CC BY
34
УДК 517.9
Эффект потери индивидуальности частицами турбулентной среды в процессе движения: связь между турбулентной мезодинамикой и турбулентной макроскопической феноменологией
A.M. Мухамедов
Казанский национальный исследовательский технический университет им. A.H. Туполева, Казань, 420111, Россия
Статья является развитием ранее заявленного авторского подхода к проблеме построения теории турбулентности на основе математического моделирования эффекта потери индивидуальности частицами турбулентной среды в процессе движения. Показано, что моделирование указанного эффекта с необходимостью ведет к структурам калибровочного типа. Выявлена непригодность для такого рода задачи существующих статистических представлений о явлении турбулентности. В развитие подхода указаны новые связи между турбулентной мезодинамикой и макроскопической турбулентной феноменологией, которые позволяют получать новые решения на основе синтеза релевантных уравнений.
Ключевые слова: эффект потери индивидуальности, калибровочные поля, мезомеханика турбулентности, неинтегрируемость Пфаффа
Deindividuation phenomenon: links between mesodynamics and macroscopic phenomenology of turbulence
A.M. Mukhamedov
Kazan National Research Technical University, Kazan, 420111, Russia
The paper develops the earlier declared original approach to elaboration of a turbulence theory based on mathematical modeling of deindividuation of particles moving in a turbulent medium. It is shown that modeling of the deindividuation inevitably leads to gauge structures. It is found that the existing statistical concepts of turbulence are inapplicable to this type of problems. In the approach, new links between mesodynamics and macroscopic phenomenology of turbulence are established making possible new solutions based on synthesis of relevant equations.
Keywords: deindividuation effect, gauge fields, mesomechanics of turbulence, Pfaff non-integrability
1. Введение
Идеи динамической стохастичности, инициированные открытием странных аттракторов динамических систем, естественным образом привели в конце прошедшего столетия к новой для своего времени концепции структурной турбулентности [1].
Однако, возникнув в форме переоценки соотношений, имеющих место между хаотическими и детерминированными началами турбулентности, эта концепция не смогла предложить подход, в рамках которого турбулентное движение получило бы четкие определения, отличающие турбулентность от сложных процессов иной природы. Более того, исходная посылка разделе-
ния турбулентных структур на динамические, равновесные и потоковые скорее уводила идею структурности в область компромисса между различными теоретическими представлениями о природе турбулентного феномена.
Автором ранее предложен подход, в котором теория структурной турбулентности строится на базе калибровочных структур [2]. В его основу положено формирование новых структурных уровней в описании турбулентности, в которых новыми объектами теории стали поля калибровочного типа, определяющие мезомеха-нику турбулентности на соответствующих уровнях описания.
© Мухамедов A.M., 2014
В данной статье дается дальнейшее развитие калибровочного подхода к моделированию турбулентности. При этом уточняются принципиальные моменты, согласно которым указанный подход к описанию турбулентности не только возможен, но даже и необходим. В частности, в статье приводятся аргументы, разъясняющие причины, по которым статистическая гидромеханика, а также кинетическая теория оказываются ограниченно пригодными для описания турбулентности.
Критическим пунктом в разработке новой модели турбулентности стал эффект потери индивидуальности частицами турбулентной среды в процессе движения. Понимаемый как указание на необходимость модификации базовых представлений о движении, этот эффект мотивировал замену определяющих уравнений. Вместо классических эволюционных уравнений был принят вариант описания движения множеством интегральных многообразий системы уравнений в частных производных типа Пфаффа.
Смысл такой замены заключался в том, что, в отличие от эволюционных уравнений, системы Пфаффа, вообще говоря, не имеют полевых решений. Тем самым проблема потери индивидуальности частицами становится тривиально решаемой. При этом проблемный для классического математического моделирования образ турбулентной вихревой пелены, давно используемый механиками в качестве главного отличия турбулентного движения от ламинарных аналогов, однако не имеющий точного модельного представления в классической гидромеханике, получил определенное воплощение в предложенной модели.
Как следствие пфаффовой неинтегрируемости разрабатываемый подход использует калибровочные поля, определяемые коэффициентами системы Пфаффа. Тем самым в калибровочной мезодинамике макроскопическое движение перестает быть интегрируемым в классическом смысле.
Неизбежным следствием изменения картины описания движения стало то, что макроскопическая картина турбулентности с классических позиций приобрела не вполне однозначную феноменологию. Новое решение, предлагаемое в данной статье, заключается в том, что макроскопическая турбулентная реальность определяется двумя другими реальностями. Одна из них определяется динамикой гидромеханических наблюдаемых в выбранных для этой цели системах отсчета, а другая, уточняющая первую, вводит принцип относительности, согласно которому между разными системами отсчета уже нет одной единственной, способной заменить собой все остальные.
Имея в виду проблемный характер предлагаемой парадигмы, мы начнем с критического анализа существующей в настоящее время статистической парадигмы.
2. Недостаточность теоретико-вероятностного подхода к описанию турбулентности
Вероятностный подход к построению теории турбулентного движения заключается в том, что гидромеханические величины, представляющие собой в классической гидромеханике обычные функции пространственных координат и времени, начинают рассматриваться как случайные поля. Это значит, что гидромеханические величины оказываются функциями в расширенном пространстве
= Т х Е3 xW, (1)
образованном декартовым произведением времени Т,
з
пространства Е и вероятностного пространства W, точки которого представляют собой акты наблюдений актуальных значений гидромеханических величин.
Отвлекаясь от сложностей устройства самого вероятностного пространства, можно сказать, что в результате такой модификации гидромеханические величины
и = и(г, х, (2)
приобретают зависимость от новых переменных, которые связывают возможные значения гидромеханических величин с актами их экспериментальных наблюдений.
Зависимость от координат вероятностного пространства меняет гидромеханическую парадигму в описании феномена. Теперь для гидромеханических величин требуется знание зависимости от координат вероятностного пространства, которая фактически никогда не бывает известной. Поэтому, чтобы вернуть рассмотрение гидродинамики в русло традиционных представлений, в вероятностном пространстве постулируется вероятностная мера
Р(^е D) = | f ©С (3)
D
позволяющая вычислять средние гидромеханических величин и их корреляторы
(и)(г, х) =1 и(г, х, l)f ©С
(иг)(г, х) = |и(г, х, £), х, l)f ©С (4)
(и ■...■ г)(г, х) = |и(г, х, I) ■...■ , х, I) f ©С представляющие собой классические пространственно-временн ые поля.
Принимается, что актуальные значения гидромеханических величин в форме (2) являются решениями феноменологических уравнений классической гидромеханики
ди + =°и > (5)
где и аи представляют поток и производство величины и. Отсюда сразу же вытекает, что средние величины и корреляторы (3) могут быть найдены с помощью уравнений (5), если применить к входящим в них выражениям осредняющие процедуры.
Однако на этом пути обнаружилась новая проблема, которая, возможно, свидетельствует о недостаточности вероятностной модели для турбулентности.
Во-первых, феноменологические уравнения (5) являются нелинейными уравнениями. Поэтому процедура осреднения, примененная к ним и к их следствиям, запускает механизм порождения все новых и новых зацепляющихся друг за друга уравнений, связывающих средние величины и их корреляторы произвольно большого порядка. В результате вместо ожидаемой замкнутой системы одного или нескольких уравнений для корреляторов сравнительно малых порядков получается бесконечная система зацепляющихся друг за друга уравнений, известная под названием цепочки уравнений Фридмана-Келлера.
Напрашивающийся обрыв бесконечной цепочки всегда возможен. Однако при этом возникают неконтролируемые возмущения, обусловленные процедурой обрыва. Эти возмущения растут с течением времени, обесценивая значение получаемой редуцированной системы.
Во-вторых, даже если принять, что в дальнейшем какие-то средства избежать отмеченной бесконечности будут найдены, новая трудность заключается в том, что вероятностный подход не дает возможности выделить собственно турбулентную специфику. В частности, в теоретико-вероятностных терминах трудно дать определение феномена турбулентности, если не считать турбулентным всякое стохастическое движение. В результате этого собственно турбулентные явления остаются невыделенными во множестве стохастических процессов самой общей природы.
3. Неадекватность кинетических моделей турбулентности
Новые надежды на построение теории турбулентности связывались с применением кинетических моделей в динамике сплошной среды. Ожидалось, что характерный для кинетики механизм ослабления корреляций позволит редуцировать бесконечную цепочку уравнений Фридмана-Келлера к каким-либо конечномерным вариантам.
Действительно, в отличие от статистической гидромеханики, кинетика обращается к рассмотрению процессов на мезоскопическом уровне событий. Механизм поддержания корреляций воссоздается столкновениями молекул. Кажется разумным, что в разреженных средах главный вклад в столкновительные процессы дают парные столкновения. Тройные столкновения должны происходить значительно реже, а четверными и прочими можно пренебречь. Тем самым редукция отмеченной цепочки уравнений могла бы происходить по типам столкновительных процессов, начиная от бесстолкно-вительного приближения, последовательно продвига-
ясь по шкале числа частиц, участвующих в столкновениях.
Однако для описания турбулентности кинетические модели, по-видимому, могут рассчитывать только на ограниченный успех. Новым препятствием для разработки этих моделей стал эффект потери индивидуальности турбулентных частиц в процессе эволюции. Поясним сказанное более детально.
Действительно, принципиальным усовершенствованием кинетического подхода по сравнению с общим статистическим методом является то, что исходная среда оказывается системой многих частиц, движущихся по известным механическим законам. В принципиальном плане для составляющих систему частиц всегда могут быть выписаны канонические уравнения движения в соответствии с классическими законами динамики
х =дрН(Л хЬ Р1,..., хп, рп),
Р = -дхН& ХЬ Р1'-' хп' Рп)-Тогда в многомерном фазовом пространстве координат (х1,..., хп) и импульсов (р1,..., рп) всех частиц можно перейти к альтернативному описанию движения частиц с помощью статистического распределения
Рм =Рм (А х1' Рl,•••, хп, Рп ) (7)
и принять для него эволюционное уравнение в форме Лиувилля:
д,Рм = {Н, Рм} (8)
со скобкой Пуассона
(6)
{Н, р} = Е i=1
( дН др дН др ^
дх дРг дРг дх Подчеркнем, что переход от (6) к (7), (8) пока не содержит сжатия описания, т.е. оба описания являются эквивалентными. В многомерном фазовом пространстве уравнения (6) описывают движение фазовой точки, не теряющей своей индивидуальности в процессе эволюции.
Новый поворот в указанном рассмотрении дает сжатие многочастичных описаний к одночастичным. Осреднение функции плотности (7) по расположению всех частиц, кроме одной
Р1(,, х1, Р1) =
= /Рм(,, х1, Р1,... , хп , Рп
определяет одночастичную функцию распределения. Как правило, именно эту функцию имеют в виду, когда говорят о кинетической стадии эволюции системы.
Применение операции интегрирования вида (9) к уравнению Лиувилля (8) позволяет перейти к уравнению типа Больцмана для одночастичной функции
д, Р1 + — д 9Р1 + Р д рР1 = I (10)
т
с интегралом столкновений в правой части (10), определяемым коллективными взаимодействиями двух, трех и т.д. частиц.
Таким образом, исходная схема в общих чертах становится ясной, и остается найти удачную редукцию в интеграле столкновений в соответствии с парадигмой, согласно которой главный вклад в этом интеграле должны давать парные столкновения.
Однако здесь возникают вопросы, совсем не связанные со столкновительными приближениями. Рассмотрим их по порядку.
Первый вопрос связан со статусом одночастичной функции (9). Кажется, что эта функция должна определять число частиц, локализованных в точках фазового пространства одной частицы. При этом в процессе движения фазовых точек, или в процессе движения ассоциированных с этими точками инфинитезимальных объемов, сами эти объемы уже не будут терять индивидуальности в процессе эволюции. Более того, если такую возможность допустить, то одночастичное и все последующие многочастичные описания окажутся несостоятельными.
Другим вопросом, связанным со статусом одно-частичной функции, является вопрос о том, является ли эта функция локальным объектом.
Действительно, предполагаемое для (7) условие симметричности этой функции относительно перестановок частиц вызывает сомнение в том, что функция (9) является именно функцией, а не более сложно устроенным функционалом. В противном случае не будет учтена, например, кинетика сред со сложной реологией. Здесь приходится говорить о том, насколько од-ночастичное приближение в общем случае шире интуитивно воспринимаемого описания, которое подразумевается в схеме Боголюбова.
Тот же самый вопрос можно поставить и в части построения замыканий, т.е. в интегралах столкновения в уравнениях Больцмана. В частности, предположение о приоритетности парных столкновений перед тройными, четверными и прочими столкновениями в интеграле столкновений становится возможными, только если ввести новые допущения интуитивного, а не формально логического порядка. Как следствие, схема начинает пополняться допущениями, сужающими изначально широкие рамки формально логической правильности.
Иначе говоря, достаточно надежна именно вся схема, т.е. вся цепочка уравнений Боголюбова с ее ясными исходными посылками. Реализация же этой схемы в приближениях разного рода оставляет открытым вопрос об адекватности. Следует проверять не только предположения, вносимые в отношении интеграла столкновений, но и то, насколько эти предположения соответствуют схеме. В особенности это следует делать в отношении тех систем, которые не до конца поняты и способны указывать пределы применимости для таких универсальных схем. В этой связи можно думать, что феномен турбулентности как раз является таким, самой природой
созданным явлением, на примере которого универсальные схемы обнаруживают пределы своей практической применимости.
Отмеченный выше эффект потери индивидуальности турбулентными частицами, который оказывается камнем преткновения для кинетических описаний, является характерной особенностью турбулентности. Но именно эта особенность в данной статье используется для определения феномена турбулентности. Иначе говоря, турбулентным движением в данной статье называется движение континуума, в котором любые сколь угодно малые объемы континуума за конечные промежутки времени теряют свою индивидуальность. В этом случае сколь угодно малые турбулентные образования, выделенные в начальный момент времени, через конечные временные интервалы бесследно исчезают, что приводит к неадекватности описания такого эффекта математическими уравнениями, аналогичными классическим гидромеханическим уравнениям.
Из сказанного выше можно заключить, что кинетика, также как и статистическая гидромеханика, хотя и по другой причине, не вполне подходит для моделирования турбулентности.
4. Динамическая турбулентная парадигма
Для того чтобы подойти к построению теории турбулентного движения с учетом указанного выше эффекта потери индивидуальности частицами, обратимся к ранее предложенному автором формализму, который мог бы описывать такие эффекты.
Прежде всего отметим то, от чего следует отказаться. Если сохранять классическую гидромеханическую парадигму, заключающуюся в том, чтобы описывать эволюцию уравнениями в частных производных, то на основании теорем о существовании, единственности и дифференцируемости по начальным данным описать эффект потери индивидуальности не представляется возможным. Эйлерово описание движения в форме пространственно-временных полей препятствует воспроизведению указанного эффекта.
Для эйлеровых описаний возможна лишь слабая версия указанного эффекта. Для любого конечного интервала времени всегда можно указать столь малые объемы, что по истечению этого интервала точки объема все еще будут оставаться близкими друг к другу. То же самое можно выразить другими словами. Любая неустойчивость требует для своего развития определенного временного интервала. Процедуры уточнения начальных данных, т.е. в данном случае исходного расположения выбранного объема среды, отвечающих неустойчивым положениям равновесия, будут затягивать развитие этой неустойчивости.
От указанных ограничений свободно лагранжево описание сплошной среды. Однако реальное модели-
рование эффекта потери индивидуальности частицами станет доступным только для тех лагранжевых описаний, которые не эквивалентны эйлеровым описаниям. В этом случае лагранжево описание не может быть сведено к эйлеровому описанию, и эйлерова картина представления гидромеханических величин дифференцируемыми функциями пространственных координат и времени станет невозможной.
Реализовать такие лагранжевы описания можно, если отказаться от полевого описания турбулентной динамики и перейти к траекторной картине движения. Рассмотрим возможный вариант.
Предположим, что гидромеханические величины, например скорость течения, явным образом разбиваются на две компоненты:
и = и0(,, х) + £. (11)
Первая из них и0(:, х) представляет собой полевой объект, который можно рассматривать как аналог осреднения соответствующей величины. Эта компонента однозначно определена в каждой точке и в каждый момент времени. Другая компонента £ представляет собой некий функционал, отвечающий за моделирование эффекта потери индивидуальности турбулентными частицами в процессе движения. Такая потеря индивидуальности воспроизводится допущением о том, что вторая компонента представляет собой интегральные многообразия неинтегрируемого распределения типа Пфаффа
й£ + Г(,, х, £)дх - А(,, х, £)й, = 0, (12)
где Г(,, х, £) и А(,, х, £) задают коэффициенты этого распределения, представляющие собой обычные функции указанных аргументов.
Если указанное распределение не интегрируемо, то оно не имеет полевых решений. Могут существовать лишь интегральные многообразия меньшей размерности. В частности всегда существуют одномерные интегральные кривые. Однако эти кривые не могут быть соединены в элементы большей размерности и не могут составить четырехмерных многообразий, отвечающих эйлеровым полям наблюдаемых.
Иначе говоря, решения уравнения (12) и гидромеханические наблюдаемые (11) оказываются однозначно определенными только на интегральных кривых распределения (12).
Покажем, как выглядят гидромеханические величины (11) в этом случае. С этой целью выберем произвольную кривую в пространстве и времени
, =,(я), х = х(^), (13)
на которой (12) всегда может быть однозначным образом разрешено. Пусть это решение суть
£ = £(*) = £[,хф]. (14)
Тогда совокупность всех решений типа (14), определенных на множестве интегральных кривых распределения (12), будет определять новый, неголономный об-
раз турбулентной динамики. Этот образ задается функционалом, определенным в пространстве интегральных кривых, надстраиваемый над физическим континуумом. Редуцирование этого функционала к обычным функциям традиционной эйлеровой картины движения сплошных сред оказывается невозможным в силу неинтегрируемости постулированного уравнения динамики (12).
Последнее обстоятельство является несколько обескураживающим. Могут даже возникнуть сомнения в том, приемлема ли столь неоднозначная картина движения для турбулентности.
В действительности, главная трудность заключается в отказе от действующей парадигмы. В этой связи заметим, что уже никого не удивляет возможность замены в феноменологических уравнениях движения сплошной среды обычных производных дробными производными [3]. И это несмотря на то, что такая замена предполагает принципиально новый механизм оценивания дифференциала функции, т.е. главной части приращения функции, стандартным образом определяемой в каждой окрестности своих аргументов. Иначе говоря, сама функция остается классической, а ее приращение для вычисления производной определяется неклассическим образом. Хотя такое требование противоречит классическому анализу, но идеология перколяционных множеств, т.е. множеств протекания, которые в этом случае предполагаются фракталами, эту неравноценность санкционирует.
Если согласиться с указанной модификацией, то взамен мы получаем следующие новые средства для разработки соответствующей теории.
1) Уравнения (12) становятся новыми объектами в описании турбулентного движения, которые и будут определять специфику описываемого феномена. Если это уравнение окажется вполне интегрируемым, турбулентность вырождается в нестационарное, полевое движение среды.
2) Уравнение (12) определяет собой новый модельный уровень описания, отсутствующий в классической гидромеханике. Его коэффициенты определяют поля, которые в современных физических теориях называют калибровочными полями. Тем самым турбулентность в такой модели можно назвать калибровочной моделью турбулентности.
3) Дополнительные переменные £ в (11) можно назвать турбулентными степенями свободы. Тогда турбулентная гидромеханика погружается в пространство с большим числом степеней свободы, возбуждение которых можно было бы рассматривать как один из определяющих признаков физической модели турбулентного движения.
4) Новым ресурсом становится выдвижение гипотез о взаимовлиянии компонент в (11). В частности, принимая классические феноменологические уравнения и
поднимая их в расширенное пространство пространственных координат, дополненных турбулентными степенями свободы, можно получить разные искомые взаимовлияния компонент из (11). Примеры нахождения таких влияний показаны в [2].
Вернемся еще раз к обсуждению эффекта потери индивидуальности сколь угодно малыми объемами среды в процессе эволюции. Неинтегрируемость уравнения (12) гарантирует некий аналог этого эффекта. Чтобы продемонстрировать этот эффект, представим себе следующее. Выпустим из некоторой пространственной точки пучок интегральных кривых так, чтобы эти кривые не пересекались в некоторой пространственной окрестности выбранной точки. Тогда в концевых точках этих кривых однозначно получаем значения гидромеханических наблюдаемых (11). Неголономность, а вместе с нею и искомый эффект, проявятся тогда, когда мы выберем другой пучок кривых, которые будут иметь пересечения с ранее выбранными кривыми. На пересечениях кривых будут получаться другие значения величин (11).
Необходимо отметить, что при малых величинах перемещений и малых временны х промежутках несовпадения величин (11) в точках пересечения интегральных кривых также будут малыми. В этом случае нет необходимости производить интегрирование, и приращение величин заменяется дифференциалом (12). В этом случае однозначность всех результатов является тривиальным результатом
и (г + Аг, х + Ах, £) = и + ё и = и0( г, х) + ^ + (д ги0( г, х) +
+ А(г, х, + (дхи0(г, х)-Г(г, х, \))ёх. (15)
Турбулентность становится феноменом, в котором знание только макроскопических характеристик движения становится принципиально недостаточным. Мезодина-мические структуры, в данном случае представленные коэффициентами Г(г, х, £) и А(г, х, £) неинтегрируе-мого распределения типа Пфаффа (12) для пульсаций £ = и -и0 гидромеханических величин, становятся равноправным элементом моделирования эволюции турбулентности.
Из неголономности распределения (12) возникает многозначность в применении указанного подхода к динамическому описанию природных явлений. Эту неоднозначность можно связать с неоднозначностью определения систем отсчета, по отношению к которым будет определяться динамика второй компоненты в (11). В частности, можно постулировать, что вторая компонента должна оцениваться в локальных системах отсчета, сносимых средним течением, т.е. первой компонентой из (11). В этом случае к (12) добавляется уравнение связи
ёх = и0(г, х)Аг. (16)
Такой способ интерпретации дает приоритет интегральным кривым, представляющим собой линии тока сред-
него течения. На этих кривых динамика пульсаций описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных редукцией пфаффовых уравнений (12) на указанные кривые. Тем самым однозначность интерпретации восстанавливается.
В целом данная модель турбулентности остается открытой для иных способов интерпретации.
5. Турбулентные мезоструктуры
Теоретическое моделирование явления турбулентности в описанной выше модели предполагает, что помимо самих гидромеханических величин в описание включаются новые объекты ю(г, х, £) и А(г, х, £,), определяющие коэффициенты уравнения Пфаффа для пульсаций гидромеханических величин.
Характер трансформационных свойств этих объектов при переходах от одних наборов координат к другим (г, х, § ^ (%(г, х), х(г, х), %(г, х, I)) (17)
очевидным образом показывает, что эти объекты принадлежат к классу так называемых калибровочных полей теории поля [4]. В этой связи построение таких полей существенно облегчается знанием конкретных примеров из теории поля. В частности, как известно, прототипом для калибровочных полей квантовой хро-модинамики послужило классическое электромагнитное поле. Будем следовать этой логике развития теории.
Предположим, что в ламинарном потоке жидкости или газа некоторые из инфинитезимально малых объемов среды приобрели малые заряды. Например предположим, что некоторые молекулы среды ионизировались, собрали вокруг себя нейтральные молекулы и в таком виде двигаются в общем потоке, практически не взаимодействуя друг с другом и не возмущая сам поток.
В этом случае эффект потери индивидуальности частицами среды будет полностью отсутствовать. Как следствие этого, второе слагаемое в правой части представления (11) также будет иметь полевую природу
и = и0(г, х) + , х), (18)
в силу чего разделение суммы (17) на два слагаемых становится условностью, не имеющей инвариантного смысла. Примем,что второе слагаемое константа или нуль и запишем уравнение типа (12) с нулевыми значениями калибровочных полей
ё£ = 0. (19)
Теперь поместим течение в сильное электромагнитное поле. На заряженные частицы будут действовать сила Лоренца со стороны магнитной индукции и сила электростатического взаимодействия со стороны электрической напряженности. Частицы будут перемещаться поперек общего потока, возмущая своим окружением течение всех остальных частей среды. Произойдет тур-булизация исходного ламинарного потока.
В такой ситуации разделение актуальной величины на среднее, представляющее собой полевую величину,
и пульсации, инициированные взаимодействием с электромагнитным полем, представляющиеся объектами траекторной, т.е. неполевой, природы приобретает определенный смысл. Оставляя в стороне тот факт, что турбулентность является искусственно созданной, а не естественным образом развившейся, опишем движение в рамках предлагаемого подхода.
Для определенности будем считать, что пульсации гидромеханических величин имеют четыре степени свободы. Перейдем к безразмерным степеням свободы (У , У4)> используя для преобразования их в пульсации конкретных гидромеханических величин связующие тензоры
& х, у)=((, х)увс, *)уУ+.... (20>
Тогда для набора релевантных механических величин будем иметь представление
иа = <(г, х) + £ра(г, х)ув + ^(г, х)увуу +..., (21)
где греческий индекс нумерует разные механические величины, такие как плотность среды, ее скорость, концентрации компонент в случае смеси и их парциальные скорости и т.п. Отметим, что в (20) и всюду далее, где это потребуется, принимается правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся индексам без указания значка суммы.
Теперь постулируем уравнение для пульсаций (12) в том виде, какой получился бы, если бы пульсации были созданы электромагнитным полем. Считая время четвертой координатой, т.е. принимая обозначения
(хг,0 = (хг", х4) = (ха) (а = 1,..., 4), перепишем уравнение (12) в виде
dyа+ В" (г, х, у)ёхр= 0. (22)
С учетом электромагнитной аналогии скопируем алгебраическую структуру тензора электромагнитного поля для постулированного калибровочного поля
' 0 Нз - Н2 Е1 ]
Вк в4л -Нз 0 нх Е 2
в4 в4, Н 2 -нх 0 Е3
-Е1 -Е 2 -Е е 0
V /
Заметим, что реальные электромагнитные поля являются решениями уравнений Максвелла. В нашем случае электромагнетизм привлекается лишь для аналогии [5]. Соответственно уравнения, которые будут определять величины, входящие в правую часть (23), также должны уточняться.
В реальном турбулентном потоке нет ни зарядов, ни внешних электромагнитных полей. Более того, отличие от классического электромагнитного поля проявляется еще и в том, что величины, входящие в (23), зависят от пульсационных степеней свободы. Разлагая эти величины в ряд по пульсационным координатам
в; (г, х, у) = Fва (г, х)+Вр" ( г, х) уу +..., (24)
получаем, что только коэффициенты при пульсациях являются полями в пространстве-времени. Поэтому только эти коэффициенты имеют шанс стать аналогами величин известных из классической теории поля.
Тем не менее указанная аналогия весьма проста и простирается дальше, чем это можно предположить априори. Действительно, информацию о строении произвольно взятого, необязательно электромагнитного, поля, мы получаем из анализа траекторий пробных тел, движущихся в этом поле. Иначе говоря, именно пробные траектории определяют строение поля и в конечном счете уравнения этого поля. Соответственно, совпадение пробных траекторий для сравниваемых друг с другом полей свидетельствует о том, что сами поля должны быть отождествлены между собой. Только различие в пробных траекториях указывает на различие в структуре сравниваемых друг с другом полей [6].
Заметим, что в реальном электромагнитном поле траектории пробных (заряженных) тел искривляются в результате действия силы Лоренца. Нечто подобное имеет место и в турбулентности. Пробные частицы, введенные в прямолинейно текущий турбулентный поток, также отклоняются от прямолинейных путей. Поэтому вопрос о совпадении структуры электромагнитных полей и турбулентных полей электромагнитного типа, а также их определяющих уравнений может быть поставлен по-другому. В какой мере видимые отклонения пробных частиц в турбулентном движении могут быть эффективно смоделированы траекториями частиц в указанных калибровочных полях электромагнитного типа?
В данном месте нет необходимости отвечать на этот вопрос в полном объеме. Наше построение имеет модельный характер и его значимость должна оцениваться согласованностью в целом.
Действительно, если свободные от переменных уа коэффициенты Fpа ( г, х) в (24) имеют смысл материальных полей, то коэффициенты при степенях уа в (24) имеют несколько иной смысл. В современной дифференциальной геометрии такие коэффициенты определяют объекты связности расслоений, образованных надстраиванием над пространственно-временной базой дополнительных слоев из координат какой-либо иной динамической природы. В данном случае мы имеем расслоение пульсационных степеней свободы уа, надстроенное над классическим пространством-временем. Поэтому коэффициенты В; ( г, х) определяют собой объект (линейной) связности этого расслоения пульсаций.
Смысл объекта связности заключается в том, что он определяет отношение параллелизма для пульса-ционных степеней свободы. Его операционным эквивалентом является ковариантный дифференциал
Ууdy а+ В3>в у (25)
определяющий правила дифференцирования пульса-ционных координат по пространственным координатам и времени. Этот дифференциал заменяет классический дифференциал в том случае, когда по тем или иным причинам евклидов параллелизм не обеспечивается соответствующими трансформационными свойствами дополнительных степеней свободы.
Таким образом, если в (24) ограничиться только первыми двумя слагаемыми, то с учетом (25) уравнение (22) примет вид
У уа = Fpаdxв. (26)
В частности, если рассматривать пространственно-временны е смещения вдоль направлений, задаваемых координатами слоев, т.е. полагая
dxa = у (27)
то на таких интегральных кривых динамика пульсаций (26) примет вид, характерный для динамики пробных заряженных тел в уравнениях Эйнштейна-Максвелла из общей теории относительности Эйнштейна. Обладая некоторым опытом моделирования таких траекторий, можно оценивать ожидаемые картины динамики пуль-сационных координат на указанных выше кривых без решения соответствующих уравнений [7].
6. Турбулентная феноменология
Основу уравнений макроскопической турбулентной феноменологии, по-видимому, должны составлять аналоги уравнений баланса, массы, импульса энергии, концентрации компонент для случая смесей и т.п. Эти уравнения составляются для экстенсивных величин и имеют вид (5). Учитывая, что структура турбулентности входящих в эти уравнения величин неизвестна, примем ряд кажущихся разумными допущений.
1) Для четырехмерной динамики пульсаций, по-видимому, следует иметь уравнения вида (5) для четырех величин. В качестве таких базовых величин примем плотность массы среды и три компоненты скорости
(иа) = (р, V1, V2, V3). (28)
2) Будем считать базовые величины линейными по пульсационным степеням свободы функциям и
иа= иоа (г, х) + £ра (г, х)ув. (29)
Все прочие (экстенсивные) величины могут быть нелинейными по пульсациям в соответствии с их определением.
3) В выражении для потоков в (5) оставим только конвективные вклады, пренебрегая диссипативными
Jр = ргг" = (Ро + £уа)(4 + ) О' = 1,2, 3). (30)
4) В выражении для источников в (5) оставим только нелинейные по пульсациям вклады
ст(р) = ст(р)0 + уаув + °(р)арууауРуГ + - • (31)
5) В выражении для калибровочных полей, входящих в уравнение пульсаций (22), сохраним только ли-
а ув у ^
нейные по пульсациям слагаемые
в; (г, х, у) = Fpа (г, х)+в;у (г, х) у I (32)
Теперь обратимся к уравнениям (5). Для плотности массы имеем
р + Эгррг =ст(р), (33)
или в подробной записи
дг (Р0 + & уа) + Эг [(Р0 + £4а уа )(г0 + ув)] =
= ст(р)0 + СТ(р)аруаув + ^(р)арууаувуУ + - . (34) Для дифференцирования по пространственным координатам и времени пульсационных координат будем использовать (22). Тогда приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях пульсационных координат, из (34) получим
дг Р0 + Э (Р0 г0) = а(р)0 F4a +
+ Р0^Р FP + Й Fa г0, (35)
Э, ^ Вва+Эг (Р0£га + £4а ^0) -
- (Р0£в+^0)В1а= 0. (36)
Уравнения для коэффициентов для квадратичных и выше степеней опустим. Они служат только для определения соответствующих коэффициентов при старших степенях в (31).
Теперь обратимся к недостающим уравнениям баланса. Поскольку импульс является экстенсивной величиной, выражающейся через базовые величины (28), то воспользуемся уравнением баланса импульса. С учетом ранее сделанных предположений для потоков имеем
' ' (37)
Эt (Рг) + Э к (ргггк) = Ст(рр), где правая часть также имеет полиномиальный вид, который далее будет несколько уточнен.
Преобразуем (37) с учетом (33). После несложных выкладок получим
Р(Э г V + Э к (V/)) = а(р„), (38)
где некоторые из слагаемых в левой части были перенесены в правую часть, после чего правая часть была переобозначена.
Сделаем новые допущения. Будем считать, что правая часть в (39) позволяет выделить плотность массы в виде множителя, т.е. считаем, что преобразованные источники импульса также обладают экстенсивным свойством:
& (рг) =РСТ(г). (39)
В этом случае, подставляя (39) в (38) и сокращая на плотность массы, получим уравнение, полностью аналогичное уравнению (33):
Эг V + Эк () = а( „). (40)
Далее, действуя также как и в случае вывода (35) и (36) из (33), получим
д4 +дк (4 4 ) = 0(г)0 -
+ Fka 4,
I ту в | з | & „к \
(41)
д, ^В4а + дк(*0% + ?аи*о) -
- (г0е, + %4 )В1= 0. (42)
Таким образом, для определения компонент плотности массы и скорости, не зависящих от пульсаций, имеем уравнения (35) и (41), для связующих тензоров пульсаций — (36) и (42).
Покажем, как воспользоваться этими уравнениями. Предположим, что известно распределение искомых полей в начальный момент времени
Р0(0, х), ¿0(0, х), ¥а(0, х), ^р(0,х). (43)
Тогда, если принять или постулировать выражения для калибровочных полей, модели которых были рассмотрены в предыдущем разделе, то распределение плотности, скорости, а также связующих тензоров в произвольный момент времени получаем в виде решений уравнений (35), (36), (41) и (42).
Можно пойти дальше и поставить вопрос о том, как находить начальные распределения (43). При этом главный интерес будут представлять начальные значения связующих тензоров. Учитывая сложность такой задачи, наметим только контуры возможных действий по их нахождению. С этой целью вернемся к распределению (29) и рассмотрим его в начальный момент времени. Имеем
и 1^=0 = Щ (0, х) + (0, х)уР=0.
(44)
Продифференцируем (44) по пространственным координатам. Тогда с учетом (25) и (26) получим д^=0 = (0, х) + ^ (0, х^ (0, х) +
+ ОД (0, х) - ВТ (0, х)^ (0, х))у^. (45)
Продолжая, если потребуется, указанную процедуру достаточное число раз, мы получим множество уравне-
а
ний, число которых превысит число переменных у=0.
Теперь воспользуемся полученными уравнениями для исключения величин у^^=0. Тогда в результате мы придем к некоторой системе соотношений вида
1 (и ^ & в, дхи дх^ дх& дхB, ...)|(=0 = 0 (46)
содержащих макро- и мезоскопические пространственно-временные поля, вычисленные в начальный момент
а
времени, но не переменные у=0.
Тем самым связующие тензоры ^ (0, х) оказываются связанными соотношениями (46) с величинами, имеющими ясный смысл. В случае макровеличин это будут актуальные и средние значения гидромеханических наблюдаемых, а также их пространственные производные, а в случае мезовеличин — калибровочные поля и их пространственные производные, вычисленные в начальный момент времени.
Вернемся к основной линии и подытожим всю картину в целом.
Феноменологическое описание определяется выражениями типа (29), в которых коэффициенты при степенях пульсационных координат считаются найденными по описанному выше алгоритму.
Динамика пульсационных степеней свободы описываются только лишь траекторным образом, т.е. интегральными кривыми уравнения пульсаций (22)
г = гх = х^), у = у^^ (47)
на интегральных кривых (13).
Феноменологическая картина пульсаций плотности и скорости определяется также на интегральных кривых уравнения (22) в виде
Р(г, х, у^)) = Р0 (г, х) + % (г, х)ув (48)
V(г, х, у= г0(г, х) + %(г, х)ув^). (49)
7. Заключение
Наблюдаемый в экспериментах эффект потери индивидуальности турбулентных образований, частиц, тур-бонов и т.п. заставляет искать новые способы описания явления турбулентности. По причинам, указанным в первых двух разделах, для этой цели статистическая гидромеханика и физическая кинетика представляются ограниченно пригодными. В них либо отсутствует сам эффект, либо воспроизводится излишне расширительная и, возможно, не вполне адекватная его версия.
В данной статье указанный эффект моделируется таким образом, чтобы в одной наблюдаемой предусмотреть слагаемые разного рода: полевая конструкция предлагается для среднего значения и траекторная — для пульсаций. Такое объединение становится возможным, если траекторную компоненту определить системой неинтегрируемых (неголономных) уравнений типа Пфаффа. В результате нечеткое понятие о турбулентной вихревой пелене получает модельное воплощение.
Предложенная модель естественным образом стыкуется с классическими описаниями, а именно: если тра-екторное описание для пульсаций окажется эквивалентным полевому описанию, для чего необходимо и достаточно, чтобы дифференциальное распределение (12) стало вполне интегрируемым, то турбулентность в принимаемом для данной статьи определении пропадает, уступая место классическим эволюционным уравнениям.
Хотя с классических позиций предложенная модель вносит многозначность, в ней возможны постановки новых вопросов и поиск ответов на них, которые при других модельных предположениях были бы запрещены. Примером здесь может служить возможность предсказания в данной модели исходов единичного опыта, которая при статистическом подходе оказалась бы за рамками разрешенного.
Наконец, неинтегрируемые распределения естественным образом порождают поля калибровочного типа, что приводит к новому мезодинамическому уровню в описании картины движения. Тем самым турбулентная мезодинамика и макроскопическая феноменология оказываются соединенными в единой картине движения.
Литература
1. Гольдштик М.А. Динамические, равновесные и потоковые структуры в турбулентности // Структурная турбулентность. - Новосибирск: СО АН СССР, 1982. - С. 5-12.
2. Мухамедов A.M. Турбулентность: концепция калибровочных струк-
тур. - Казань: Изд-во Казанского гос. техн. ун-та, 2007. - 190 с.
3. Зеленый Л.М., Милованов A.B. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // УФН. - 2004. - Т. 174. - № 8. - С. 809-852.
4. Коноплева Н.П., Попов B.H. Калибровочные поля. - М.: УРСС, 2000. - 272 с.
5. Йошида С. Физическая механика как полевая теория // Физ. мезо-
мех. - 2005. - Т. 8. - № 5. - С. 17-22.
6. Петров А.З. О моделировании путей пробных тел в поле гравита-
ции // ДАН СССР. - 1969. - Т. 186. - № 6. - С. 1302-1305.
7. Мухамедов A.M. О свойствах симметрии движения заряженных тел в общей теории относительности // Изв. вузов. Физика. -1982. - № 4. - С. 89-92.
Поступила в редакцию 27.12.2013 г.
Сведения об авторе
Мухамедов Альфэрид Мавиевич, к.ф.-м.н., доц., доц. КНИТУ КАИ, [email protected]
