evgenij Sergeevich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

2Гольцев Аркадий Сергеевич - доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и компьютерных технологий ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: a.s.goltsev@mail.ru.

Goltsev Arkady Sergeevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of Department, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Applied Mechanics and Computer Technologies.

3Мироненко Андрей Борисович - канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости и вычислительной математики имени акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: a.mironenko@donnu.ru.

Mironenko Andrey Borisovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

концентраторы напряжений типа отверстий или трещин. В процесс эксплуатации пластинки могут подвергаться действию различных температурных полей, в результате чего в пластинке могут возникать высокие концентрации напряжений [2, 3]. К настоящему времени решены самые различные задачи о действии температурных полей в тонких пластинках из пьезоматериалов [4, 5].

В работах [6-9] решено большое количество задач определения термоупругого состояния для тел из материалов, не обладающих пьезосвойствами, когда на границе тел действует конвективный теплообмен с внешней средой.

В работе [10] решена задача о действии линейного потока в многосвязной пластинке из пьезоматериала, на контурах которой действует конвективный теплообмен с внешней средой. При проведении численных исследований контуры пластинки полагались неподкрепленными.

Работа [11] посвящена исследованию термонапряженного состояния многосвязной пластинки из анизотропного материала с жестко подкрепленными отверстиями.

В данной работе исследовано влияние жесткого подкрепления контуров отверстий на термоэлектромагнитоупругое состояние пластинки из пьезоматериа-ла, находящейся в условиях конвективного теплообмена с внешней средой. Для случая бесконечной пластинки с одним жестко подкрепленным эллиптическим отверстием приведено точное аналитическое решение задачи. Для общего случая многосвязности пластинки задача решена с использованием метода наименьших квадратов. Проведены численные исследования термоэлектромагни-тоупругого состояния пластинки с одним или двумя круговыми отверстиями. Показано влияние жесткого подкрепления контуров отверстий, геометрических характеристик пластинки, свойств ее материала и коэффициента теплообмена на распределение напряжений в пластинке.

1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную многосвязную пластинку из пьезоматериала, занима- у . ющую область 5, ограниченную контурами эллиптических отверстий Ь[ (I = 1, С) с центрами в точках О[(хо1 ,у0[), полуосями щ, Ъ[, углами поворота щ (рис. 1). Контуры отверстий могут произвольно располагаться относительно друг друга. Через контуры о отверстий Ь[ (I = 1, С) имеет место конвективный р

теплообмен с коэффициентами ^ с внешней средой

температуры Контуры Ь\ не подкреплены либо жестко подкреплены. На бесконечности отсутствуют тепловые, механические и электромагнитные воздействия.

Несвязанную статическую задачу термоэлектромагнитоупругости будем решать с использованием комплексных потенциалов. Тогда задача сводится к последовательному определению комплексного потенциала теплопроводности ^5(^5), а затем комплексных потенциалов термоэлектромагнитоупругости Фд(хд) (к = 1, 4) из граничных условий соответствующих задач. После этого значения

основных характеристик ТЭМУС (температура Т, плотности потока тепла цх, цу, напряжения ох, оу, тху, индукции электромагнитного поля Дх, Ду, Вх, Ву, напряженности электромагнитного поля Ех, Еу, Нх, Ну, перемещения и, V, потенциалы электромагнитного поля щ, ф) в любой точке пластинки определяются по формулам [4, 5]

Т = 2И,е ^5 (Х5); (1)

(Цх ,Цу) = 2 Ие гк(^5,-1)^5 (х5); (2)

5

(ох, Оу, тху) = 2Яе^2(^1, 1, -рк)Ф'к(хк); (3)

к=1

5

(Дх, Ду, Вх, Ву) = 2Ие^{^крк, -Vк, ркрк, -рк)Фк(хк); (4)

к=1

5

(Ех, Еу, Нх, Ну) = -2Ке^(4, Рк4, $, Рк^^к(хк); (5)

к=1 5

(и, V, щ, ф) = 2Ие ^(Рк, Цк, г°к, Ь°к)Фк(хк). (6)

к=1

Здесь

к = \Jkuk22 ~ к\2]

р5 — корень характеристического уравнения задачи теплопроводности [4, 5]

к22Р2 + 2к12 р + кп = 0; (7)

¡ли {к = 1,4) — корни характеристического уравнения задачи термоэлектромаг-нитоупругости [4, 5]

к(р) = 0; (8)

где

к(р) =

¿4з (р) кд (р) кр (р) кд (р) кв (р) ки (р)

1зр(р) ки (р) ¿2х (р)

кз(р) = S11РA + 2в16р3 + (2в12 + 8бб)р2 + 2в26р + 822,

кд(р) = 9ир3 - (921 + 91б)р2 + (912 + 926)р + 922, кр(р) = Р11р3 - (Р21 + Р1б)р2 + (Р12 + Р2б)р + Р22, кв (р) = -вир2 + 2в12р - в22,

ки (р) = -V11Р2 + 2и12р - V22, кх(р) = -Хир2 + 2Х12р - Х22;

= ЫЫМЫ ~ кд{^к)кХ{^к) „ = ^ ^ = Гх к - 5 г5''

Рк

к/3 к)12х(Цк) - )

(к = 1,4), р5 = —;

г5

Г 5 =

¿5^5)

=

5), ¿3(^5):

ка(Ц-5) кд (^5) кр(^5)

¿5 (V5) = кг(ц-5) кц (^5) ки(V5)

кт(/^5) ки (V5 ) кх(Р5)

кв(№5) ка(Ц-5) кр(Ц-5)

1х(^5) = кд (Р5) кг(ц-5) ки(V5)

кр (^5) кт ^5) кх(^5)

кв (^5) кд (^5) ка (^5)

к (V5 ) = кд (^5) 12в (^5) ¿11 (V5)

кр(^5) ки(V5) кт(Ц-5)

ка(^) = —а\^5 + аб^5 - а2, кг(ц-5) = — Ь2, кт(ц-5) = — т2;

Рк = вц^к — вгб^к + 812 — (ди^к — 912 )"к — (Р11 Цк — Р12) Рк + 822

^к5>а\

Г 5

5к5а2

Як = «12Цк - «26 + — - (д21^к - 922)"к - (Р21^к - Р22)Рк +

Г5^5

Г5 ' Г5 '

Гк = ди^к — 916^к + 912 — (ви^к — в\2)^к — — V12) Рк +

Ь°к = Ринк — Р16^к + Р12 — (»11^к — ^112)^'к — (Х11^к — Х12)рк +

$5^) = Г5 ! Р5 (Х5) АХ5;

к^ — коэффициенты теплопроводности материала пластинки; в^ — коэффициенты деформации материала пластинки; д^ и р^ — пьезоэлектрические и пье-зомагнитные коэффициенты материала пластинки; в^, ^ и х^ — коэффициенты диэлектрической, электромагнитной и магнитной проницаемостей материала пластинки; а^ — коэффициенты теплового расширения материала пластинки; ^ и т1 — пироэлектрические и пиромагнитные модули материала пластинки; Ь^ — символ Кронекера.

Комплексные потенциалы ^5(2:5), Фк(%к) (к = 1,4) определены в многосвязных областях ^5, Б к, получаемых из области 5 аффинными преобразованиями

[4, 5]

= X + Ц5У, (9)

гк = X + циУ- (10)

Эти функции в общем случае многосвязности имеют вид [4, 5]

С С <х

^5(^5) = С5 + ^ Д51 ^2с51п^51и(Х5); (11)

1=1 1=1 п=1

С <х

Фк(гк) = N(гк) + ^ак1пУк1п(ги). (12)

1=1 п=1

Здесь С5, Д51 — вещественные постоянные, определяемые из граничных условий задачи теплопроводности, причем 051 = —Я1/4пк, где ® — суммарный тепловой поток через контур Ь[ в область Б; w5l(г5) = 1п(г5 — г51); г51 — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (9) произвольным точкам внутри контуров Ь51, получаемых из контуров Ь1 аффинным преобразованием (9); с51п — комплексные постоянные, определяемые из условий на контурах пластинки; <р5ы(г5) = С—п; (51 — комплексные переменные, определяемые из конформных отображений;

С

Щк(ги) = Г к гк + (Ак1^к + Вк1) 1п(ги — 1=1

Гк, Ак1, Вк1 — постоянные, определяемые из систем уравнений 5

^2(1, Рк, Рк, Як — РкРк, Vк, Рк^к, Рк, РкРк)Гк = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); к=1

5

^(1, Рк, Рк, Як, Vk, Рк, 4, Н°к)1Лк1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0);

к=1

5

^2(1, Рк, Рк, Як, Vk, Рк, Г0, Ь°к)%Вк1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0);

к=1

Г5 = Г5С5; Л51 = Т5Д51; В51 = Г5(С511 Я51 — 051 г51); Wkl = 1п(гк — гы); гы — точки, соответствующие при аффинном преобразовании (10) произвольным точкам внутри контуров Ьк1, получаемых из контуров Ь1 аффинными преобразованиями вида (10); ^к1п(%к) = С-™'; (к1 — комплексные переменные, определяемые из конформных отображений.

В локальных системах координат Oixiyi параметрические уравнения эллипсов (рис. 1) имеют вид [4, 5]

xl = ai cos в, yi = bl sin в,

а в основной системе Oxy координат —

x = xoi + xi cos pi - yi sin pi, У = yoi + xi sin pi + yi cos pi.

Здесь в (0 < в < 2п) — угловой параметр уравнения контура.

Комплексные переменные , Zki определяются из конформных отображений внешностей единичных кругов | Zsi | > 1, ICkil > 1 на внешности эллипсов L^, Lki

[4, 5]

Zk = zki + Rki ^Cki + ' (13)

где

Rki = mki =

Zki = xoi + Hkyoi, Щ(cos pi + ¡ik sin pi) + ibi(sin Pi - Hk COS Pl) 2

ai (cos pi + ¡ik sin pi) - ibi (sin pi - ¡k cos pi)

Функция Е5(х5) должна удовлетворять граничному условию [10]

2Яв (ЫГ5(Г5) + гк§5,з(т5)Е5(Г5)) = Нг%, (14)

где Т5 — точка, получаемая из граничной точки при аффинном преобразовании (9); ё5,3(т5) = (Ст5/сСв, в — дуга контура отверстия.

Функции Фк(гк) (к = 1, 4) должны удовлетворять граничным условиям задачи термоэлектромагнитоупругости

5

2^е^2((к11, (к12, (к13, (к14) Фк(Тк) = (1и(т), ¡12(т), М(т), ¡н(т)) , (15) к=1

или в дифференциальной форме [4, 5] —

5

2Яв^2((к11, (к12, (к13, (ки) 5к,з(тк)Ф'к(тк) =

к=1 (16) 4/л / Ч С/12 , ч С$13 С$14 Л

где Тк (к = 1, 4) — точки, получаемые из граничной точки при аффинных преобразованиях (10); т — аффикс граничной точки; 5к,3(тк) = (Стк/Св. Для непод-крепленных контуров Ь1

(dkl1, dkl2, dkl3, (ки) = (1, Рк, ^'к, Рк),

(fll(T), fl2(T), fl3(T), fl4(T)) = (Cli, Cl2, Cl3, Cl4) , а для жестко подкрепленных контуров

(dkll, dkl2, dkl3, dkl4) = (Pk, Qk, vk, Pk) , (fll(T ), fl2 (t ), fl3(T ), fl4 (t )) = (Ul(T ), Vl(T ), Cl3, cu) ;

Clj — неизвестные постоянные интегрирования; щ(т), vi(t) — заданные на границе значения перемещений.

2. Решение задачи для бесконечной пластинки с эллиптическим отверстием. Рассмотрим отнесённую к декартовой системе координат бесконечную пластинку с эллиптическим отверстием, контур которого обозначим через Ll, его полуоси — al, bl, угол поворота — фl (рис. 2). Центр эллиптического контура совпадает с началом координат. Через контур имеет место конвективный теплообмен с внешней средой температуры Tl с коэффициентом теплообмена hl. На бесконечности отсутствуют тепловые, механические и электромагнитные воздействия. Контур отверстия жестко подкреплен, потоки электромагнитной индукции через него отсутствуют.

Задача теплопроводности. На основе (11) функция F5(z5 ) принимает вид

[10]

Рис. 2

C5ln

F5(z5) = С5 + Га

n=l

(17)

Подставляя функцию (17) в граничное условие (14) и применяя метод рядов, получим, что с5 = %\/2 и с5\п = 0 (п = 1, 2, 3, ...).

Таким образом, комплексный потенциал теплопроводности (17) имеет вид

Tl

F5(z5) = с5 = -у.

(18)

Следовательно, во всех точках пластинки температура является постоянной и равна а плотности потоков тепла равны нулю.

Задача термоэлектромагнитоупругости. Для функции Ф5(г5) получим [10]

$5(z5) = Г5 J F5(z5)dz5 = r5z5,

где Г5 = Г5С5. Тогда функции &k{zk) (k = 1, 4) будем искать в виде

akll

Фк (zk ) = Tkzk +

(kl

(19)

(20)

Используя конформные отображения (13), перепишем функции (19) и (20) в виде

Ф5Ы = T5R5l fo +

Г5_Й51Ш51 <51 ;

(21)

Фк (Zk) = тк RkiCki +

Tfc-Rfcimfci + afcii Ckl

Подставим функции (21) и (22) в граничные условия (15), при этом учитывая,

что на контуре отверстия (ki = о и (ki = = — (к = 1,5):

a

Е

к=1

, W -п г> , ГкRklmkl + akll , .

(Рк, Як, Vk, Рк) TkRkla-\--) +

a

+ (Рк, Як, vk, Рк) + (TkRkirriki + akи) a

(Р5, Я5, V5, р5) ( Г5Е51СТ + ГбД51Ш51 1 +

a

+ (Рь, <?5> уъ, Р5) + (Г5R§\Tfi5\ + а5ц) a^j

1

Применим метод рядов. Тогда, приравнивая коэффициенты при —, получим

а

следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных а^ц:

4

или

k=l

у I (Рк, Як, Vk, Рк) (TkRkimki + aku) + (рк, qk, vk, рк) TkRki (РЪ, Я5, v5, ръ) T5R5im5i + (р5, q5, V5, р5) Г5Е51

у] (pk, qk, Vk, pk) akll = - I (Pk, qk, Vk, pk) FkRklmkl+ k=l k=l

+ {Vk, vk, pk)^kRki ■

После решения этой системы уравнений становятся известными постоянные akll, а следовательно, и функции Фk(zk), и тогда можно в любой точке пластинки находить значения основных характеристик ТЭМУС по формулам (3)-(6).

3. Решение задачи для бесконечной многосвязной пластинки. В общем случае многосвязной области (рис. 1) неизвестные постоянные C5, D51, C5in, akin, входящие в функции (11) и (12), определяются из граничных условий (14) и (16) с использованием метода наименьших квадратов. Для этого на контурах Li (i = I, С) выберем систему точек Mim(xim,yim) (m = 1 ,Mi), в которых будем минимизировать невязки граничных условий задач теплопроводности и термоэлектромагнитоупругости.

Задача теплопроводности. При подстановке функции (11) в граничное условие (14), для определения неизвестных постоянных С5, 051, С5\п получается система линейных алгебраических уравнений [10]

2ИеНгС5 + 2И,е^ (Ы 'Ш51 (тЫт) + ЪК^ (т5гт)^^ I (Г5гт)) Б51 + 1=1

С <х

+2Ие ^^ (Нгу51п(т5гт) + гк85^(т5гт)УЫп(т5гт)) С51п =

1=1 п=1

(г = 1 ,£,т = 1 ,Мг),

где т5гт = хгт + ц5угт. После решения этой системы с использованием метода сингулярных разложений [12] постоянные С5, 051, С5\п, а следовательно, и комплексный потенциал теплопроводности (11), будут известны. По известной функции (11) можно в любой точке пластинки найти температуру и плотности потока тепла по формулам (1), (2) [4, 5, 10].

Задача термоэлектромагнитоупругости. При подстановке функций (11) и (12) в граничные условия (16) для определения неизвестных постоянных а^ы получается следующая система линейных алгебраических уравнений [10]:

4 £ оо

2Ие 22 22 ^ ЛыР8к

,8(ткгт)ук1п(ткгт)ак1п

к=1 1=1 п=1 4

—2 Ие 22 Лкгр8к,з(ткгт)^'к(ткгт) — (24)

к=1

-211е йЫр5ъ^(тЫт)гъРь(тЫт) +

(г = 1 ,£,т = 1 ,Мг, р = 1,4),

где ткгт = хгт + Цкугт. После решения этой системы с использованием метода сингулярных разложений [12] постоянные акгп, а следовательно, комплексные потенциалы термоэлектромагнитоупругости (12), будут известны. По известным функциям (12) можно в любой точке пластинки найти значения основных характеристик ТЭМУС по формулам (3)-(6) [4, 5, 10].

4. Численные исследования. При проведении численных расчетов количество членов в рядах Лорана в функциях (11), (12) и количество «коллокаци-онных» точек Мгт на контурах Ьг увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (относительная погрешность составляла меньше сотых долей процента). Для этого необходимо было в указанных рядах оставлять от 50 до 100 членов, на каждом из контуров брать от 500 до 1500 «коллокационных точек».

Были проведены численные исследования для пластинки из композита БаТгОз — СоЕв204 (материал М1) [13]. Физико-механические постоянные этого

Термоэлектромагнитоупругое состояние многосвязной пьезопластинки материала имеют значения:

811 = 7,165 ■ 10-6 МПа-1, 822 = 6, 797 ■ 10-6 МПа-1, «ее = 19,912 ■ 10-6 МПа-1,

в12 = —2, 337 ■ 10-6 МПа"1, д16 = 2, 028 ■ 10-2 МКл-1 ■ м2,

д21 = —0, 496 ■ 10-2 МКл-1 ■ м2, д22 = 1,157 ■ 10-2 МКл-1 ■ м2,

Р16 = 1, 850 ■ 10-5 МТл-1, Р21 = 0, 576 ■ 10-5 МТл-1, Р22 = 1,186 ■ 10-5 МТл-1,

в11 = 0,156 ■ 103 МН ■ м2 ■ МКл-2, в22 = 0,137 ■ 103 МН ■ м2 ■ МКл-2,

и11 = —0,190 ■ 10-1 МКл-1 ■ м ■ МА, у22 = —0,185 ■ 10-1 МКл-1 ■ м ■ МА,

Х11 = 0, 336 ■ 10-1 МПа ■ МТл-1, Х22 = 0,119 ■ 10-1 МПа ■ МТл-1,

«1 = 8, 530 ■ 10-6 К-1, а2 = 1, 990 ■ 10-6 К-1,

г2 = 133, 000 ■ 10-3 МН ■ (МКл ■ К)-1, т2 = 133, 000 ■ 10-3 МА ■ (м ■ К)-1,

кп = 2, 500 ■ 1 Вт ■ (м ■ К)-1, к22 = 2, 500 ■ 1 Вт ■ (м ■ К)-1.

В таблице 1 для пластинки с одним или двумя круговыми отверстиями радиуса а ( \ Л (а1 = Ь1 = а2 = Ь2 = а) (рис. 3), расстояние между которыми равно С, через подкреплен- а) б)

ные контуры которых действует конвектив- рис 3

ный теплообмен с внешней средой температуры %1 = Т2 = 1, приведены значения нормальных напряжений ип/ао в точках контура левого отверстия на площадках, параллельных контуру, в зависимости от значения С/а. Случай С/а = ж соответствует пластинке с одним круговым от-

Таблица 1. Значения напряжений ап/а0 в точках контура отверстия

о, рад. Значение с/а

0,1 | 0,5 | 1 | 2 | 10 | ос

Задача ТЭМУ

0 5,074 1,944 1,293 0,938 0,714 0,667

тг/12 2,159 1,466 1,105 0,865 0,691 0,676

7Г/6 0,297 0,732 0,741 0,698 0,628 0,619

7Г/3 0,108 0,266 0,344 0,409 0,461 0,463

■к/2 0,369 0,349 0,345 0,352 0,380 0,385

2тг/3 0,614 0,550 0,515 0,485 0,464 0,463

57Г/6 0,842 0,767 0,722 0,680 0,627 0,619

тт 0,941 0,863 0,817 0,771 0,708 0,667

Задача ТУ

0 5,162 1,973 1,311 0,951 0,726 0,710

тг/12 2,203 1,490 1,121 0,878 0,702 0,688

7г/6 0,306 0,746 0,753 0,707 0,635 0,626

7Г/3 0,096 0,259 0,340 0,405 0,456 0,459

тг/2 0,357 0,338 0,334 0,342 0,370 0,375

2тг/3 0,613 0,547 0,511 0,482 0,459 0,459

57Г/6 0,855 0,770 0,731 0,688 0,634 0,626

тт 0,960 0,879 0,832 0,785 0,721 0,710

верстием. В таблице 2 для аналогичных случаев приведены значения напряжений а3/ао в точках контура левого отверстия на площадках, перпендикулярных контуру.

Таблица 2. Значения напряжений оа/а0 в точках контура отверстия

в, рад. Значение с/а

0,1 0,5 1 2 10 ос

Задача ТЭМУ

0 1,250 0,289 0,084 -0,029 -0,101 -0,106

тг/12 0,271 0,085 -0,023 -0,097 -0,152 -0,157

7Г/6 -0,431 -0,268 -0,258 -0,270 -0,293 -0,296

7г/3 -0,911 -0,827 -0,789 -0,761 -0,743 -0,743

тг/2 -1,070 -1,076 -1,078 -1,075 -1,067 -1,065

2тг/3 -0,670 -0,697 -0,714 -0,728 -0,741 -0,743

57Г/6 -0,230 -0,290 -0,263 -0,276 -0,293 -0,296

7Г -0, 040 -0,059 -0,071 -0,084 -0,102 -0,106

Задача ТУ

0 1,483 0,386 0,158 0,035 -0,043 -0,048

тг/12 0,375 0,143 0,024 -0,053 -0,111 -0,115

7г/6 -0,417 -0,269 -0,260 -0,269 -0,288 -0,291

7г/3 -0,914 -0,851 -0,821 -0,797 -0,780 -0,779

тг/2 -1,074 -1,088 -1,081 -1,079 -1,070 -1,068

2тг/3 -0,720 -0,745 -0,759 -0,770 -0,779 -0,779

57Г/6 -0,216 -0,242 -0,257 -0,271 -0,288 -0,291

7Г 0,037 0,010 -0,007 -0,023 -0,045 -0,048

В таблице 3 для пластинки с двумя круговыми отверстиями радиуса а, расстояние между которыми равно с (рис. 3, б), через подкрепленные контуры которых действует конвективный теплообмен с коэффициентом Н (Н = Н2 = Н) с внешней средой температуры Т\ = 1, %2 = 0, приведены значения нормальных напряжений а3/ао в наиболее характерной точке в = 0 контура левого отверстия в зависимости от значения параметра На при некоторых значениях с/а.

Таблица 3.

Значения напряжений аа/ао в точке в = Орад. контура левого отверстия

с/а Значение На

0,001 0,1 1 10 100 ос

Задача ТЭМУ

0,1 0,625 0,627 0,643 0,777 1,233 1,539

1 0,042 0,062 0,203 0,670 0,959 1,010

10 -0, 049 0,043 0,470 0,927 1,027 1,039

100 -0,051 0,104 0,500 0,903 0,950 0,956

Задача ТУ

0,1 0,742 0,741 0,738 0,718 0,647 0,598

1 0,079 0,077 0,063 0,008 -0,030 -0,037

10 -0,022 -0,030 -0, 074 -0,121 -0,132 -0,133

100 -0,024 -0,044 -0,107 -0,146 -0,152 -0,152

Выводы. Из представленных результатов следует, что наличие жесткого

подкрепления контуров отверстий существенно влияет на распределение напряжений в пластинке. Если температурное поле в пластинке является однородным, то при уменьшении расстояния между отверстиями концентрация напряжений an в области перемычки резко возрастает, а значения напряжений us несколько уменьшаются. А вне области перемычки изменения напряжений менее значительны. При этом, характеристики конвективного теплообмена не влияют на напряженное состояние пластинки.

В случае неоднородного температурного поля характер распределения напряжений в пластинке отличается от случая однородного поля. Так, наибольшая концентрация напряжений возникает вблизи контура отверстия, где температура внешней среды наиболее отличается от начальной температуры. Если ha < 0.001, то характер различия в термонапряженном состоянии около различных отверстий остается незначительным. Однако при увеличении значения ha концентрация напряжений существенно возрастает около контура отверстия, где температура внешней среды наибольшая. Особенно сильно возрастает концентрация напряжений в области перемычки. А если температура внешней среды внутри отверстия близка к начальной температуре, то концентрация напряжений около контура этого отверстия резко уменьшается.

Пренебрежение электромагнитными свойствами материала пластинки при расчетах приводит к существенному искажению результатов, поэтому при расчетах необходимо учитывать все свойства материала.

Исследования проводились в ФГБОУ ВО ДонГУ в рамках государственного задания (№ госрегистрации 1023030100040-4-1.1.2;2.3.1).

1. Желудев И. С. Физика кристаллических диэлектриков / И.С. Желудев. - М.: Наука, 1968.

- 463 с.

2. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред / Ж. Можен. - М.: Мир, 1991.

- 560 с.

3. Партон В.З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел /

B.З. Партон, Б.А. Кудрявцев. - М.: Наука, 1988. - 472 с.

4. Калоеров С.А. Плоская задача термоэлектромагнитоупругости для многосвязных сред /

C.А. Калоеров, О.А. Сорочан // Прикладная механика. - 2009. - Т. 45, № 4. - С. 81-91.

5. Калоеров С.А. Действие линейного потока тепла в пьезопластинках с отверстиями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков // Вестн. Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2018. - № 1. - С. 15-26.

6. Подстригач Я.С. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно // К.: Наук. думка, 1972. - 308 с.

7. Parihar K.S. Transient heat conduction and analysis of thermal stresses in thin circular plate / K.S. Parihar, S.S. Patil // J. Therm. Stress. - 2011. - Vol. 34, № 4. - P. 335-351.

8. Gaikwad K.R. Analysis of transient thermoelastic temperature distribution of a thin circular plate and its thermal deflection under uniform heat generation / K.R. Gaikwad, Y.U. Naner // J. Therm. Stress. - 2021. - Vol. 44, № 1. - P. 75-85.

9. Roozbahani M.M. Temperature and stress distribution in hollow annular disk of uniform thickness with quadratic temperature-dependent thermal conductivity / M.M. Roozbahani, H. Razzaghi, M. Baghani, M. Baniassadi, M. Layeghi // J. Therm. Stress. - 2017. - Vol. 40, № 7. - P. 828-845.

10. Глушанков Е.С. Термоэлектромагнитоупругое состояние бесконечной многосвязной пье-зопластинки в условиях конвективного теплообмена при действии линейного потока теп-

ла / Е.С. Глушанков // Журн. теорет. и прикладной механики. - 2020. - Вып. 2 (75). -С. 18-29.

11. Глушанков Е.С. Термонапряженное состояние бесконечной многосвязной анизотропной пластинки с жестко подкрепленными отверстиями, находящейся в условиях конвективного теплообмена с внешней средой / Е.С. Глушанков, А.Б. Мироненко // Журн. теорет. и прикладной механики. - 2023. - Вып. 3 (85). - С. 82-92. - doi:10.24412/0136-4545-2023-3-82-92. - EDN:TYKLQA.

12. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.

13. Tian W.-Y. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids / W.-Y. Tian, U. Gabbert // Europ. J. Mech. Part A. - 2004. - Vol. 23. - P. 599-614.

E.S. Glushankov, A.S. Goltsev, A.B. Mironenko

The thermo-electro-magneto-elastic state of multiply connected piezoelectric plate with reinforced holes under the convective heat transfer.

In the paper, the results are presented for the investigation of thermo-electro-magneto-elastic state of infinite multiply connected piezoelectric plate under the action of convective heat transfer. The contours of some holes are reinforced. Through the numerical studies, the effects of plates's geometric characteristics, the properties of its material, the characteristic of convective heat transfer, and the holes' reinforcements on the values of the main characteristics of the thermo-electro-vagneto-elastic state of the plate was investigated.

Keywords: linear heat flux, convective heat transfer, multiply connected piezoelectric plate, reinforced contours of holes, thermal stresses, complex potentials.

Получено 23.11.2023