CC BY
23
Неголономная модель хаотической динамики континуума
А.М. Мухамедов
Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева, Казань, 420021, Россия
В статье дается развернутое изложение формализма неголономной динамики сплошной среды, предлагаемого автором как вариант решения задачи о создании последовательной теории пространственно-неоднородного маломерного хаоса систем с распределенными параметрами (турбулентное движение). Впервые дается определение эквивалентности установившихся турбулентных состояний, девиаторов геометрической структуры фазового расслоения, метастабильных состояний, возникающих в установившихся режимах динамики сред. Рассмотренный в статье пример разъясняет вводимые конструкции.
Nonholonomic model of chaotic dynamics of continuum
A.M. Mukhamedov
A.N. Tupolev Kazan State Technical University, Kazan, 420021, Russia
The paper discusses in detail the formalism of nonholonomic dynamics of continuum, which is proposed as a variant of solution for the problem on the development of a consistent theory of spatially inhomogeneous low-dimensional chaos of systems with distributed parameters (turbulent motion). The notions of equivalency of steady turbulent states, deviators of the geometrical structure of phase separation and metastable states arising in steady modes of medium dynamics are defined for the first time. The example considered in the paper clarifies the introduced constructions.
1. Введение
В настоящее время принято считать, что математическое описание макроскопического движения сплошной среды должно основываться на эйлеровой картине представлений. Подход Эйлера в гидродинамике заключается в том, что состояние среды задается набором гладких функций пространственных координат и времени {Эа(/, х)} (а =1,..., и), представляющих собой актуальные значения гидромеханических наблюдаемых. Изменение состояния задается уравнениями движения, представляющими собой систему уравнений в частных производных относительно выбранного набора величин. Конкретные движения среды определяются в виде решения соответствующих начально-краевых задач.
Несмотря на кажущуюся широту подобного описания существуют типы динамики, не совместимые с сохранением полевой структуры макроскопических наблюдаемых. Интегральные кривые не вполне интегрируемых распределений
dG“ + Г“ х, G)dхг' + V“ х, G)dt = 0 (1)
порождают движения, которые не соответствуют каким-либо пространственно-временным полям эйлеровой парадигмы [1, 2]. Попытка ответить на вопрос о том, в какой мере такие распределения могут быть основой для задания движения сплошной среды, представляет собой задачу данной работы.
Модели, представленные уравнениями типа (1), выходят за рамки классических описаний сплошной среды. Однако эти уравнения могут найти применение при воспроизведении таких феноменов, для которых классические представления оказались неадекватными. Прежде всего, это хаотические режимы эволюции сплошной среды, или, иначе, динамика турбулентных потоков. Как известно, для таких режимов удовлетворительных динамических описаний не найдено. Установлено лишь то, что зарождение турбулентного хаоса может быть описано как возникновение условно-периодических движений, происходящих на многомерных торах, обра-
© Мухамедов А.М., 2007
зованных возбуждаемыми в турбулентном движении динамическими степенями свободы [3]. Для случая развитой турбулентности указанные положения не пригодны.
Принципиальное изменение, на котором основан предлагаемый автором подход [1, 2], заключается в том, что динамику сплошной среды следует описывать, спускаясь на уровень рассмотрения траекторий движения отдельных точек. Если некоторый комплекс траекторий отвечает линиям тока некоторой начально-краевой задачи в эйлеровой картине движения, то соответствующая модель оказывается всего лишь иной формулировкой классического подхода. Однако траекторная постановка задачи является более общей. В этом случае можно не предполагать, что отдельные конгруэнции выбранного комплекса траекторий совпадают с линиями тока какой-либо определенной краевой задачи. Более того, весь комплекс траекторий может рассматриваться как модель движения, выходящая за рамки эйлеровой картины динамики.
Новый способ задания движения ведет к более сложным интерпретациям. В этом случае картина движения сплошной среды расщепляется на комплексы траекторий для частиц среды. Если для регулярной эйлеровой парадигмы, определяемой постановками начально-краевых задач и их решениями, движение среды в каждый момент времени единственным образом определено, то для новой траекторной парадигмы определение состояния движения требует решения обыкновенных дифференциальных уравнений, дополненных начальными данными для всех точек среды.
Новая формулировка задачи о движении сплошной среды допускает экстраполяцию в область турбулентных режимов эволюции и хаотической динамики, а именно: комплексы траекторий движения, уже не соответствующие решению какой-либо одной краевой задачи в классическом эйлеровом описании, будут описывать возможные реализации ансамбля турбулентных движений. При этом, вместо ансамбля невзаимодействующих реализаций, отвечающих стохастической картине движения среды, получаем ансамбль динамических траекторий движения частиц, взаимодействующих по определенным, но пока не известным законам. Здесь открываются перспективы в моделировании деталей процессов турбулентного перемешивания совместно с физическим моделированием турбулентных взаимодействий.
Неголономные распределения, рассматриваемые как модели хаотической динамики, интересны тем, что конгруэнции их интегральных кривых не имеют полного набора интегралов движения. Отсюда следует, что потоки, отображаемые такими конгруэнциями, будут демонстрировать процессы смешения, выходящие за рамки ограничений, принимаемых для диффузионных процессов. Образы малых окрестностей точек, отображаемые указанными потоками, не будут диффеоморфными об-
разами исходных начальных состояний. В частности, распределение скоростей точек в лагранжевой картине перемещений вдоль интегральных кривых системы (1) не будет соответствовать какому-либо полю скоростей, т.к. в противном случае это поле по необходимости должно было бы стать одним из интегралов системы (1). В общем случае можно утверждать, что картина движения по траекториям системы (1) может быть сведена к эйлеровым полям соответствующих наблюдаемых только, если эта система является вполне интегрируемой.
Указанные особенности неинтегрируемых систем типа (1) приводят к непривычным следствиям. Тем не менее, есть основания считать, что именно в неголоном-ности кроется разгадка противоречивых свойств турбулентного движения. Как известно, турбулентные объемные образования, частицы, глобулы и т.п. обладают конечным временем жизни. В процессе своего движения турбулентные частицы теряют индивидуальность, спонтанно возникая и разрушаясь в общем потоке. Подобный феномен не совместим ни с классической гидромеханикой, ни с кинетической теорией, сохраняющими возможность полного восстановления следов эволюции для частиц достаточно малых объемов [4]. Вместе с тем, указанный феномен является простым следствием динамики пучков траекторий неинтегрируемых распределений, рассматриваемых как единый ансамбль турбулентных движений. В этом случае, уравнения (1) становятся динамическими уравнениями турбулентной эволюции, пучки интегральных кривых которых воспроизводят допустимые типы траекторий перемещения точек среды.
Следует заметить, что неголономность позволяет легко обосновать наличие множественности масштабов, характеризующих турбулентное движение. Действительно, при малых абсолютных значениях компонент объекта неголономности разрушение полевой структуры исходных начальных данных может стать заметным лишь по истечении некоторого промежутка времени. Отсюда вытекает, что разрушение (сохранение) полевой структуры макроскопических величин становится определенным в зависимости от принимаемой точности наблюдений. По-видимому, всегда можно выделить некоторое множество пространственных и временных масштабов, на протяжении которых разрушение эйлеровой картины может быть отнесено за счет погрешностей эксперимента. В этом случае галеркинские приближения позволяют легко воспроизвести такое огрубление. Однако, следует подчеркнуть, что на протяжении произвольно больших пространственно-временных интервалов конечномерные галеркинские приближения оказываются принципиально неадекватными.
В данной работе разрабатывается лагранжева трактовка анонсированной в [1, 2] неголономной модели турбулентного движения сплошной среды. Предпола-
гается, что эйлерова картина способна отобразить лишь слабую турбулентность. Иначе говоря, эффект потери индивидуальности объемных образований может воспроизводиться и в эйлеровой модели, но только лишь асимптотически. Сильная турбулентность характеризуется разрушением эйлеровой картины и возникновением множества масштабов, пространственных и временных, на которых частицы не будут сохранять свою индивидуальность. Представление эволюции в форме разбегающихся траекторий точек отвечает лагранжевой картине описания. Лагранжевы координаты, являясь метками отдельных точек, становятся характеристиками, удерживающими детерминированную определенность процессов перемешивания. В этом качестве они оказываются аналогичными таким точечным характеристикам среды, как масса, заряд и т.п., которые в макроскопическом движении считаются точечными. Сказанное не исключает того, что при определенных условиях эти характеристики могут образовывать эйлеровы поля соответствующих плотностей.
В какой мере лагранжево, не сводящееся к эйлеро-вому, описание адекватно развитому турбулентному движению? Для ответа на этот вопрос заметим, что пучки траекторий с различающимися начальными условиями могут выходить на общий для всех пучков режим типа странного аттрактора. Иначе говоря, несмотря на то, что в указанной картине утрачивается возможность говорить об индивидуальных характеристиках объемных образований, их осредненные характеристики могут быть вполне определенными. В частности, выбирая пучок интегральных кривых х = х(^ х0, О0), G = = G(t, хо, Go) распределения (1) и интегрируя по времени, получим:
1 т
(О) = Нш — \ G(t, хо(и х, Go), Go)dt. (2)
т т о
Отметим, что в этом случае известная в турбулентности проблема замыкания не возникает, т.к. детерминированный механизм аттрактора интегральных кривых (1) непосредственно формирует результат осреднения.
Если осредненные величины определены, то в локальных системах отсчета, движущихся со скоростью среднего течения, может быть рассмотрена более детально динамика конкретных пучков траекторий среды. Этот анализ интересен прежде всего тем, что дает возможность уточнять картины сжатия описания, отвечающие определенным турбулентным режимам. Если в процессе турбулентной динамики между некоторыми наблюдаемыми устанавливаются функциональные зависимости, то это следует рассматривать как сигнал о том, что в этом режиме соответствующие совокупности наблюдаемых редуцируются к некоторому меньшему числу величин. Заметим, что в классической гидромеханике имеется аналог подобной ситуации. Действительно, в ньютоновских сплошных средах поле вихря
не является независимой характеристикой. Вихрь является полем ротора скорости течения среды. Однако для случая сред с микрополярной структурой указанное соответствие нарушается. В этом случае отклонение вихря от ротора скорости отлично от нуля и эволюционирует в соответствии с уравнениями асимметричной гидромеханики. В общем случае подход, основанный на уравнениях типа (1), можно рассматривать как далеко идущее обобщение асимметричной механики сплошной среды. При этом коэффициенты системы (1) становятся характеристиками мезоскопической структуры сплошной среды, соответствующей проявлениям турбулентного характера.
В данной статье моделируется хаотическая динамика континуума в смешанной лагранжево-эйлеровой картине описания. Движение рассматривается в специально сконструированном расслоении, базовые координаты которого определяют пространственную протяженность среды, а слоевые координаты определяют динамические степени свободы, возбуждаемые в турбулентном движении. Отличие от эйлеровой картины заключается в том, что уравнения динамики слоевых переменных задаются не вполне интегрируемой системой типа Пфаффа (1). Интегральные многообразия такой системы не образуют пространственно-временных полей и, в общем случае, исчерпываются одномерными траекториями. Поэтому эволюция среды описывается конгруэнциями траекторий, вдоль которых (и только вдоль них) динамические уравнения позволяют определить все прочие гидромеханические величины. Пространственные координаты базы, по-прежнему, остаются в эйлеровой интерпретации.
2. Геометризация фазового расслоения неголономной динамики сплошной среды
Отказ от эйлеровой картины эволюции при отображении турбулентной динамики требует уточнения фазового пространства. Действительно, концепция молекулярного осреднения классической теории вполне конкретно определяет макроскопические характеристики движения сплошной среды. Этот набор характеристик исчерпывается величинами, отвечающими аддитивным интегралам движения молекул. Свойство аддитивности обеспечивает невосприимчивость величин к операции макроскопического осреднения при переходе от микродинамики молекул к макродинамике сплошной среды. Всеми прочими величинами в регулярном случае можно пренебречь [3]. Однако в ситуации неустойчивости, зарождающейся на микромасштабах (эту неустойчивость мы отличаем от макромасштабной неустойчивости, такой, например, как термоконвекция в задаче Бе-нара, и появление которой вполне описывается в рамках эйлеровой картины), число существенных величин может и должно возрасти. В этой связи заметим, что в
турбулентном движении возбуждается конечное множество динамических степеней свободы. При геометрическом отображении эволюции естественно объединить их в единое дифференцируемое многообразие с расслоенной структурой. Базу расслоения определяет континуум, занятый сплошной средой, а слои образуются динамическими степенями свободы турбулентного режима [2].
Перейдем к формальному аппарату предлагаемой модели. Пусть V — некоторое трехмерное дифференцируемое многообразие, которое будем рассматривать как физический континуум, образованный некоторой сплошной средой. Будем считать, что (Е, V) — локально тривиальное расслоение над V, слои которого являются п-мерными дифференцируемыми многообразиями. Обозначим х1, ..., X — координаты на базе V, а у1, ..., уп — координаты в слоях. Набор (х1, ..., х3, у1, ..., уп) определяет координатную карту расслоения (Е, V).
Внесем в расслоение (Е, V) дополнительную структуру. Будем предполагать, что типовой слой расслоения (Е, V) является декартовым произведением многообразий
Ех = Е® х ...х Е^). (3)
В этом случае расслоение (Е, V) развертывается в композицию подрасслоений над общей базой. В адаптированной координатной карте выделяются подмножества слоевых координат, преобразующиеся при сменах карт друг через друга. В общем случае эти подмножества будем считать различными по числу измерений.
Одним из подрасслоений композиции (Е, V) всегда будем считать касательное расслоение (ТУ, V). Сужению на это подрасслоение отвечает отображение
(Е, V) —^(ТУ, V), (4)
определяемое в координатной карте с помощью функций
(х, и) = (х, и(х, у)). (5)
Функции (5) можно рассматривать как векторные поля на базе, определяемые не только пространственными координатами, но и значениями динамических координат в каждой точке базы. Важнейшим примером таких полей является поле скоростей среды. Отображение (5) введено для того, чтобы придать указанному соответствию инвариантно-геометрический смысл. Во избежание недоразумений подчеркнем, что все рассматриваемые поля лежат в расслоении и, в общем случае, не проектируются на базу в какие-либо поля эйлеровой картины движения. Аналогичные отображения сужения вводятся и для остальных подрасслоений из (Е, V), смысл которым придает внешняя механическая интерпретация.
Введем на подрасслоениях из (Е, V) множества дифференцируемых функций
/: V х Е(а} ^ Я. (6)
Будем предполагать, что эти множества являются алгебрами относительно операций сложения и умножения.
Будем называть их алгебрами наблюдаемых величин. С помощью тех же операций сложения и умножения из введенных алгебр сконструируем алгебру R(E, V) всей композиции (Е, V).
В алгебре R(E, V) выделим подалгебру величин, образованных функциями только лишь базовых координат
/о- V ^ R. (7)
Элементы этих алгебр будем называть средними величинами и обозначать буквами с нулевым нижним индексом. Выделение подалгебры средних величин позволяет для каждой наблюдаемой записать разложение типа Рейнольдса:
/(х, У) = /о(х) + /,(х, у), (8)
где первое слагаемое имеет смысл осредненного значения, а второе — пульсаций, т.е. отклонений актуальных значений величин от своих средних. Следует отметить, что реальное разложение на осредненную и пульсацион-ную компоненты может быть произведено только после того, как станет известна динамика пульсаций. В этом случае, осредняя актуальные значения гидромеханических величин по времени, будем иметь:
/(х, у))т = /о(х, У(о)), (9)
что совместно с (8) определит разделение вкладов однозначно. Если динамика пульсаций выходит на режим аттрактора, «забывая» все начальные значения динамических переменных у(0), то осреднение (9) дает единственное поле на базе. В общем случае разделение вкладов в (8) является решением самосогласованной задачи. В частности, если задать выражения для средних величин, то из (8) получим выражения для пульсаций, и тогда требование нулевых средних для пульсаций можно рассматривать как условие на возможные типы динамики пульсаций.
Зададим на расслоении (Е, V) систему пфаффовых уравнений
dy + ю(х, у)^ = А(х, у^, (10)
которые будем рассматривать как динамические уравнения движения континуума V, ассоциированного со структурой композиции (Е, V). При этом слоевые координаты становятся динамическими переменными, определяющими внутренние степени свободы континуума V. Введем в композицию расслоений (Е, V) формы внутренней связности
0 = dy + й(х, у)^. (11)
Аннулятор этих форм определяет распределение площадок, интегральные кривые которых задают параллельное перенесение слоев вдоль базовых кривых [2].
Определение. Будем называть связность (11) приводимой, или, иначе, согласованной с алгеброй наблюдаемых величин R(E, V), если соответствующие подрас-слоения композиции (Е, V) образуют параллельные распределения в (Е, V).
Утверждение. Для того чтобы связность была согласованной с алгеброй наблюдаемых, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой локальной карте матрица частных производных по слоевым координатам имела блочно-диагональную структуру:
V к/ = дк/-
д&(х, у) ду
о
о
оо
о
о
Л
(12)
блоки которой образованы слоевыми координатами, отвечающими выделенным подалгебрам наблюдаемых.
Заметим, что система Пфаффа (10) определяет объект внутренней связности, формы которой имеют вид:
'д = dy + ю(х, у(13)
Эту связность будем называть динамической. В общем случае динамическая связность не является приводимой.
Определение. Недиагональные блоки матрицы частных производных динамической связности будем называть девиаторами связности.
Несложно показать, что девиаторы имеют инвариантно-тензорный характер в структуре композиции (Е, V). Для векторных композиций это показано в [5]. Также несложно усмотреть, что обращение девиаторов связности (13) в нуль является условием приводимости этой связности.
Наличие ненулевых девиаторов приводит к тому, что эволюция подалгебр наблюдаемых величин оказывается взаимозависимой уже на уровне геометрического устройства композиции расслоенных пространств. Другим источником взаимозависимости являются уравнения баланса и входящие в них выражения для потоков и источников. Наличие перекрестных эффектов приводит к тому, что градиенты одних наблюдаемых вызывают появление диссипативных потоков других наблюдаемых. Отсюда следует, что наиболее общий режим динамики будет «-мерным по динамическим координатам. Вместе с тем, вполне возможно устойчивое существование частных режимов меньшей динамической размерности. При малых изменениях параметров устойчивость таких режимов может нарушаться. В этом случае отмеченные маломерные режимы можно рассматривать как метастабильные состояния.
В заключение этого параграфа заметим, что динамическое уравнение (10) позволяет определить ковариант-ное дифференцирование наблюдаемых величин. Для простоты будем считать базовые координаты декартовыми. Это позволит в дальнейшем не различать верхние и нижние индексы, поднимая и опуская их по мере необходимости в записи ковариантных выражений. Примем следующие выражения для ковариантных производных по базовым координатам и времени:
ща, 8/ = Эt +-^- Аа.
ду а к> а t Эу«
(14)
3. Феноменология неголономной модели турбулентной динамики
Как уже отмечалось ранее, гидромеханические величины в новой картине движения определяются функциями, зависящими от всех координат расслоения. В этом случае они рассматриваются как актуальные, т.е. пульсирующие во времени, характеристики среды. Для установившихся режимов эволюции зависимость величин от времени предполагается неявной, проявляющейся через временную зависимость слоевых координат. При этом пространственно-временная динамика актуальных значений величин может быть прослежена только лишь в виде траекторий в расслоении и их проекций на базу.
Обратимся к уравнениям баланса гидромеханических наблюдаемых. Выделим некоторый базис первичных наблюдаемых
F(х, у) = (и (х, у),/(1)(х, у),..., /(я_3)(х, у)). (15)
Будем считать, что минимальный набор наблюдаемых образуют компоненты скорости и1 (х, у) течения среды, выделенные, в силу их значимости, в виде первых трех компонент вектора наблюдаемых (15).
Зададим выражения для потоков. Выделим отдельно конвективное слагаемое. Диссипативную часть потоков будем считать пропорциональной градиентам первичных наблюдаемых. Учитывая возможность перекрестных эффектов, введем матрицу диссипативных коэффициентов. Тогда имеем выражение для потоков:
(а)
(16)
Для определения источников выбранных наблюдаемых общих соображений оказывается недостаточно. Так, если среда является многокомпонентной смесью, а концентрации компонентов выбраны в качестве первичных наблюдаемых, то их источники должны определяться согласно механизму протекающей химической реакции. Для скорости среды таким источником является давление, также обусловленное конкретной постановкой задачи. Будем считать величины источников заданными функциями координат расслоения (Е, V).
Подставим выражение (16) в уравнения баланса:
дtF + div(J F) = Ор.. (17)
Дифференцируя динамические переменные в силу уравнения (10), получим систему из п уравнений в частных производных для неизвестных коэффициентов уравнения (10). Отметим однако, что в силу того, что относительно частной производной по времени уравнение (17) является уравнением первого порядка, то относительно компонент вертикального векторного поля Аа урав-
нения баланса будут линейными и алгебраическими. Это позволяет рассматривать балансовые уравнения как определение компонент А“.
Следует отметить также, что некоторые дополнительные условия в конкретных задачах приводят к уравнениям только лишь на коэффициенты связности. Примером такого условия может служить условие несжимаемости сплошной среды. В этом случае условие неразрывности не содержит производных по времени и оказывается условием, накладываемым только лишь на коэффициенты динамической связности. Ниже будет рассмотрен соответствующий пример. В общем же случае, коэффициенты связности остаются произвольными, определяющими широту принятой математической модели.
Перейдем к классификации типов хаотической динамики континуума. С этой целью прежде всего зафиксируем картину проявлений турбулентности. Выберем некоторую конгруэнцию базовых кривых. Пусть эта конгруэнция задается обыкновенным дифференциальным уравнением с заданной правой частью:
х = ^)( х). (18)
Поделим (10) на dt и заменим производные от пространственных координат по времени в силу (18). Перенося все в правую часть, получим уравнение вида:
у = F(х, у). (19)
Система (18), (19) дает пример определения картины динамики наблюдаемых величин вдоль выбранной конгруэнции на базе. Этот пример может быть обобщен на другие способы доопределения базовых конгруэнций. Учитывая это, дадим следующее определение.
Определение. Каждое решение системы типа (18), (19) будем называть возможной реализацией картины турбулентного движения. Совокупность всех реализаций назовем ансамблем реализаций турбулентного движения.
Среди всех возможных реализаций механически выделенными являются те из них, проекции которых на базу совпадают с линиями тока среднего течения. В этом случае такие реализации определяют динамику пульсаций, которую можно наблюдать, двигаясь вместе с потоком со скоростью среднего течения. Формализуем множество таких реализаций.
Определение. Реализации турбулентного движения будем называть развертками п-мерного режима эволюции континуума, если:
1) в каждой подалгебре композиции (Е, V) найдется набор первичных величин
F(^ у) = (и (х у% /(1)(х, у\ ..., /(п~3)(х, y)), (20) для которых временные средние, полученные вдоль линий тока среднего течения, образуют гладкие стационарные поля средних величин:
т
Нт | F(х(хо, tX у(хо, уо, t))dt = Fo(хо); (21)
Т_
1 о
2) проекции траекторий на базу определяют линии тока для поля скоростей среднего течения:
х = ио( х). (22)
Смысл первого из предположений заключается в следующем. Имея в виду моделирование установившихся режимов неголономной динамики, следует допустить существование стационарных средних величин как необходимой для этого предпосылки. В неустано-вившихся течениях средние величины могут быть нестационарными полями. Априори, нестационарные поля средних могут иметь место для некоторых величин и в установившихся состояниях. Однако в этом случае естественно считать, что некоторый набор величин, названных первичными, должен иметь стационарные средние.
Смысл второго предположения состоит в приоритетном использовании линий тока среднего течения. Действительно, эти линии будут определять движение локальных систем отсчета, по отношению к которым естественно определять динамику пульсаций. Именно это добавление вносит определенность в выбор классификации типов хаотической динамики, определяемой следующим образом.
Определение. Два различных ансамбля турбулентных движений будем считать эквивалентными, если существует диффеоморфизм расслоенной карты, сохраняющий структуру композиции, переводящий развертки одного уравнения в развертки другого.
Из этого определения вытекает, что задача классификации установившихся хаотических режимов сводится к классификации систем обыкновенных дифференциальных уравнений, ассоциированных с системами Пфаффа типа (1) и определяющих динамику разверток. Указанная редукция задачи о классификации представляется значительно более простой, чем классификация по всем инвариантно-тензорным или интерпретационным отличиям в деталях динамики неголономных систем. Поэтому она и принята нами. Тем не менее, существование отличий между эквивалентными ансамблями, имеющими интерпретационный или даже инвариантнотензорный характер, сохраняет свою актуальность.
4. Примеры
Проиллюстрируем сказанное выше. Предположим, что хаотическая динамика является трехмерной, т.е. рассмотрим маломерный хаос. В этом случае компоненты скорости будут исчерпывать базис первичных наблюдаемых (15). Введем для скорости разложение Рейнольдса
и(х, у) = ио(х) + у, (23)
где ио(х) — средняя скорость; у—величина пульсаций
скорости. Обратимся к уравнениям баланса (17). Будем считать среду несжимаемой и примем следующие уравнения баланса массы и импульса:
Э- и = о, (24)
Эtu + (и -Э )и =-Эр + v(Э•Э)u. (25)
Для того чтобы определить коэффициенты динамического уравнения (10), перенесем (24) и (25) в расслоение. Для этого достаточно заменить частные производные в этих уравнениях на ковариантные согласно формулам (14).
Теперь сделаем модельное предположение в отношении давления. В рассматриваемом трехмерном режиме, давление и его градиент должны быть функциями компонент скорости. Примем следующее выражение для градиента давления:
^Р( х, у) = Эгро( х) -пг (х, у). (26)
Тогда из (24) и (25) получаем:
Vки (x, у) = 0,
А (х, у) =~ик (х, у)^ки1 (х, у) -
-Vір(х, у) + v(VkVk)2 (х, у).
(27)
(28)
Как указывалось ранее, уравнение (28) становится определением вертикального векторного поля Аа, а (27) накладывает ограничения на произвол в выборе компонент скорости и коэффициентов связности. В частности, поскольку в точке общего положения значения слоевых координат могут быть произвольными, из (27) следует, что поле средней скорости должно иметь нулевую дивергенцию, а компоненты связности — нулевую свертку по верхнему и нижнему индексу.Запишем уравнения разверток (18) и (19). Имеем:
х = и0 (х), (29)
у +®к(x, у)ик = А (x, у). (30)
Отметим, что в уравнениях (29) и (30) содержится значительный произвол, связанный с выбором средних характеристик движения, а также коэффициентов связности. В свою очередь, это позволяет воспроизводить различные типы хаотической динамики пульсаций. В частности, в работах [2, 6] при дополнительном предположении о том, что средняя скорость является скоростью течения простого сдвига, а коэффициенты связности являются постоянными величинами, для системы (29), (30) получена система типа Лоренца, описывающая динамику странного аттрактора. При этом также предполагалось, что градиент давления линеен по пульсациям скорости, а недиагональные компоненты тензора пульсаций давления обращаются в нуль:
■гі (х, у) = пкук. (31)
В этой связи заметим, что в [2, 6] условия (31) рассматривались как некоторые разумные уравнения состояния для пульсаций давления. В общем случае для обоснования подобных допущений требуется разработка
турбулентной термодинамики, представляющей собой новую проблему, стоящую перед развиваемым подходом. В данный момент лишь отметим, что для тензора пульсаций давления могут оказаться значимыми касательные (т.е. недиагональные) компоненты.
Продолжим анализ. Предположим, что динамика пульсаций скоростей течения среды выходит на четырехмерный режим. Это значит, что некоторая наблюдаемая величина, бывшая функцией скорости, становится независимой переменной. Будем считать, что такой переменной является температура среды. Итак, базис первичных величин образуют компоненты скорости и температура среды. Для определенности будем полагать пульсации этих величин, а также пульсации давления линейными функциями слоевых координат:
(32)
т = То + /кГ + у4. (33)
Пусть связность расслоения также является линейной. Тогда уравнения (10) примут вид:
і 1,1 и = и0 + у
dyi + (^лу + ®4ку ^ = А1 (х, у^,
(34)
4 + (^’кУ +®4ку4)іхк = а4( х> у Ж (35)
Запишем уравнения баланса. В дополнение к прежним уравнениям (24), (25) требуется балансовое уравнение для температуры. Примем его в приближении Бус-синеска. Тогда имеем:
Э- и = 0, (36)
д+ (и -д)и = -др + У(д-д)и (Т -То), (37)
ЭТ + (и -д)Т = к(Э-Э)Т. (38)
Перенесем уравнения (36)-(38) в расслоение и построим уравнения разверток (18), (19). Для этого подставим (32) и (33) в (37) и (38) и перегруппируем слагаемые так, чтобы в левой части остались производные вдоль линий тока среднего течения. Тогда получим следующие уравнения разверток:
х = ио( х), (39)
у = Ёо + Ё^у’ + у4 + ю’ у’ук + ®4к у4 ук> (40)
у4 - Мо + М+ М4у4 +
. ,Л ’ к . ,,4 4 к
+т’куу +®4ку у ,
дкЩ ~«>кку] -®4ку4 = о>
(41)
где
Ёо = ~и0э ки0 -9 іРо +уУи0;
Ё ’ = -д и +п) +\К) Ё4 =п14 +УК4-|3£г;
Ті;
Мо =-/Ёо + кАТо - иокЭкТо;
мк =-- ио9-дкто +
+ к (А/к - 2Э / < + /К + К4);
М 4 = - /Л + к (-3 + /*К 4 + К44);
тт^З ^6 , ^45
Во избежание недоразумений заметим, что появление второго верхнего индекса в некоторых трехиндексных выражениях, ранее имевших только один верхний индекс, является результатом поднятия второго нижнего индекса наверх. Как было указано в конце раздела 2, поднятие и опускание индексов производится по мере необходимости в ковариантной записи.
Полученная система слишком сложна для анализа. Поэтому ограничимся некоторым частным примером, показывающим возможность моделирования специальных режимов пульсаций и процессов их усложнения. Рассмотрим режим, в котором пульсации температуры определяются алгебраической зависимостью от пульсаций скорости, т.е. собственные пульсации температуры не возбуждаются (или затухают). Для этого необходимо, чтобы выражение
у4 = о (43)
являлось одним из интегралов системы (39)-(42). Легко получить условия существования таких режимов. Для этого подставим (43) в (41) и потребуем, чтобы получающееся уравнение обратилось в тождество. Тогда имеем следующие необходимые и достаточные условия:
Мо = о, (44)
т4*
Мк = о,
®С/к) = °-
(45)
(46)
(47)
(48)
Несложно видеть, что выполнение условий
®4к = о,
М 4 < о
гарантирует устойчивость (43).
Покажем совместность условий (44)-(48). В общем случае эти условия представляют собой систему уравнений в частных производных. Наложим упрощающее ограничение. Будем считать коэффициенты связности и коэффициенты пульсаций гидромеханических величин постоянными, не зависящими от базовых координат. Тогда дифференциальные условия (44)-(48) становятся алгебраическими, что существенно облегчает их анализ.
Уточним постановку задачи. Зафиксируем набор величин, которые будем считать искомыми неизвестными, и, кроме того, набор параметров, выбор которых будем осуществлять по собственному усмотрению. Будем считать произвольными параметрами компоненты пульсаций градиента давления п1а и коэффициенты связности Юрг- (а, Р = 1, ..., 4; i = 1, ..., 3). Их выбор
подчиним необходимости обеспечить выполнение (44)-(48). Величины /к, а также средние характеристики будем считать искомыми неизвестными. Наконец, будем полагать, что в трехмерном подрежиме затухающих собственных пульсаций температуры (43) реализуется аттрактор типа Лоренца для пульсаций компонент скорости. Последнее требование вытекает из желания исследовать возможность вложения частных маломерных режимов в многомерные режимы в форме метаста-бильных состояний.
Обратимся к (48). Легко видеть, что за счет выбора величин п\ из этого уравнения можно исключить компоненты /к. Для этого достаточно положить коэффициенты пульсации градиента давления равными:
< = Ря' + (к-У)К4. (49)
Тогда с учетом ранее сделанных предположений условие (48) сведется к
к®1 ®Г ^ о.
(50)
Легко видеть, что этому условию всегда можно удовлетворить, если коэффициенты ю™ доопределить формулой
,.тп ,,4 /р 1\
®4 =~^шп. (51)
Прежде чем идти дальше, уточним произвол в выборе остающихся неопределенными коэффициентов связности и пульсаций давления. Потребуем, чтобы пульсации скорости соответствовали лоренцевой динамике. Это условие приводит к новым зависимостям между компонентами связности. Подчеркнем, что в общем случае выбор лоренцевой динамики не обязателен. Однако именно для лоренцевой динамики все соответствующие выкладки были детально проведены в [6]. С учетом этого обстоятельства эту часть анализа только лишь проиллюстрируем.
Потребуем совпадения коэффициентов системы (40) с коэффициентами канонической системы Лоренца. Легко видеть, что линейная часть (40) всегда может быть преобразована к требуемому виду выбором остающихся неиспользованными параметров пульсаций градиента давления пкук (= п1 (х, у) -п4у4), а квадратичная часть — выбором симметричной по нижним индексам части компонент связности ю. После этого совпадение свободных коэффициентов системы Лоренца и Цо даст уравнения для средних величин скорости и среднего давления. Частными решениями этих уравнений будут следующие зависимости [2, 6]:
ио = Ах153, (52)
Ро = ~Цокхк. (53)
Теперь рассмотрим (44). В силу принятых допущений, первое слагаемое этого уравнения является постоянным, а второе и третье, в силу (52), будут содержать базовую координату х1. Поэтому для выполнения этого уравнения потребуем, чтобы градиент средней
температуры был постоянной величиной и выполнялось:
= о, (54)
Щ э кто = о. (55)
В этом случае (44) выполнится тождественно.
Смысл полученных уравнений (54), (55) состоит в том, что градиент средней температуры должен быть ортогонален средней скорости, а ковектор пульсаций температуры, обусловленный пульсациями скорости, должен быть ортогонален градиенту среднего давления (53).
Из уравнения (45) следует:
/ (4 - кКк) = -Экто + кк£. (56)
Будем рассматривать (56) как систему линейных уравнений относительно неизвестных /5. Убедимся, что матрица коэффициентов при неизвестных в (56) не вырождена. Для этого заметим, что матрица коэффициентов системы Лоренца области хаотических режимов
динамики является невырожденной, т.е.
det(4) * о. (57)
Но тогда при достаточно малых значениях коэффициента теплопроводности k также невырожденной будет и матрица при неизвестных / в (56). Поэтому (56) сведется к определению указанных неизвестных. Запишем символическое решение:
/ = (-3кто + кКАк)(Ьк5 -кКк)-1. (58)
Итак, единственным нерассмотренным условием осталось (54). Легко видеть, что и это условие может быть выполнено. Для этого заметим, что множество значений левой части системы (58) при условии (54) образует двумерную плоскость. Аналогично, множество значений градиента средней температуры в силу (55) также образует двумерную плоскость. Но в трехмерном пространстве две плоскости всегда будут иметь пересечение. Это пересечение и определит область совместности уравнений (54), (55) и (58).
Суммируем сказанное в этом параграфе.
1. Показано, что средствами неголономной модели движения среды могут быть построены ансамбли пуч-
ков траекторий движения частиц, демонстрирующих установившиеся режимы маломерного хаоса.
2. Показано возникновение метастабильных состояний, в которых динамика маломерного хаоса редуцируется к меньшему числу измерений. Метастабильные состояния, в свою очередь, оказываются исходными состояниями для инициирования процессов усложнения динамики.
3. Показан механизм разрушения установившихся метастабильных состояний при увеличении значений коэффициентов переноса, возникающий как результат обращения в нуль определителей соответствующих уравнений.
В заключение отметим, что трехмерный режим аттрактора Лоренца при некоторых модификациях диссипативных слагаемых воспроизводится как некоторый асимптотический подрежим и в эйлеровой интерпретации движения [7]. Отличие нашего случая от [7] заключается в том, что в различных точках пространства динамика пульсаций является полностью рассинхронизированной во времени. Напротив, приведенная в [7] динамика такую синхронизацию допускает. Более того, отмеченный факт пространственной синхронизирован-ности является неустранимым ограничением для любых эйлеровых представлений конечномерной динамики сплошной среды. В этом качестве эйлеровы модели существенно ограничивают возможности математического моделирования хаотических режимов эволюции.
Литература
1. Mukhamedov A.M. Turbulent Models: Problems and Solutions // 17 IMACS Congress, Paper T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec.lille.fr.
2. Mukhamedov A.M. Towards a gauge theory of turbulence // Chaos, Solitons and Fractals. - 2006. - V. 29. - No. 2. - P. 253-261.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986. -736 с.
4. Кутателадзе С.С. Проблема турбулентности в современном естествознании // Методологические проблемы научного знания. -Новосибирск: Наука, 1977. - C. 133-142.
5. Норден А.П. Композиции векторного расслоения // Изв. вузов. Математика. - 1978. - C. 138-141.
6. Мухамедов А.М. Аттрактор Лоренца в сдвиговых течениях // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2007. - Т. 15. - № 1.-С. 61-71.
7. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов А.М. Системы гидродинамического типа и их применения. - М.: Наука, 1981. - 366 с.
Поступила в редакцию 04.09.2006 г.
