CC BY
34
УДК 517.9
Развитая турбулентность: новые методы моделирования турбулентного феномена
A.M. Мухамедов
Казанский национальный исследовательский технический университет им. A.H. Туполева, Казань, 420111, Россия
Данная статья завершает построение модели развитой гидродинамической турбулентности, разрабатываемой автором на протяжении ряда лет. Впервые дается развернутое, доведенное до математических постулатов определение развитой турбулентности как феномена неинтегрируемости в смысле Пфаффа в динамике сплошной среды. Главным нововведением стало прямое моделирование классов траекторий турбулентной вихревой пелены интегральными кривыми пфаффовых распределений. На этой основе предложены геодезические и почти геодезические варианты моделирования. В развитие модели предложен новый вариант разрешения проблемы осреднения для развитых турбулентных состояний среды.
Ключевые слова: модель развитой гидродинамической турбулентности, эффект потери индивидуальности, турбулентная вихревая пелена
Developed turbulence: New methods for modeling the turbulence phenomenon
A.M. Mukhamedov
Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev, Kazan, 420111, Russia
This paper completes the construction of the model of developed hydrodynamic turbulence, which has been elaborated over the past few years. For the first time, the developed turbulence as a phenomenon of nonintegrability in the Pfaffian sense in continuum dynamics is well defined in terms of mathematical postulates. The main novelty is the direct modeling of classes of turbulent vortex wake trajectories by integral Pfaffian distribution curves. This provided a basis for geodesic and almost geodesic variants of modeling. The model is extended with a new version of the solution of the averaging problem for developed turbulent states of the medium.
Keywords: model of developed hydrodynamic turbulence, deindividuation effect, turbulent vortex wake
1. Введение
Среди исследователей-практиков, занимающихся проблемами турбулентного движения, широко распространено мнение о том, что формализм классической гидромеханики является достаточным средством для воспроизведения большинства турбулентных проявлений. Такой оптимизм, по-видимому, связан с тем, что само понимание турбулентности трактуется излишне расширительно. Зачастую к турбулентным проявлениям относят классические нестационарные течения сплошной среды, такие как отрывные течения с застойными зонами, которые в зависимости от параметров течения могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Такие течения вряд ли можно назвать собственно турбулентными режимами эволюции.
С другой стороны, при теоретическом подходе к проблеме турбулентности укоренившееся представление заключается в том, что турбулентное движение является автоколебательным процессом в системе с чрезвычайно большим числом степеней свободы. В этом случае исследователи также остаются в границах
классической гидромеханики, сосредоточиваясь на механизмах усложнения течений.
Оправданием такой позиции становится поиск критериев, согласно которым те или иные автоколебания приобретают особые свойства. Актуальные работы в этом направлении связаны со странными аттракторами, возникающими в фазовых пространствах автоколебательных систем при переходе через некоторые критические значения параметров системы. Кажется вполне разумным, если отождествить хаотическую динамику на этих странных аттракторах с некоей разновидностью турбулентного движения.
В указанных выше случаях речь не идет о развитой турбулентности как принципиально новом способе описания функционирования сплошной среды. Более того, если какие-либо области можно было бы считать областями развитой турбулентности, то такие области в конкретных задачах либо образуют множества нулевой меры, либо сами турбулентные проявления рассматриваются за пределами этих областей. Отсюда следует, что в таких исследованиях вопрос о том, чем явля-
© Мухамедов A.M., 2017
ется турбулентность в ее развитой форме, не ставится вовсе.
В данной работе именно развитая турбулентность и формы ее описания являются предметом интереса. При этом задача заключается не в том, чтобы найти взаимосвязи между процессами турбулентных возбуждений и последующих их релаксаций. Прежде всего, задача заключается в том, какими средствами это может быть описано и затем остальное, в зависимости от средств, допускаемых решениями первой задачи.
В предлагаемой модели турбулентные взаимодействия считаются столь значительными, что причинно-следственные связи, складывающиеся в малых окрестностях актуальных значений гидромеханических величин, считаются более слабыми, чем это имеет место для полевой формы описания движения. Как будет показано ниже, эти связи могут задаваться вдоль произвольно выбранных пространственно-временных кривых. Однако результаты слежения за пульсациями гидромеханических величин не обязательно складываются в единую полевую картину эволюции среды. Этот траек-торный по характеру связей способ описания движения, отличный от полевой формы эволюции сплошной среды, составляет суть предложенной концепции развитой турбулентности [1-4].
Отметим, что вариант с ослаблением причинно-следственных связей возникает в концепции дробных производных, применяемых в задачах перколяции (протекания). В них область протекания предполагается фракталом, геометрия которого ответственна за взаимосвязи между значениями гидромеханических характеристик в малых окрестностях точек пространства. Эти фрактально организованные взаимосвязи статистическим образом моделируются применением производных дробного порядка [5].
Для развитой турбулентности область протекания не является фракталом. В этом смысле дробные производные, так как они используются в теории перколяции, не вполне пригодны для развитой турбулентности. Вместе с тем фрактальная динамика типа странного аттрактора Лоренца, как это будет показано далее, имеет место в предлагаемой модели развитой турбулентности, но возникает на других основаниях.
В предлагаемой модели производные имеют целый порядок, но оказываются некоммутирующими друг с другом операциями. Это связано с тем, что отмеченные выше траекторные взаимозависимости моделируются интегральными кривыми в общем случае неинтегри-руемых дифференциальных распределений. Именно неинтегрируемые распределения положены в основу динамики развитой турбулентности. Как следствие этого способа моделирования, развитая турбулентность становится феноменом неинтегрируемости, а неинтегрируемость оказывается причиной ослабления причин-
но-следственных взаимосвязей в малых окрестностях точек сплошной среды.
Такого рода формализация развитой турбулентности не является ни очевидной, ни единственно возможной. Однако она согласуется с важной особенностью развитого турбулентного движения, которая не находит своего объяснения в других теориях. Речь идет об эффекте потери индивидуальности, значение которого для конструирования модели развитой турбулентности будет обсуждено в следующем разделе.
2. Натурные и математические предпосылки для введения новых постулатов для описания развитого турбулентного движения
2.1. Эффект потери индивидуальности
В одной из своих аналитических работ С.С. Ку-тателадзе [6] утверждал, что ни один из известных к тому времени формализмов, т.е. ни классическая гидромеханика, ни кинетическая теория, не в состоянии воспроизвести так называемый эффект потери индивидуальности в турбулентном движении.
Этот эффект состоит в том, что в турбулентных потоках частицы среды (глобулы, моли, турбоны и т.п.) спонтанно возникают, проходят некоторый отрезок своей эволюции и исчезают, размываясь в общем потоке. Этот эффект легко заметить визуально в натурных экспериментах, но его математическое описание оказалось необычайно трудным.
Эффект потери индивидуальности С.С. Кутателадзе считал наиболее существенной особенностью турбулентного движения. Более того, он полагал, что именно этим эффектом турбулентное движение отличается от какого-либо другого способа эволюции сплошной среды. Однако эта особенность была камнем преткновения для методов теоретического конструирования турбулентности.
2.2. Несовместимость эффекта потери индивидуальности с классическими уравнениями движения
Ограничимся для простоты уравнением для скорости движения сплошной среды. Выберем физически малый объем и для него запишем второй закон Ньютона du _ _
Р ёТ Р + Р°тР + к •
Аналогично строятся другие уравнения классической теории сплошной среды.
Подчеркнем, что уравнения классической гидромеханики имеют смысл только в том случае, когда физически малые объемы не теряют своей индивидуальности в процессе движения. Это заложено в самих уравнениях, которые предсказывают дальнейшую эволюцию этих объемов на любом по длительности промежутке времени.
Что произойдет, если указанный эффект потери индивидуальности принять во внимание? Тогда сразу станет явной неадекватность этих уравнений. Действительно, к чему будут относиться указанные уравнения через некоторый конечный промежуток времени, когда сам рассматриваемый объем «размоется» в общем потоке?
Отметим, что расплывание физически малых, но конечных объемов имеет место и в записанном уравнении. На любом конечном интервале времени всегда можно найти следы исходного начального образования. Эффект потери индивидуальности может достигаться лишь асимптотически, при Это слишком слабая
версия указанного эффекта.
Что же касается статистической гидромеханики, то недостаточность этой модели состоит в том, что собственно турбулентный феномен в этой схеме не выделен среди множества случайных процессов самой общей природы. Те же аргументы можно адресовать и рафинированной версии статистической теории — кинетической теории.
2.3. Траектории турбулентной вихревой пелены — метатеоретический элемент, отсутствующий в классической теории
Эксперимент показывает, что если запускать в турбулентный поток пробные частицы, имеющие ту же плотность, что и окружающая их жидкость, но которые в силу своей твердотельности не подвержены эффекту потери индивидуальности, то наблюдателю откроется множество самых разных траекторий. Достаточно капнуть в турбулентный поток каплю чернил и траектории можно будет наблюдать визуально.
Попытки изучения этих траекторий предпринимались. Однако принципиальным здесь оказывается результат предельного перехода при уменьшении размеров пробных тел. Оказалось, что предельный переход не определен, что неудивительно, если принять во внимание эффект потери индивидуальности. Более того, если бы в пределе получалась одна единственная траектория, то индивидуальность малых частиц в процессе движения всегда можно было бы восстановить по этой самой траектории.
На практике, в зависимости от того, какими размерами пробных частиц мы будет оперировать, турбулентность будет воспроизводить траектории разными вариантами реализаций.
Сказанное означает, что имеется объект, отсутствующий в формализме классической теоретической гидромеханики, хотя приближения к реализациям этого объекта в натурных экспериментах можно наблюдать визуально.
3. Постулаты развитого турбулентного движения
Перейдем к постулатам, определяющим развитое турбулентное движение.
1. В турбулентном движении сплошной среды возбуждаются дополнительные степени свободы движения.
Допустим, что комплексы траекторий, которые не описываются классической гидромеханикой, имеют место.
Введем новые переменные, с помощью которых будет представлен портрет траекторий турбулентной вихревой пелены. Обозначим их ..., £п и будем называть турбулентными координатами. Тогда для указанных траекторий естественно записать систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
— ^ ($, х, £), I — 1,2,3, (1)
— Fa(г, х, £), а — 1, к, п. (2)
Это и есть траектории турбулентной вихревой пелены. (Чтобы получить правые части уравнений (1) и (2), будем использовать третий постулат турбулентного движения.)
Актуальные значения гидромеханических величин в турбулентном состоянии среды как обычно разбиваются на две компоненты. Одна из них имеет полевой характер и определяет собой осредненные значения гидромеханических величин: и0 — и^^, х).
Другая зависит не только от пространственных координат и времени, но и от турбулентных степеней свободы:
и — и (^ х, к, £п). Сами актуальные значения гидромеханических величин являются суммами обоих компонент:
и(, х, £1, к, £п) — и0^, х) + и ^, х, £1, к, £п).
2. Каждый установившийся турбулентный режим движения характеризуется определенной размерностью, т.е. числом турбулентных координат, возбуждаемых в турбулентном движении.
Как следует из первого постулата, гидромеханические величины должны быть «подняты» из четырехмерного пространства-времени в многомерное расширенное пространство с априори неопределенным числом турбулентных степеней свободы:
(^ х) ^ (^ х, £1, к, £П ) ^ и, х, £1, к, ^ ) ^ к ,
и(:, х) ^ и^, х, £1, к, £п) ^ и^, х, £1, к, £п+т) ^ к . Каждый установившийся режим не предполагает возбуждения бесконечного количества турбулентных координат. Напротив, конкретные режимы эволюции могут быть маломерными, а само расширенное пространство конечномерным. Более того, в многомерном расширенном пространстве могут реализовываться метаста-бильные состояния, в которых только часть турбулентных координат будет возбуждаться. Прочие степени свободы можно будет рассматривать как интегралы движения, собственная динамика которых тривиальна.
Данный постулат неявно предполагает, что множества установившихся турбулентных режимов могут объе-
диняться в иерархии вложенных друг в друга подрежимов, переходы между которыми будут представлять собой процессы бифуркации соответствующих состояний развитой турбулентности.
3. Турбулентные координаты эволюционируют в траекторном варианте описания движения.
Множество всех допустимых траекторий образует множество всех интегральных кривых системы уравнений в частных производных типа Пфаффа:
+ юак (I, х, = Аа(1, х, (3)
Развитое турбулентное движение получается в случае, когда система Пфаффа не вполне интегрируема, т.е. не имеет полевых решений. При этом всегда существуют одномерные интегральные многообразия, которые получаются интегрированием системы Пфаффа вдоль произвольно выбранной пространственно-временной кривой:
t = X = х(4 ^ + юа(1, х, = Аа(I, х, •
а^ а^ а^
Эти интегральные многообразия определяют более слабый тип причинно-следственных связей в малых окрестностях гидромеханических величин.
Если система Пфаффа оказывается вполне интегрируемой, она имеет полевые решения
£ = ^,х).
В этом случае все гидромеханические величины эволюционируют в полевой форме:
и(г, х, к, £п) = и(,, х, £ (1, х), к, £п(1, х)) = й(1, х), а турбулентность вырождается в классическое нестационарное движение сплошной среды. Именно этот вырожденный вариант эволюции считается основным в концепции, когда турбулентность рассматривается как волновое движение сплошной среды [7].
4. В расширенном пространстве операторами эволюции становятся операторы дифференцирования вдоль траекторий
Dk = дк-ю «д/дда, Dt = д{ + Аад/д£а. Уравнения движения в расширенном пространстве получаются заменой частных производных в классических гидромеханических уравнениях операторами дифференцирования вдоль траекторий.
Этот постулат означает, что если задано какое-либо уравнение ньютоновской или неньютоновской гидромеханики, то оно может быть «поднято» в расширенное пространство заменой частных производных ковари-антными производными:
Ф(1, х, и, дй, д2и, к) = 0 ^ Ф(1, х, и, Dй, D2й, к) = 0.
В этом случае искомыми неизвестными становятся:
1) вектор релевантных гидромеханических величин
1 п.
й , . . . , й .
2) коэффициенты юа, Аа, а = 1, ..., п, k = 1, 2, 3 системы Пфаффа, определяющей траектории турбулентной вихревой пелены.
Эти величины являются функциями расширенного набора переменных, образованного временем, пространственными координатами и турбулентными степенями свободы.
5. Краевые условия для уравнений турбулентной эволюции состоят в том, что для осредненных величин должны ставиться естественные условия прилипания на твердых стенках. Для пульсаций краевые условия исчерпываются только лишь начальными данными.
В действительности для турбулентных координат, эволюционирующих в траекторной форме, возможна лишь постановка начальных значений. Такое же свойство турбулентные координаты будут транслировать пульсациям (но не осредненным значениям) гидромеханических величин.
Обычно считают, что турбулентность возникает в классических уравнениях при больших числах Рей-нольдса. Однако В.П. Масловым при решении задач с краевыми, т.е. с начальными и граничными, условиями было открыто явление асимптотической неединственности решений уравнений Навье-Стокса [8]. Было доказано, что при больших числах Рейнольдса только средние величины в разложениях актуальных величин по обратному числу Рейнольдса определяются однозначно. Для пульсаций возникает многозначность следующего вида [8]: какие бы малые отклонения в краевых условиях ни возникали, их влияние на течение в глубине вырастает до макроскопических размеров.
Это явление неединственности пока касалось только асимптотических решений, т.е. при разложении по обратному числу Рейнольдса. Однако оно приводит к целесообразности формулировки граничных условий для развитой турбулентности в форме постулата 5.
4. Мезомеханика турбулентности — новый структурный уровень описания турбулентности
Очевидно, что в турбулентном движении существенные процессы происходят на мезоскопических масштабах разрешения. Там возникают неустойчивости, которые впоследствии дорастают до макроскопических размеров. Траектории турбулентной вихревой пелены оказываются посредниками между турбулентной мезомеханикой и макроскопической турбулентной феноменологией.
Следует заметить, что при дифференцировании вдоль траекторий турбулентной вихревой пелены производные не коммутируют друг с другом. Это значит, что такой тип дифференцирования нельзя воспроизвести с помощью бесконечно малых, примененных к классическим гидромеханическим величинам. В механике деформируемых сред некоммутируемость применяемых ковариантных производных объяснялась неевклидовой внутренней геометрией среды с дефектами кристаллической структуры материалов [9]. В данном случае подобные неевклидовы структуры возникают в силу неевклидовой внутренней структуры среды в развитом
турбулентном состоянии. В обоих случаях неевклидовы структуры модулируют структуру среды на мезоскопи-ческих масштабах разрешения.
Для развитой турбулентности сказанное означает, что в динамике этого способа эволюции сплошной среды согласованным образом взаимодействуют два различных уровня описания событий. Мезодинамика определяет ковариантные производные, которые описывают взаимосвязи, возникающие в развитой турбулентности на мезоскопических масштабах разрешения. Макроскопический уровень описания составляют уравнения баланса массы импульса и т.п., записанные в терминах ковариантных производных.
5. Проблема осреднения
Проблема построения осреднений в классической теории представляет собой трудно формализуемую процедуру.
В предлагаемой теории проблема осреднения находит другое разрешение.
Если найдены актуальные значения гидромеханической величины, то для получения среднего достаточно разложить эти значения в ряд Тейлора по турбулентным координатам в точке, отвечающей нулевым значениям турбулентных координат:
и(:, х, £) — и(^ х, 0) +ди(' х,0) £а+ к .
Тогда первый член разложения даст среднее значение величины
и0^, х) — и^, х, 0). Такая же процедура используется для вычисления средних значений ковариантных производных любого порядка. Имеем
Du — Du(^ х, £), D2u — D2u(t, х, £). В этом случае следует брать первые члены в разложении Тейлора для каждой производной:
(Би)0^, х) — БиЦ, х, 0), (Б2и)0^, х) — D2u(t, х, 0). В указанном варианте операции осреднения и дифференцирования неперестановочны:
(Би)0^, х) Ф Эu0(t, х). Однако если для коэффициентов системы Пфаффа будут выполняться дополнительные условия:
ю^ (^ х, 0) — 0, Аа ^, х, 0) — 0, то перестановочность операций осреднения и ковари-антного дифференцирования строго выполняется. Заметим, что в полученном в [3] решении для динамики типа странного аттрактора Лоренца второе из указанных условий не выполняется.
6. Пространственно-неоднородный аттрактор Лоренца
Рассмотрим решение проблемы аттрактора Лоренца в развитом турбулентном течении вдоль линий тока среднего течения.
Возьмем обычные гидромеханические уравнения, например уравнение неразрывности и уравнение Эйлера:
ди — 0, (4)
д(и + ик д ки —-д'р. (5)
Поднимем гидромеханические переменные в расширенное пространство с четырьмя турбулентными координатами
и (х, V) — и0 ^, х) + £', ' —1,2,3, (6)
р(^ х, £) — Р0^, х) + £4 (7)
Смысл новых переменных состоит в том, что первые три представляют собой пульсации скорости, а четвертая — пульсации давления.
Запишем уравнения (3) для пульсаций: С + юк ((, х, £)ёхк — А'(t, х, (8)
+ ю4 (t, х, £)ёхк — A4(t, х, (9)
С учетом динамики турбулентных координат вдоль линий тока осредненного течения получим уравнение 6хг — и0 (^ x)dt. (10)
Отметим, что уравнение (10) представляет собой уравнение наблюдателя. Наблюдатель движется со скоростью среднего течения и измеряет значения пульсаций. Измеряемые наблюдателем величины получаются подстановкой (10) в (8) и (9).
В уравнении (10) правую часть можно заменить другим выражением. Тогда (8)-(10) определят другие траектории слежения и другое поведение пульсаций.
Отметим, что система Лоренца содержит три уравнения для трех переменных. Поэтому будем считать, что коэффициенты системы Пфаффа (8) и (9) зависят только от первых трех турбулентных координат, т.е. от пульсаций скорости течения.
Поднимем (4) и (5) в расширенное пространство. Согласно четвертому постулату для этого нужно подставить (6) и (7) в (4) и (5) и заменить частные производные по пространственным координатам и времени кова-риантными производными. Тогда в расширенном пространстве уравнения (4) и (5) примут вид
ю' (^ х, V) — ди (^ х), (11)
А — "(д^0 + и0дки0 + дР0) - К -
-юк (и0 + £к) + ю4).
(12)
Тем самым уравнения (4) и (5) определяют часть коэффициентов системы Пфаффа (8) и (9).
Запишем уравнения для пульсаций скорости течения вдоль линий среднего течения. Получим следующую систему уравнений:
dx ) — — Щ (x), dt
(13)
^ — -(ди + и0кдки0 + дг'р0) - V (дй -ю)) + ю4 (14) dt
На данный момент на величины, входящие в правые
части (13) и (14), наложено лишь одно единственное условие (11). Следовательно, имеем широкий класс свободных переменных, которыми можно распорядиться так, чтобы система (13), (14) определяла динамику пульсаций почти любого желаемого вида.
В частности, реализуем динамику Лоренца. С этой целью разложим коэффициенты системы Пфаффа из правой части (14) в ряд Тейлора по пульсационным переменным:
Ю = Ю(0), х) + ю(к), х)£к + ...,
ю4' =ю40)(,, х) + <*$)(,, х )£4 + ... и подставим в (14). Тогда получаем
С а = V + £ + £%к + к, (15)
где
С = -(ди0 +щ дкй0Р0)+ю40), (16)
С 4 = д4йо - Ю(0) + юО), (17)
С к =ю£к). (18)
Приравняем левые части (16)-(18) к коэффициентам канонической системы Лоренца и отбросим все члены третьего и выше порядка в (15). Тогда (15) будет совпадать с системой Лоренца.
Замечания
1. Очевидно, что только за счет выбора величин ю£, определяющих градиент пульсаций давления, можно обеспечить совпадение системы (15) с системой Лоренца. Однако здесь начинается собственно анализ входящих в (16)-(18) величин.
По-видимому, следует считать равным нулю вклад этих величин в (16). Действительно, есть основания считать, что вклад градиента давления в свободный от пульсаций член в (15) определяется слагаемым д' р0. Тогда, приравнивая к нулю ю^), получаем уравнение для осредненного течения в терминах осредненных значений скорости и давления, а также того слагаемого в левой части, которое привносит каноническая система Лоренца.
Линейное слагаемое для пульсаций градиента давления, по-видимому, следует считать отличным от нуля. В зависимости от накладываемых при этом условий, соотношение (17) может дать дополнительные уравнения на осредненные значения и градиенты пульсаций скорости. В частности, может оказаться, что наложение таких условий окажется несовместимым с динамикой Лоренца.
Как следует из (18), квадратичная часть градиента пульсаций давления с необходимостью должна быть отличной от нуля. Это соотношение определяет квадратичную часть градиента пульсаций давления однозначным образом. Отсюда следует, что только линейными членами в градиенте пульсаций давления аттрактор Лоренца воспроизвести невозможно.
2. Помимо сказанного, мы могли бы считать коэффициенты системы Лоренца переменными величинами. Как известно, аттрактор Лоренца получается только при определенных значениях параметров, входящих в уравнения Лоренца. Здесь возникает возможность для воспроизведения разных сценариев установления лорен-цевой динамики. В данном случае эти сценарии будут реализовываться в процессе следования по траекториям осредненного течения.
Новые обстоятельства возникают в ситуации, когда вместо уравнения Эйлера принимаются уравнения На-вье-Стокса. В этом случае уравнения лоренцевой динамики содержат производные от коэффициентов системы Пфаффа. Этот случай гораздо сложнее для анализа. В работе [3] дано построение динамики Лоренца вдоль линий тока среднего течения в случае, когда течение представляет собой течение простого сдвига.
Следует иметь в виду, что лоренцева динамика будет иметь место только вдоль линий тока среднего течения. Даже если эта динамика согласуется с экспериментом, тем не менее следует проанализировать поведение пульсаций вдоль других линий слежения. В этом случае может произойти рассогласование с экспериментом в силу следующих причин.
Во-первых, в реальном движении число задействованных турбулентных координат может быть больше тех, что были приняты к рассмотрению. Поэтому определение размерности расширенного пространства становится одной из задач экспериментального исследования конкретных турбулентных течений.
Во-вторых, в реализации динамики Лоренца остается произвол в выборе коэффициентов системы Пфаффа. В этом случае вдоль других линий слежения может реализоваться целый спектр разных типов динамики пульсаций скорости. Все они будут согласованы с динамикой Лоренца вдоль траекторий среднего течения.
7. Геодезическое моделирование траекторий турбулентной вихревой пелены
Рассмотрим вариант моделирования динамики пульсаций траекториями геодезических и почти геодезических линий римановых метрик. Этот случай может оказаться полезным для моделирования турбулентной динамики материи в общей теории относительности Эйнштейна.
Чтобы не усложнять выкладки, примем уравнение неразрывности и уравнение Эйлера для несжимаемой жидкости. Рассмотрим трехмерные режимы пульсаций, но траектории слежения выберем иначе. Будем считать
ёх' , (19)
т.е. траектории слежения будут касательными к пульсациям скорости течения.
Повторяя выкладки аналогичные тем, что были проделаны в предыдущем параграфе, получим
= -(ди'0 + 4дй + д'р0) - £д ,й'0 - ю'й + ю4'. (20)
Отметим, что это уравнение отличается от (14).
Разложим коэффициенты в правой части (20) по степеням пульсаций скорости и выделим квадратичное слагаемое:
с /а = г' + г ) £ + г]к £ £к + ..., (21)
где
Г' = -(д,й0 + Щ дкй0 + д'Р0 - ю4(0)й0 + ю40)X (22)
(23)
(24)
rj = dju0 +®(j)ku0 -m(j)> rjk =®( jk) +®( jk)lu0 *
Для анализа полученных соотношений предположим, что решения уравнений (21) являются геодезическими линиями некоторой римановой метрики. В этом случае следует положить равными нулю коэффициенты в левых частях (22) и (23) и отбросить члены третьей и выше степеней по пульсациям скоростей. Коэффициенты в левой части (24) следует приравнять к коэффициентам связности принимаемой римановой метрики.
Другим вариантом является почти геодезическое моделирование, когда коэффициенты в левой части (23) также оказываются отличными от нуля. Эти коэффициенты естественным образом интерпретируются как силовые поля. В результате уравнение (21) приобретает одну из возможных интерпретаций как уравнение, описывающее траектории движения пробных тел в силовом поле в конфигурационном пространстве с неевклидовой геометрией.
Общая концепция моделирования траекторий турбулентной вихревой пелены геодезическими и почти геодезическими линиями римановых и аффинносвязных пространств изложена в работе [2].
8. Заключение
В работе предложен подход, в котором рассмат-
риваются два взаимодействующих уровня описания
движения — мезомеханика турбулентности и макро-
скопическая турбулентная феноменология. При этом
а) на мезоскопическом уровне определяются операторы
ковариантного дифференцирования, представляющие
собой дифференцирования вдоль траекторий турбу-
лентной вихревой пелены; б) на макроскопическом
уровне сохраняются классические гидромеханические
соотношения, в которых операторы частных произ-
водных по пространственным координатам и времени
заменяются операторами ковариантных дифференци-
рований.
Развитая турбулентность рассматривается как состояние, в котором воспроизводится эффект потери индивидуальности частицами турбулентной среды. Как следствие такой трактовки, сколь угодно сложные течения, описываемые полями эйлеровой парадигмы, следует считать не турбулентными, а всего лишь нестационарными течениями. Для таких течений сохраняется полевая картина эволюции гидромеханических величин, но утрачивается возможность воспроизведения эффекта потери индивидуальности.
В развитой турбулентности эффект потери индивидуальности воспроизводится за счет того, что динамика пульсаций гидромеханических величин описывается интегральными кривыми неинтегрируемых распределений. В этом случае интегральные кривые распределений несут информацию о мезомеханике турбулентности.
Как следствие смешанного, траекторно-полевого описания динамики гидромеханических величин, для развитой турбулентности изменяется постановка краевых условий. Граничные условия следует задавать только для средних значений гидромеханических величин, а для пульсаций этих величин должны задаваться начальные условия. В случае задания граничных условий может быть описан механизм нарушения развитой турбулентности, в результате чего турбулентность может перейти в состояние нестационарной эволюции классической гидромеханической парадигмы.
Литература
1. Мухамедов А.М. Эффект потери индивидуальности частицами турбулентной среды в процессе движения: связь между турбулентной мезодинамикой и турбулентной макроскопической феноменологией // Физ. мезомех. - 2014. - Т. 17. - № 2. - С. 25-34.
2. Мухамедов А.М. Турбулентная вихревая пелена: принципы класси-
фикации, калибровочная эквивалентность, примеры и приложения // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 2. - С. 66-73.
3. Мухамедов А.М. Аттрактор Лоренца в сдвиговых течениях // Изв. вузов. ПНД. - 2007. - Т. 15. - № 1. - С. 61-71.
4. Mukhamedov A.M. Towards a gauge theory of turbulence // Chaos Solitons Fractals. - 2006. - V. 29. - P. 253-261.
5. ЗеленыйЛ.М., Милованов А.В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // УФН. - 2004. - Т. 174. - № 8. - С. 809-852.
6. Кутателадзе С.С. Проблема турбулентности в современном естествознании. - Новосибирск: Наука, 1977. - С. 133-142.
7. Ланда П.С. Гидродинамическая турбулентность и когерентные структуры: обзор тематического выпуска // Изв. вузов. ПНД. -1995. - Т. 3. - № 5. - С. 4-7.
8. Маслов В.П. Нарушение принципа причинности для нестационарных уравнений двумерной и трехмерной газовой динамики при достаточно больших числах Рейнольдса // ТМФ. - 1986. -Т. 69. - № 3. - С. 361-378.
9. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дискли-наций. - М.: Мир, 1987. - 168 с.
Поступила в редакцию 03.04.2017 г.
Сведения об авторе
Мухамедов Альфэрид Мавиевич, к.ф.-м.н., доц., доц. КНИТУ КАИ, [email protected]
