CC BY
42
Термодинамика калибровочной модели турбулентности
А.М. Мухамедов
Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева, Казань, 420111, Россия
В развитие ранее выдвинутой калибровочной модели турбулентности строится термодинамический формализм, использующий постулат сохранения индивидуальности турбулентных частиц в расширенном (п + 3)-мерном расслоении пространственных и собственно динамических координат. Показано, что условие согласования с интегрируемым случаем динамики пульсаций приводит к появлению специфического турбулентного вклада в производство экстенсивных термодинамических переменных. Из конструкции указанного вклада с использованием обобщенного уравнения Гиббса получен новый критерий для оценки динамического типа процессов, происходящих в турбулентной среде.
Thermodynamics of the gauge model of turbulence
A.M. Mukhamedov
A.N. Tupolev Kazan State Technical University, Kazan, 420111, Russia
The thermodynamic formalism is constructed to further develop an earlier proposed gauge model of turbulence. The formalism uses a postulate about the conservation of individual turbulent particles in an extended (n + 3)-dimensional bundle of spatial and proper dynamic coordinates. It is shown that the condition of consistency with the integrated case of pulsation dynamics gives rise to a specific turbulent contribution to the production of extensive thermodynamic variables. Based on the structure of this contribution and using a generalized Gibbs equation, a new criterion for estimating the dynamic type of processes occurring in a turbulent medium is derived.
1. Введение
Как известно, в классической концепции сплошной среды единственно независимыми переменными считаются пространственные координаты и время. Все прочие характеристики среды являются функциями указанных величин. Расширение числа независимых переменных за счет введения макроскопических динамических координат, рассматриваемых на равноправной основе с пространственными координатами и временем, ведет к построению неклассических моделей сплошной среды. В моделях такого рода могли бы найти объяснение феномены нерегулярной динамики, для которых рождение динамических степеней свободы является одним из характерных проявлений.
Указанная точка зрения ведет к разработке новой концепции сплошной среды. Действительно, добавление в каждой пространственно-временной точке новых независимых переменных видоизменяет математическую модель. Фазовое пространство становится расслоением. Механические характеристики становятся функ-
циями координат фазового расслоения, т.е. функциями расширенного набора переменных. При этом последовательно расширяемые наборы величин, принимаемых в качестве независимых переменных, приводят к установлению иерархии зависимых и независимых характеристик. В свою очередь, это позволяет строить модели последовательно усложняющихся режимов движения сплошной среды.
Постулирование геометрического устройства фазового расслоения наделяет сплошную среду связями, определяющими взаимное влияние пространственно разнесенных частей среды. По-видимому, минимальным условием геометризации является постулирование объекта связности, определяющего правило параллельного перенесения слоевых координат. В физической литературе для обозначения соответствующего объекта утвердился термин компенсирующего (калибровочного) поля. Имея в виду этот вид геометризации, развиваемая теория названа калибровочной моделью турбулентности.
© Мухамедов A.M., 2007
Обратимся к обсуждению принципиальных моментов. Для этого заметим, что вплоть до настоящего времени считалось само собой разумеющимся, что гидродинамическое сжатие описания является адекватным приближением для турбулентности, а феноменологические уравнения типа уравнений Навье-Стокса — единственно приемлемой основой для моделирования турбулентной динамики. В настоящее время наблюдаются попытки пересмотреть эту парадигму и перейти к прямому моделированию турбулентных взаимодействий в рамках многоуровневых конструкций [1-10]. Наиболее явно это видно в конструировании каскадов, вводимых в классическую концепцию сплошной среды независимым образом в форме мультиплетов, объединенных в многоярусную структуру.
Представляется очевидным, что классическая концепция не дает достаточного простора для разработки многоуровневых моделей. Необходимость в разработке объединяющего формализма, ведущего к разгерметизации прежних модельных ограничений, ощущается все более настоятельно. При этом кажется разумным, что моделирование межуровневых взаимодействий должно иметь характер конструирования мезоструктур, служащих для передачи взаимовлияний с одного уровня описания на другой. Наглядными примерами здесь служат модели сплошной среды, воспроизводящие эффекты неоднородности структуры материалов, а также изменений этой неоднородности в процессе пластической деформации.
Турбулентность, несомненно, является феноменом, который разрушает замкнутость классического макроскопического описания. Неустойчивость турбулентных потоков действует как усилитель малых флуктуаций. Под влиянием неустойчивости на уровень макроскопических проявлений выходят процессы, происходящие на мезоскопическом уровне разрешения событий. Структуры, описывающие механизмы подобных меж-уровневых взаимодействий, в классических уравнениях не представлены. Можно думать, что в некотором осред-ненном виде такие структуры содержатся в стохастической версии турбулентной динамики. Однако открытие маломерного детерминированного хаоса указывает на динамический, а не стохастический способ функционирования отмеченных структур.
Одной из первых мезоскопических структур, открывающих путь к моделям калибровочного типа, может считаться структура фазового многообразия, служащая для воспроизведения процессов зарождения турбулентности [11]. Подобные многообразия представляют собой многомерные торы, на которых эволюция турбулентных мод изображается фазовым потоком. На этом пути Ландау разработал один из первых сценариев зарождения турбулентности, согласно которому хаотическая динамика возникает в результате предельного перехода по числу измерений фазового многообразия.
Вместе с тем, предельный переход оставлял нерешенным вопрос о финальной мезоструктуре. Более того, открытие иных сценариев хаотизации движения и, в частности, маломерного хаоса [12] сделало необходимым уточнение не столько фазовых многообразий, сколько самого способа изображения эволюции. Отображение турбулентной динамики одной единственной траекторией не давало эффективного воспроизведения деталей пространственно неоднородной турбулентности. Более того, возникла проблема редукции движения к аттрактору, представлявшему собой пренебрежимо малую часть фазового пространства.
Отмеченные трудности не были препятствием для развития модельных предположений о турбулентном феномене в рамках другого подхода — феноменологической теории необратимых процессов в сплошной среде [4, 5, 9, 13]. Проведение различий между параметрами порядка и быстро релаксирующими степенями свободы, учитываемыми в адиабатическом приближении, давало определенные методы для конструирования вполне конкретных типов мезоструктур [5, 9]. Вместе с тем, эти приемы оказались недостаточными для разработки формализма, пригодного для турбулентного движения. Проблемой здесь стало воспроизведение деталей процессов турбулентного смешения.
В решении указанной задачи автором был предложен подход [6], использующий аппарат систем уравнений в частных производных типа Пфаффа. Подобные системы были приняты для описания динамики турбулентных пульсаций. Главная математическая аксиома, отличающая весь подход в целом, заключалась в том, что используемые системы предполагались неинтегри-руемыми (неголономными) распределениями. Как следствие такого допущения, видоизменилась инвариантногеометрическая структура описания турбулентных проявлений. Хотя величины пульсаций остались полевыми объектами расширенного набора пространственных координат, времени и динамических степеней свободы, их пространственно-временная динамика стала неголо-номной, описываемой интегральными многообразиями неинтегрируемой системы Пфаффа.
Оценивая произведенную модификацию, следует заметить, что динамическое разрушение пространственно-временной структуры турбулентных пульсаций является одним из разумных выводов, который мог бы быть сделан в силу хорошо известного турбулентного феномена. Действительно, как известно, частицы турбулентной среды в процессе движения теряют свою индивидуальность. Спонтанно возникая, эти частицы завершают эволюцию в течение конечного отрезка времени, бесследно размываясь в общем потоке. Такой характер динамики не описывается ни классической гидромеханикой, ни кинетической теорией. Однако он воспроизводится автоматически в силу неголономности принятых уравнений турбулентной динамики. Естественно
считать, что сильные межуровневые взаимодействия также будут приводить к неголономным динамическим следствиям. Тем самым неголономность уравнений турбулентной динамики становится модельным отражением межуровневого характера турбулентных взаимосвязей.
Существенно заметить, что в используемом формализме оказывается задействованным лишь ограниченное число степеней свободы. Жестко фиксируются пространственные координаты и время, тогда как количество динамических координат может варьироваться. Каждый набор переменных при этом оказывается исходной базой для построения термодинамического формализма, отвечающего соответствующему режиму движения.
В данной статье разрабатываются те аспекты модели, в которых главными оказываются эффекты необратимости, а именно: строится феноменологическая термодинамика турбулентных полей по схеме классической теории необратимых процессов. При этом предполагается, что наблюдаемые величины являются заданными функциями фазового расслоения, координаты которого считаются независимыми переменными. В этих условиях оказалось возможным не только воспроизвести общую схему классической термодинамики, но и определить структуру потоков и производств термодинамических переменных в зависимости от структур, определяющих межуровневые взаимодействия.
2. Обобщенные гидромеханические уравнения
Для того чтобы сделать переход к обобщенным уравнениям более прозрачным, кратко воспроизведем конструкцию уравнений классической термодинамики.
Как известно, набор величин, отвечающий гидромеханическому уровню огрубления описания, определяется малым числом наблюдаемых, соответствующих аддитивным интегралам движения молекул. Минимальный набор состоит из массовой плотности р, скорости и и энтропии 5. Рассмотрение гидродинамики смесей добавляет к указанному набору величин новые наблюдаемые — концентрации компонент. Во всех случаях наблюдаемые величины считаются гладкими пространственно-временными полями
G = G ^, X). (1)
Эволюция наблюдаемых определяется феноменологическими уравнениями баланса
ЭгО = —Э • JG + <УО, (2)
G G
где J и а представляют собой поток и производство величины G. Конструкция потока предполагает выделение конвективного слагаемого и чисто диссипативного вклада:
JG = О • и + JGІSS. (3)
С учетом (3) уравнение (2) может быть переписано в форме, использующей полную производную по времени:
— = Э° + и-Э°--Э.^ +а°, (4)
ш
где а° = - О д- и.
Сделаем важное уточнение. Для экстенсивных величин вместо полной производной по времени может быть использовано выражение производной вида:
^О +Э-(О ■ и), (5)
ot
использование которого в (4) приводит к переопределению величины производства:
оО ^ аО (6)
Несмотря на возможность использования любого из операторов дифференцирования для балансовых уравнений представляется разумным предпочесть оператор вида (5). Действительно, величина G имеет смысл плотности, т.е. реальной характеристикой физически малого объема является произведение плотности на величину трехмерного объема, т.е. ОШ х. В классической теории физически малые объемы в процессе движения сохра-
•3
няют индивидуальность. Поэтому именно ОШ х является той величиной, для которой должны составляться балансовые соотношения. Дифференцируя ОШ х, легко видеть, что в этом случае получается выражение оператора производной по времени вида (5).
В связи со сказанным становится ясным, что уточнение выражения для производства должно производиться на основе выбора оператора дифференцирования. Так, в частности, в отсутствие источников величины G в уравнениях баланса с оператором (5) правильное выра-
у-~:
жение для производства о должно давать нуль. В свою очередь, это условие позволяет однозначно переписывать выражения для производства при различном выборе производной по времени.
После этих замечаний перейдем к формулировке более общей формы феноменологических уравнений, учитывающей возбуждение динамических степеней свободы. В этом случае естественно считать, что набор величин включает в себя помимо классических переменных новые наблюдаемые величины. Примеры возможных расширений величин показывают неньютоновские среды, а также модели, получаемые замыканием моментных уравнений [11].
Введем явное выражение для динамических координат [6-8]. Будем считать, что в рассматриваемом установившемся турбулентном состоянии возбуждаются п степеней свободы, обозначаемых уа (а = 1,..., п). Наблюдаемые величины считаем функциями пространственных координат, времени и указанных степеней свободы. В этом случае, вместо (1) имеем:
О ^, х, у) = Оo(t, х) + О У, х, у), (7)
где первое слагаемое определяет осредненное значение наблюдаемой, а второе — пульсационное слагаемое, т.е. отклонение актуальных значений величин от своих средних.
Отметим, что реальное выделение осредненного значения не является тривиальной процедурой. Оно становится определенным в силу дополнительных соглашений физического порядка. В частности, если динамика слоевых переменных оказывается заданной, то осреднение по времени, например в системе отсчета, движущейся со скоростью среднего потока, позволяет сделать эту процедуру осреднения однозначной. Примеры такого рода осреднений показаны в работах [6, 8].
Введем в рассмотрение уравнение динамики пульсаций, определяемое системой Пфаффа вида [6]:
Шуа +тк (х, у)Шхк = Аа (х, у)Ш^ (8)
Коэффициенты системы (1) служат для инвариантного задания изменений макроскопических динамических координат в локальной пространственно-временной окрестности. Будем считать эти коэффициенты не зависящими явно от времени, что соответствует представлению об установившемся турбулентном режиме эволюции.
Объект связности, определяемый системой (8), позволяет ввести ковариантное дифференцирование по формулам
Di =Э; -<да, Da =да. (9)
Тогда прямым обобщением уравнения (4) является уравнение
— = Э О + и • DG + Аа БаО ' =
^ 1 а
= -D • - В а 0^) + а°, (10)
где в правой части добавился диссипативный поток, отвечающий динамическим степеням свободы.
Уравнение (10) определяет расширенную форму феноменологических уравнений баланса, которую далее будем называть поднятием в расслоение динамических координат. Сама конструкция этого уравнения отвечает макроскопическому уровню описания движения. В свою очередь, уравнение (8) определяет правила кова-риантного дифференцирования динамических координат по пространственным координатам и времени. Ясно, что эти правила отражают результат взаимодействий, протекающих на мезоскопическом уровне разрешения событий. Отсюда следует, что (8) и (10) образуют новые уравнения движения, описывающие эффекты межуровневых взаимодействий.
Формальное отличие новой и классической моделей состоит в том, что вместо эйлеровых полей в трехмер-
з
ном пространстве R возникают эйлеровы поля в (п + 3)-мерном расслоении. В общем случае обе картины неэквиваленты. Тем не менее, если такая эквивалентность возникает, то в этом случае турбулентное движение становится неотличимым от классического нестационарного движения. Ниже мы вернемся к обсуждению этого важного обстоятельства.
Уточним выражения для потоков и производств. Выделим конвективное и диссипативное слагаемое в выражениях для потоков:
.О = О ■ и + JUъ = ОАа + ^ (11)
Обратимся к выражениям для производств. Прежде всего заметим, что обобщением оператора (5) является оператор
= Э,О + D • (О • и) + Ба (О'-Аа). (12)
ot
Представляется естественным выбор оператора дифференцирования в балансовых уравнениях в форме (12). Действительно, это согласуется с допущением, что именно (п + 3)-мерные объемы сохраняют свою индивидуальность в процессе движения. Измеряемой величиной является О(^ х, у) Ш3х Ш пу, а производная от этой величины дает (12).
Новым обстоятельством является то, что в интегрируемом случае (т.е. в случае, когда динамические координаты не являются независимыми переменными, а оказываются функциями пространственных координат и времени) измеряемой величиной должна быть О(^ х, у(^ х)) Ш х. Но в этом случае дифференцирование приводит к оператору вида:
= д,О + Э-(О-и) + АаБаО'. (13)
51
По-видимому, именно для оператора (13) следует считать, что производство в отсутствие источников должно тождественно обращаться в нуль. Но в этом случае мы вступаем в противоречие с желанием считать частицами турбулентной среды малые (п + 3)-мерные объемы. Для разрешения ситуации примем следующие правила согласования:
1. Будем использовать в записи уравнений баланса (10) оператор дифференцирования в форме (12). Тем самым принимается постулат сохранения индивидуальности (п + 3)-мерных объемов.
2. В записи производства добавим компенсирующий член, уничтожающий эффект изменения объема динамических координат. В этом случае сохраняется преемственность с интегрируемым случаем турбулентной динамики.
Исходя из сказанного, переход в (10) к оператору (12) приводит к появлению добавочного члена в выражении для производства:
°°итЪ = О'-БаАа. (14)
Правильное выражение для уравнения баланса принимает вид:
= ЭгО + Э-(О-и) + Ба (О '•Аа) =
ot
= -О • .Шк - Ба (JddGs) + СО + <Ъ , (15)
где два последних слагаемых определяют полное производство по формуле:
_О О . О /1
аЮ1а1 +а1игЪ. (16)
Заметим, что отмеченная ситуация не возникает в кинетической теории газов, также использующей доба-
вочные степени свободы. Импульсные переменные являются материальными характеристиками, независимость которых от пространственных координат и времени является само собой разумеющимся фактом. Соответственно наблюдаемой величиной является функция
плотности в шестимерном пространстве, а измеряемой
3 3
величиной — произведение f ^, х, р) Ш х Ш р. В этом случае полная производная от произведения плотности на шестимерный объем автоматически приводит к выражению вида (12).
Ближайшая наша задача будет заключаться в том, чтобы вывести следствия из принятого выше допущения, а также дать расшифровку выражений потоков и производств. Это будет сделано в приближении теории Онсагера в следующем параграфе.
3. Баланс энтропии
Пусть некоторый набор из п наблюдаемых величин задан в виде определенных функций координат, времени и динамических степеней свободы:
О(а) = о(а,х,у) (а = 1,..., п). (17)
Будем считать, что для введенных величин выполняется условие независимости
дО(а) )
ду
Ф 0.
(18)
В этом случае (17) становится полным набором величин в том смысле, что любая наблюдаемая Ф(^ х, у) является функцией от пространственных координат, времени и величин (17), т.е.
Ф(^ х, у) = F(и х, О(1),..., О^я;)
(п)
(19)
Введем аналог энтропии. Считая энтропию наблюдаемой величиной, имеем:
Б = Б(и х, О(1),..., О(п)). (20)
Произведем разделение этой величины на осредненное и пульсационное слагаемое. Будем считать, что среднее слагаемое равно
So(t, х) = S (t, х, О01},..., О0п)). (21)
Тогда разделение энтропии на среднее и пульсации определится однозначно:
Б = Б0(^ х) + Б ,(t, х, у). (22)
Примем для энтропии уравнение типа Гиббса
Т -ЪБ = g(a) -5О(а), (23)
где температура Т и другие сопряженные величины g(a) принадлежат алгебре, определяемой полным набором (17). Будем считать, что в указанных переменных уравнение Гиббса является вполне интегрируемым, а температура играет роль интегрирующего множителя. Тогда из (23) получаем аналоги классических термодинамических соотношений
= Т ^ <24>
и классических потенциалов F(к, Г) = )О(а} - ТБ.
а=к
(25)
Запишем для энтропии уравнение типа (15). Для упрощения обозначений условимся снимать значок энтропии в выражениях потоков и производств этой величины. Тогда имеем:
5Б
— = -О • .1diss - Б а (.1) + О + 01игЪ.
(26)
Сделаем упрощающее предположение. Будем считать, что диссипативными потоками в многообразии динамических степеней свободы можно пренебречь, т.е. полагаем
Jdaiss = 0. (27)
Тогда по аналогии с (11), (14) и (16) имеем:
. = Б ■ и + .ш^, J?шъ = Б '• Аа. (28)
°Ша1 = ° + ° 1игЪ, °1шЪ = Б '-БаА“ (29)
Обратимся к рассмотрению собственно турбулентных членов. Для этого воспользуемся теорией Онсагера. Введем выражения для термодинамических сил Х*шЪ, считая их линейными функциями потоков ^Шъ, т.е.
(30)
и определим выражение для производства а1шЪ в соответствии с формулой
х^шЪ _ г тЬ
х а ^аЬ1' 1шЪ,
_ _ тИигЪ та
а1игЪ _ ла ‘ ^ 1итЪ.
Тогда из (28) - (31) следует В Аа
а ЛЬ
ЬаьАаЛ
-ЧшЪ
(БаАа )2 ЬаьАаАЬ .
(31)
(32)
(33)
Будем считать, что матрица кинетических коэффициентов является положительно определенной. Тогда из (32) и (33) получаем:
1. Турбулентное производство энтропии является положительной величиной.
2. Знак пульсаций энтропии определяется знаком дивергенции БаАа.
Отметим, что первое утверждение согласуется с известным вариационным принципом, постулируемым в теории необратимых процессов [13]. Это значит, что изменение энтропии за счет производства во всех случаях ведет к возрастанию энтропии.
В отношении второго утверждения заметим следующее. Как известно из S-теоремы Климонтовича, наступлению турбулентных состояний отвечает возрастание порядка в системе [9]. В данном случае возрастание порядка можно было бы связать со знаком пульсаций энтропии. Именно эта компонента возникает как дополнительный вклад в энтропию, вызванный переходом к
турбулентному режиму эволюции. Но тогда естественно ожидать, что пульсации энтропии должны быть отрицательными величинами. Возможность для этого действительно имеет место. Как следует из (32), если фазовый объем в пространстве динамических координат сжимается, то пульсации энтропии становятся отрицательными.
В этой связи открываются взаимосвязи между разными концепциями турбулентности. Действительно, согласно одной из них, турбулентность есть рождение режима типа странного аттрактора. Согласно другой, турбулентность суть процесс самоорганизации и рождение порядка из хаоса. Легко видеть, что обе концепции оказываются согласованными в рамках данной модели, а именно: поскольку одним из характерных признаков странного аттрактора является свойство сжимания фазовых объемов, то в силу (32) это приводит к уменьшению энтропии, т.е. к увеличению порядка. В этом случае режимы типа странных аттракторов становятся главными модельными примерами для описания процессов самоорганизации, происходящих в турбулентной среде.
В общем случае (32) дает новый по сравнению с S-теоремой критерий определения упорядоченности турбулентного движения. С его помощью фазовое расслоение подразделяется на подобласти, различающиеся по знаку пульсаций энтропии. Области, в которых знак пульсаций оказывается отрицательным (положительным), следует считать областями самоорганизации (хао-тизации). Тем самым формула (32) дает новые аргументы для решения проблемы рождения порядка из хаоса применительно к турбулентному движению.
Перейдем к расшифровке величины а в (29). Будем считать, что для величин (17) имеют место балансовые уравнения
56(а)
(а) ^ г.(а) + а(а)
5t
1игЬ’
(34)
где также принято упрощающее предположение относительно диссипативных потоков, аналогичное (27). Во избежание недоразумений отметим, что индекс, взятый в скобки, нумерует величины, тогда как индекс без скобок нумерует слоевые координаты.
Воспользуемся уравнениями Гиббса (23). Подставим (26) и (34) в (23) и выделим дивергентные слагаемые. Получим выражение для потока и производства энтропии через потоки и производства величин (17) в виде:
^88
g(a)
т(а)
Т ^ >
а =
8(а )'
(а )
и, кроме того, соотношение
- g(а) п(а)
1игЬ ’
(35)
(36)
(37)
которое будем рассматривать как неявное определение турбулентной температуры. В этой связи отметим, что если выполняется условие DaAa = 0, то обе части равенства (37) обращаются в нуль тождественно и выражение для температуры остается недоопределенным. В противном случае, из (37) с учетом (14) и (33) получаем:
Т =
8(а)
6/(а )
LabAAD D„ Аа
(38)
Оценивая сказанное выше, подчеркнем, что из одного уравнения (23) не могут быть однозначным образом выделены три соотношения (35) - (37). Это становится возможным лишь как результат физически приемлемых допущений, а именно: если условиться определять поток и производство энтропии формулами (35) и (36), то, в свою очередь, это влечет выполнение (37). Вместе с тем, не исключено, что разделение вкладов в производство (29) не имеет инвариантного характера и такой характеристикой является только лишь суммарная величина производства.
Аналогичная неоднозначность в расшифровке вкладов имеет место и в классической термодинамике. Тем не менее, это не приводит к каким-либо неприятным последствиям [11]. В этой связи уместно заметить, что в механике деформируемых сред известен факт неоднозначности в определении внутренних самоуравнове-шенных напряжений. Но эта неоднозначность находит полезные применения в разработке структур калибровочного типа [14]. Аналогичных эффектов следует ожидать и в данном случае. В настоящее время автор не в состоянии выявить все возможные следствия из принятых допущений, рассчитывая на прояснение ситуации в будущем. Вместе с тем представляется ясным, что структуризация вкладов, подобная вышеприведенной, является настоятельно необходимой.
Вновь воспользуемся теорией Онсагера для преобразования второго слагаемого в (36). Введем термодинамические силы и их связи с потоками по формулам
= Dг■
С \ 8(а)
(39)
т1(а) т1к(а)(Ь) -у!
- L Х
У
^88
М188 Лk (Ь )■ (40)
Следует заметить, что возможность упрощения кинетических коэффициентов Ёк(а)(Ь) следует из принципа Кюри, согласно которому перекрестные взаимосвязи могут осуществляться только между потоками и силами одного и того же геометрического типа. В общем же случае (36) принимает вид:
а =
8(а )'
(а )
- + Е
Ik (а)(Ь)
D,
8(а) ^ Dk ( *(ь) ^
Т V Т V )
(41)
что и дает требуемую расшифровку величины производства энтропии.
4. Геометрическая интерпретация диссипативных сил
Вернемся к обсуждению вопросов эквивалентности, затронутых во втором разделе. Прежде всего, зафиксируем связь между неинтегрируемостью (8) и термодинамическими силами, введенными в (39).
Легко видеть, что (39) можно рассматривать как уравнение, служащее для определения коэффициентов внутренней связности (х, у)Ахк, определяемой на расслоенном пространстве динамических степеней свободы. Если силы и сопряженные величины
§(а) = g(a)/Т известны как функции пространственных и динамических координат, то (39) позволяет определить соответствующие коэффициенты системы Пфаффа. Действительно, записывая развернутое выражение для ковариантной производной, получаем
= Эг ,%(а) а)- (42)
Если допустить, что матрица коэффициентов при искомых является невырожденной, то тем самым (42) дает способ определения отмеченных величин.
Заметим, однако, что диссипативные силы Х^)) можно рассматривать как коэффициенты связности в некоторой специальной системе динамических координат. Действительно, совершая преобразование координат по формуле
х% = хъ, у% =ЪаЬ -,£Г(Ь)Сx,У) (43)
и учитывая закон преобразования коэффициентов связности, легко получающийся непосредственно из (8), имеем:
Х(й)к =~§аЬ ®к - (44)
Тем самым (39) отображает взаимосвязь между диссипативными характеристиками процесса, обладающего внутренними степенями свободы и геометрией многообразия этих измерений.
Легко видеть, что возможность обращения диссипативных сил в нуль инвариантным образом связана с геометрией расслоенного пространства пульсаций, а именно: обращение всех диссипативных потоков в нуль соответствует существованию набора из п ковариантно постоянных величин g(a), а = 1,п. В свою очередь, этот факт соответствует тому, что внутренняя связность оказывается вполне интегрируемой [15]. Имея в виду задачу моделирования пространств с нетривиальными диссипативными потоками, зафиксируем сказанное в виде следующего утверждения.
Теорема. Необходимым и достаточным условием того, чтобы диссипативные потоки величин (17) обращались тождественно в нуль, является условие интегрируемости соответствующих форм внутренней связности
(х, у)йх%.
Отметим, что условие интегрируемости форм связности эквивалентно обращению в нуль тензора кри-
визны [6]. Используя квадратные скобки для операции альтернирования по индексам, имеем:
= Э[ % ®га] + (й[к ^Ь^] = 0, (45)
что дает инвариантный критерий для выявления интегрируемости форм связности.
Сопоставим приведенные выше модельные соображения с классической эйлеровой интерпретацией движения сплошной среды. Нашей задачей будет выявление недостаточности эйлеровой картины для описания эффектов пространственно неоднородной турбулентности. С этой целью рассмотрим случай, когда система (8) оказывается вполне интегрируемой. Необходимые и достаточные условия для этого дают ранее указанные условия (45) совместно с
Dг■Aa = 0. (46)
Система уравнений (45) и (46) дает достаточно жесткие ограничения на мезоструктуры, допустимые в данной модели турбулентности.
Продолжим рассмотрение случая полной интегрируемости системы (8). В этом случае имеем общий интеграл системы (8)
Фа Ц, х, у) = Са. (47)
Отметим, что конкретные зависимости в (47) могут быть получены только тогда, когда коэффициенты системы (8) будут определены исходя из феноменологических гидромеханических уравнений. В настоящее время известны лишь очень узкие классы точных решений, в которых интегрируемость сочетается с хаотичностью динамики [10]. Тем самым изначальная цель выявления недостаточности эйлерова описания для турбулентной динамики получает некоторое косвенное подтверждение.
Однако пойдем далее. Пусть набор величин
и1 = и1 (х, у) (48)
задает распределение скоростей, отвечающих интегралам (47). Исключая динамические координаты из (48) с помощью (47), получим п-параметрическое семейство нестационарных полей для распределения скоростей движения среды
и1 = и1 (/, х, С). (49)
Именно подобные выражения (49) отвечают классическим нестационарным полям в эйлеровой картине движения в трехмерном пространстве.
Рассмотрим (49). На это семейство можно смотреть, как на множество возможных реализаций, представляющих турбулентный режим. Легко видеть, что динамика, представленная этими решениями, не детерминирована начальными данными в смысле классических постановок задач типа Коши. Действительно, это семейство обладает лишь параметрическим произволом, тогда как множество начальных данных априори предполагает функциональный произвол. Имеющееся противоречие с классической парадигмой согласуется с тем фактом, что для трехмерных уравнений Навье-Стокса на настоя-
щее время отсутствует теорема единственности. Более того, в некотором смысле такой единственности не следует ожидать [1].
Любопытный пример аналогичного свойства показывает другой тип динамики сплошной среды — соли-тон. Солитонные решения формируются в силу уравнений движения, причем почти независимо от начальных данных. Иначе говоря, начальные данные и в этом случае также оказываются несущественными.
Предположим, что некоторое решение из семейства (49) выделено. Рассмотрим линии тока этого течения. В соответствии с (8) имеем:
х = иг', (50)
уа = Аа-такик. (51)
Очевидно, что линии тока будут укладываться на поверхности уровня интегралов (47). Но тогда возникает некоторое противоречие с пространственной хаотичностью турбулентного движения, а именно: если предположить, что траектории точек турбулентной среды должны блуждать по всей области, занимаемой течением, то тем самым должно утратиться свойство интегрируемости системы (50) - (51) в форме (47).
Полученный вывод можно рассматривать как общую характеристику эйлеровых представлений турбулентных течений сплошной среды в трехмерном пространстве. В частности, можно утверждать, что эйлерова картина движения становится фактором, ограничивающим воспроизведение процессов разрушения инвариантных торов, образованных траекториями точек в известных течениях типа Куэтта [11]. Вместе с тем, отмеченные процессы естественно воспроизводятся в неинтегрируемых случаях системы (8).
В заключение укажем возможности моделирования пространственной неоднородности турбулентной динамики (8). Для этого рассмотрим зависимость пульсаций вдоль некоторой конгруэнции интегральных кривых (8) в фиксированный момент времени. В этом случае следует положить dt = 0. Соответственно роль «времени» будет выполнять некоторый пространственный параметр I. Тогда из (8) имеем:
£ = ? (х, У), (52)
ш
+ ю% (х, у)^ (х, у) = 0, (53)
а/
где в правой части (52) подставлены функции, выбор которых следует связать с той или иной желаемой интерпретацией.
Легко видеть, что произвол в выборе связности (или диссипативных сил) позволяет реализовать самые разнообразные типы «пространственной» динамики, включая известные режимы типа странных аттракторов.
5. Заключение
Отметим основные положения данной статьи.
Описание установившихся турбулентных режимов использует (n + 3) независимые координаты. Турбулентные поля являются дифференцируемыми функциями отмеченного набора переменных.
Информацию о структуре турбулентных полей, а также геометрии многообразия динамических степеней свободы дают интегральные кривые системы (8), играющие роль траекторий «пробных тел».
Турбулентное движение описывается феноменологическими обобщенными уравнениями баланса, поднятыми из трехмерного пространства в (n + 3)-мерное расслоение.
Турбулентные поля совместно с сопряженными величинами удовлетворяют обобщенному вполне интегрируемому уравнению Гиббса, в котором турбулентная температура имеет смысл интегрирующего множителя.
Для записи балансовых уравнений принят постулат сохранения индивидуальности частиц в (n + 3)-мерном расслоении. Уточнение вкладов в уравнения баланса производится на основе согласования с интегрируемыми случаями турбулентной динамики.
Литература
1. Маслов В.П. Нарушение принципа причинности для нестационарных уравнений двумерной и трехмерной газовой динамики при достаточно больших числах Рейнольдса // ТМФ. - 1986. -Т.69. - № 3. - С. 361-378.
2. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. - San Francisco: Freeman, 1982. - 460 p.
3. Штокман Х.Ю. Квантовый хаос. - М.: Физматлит, 2004. - 376 с.
4. Голъдштик M.A. Динамические, равновесные и потоковые структу-
ры в турбулентности // Структурная турбулентность. - Инст. теплофизики СО АН СССР, 1982. - С. 5-12.
5. Хакен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1980.
6. Mukhamedov A.M. Towards a gauge theory of turbulence // Chaos, Solitons and Fractals. - 2006. - V. 29. - P. 253-261.
7. Мухамедов A.M. Турбулентные аттракторы в хаотических режимах эволюции сплошных сред // Пробл. нелин. анал. инж. ^ст. -2003. - Т. 9. - Вып. 3(19). - С. 127-141.
8. Мухамедов A.M. Аттрактор Лоренца в сдвиговых течениях // Изв. вузов. Прикл. нелин. динамика. - 2007. - Т. 15. - № 1. - C. 61-71.
9. Климонтович Ю.Л. Что же такое турбулентность? // Изв. вузов. Прикл. нелин. динамика. - 1995. - Т. 3. - № 2. - С. 7-38.
10. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов A.M. Системы гидродинамического типа и их применение. - М.: Наука, 1981. - 366 с.
11. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика. - М.: Наука, 1988. -736 с.
12. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Commun. Math. Phys. - 1971. - V. 20. - P. 167-192.
13. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуации. - М.: Мир, 1973. - 280 с.
14. В.П., Гузев M.A. Геометрическая структура поля равновесных напряжений сплошной среды // Обзорные доклады и лекции XVI сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. - Казань: Труды Мат. центра им. Н.И. Лобачевского, 2002. - Т. 15. - С. 126-152.
15. Дубровин БЛ., Новиков С.П., Фоменко A.T. Современная геометрия. - М.: Наука, 1979. - 760 с.
Поступила в редакцию 09.04.2007 г.
