Научная статья на тему 'Турбулентная вихревая пелена: принципы классификации, калибровочная эквивалентность, примеры и приложения'

Турбулентная вихревая пелена: принципы классификации, калибровочная эквивалентность, примеры и приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
54
4
Поделиться
Журнал
Физическая мезомеханика
ВАК
RSCI
Область наук
Ключевые слова
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КАЛИБРОВКА / СИСТЕМА ПФАФФА / ТУРБУЛЕНТНАЯ ВИХРЕВАЯ ПЕЛЕНА / GEODESIC GAUGE / PFAFF SYSTEM / TURBULENT VORTEX WAKE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мухамедов А.М.

Предложена система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, решения которой интерпретируются как траектории турбулентной вихревой пелены. На основе моделирования комплексов этих траекторий комплексами геодезических линий подходящих неевклидовых геометрий предложен принцип классификации, согласно которому выбор конкретной геометрии рассматривается как выбор определенной калибровки в задаче моделирования всего класса траекторий турбулентной вихревой пелены. Приведены примеры геодезических и частично геодезических калибровок для вихревой пелены частного вида, определяемой требованием прямолинейности некоторого комплекса ее траекторий. Показаны возможные применения этих результатов для моделирования мезодинамики процессов турбулентной космической плазмы.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Мухамедов А.М.,

Turbulent vortex wake: classification principles, gauge equivalence, examples, and applications

A system of ordinary differential equations of second order is proposed whose solutions are interpreted as trajectories of a turbulent vortex wake. Complexes of these trajectories are modeled by complexes of geodesic lines of suitable non-Euclidean geometries. Based on this modeling, a classification principle is formulated according to which the choice of a particular geometry is considered as the choice of a particular gauge for the problem of modeling the whole class of turbulent vortex wake trajectories. Examples of geodesic and partially geodesic gauges are given for a vortex wake of special type defined by the requirement that a complex of its trajectories must be linear. Possible applications of the obtained results to modeling the mesodynamics of turbulent cosmic plasma are demonstrated.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Турбулентная вихревая пелена: принципы классификации, калибровочная эквивалентность, примеры и приложения»

УДК 517.9

Турбулентная вихревая пелена: принципы классификации, калибровочная эквивалентность, примеры и приложения

A.M. Мухамедов

Казанский национальный исследовательский технический университет им. A.H. Туполева, Казань, 420111, Россия

Предложена система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, решения которой интерпретируются как траектории турбулентной вихревой пелены. На основе моделирования комплексов этих траекторий комплексами геодезических линий подходящих неевклидовых геометрий предложен принцип классификации, согласно которому выбор конкретной геометрии рассматривается как выбор определенной калибровки в задаче моделирования всего класса траекторий турбулентной вихревой пелены. Приведены примеры геодезических и частично геодезических калибровок для вихревой пелены частного вида, определяемой требованием прямолинейности некоторого комплекса ее траекторий. Показаны возможные применения этих результатов для моделирования мезодинамики процессов турбулентной космической плазмы.

Ключевые слова: геодезическая калибровка, система Пфаффа, турбулентная вихревая пелена

Turbulent vortex wake: classification principles, gauge equivalence, examples,

and applications

A.M. Mukhamedov

Kazan National Research Technical University, Kazan, 420111, Russia

A system of ordinary differential equations of second order is proposed whose solutions are interpreted as trajectories of a turbulent vortex wake. Complexes of these trajectories are modeled by complexes of geodesic lines of suitable non-Euclidean geometries. Based on this modeling, a classification principle is formulated according to which the choice of a particular geometry is considered as the choice of a particular gauge for the problem of modeling the whole class of turbulent vortex wake trajectories. Examples of geodesic and partially geodesic gauges are given for a vortex wake of special type defined by the requirement that a complex of its trajectories must be linear. Possible applications of the obtained results to modeling the mesodynamics of turbulent cosmic plasma are demonstrated.

Keywords: geodesic gauge, Pfaff system, turbulent vortex wake

1. Введение

В недавних работах автора по математическому моделированию турбулентного движения [ 1-3] было установлено, что многие особенности этого вида движения могут быть поняты и модельным образом воспроизведены, если в описание движения ввести явным образом так называемые турбулентные степени свободы. Хотя идея о необходимости введения таких переменных давно высказывалась в литературе, возможный вариант для ее реализации был предложен автором сравнительно недавно в серии работ, посвященных структурной турбулентности. Отличительная особенность применяемого аппарата состояла в том, что он оперирует неинте-грируемыми системами типа Пфаффа, свойство неинтегрируемости которых отвечает за наиболее характерный для турбулентности эффект — потерю индивидуальности турбулентных частиц в процессе движения.

Математическое моделирование турбулентной динамики на основе пфаффовой неинтегрируемости потребовало соответствующей переработки теоретических основ. В результате в описании турбулентности возникли геометрические (мезо)структуры, которые помимо своего основного предназначения выполняли ограничительную функцию, препятствуя вырождению модели движения в вариант нестационарной, макроскопической, полностью контролируемой заданием начальных и граничных условий эволюции.

Хотя конкретные примеры турбулентных мезострук-тур были предложены автором ранее, они, как правило, демонстрировали согласованность всей модели в целом. В настоящее время ощущается потребность в дальнейшем развитии этого подхода. Данная статья посвящена теоретическим аспектам конструирования мезострук-тур с разными модельными свойствами, которые мог-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

© Мухамедов A.M., 2016

ли бы составить основу для дальнейших, собственно мезомеханических, применений.

Для удобства изложения кратко воспроизведем необходимые сведения из предыдущих статей.

В пфаффовой модели турбулентности гидромеханические величины, такие как скорость турбулентного потока, плотность массы, температура и другие, представляются в виде двух различных по смыслу вкладов:

а/, 1 2 3 1 гач а/, 1 2 3\.

и X , X , X , у ,..., у ) = и0(/, X , X , X ) +

+ X1, X2, X3)/. (1)

i=1

Первое из них определяет осредненные значения гидромеханических величин. Эти величины имеют полевой характер и в этом смысле соответствуют парадигме классической теории сплошной среды. Второе представляет собой модель пульсаций гидромеханических величин. По своей конструкции пульсации оказываются составными объектами. Траекторно определенные величины (у1,., уп), формализующие представления о собственно турбулентных степенях свободы континуума, дополняются полевыми величинами ££ ^, X1, X2, X3), осуществляющими переводы траекторных картин турбулентной динамики в привычные, континуальные, образы их интерпретации.

Для пояснения необходимости введения в модель траекторно определенных величин, в данном случае турбулентных координат (у1,..., уп), заметим, что каждому турбулентному потоку можно поставить в соответствие некое множество траекторий, условно называемых траекториями турбулентной вихревой пелены. Существование этого множества можно обнаружить по движению пробных микрочастиц, вводимых в турбулентный поток извне. Как следствие принятия такой точки зрения можно было бы даже утверждать, что без указания места этих траекторий в объясняющем формализме теории саму теорию следует считать неполной.

Однако занять указанную позицию оказывается затруднительно в том смысле, что траектории вихревой пелены нельзя смоделировать линиями тока какого-либо нестационарного течения классической сплошной среды. Более того, в силу известного эффекта потери индивидуальности любых турбулентных образований, т.е. частиц, молей, глобул и т.п., траектории этого множества вообще не следует рассматривать как пути движения каких-либо материальных образований, выделяемых в среде и контролируемых далее в ходе экспериментальных наблюдений. Скорее, следует считать, что этот комплекс траекторий представляет собой новое качество турбулентного движения. На малых временных интервалах траектории вполне наблюдаемы по движению пробных микрочастиц. Однако продолжить такую интерпретацию на конечные интервалы времени оказывается невозможным.

В данной модели наличие комплекса траекторий вихревой пелены, а также различия в устройстве этих комплексов, отвечающих разным турбулентным потокам, рассматривается как эмпирический факт.

Для задания уравнений, определяющих динамику столь нетривиального объекта как траектории вихревой пелены, в пфаффовой модели турбулентности вводится постулат, согласно которому указанные траектории моделируются интегральными кривыми неинтегрируемой системы Пфаффа

¿уг' + Е К (¿, X, у)6ла + Б\ X, у)& = 0. (2)

а=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Неинтегрируемость этой системы состоит в том, что ее решения с необходимостью приводят к зависимостям между пространственными координатами и временем. Как следствие, такая система просто не имеет полевых решений. Тем не менее у нее всегда имеется множество одномерных интегральных многообразий. Именно этот класс траекторий предназначен для воспроизведения траектории вихревой пелены. Тем самым вихревая пелена получает свой собственный модельный образ.

Помимо (2) к данной модели присоединяются также и стандартные классические соотношения из механики сплошной среды. Эти соотношения представляют собой уравнения баланса для гидромеханических наблюдаемых, связывающих актуальные изменения гидромеханических величин с потоками и производствами, вызывающими эти изменения:

-л а -л таа

-и oJ а

-+-= оа. (3)

дt дxа

Потоки и производства в (3) также следует считать величинами, зависящими от пространственных координат, времени и турбулентных координат уг. В частности, если рассматривать потоки как градиенты актуальных величин, вычисленных по пространственным координатам и времени, то нахождение этих величин предполагает умение находить производные от турбулентных координат у1 по пространственным координатам и времени. Такое правило дается уравнением (2):

|уа + ва (и X, у) = 0, + Б4 X, у) = 0.

-X дt

Тем самым (2) дает недостающий комплект соотношений, делающих описание динамики величин (1) в форме (2) и (3) замкнутым. В частности, уравнения (2) и (3) становятся определяющими уравнениями в данной модели турбулентности.

Далее обратимся к постановке задачи, решаемой в данной статье.

2. Постановка задачи

Формализуем задачу. Введем расслоенное (п + 4)-мерное пространство

(^X1,X2,X3,у1,.,уп) ^ (^X1,X2,X3), (4)

надстроенное над пространственно-временным многообразием, с общелинейной структурной группой, действующей в слоях расслоения:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

У' = 14 (х) Ук• (5)

г=1

Для удобства записи временную координату будем рассматривать на равных правах с пространственными координатами (с( = х4), не накладывая заранее каких-либо релятивистских требований.

В этом расслоении системе (2) отвечает множество интегральных кривых. Выделим специальный класс таких кривых уравнениями ¿ха п

А -=иа (х)у' , ¿=1

п).

(6) (7)

¿У' + 1 (х, У)^а = 0 (I = 1

а=1

Левая часть уравнения (6) представляет собой 4-вектор скорости на пространственно-временном многообразии. Тогда правую часть этого же уравнения следует рассматривать как вектор тока какой-либо экстенсивной характеристики среды. Запишем актуальные значения этой величины и ее вектора тока в четырехмерной записи. Разбивая эти значения на осредненные и пульса-ционные компоненты, будем иметь

) п *

Иг (х)У' ¿=1

) J(х, У) *

ср(х, У)

) Jo(х) СРо( х)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

*

(8)

Ш х) У . ¿=1

Если гидромеханический смысл этой экстенсивной величины в конкретном эксперименте будет установлен, то уравнения (6), (7) могут стать основой для экспериментальной проверки. Теоретическая модель здесь предлагает конструкцию пульсаций и указание траекторий для их прослеживания. Эксперимент же должен дать фактически наблюдаемые значения для пульсаций вдоль указанных траекторий.

В этой связи заметим, что (8) указывает и другие пути для реализации эксперимента. В частности, можно выполнить сопоставление с наблюдениями, производимыми вдоль линий тока осредненного 4-вектора тока (8). В этом случае траектории слежения будут задаваться системой йха

¿^ = Ла (х), (9)

а?

¿У*' + 1 ва (х, у)ёха = 0 (I = 1, ..., п). (10)

а=1

Подстановка решений системы (9), (10) в (8) даст значения для актуальных значений гидромеханических характеристик, вычисленных в системе отсчета, двигающейся со средней скоростью указанной экстенсивной величины. При этом в случае (9), (10) сопоставление с данными эксперимента, возможно, окажется

более удобным способом реализации теста, чем это было бы для случая выбора траекторий в виде решений системы (6), (7). Тем не менее в теоретическом отношении в данной статье мы будем отталкиваться от системы (6), (7).

Система (6), (7) содержит множество неизвестных коэффициентов. Поэтому, желая получить дальнейшее продвижение, поставим конкретную, более узкую, задачу. Будем считать, что:

1) рассматриваемые турбулентные режимы движения являются четырехмерными по турбулентным степеням свободы:

I К г 1 2 3 4\

(у ) =(У . У . У > У );

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2) объект связности расслоения (4) является линейным и неоднородным по турбулентным координатам:

ва (х, У) = (х) + Гка (х) ук; (11)

3) связующий тензор равен единичному тензору:

1га =8а •

Заметим, что последнее требование всегда может быть выполнено за счет преобразований структурной группы (5). Однако в общем случае, т.е. для многомерных турбулентных режимов эволюции, когда слои оказываются декартовыми произведениями слоев меньшей размерности со своими собственными структурными подгруппами [3], вопрос о целесообразности последнего условия или более слабых его версий требует дополнительного рассмотрения.

Обратимся к задаче поиска вариантов для моделирования динамики турбулентных степеней свободы. В этом случае целью будет являться поиск принципов классификации системы (6), (7), рассматриваемой как самостоятельный объект, обладающей собственной, вполне определенной, феноменологией турбулентной вихревой пелены. В следующем параграфе мы рассмотрим некоторые способы решения этой задачи.

3. Геодезическое представление и геодезические калибровки

С учетом сделанных в предыдущем пункте допущений имеем следующий класс траекторий:

¿х

аL=у (^=1, ..., 4),

а?

+ Т)к (х) уУ +¥) (х) У =0.

(12)

(13)

На пространственно-временном многообразии этой системе можно сопоставить два дифференциально-геометрических объекта:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1) симметричная неевклидова связность с коэффициентами Г'к (х);

2) силовое поле, определяемое тензором ^ (х). Подчеркнем, что эти объекты определены самим

комплексом траекторий системы (12), (13), т.е. внутрен-

ним образом связаны с ним. При этом геометрия, отвечающая объекту связности, не обязана совпадать с геометрией того пространства-времени, в котором определены макроскопические гидромеханические величины. Более того, геометрия с указанным объектом связности может быть даже неметрической, т.е. несогласованной с метрикой какого-либо четырехмерного многообразия. Вместе с тем возможность выбора именно метрической связности представляет собой дополнительное условие, желательное для самых разных применений.

Вернемся к мотивам классификации. Для начала рассмотрим случай р- (X) = 0. В этом случае траектории системы (12), (13) очевидным образом оказываются геодезическими линиями неевклидова пространства с объектом связности Г-. (X). Тогда класс геодезических линий естественно рассматривать как основной объект классификации, в то время как компоненты объекта связности будут иметь смысл калибровочных потенциалов, которые можно менять в некоторых пределах по своему усмотрению. С учетом калибровочного произвола будут пониматься все прочие конкретные виды связности, определяемые в соответствии с набором желаемых или накладываемых независимым образом свойств.

Таким образом, геодезические преобразования связности в рассматриваемом частном случае становятся калибровочными преобразованиями соответствующего комплекса траекторий турбулентной вихревой пелены.

Следует заметить, что на сегодняшний день теория геодезических преобразований достаточно хорошо развита [4]. Можно полагать, что все факты этой теории найдут отражение и в моделях турбулентных мезострук-тур, отвечающих тем или иным комплексам траекторий турбулентной вихревой пелены. Однако в данной работе мы воспользуемся только самыми простыми фактами, которые легко проверяются непосредственно. Приведем лишь два из них.

1) Если два симметричных по нижним индексам объекта связности Г-. (X) и Г - (X) имеют общие геодезические линии, то необходимым и достаточным условием для этого является

Г)к (X) = Г- (X) + 8-Ук (X) + 8ку- (X). (14)

2) Если обе связности являются римановыми, т.е. согласованными со своими римановыми метриками, то ковектор у - (X) с необходимостью должен быть 4-гра-диентом

Ук(X;» =д кУ. (15)

Из этих фактов, в частности, следует, что произвол в варьировании коэффициентов связности в римановом случае сужается до одной функции четырех пространственных переменных. В общем, неримановом, случае произвол оказывается более широким.

Подчеркнем, что геодезические преобразования определяют собой тот калибровочный произвол, которым вправе распоряжаться сам исследователь. Если задача или какие-либо иные применения диктуют вполне определенные свойства связностей, то поверх этих требований будут накладываться еще и калибровочные (геодезические) преобразования. Иначе говоря, объективными условиями в этом случае должны быть инвариантные относительно выбранной калибровки условия. Тем не менее отдельные представители в калиб-ровочно-эквивалентных классах могут выглядеть более предпочтительными.

Обратимся к оставшемуся случаю р- (X) Ф 0. В этом случае траектории системы (12), (13) уже не являются геодезическими какой-либо связности. Поэтому принцип калибровочной инвариантности должен быть реализован по-другому. Обратимся к решению этой задачи.

4. Частично геодезическое представление и обобщенно-геодезические калибровки

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Недостаточность геодезических калибровок следует из того, что геодезические линии определяются системами квадратичных по скоростям уравнений. В случае р- (X) Ф 0 в уравнениях присутствуют линейные по скоростям слагаемые. Такие траектории невозможно представить геодезическими линиями какой-либо связности. Вместе с тем геодезические преобразования в роли калибровочных преобразований остаются весьма перспективными с геометрической точки зрения. Поэтому для случая р- (X) Ф 0 естественно модифицировать сам принцип представления. Это может быть достигнуто следующим образом.

Выделим во множестве решений системы (12), (13) некоторое достаточно обширное подсемейство и будем считать, что это подсемейство является семейством геодезических какой-то другой связности Г1-к (X). В этом случае для траекторий этого подсемейства можно записать представление в виде уравнений геодезических линий

+ Г)к (X- =Ху-. (16)

Требование совпадения решений (16) с решениями системы (12), (13) дает условие моделирования

Г-к (X) у-ук + Р' (X) у = Г-к (X) у]ук + V'. (17) Предположим, что между компонентами связности Г-к (X) и Г -к (X) имеется соотношение вида

Г-к (X) = Г-к (X) + 8-у к (X) + 8ку- (X) +

+ Р}^)"^) + Р1'^)"-^). (18)

Тогда (17) примет вид

2 у' (У кук) + Р' (X) у^ (2акук +1) = V, (19)

откуда легко заключить, что условие указанного геоде-

зического представления сводится к следующим двум соотношениям:

Х = 2ЧкУк, (20)

2акУк =-1. (21)

Соотношение (20) не является ограничительным. Его можно рассматривать как определение коэффициента А. Однако (21) означает, что не любые траектории системы (12), (13) могут быть представлены в виде геодезических вспомогательной связности Гд (х). Касательные векторы траекторий в этой ситуации должны удовлетворять ограничению (21). Тем самым мы получили представление, в котором только часть траекторий системы (12), (13) оказывается геодезическими линиями в новой связности. При этом в нагрузку к такому представлению мы получаем ковекторное поле ак (х) и, определяемое уравнением (21) распределение плоскостей, выделяющее тот комплекс траекторий турбулентной вихревой пелены, который будет изображаться геодезическими линиями.

Теперь естественно потребовать, чтобы основным объектом классификации стало указанное подсемейство траекторий системы (12), (13). В этом случае преобразования, сохраняющие это подсемейство, будем называть обобщенно-калибровочными преобразованиями для исходной системы (12), (13) и определяемых ею геометрических объектов.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Заметим, что указанным способом можно представить все траектории системы (12), (13) геодезическими линиями каких-либо связностей. Однако этого нельзя сделать с помощью одной единственной связности. Класс потребных связностей Г1к (х) определяется уравнениями (18). Каждая же отдельно взятая связность воспроизводит своими геодезическими линиями лишь некоторое подсемейство траекторий системы (12), (13).

Дополнительным параметром указанного частичного геодезического моделирования оказывается ковек-торное поле ак (х), которое может варьироваться, определяя тем самым и варьирование связности Г, (х). При этом в отношении этого ковектора следует сделать дополнительное уточнение, состоящее в следующем. Каждый конкретный выбор такого ковектора подразумевает выбор моделируемого комплекса траекторий вихревой пелены. При этом естественно полагать, что если (21) выполнено в некоторой точке траектории, то тем самым этого достаточно для выполнения (21) во всех остальных точках той же траектории. Однако если продифференцировать (21) вдоль траекторий (16), то будут получаться независимые уравнения, накладывающие новые ограничения на касательные векторы к траекториям:

(эка] - аГ)к(х))у1 Ук - Ааку = (22)

Для того чтобы это уравнение, а также другие, получаемые многократным повторением процедуры дифференцирования вдоль траекторий, не давали новых огра-

ничений, следует потребовать, чтобы ковектор ак удовлетворял условию

дка1 + д1 ак - 2агГ)к (х) = 2¥, ак + 2У ка1. (23) В этом случае (18) и (23) будут представлять собой все необходимые и достаточные условия для возможных вариаций ковектора ак.

В заключение, укажем еще на одну возможность постановки исходной классификационной задачи. Действительно, принцип геодезического моделирования не является единственно возможным способом представления траекторий. Другим классифицирующим принципом может служить представление траекторий системы (12), (13) более общим классом путей, известных как почти геодезические траектории римано-вых пространств [4]. Этот класс кривых выделяется тем, что вдоль каждой траектории существует двумерное распределение, к которому принадлежит касательный вектор у' и которое параллельно переносится вдоль самих траекторий. Простота и ясность такого рода семейств кривых делают их перспективными кандидатами для задачи конструирования вихревой пелены с новыми изобразительными возможностями.

5. Примеры и применения

Вернемся к частично геодезическому моделированию траекторий системы (12), (13) и обобщенно геодезическим калибровкам. Будем считать, что в рассматриваемом классе калибровок существует связность Г'к (х), являющаяся евклидовой связностью. Наша задача будет заключаться в том, чтобы найти выражения для связностей, которые могут быть получены обобщенно калибровочными преобразованиями из такой модельной связности.

Будем отталкиваться от евклидовых свойств представителя Г1к (х). В этом случае существует такая координатная система, в которой все компоненты Гд (х) обращаются в нуль. Тогда в обобщенно геодезической калибровке для всего класса калибровочно-эквивалент-ных моделей будем иметь

Гк (х) = 81 щ (х) + 8к V, (х) + + Ц (х)ак (х) + ^ (х)а,( х). (24)

Связности вида (24) обладают свойством, что комплекс геодезических траекторий, удовлетворяющих (21), будет изображаться комплексом прямых линий указанного выше евклидова представителя. Для ковектора ак (х), отвечающего этой обобщенно геодезической калибровке, будем иметь

д ка, + д, ак = ак + ка,. (25)

Сделаем важное замечание. В определенном смысле поставленная задача уже решена. Указаны формулы перехода к разным связностям с указанием моделируемого при этом комплекса траекторий системы (12), (13).

Тем не менее это решение не совсем удовлетворительно в том отношении, что связность представляется слишком общей геометрической структурой для механических приложений. С помощью только лишь связности невозможно определить метрические соотношения, представляющиеся весьма желательными для самых разных применений. Поэтому продолжим рассмотрение и сформулируем более детализированную постановку задачи. Выделим среди связностей (24) метрические, т.е. римановы, связности. Иначе говоря, будем предполагать, что связность вида (24) допускает существование еще одной структуры, метрического тензора g1k, согласованного с этой связностью.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Запишем условие согласованности [5]

дkgij - - Г^к = а (26) Для связности (24) это условие примет вид

gij,k = 2 gijУk + gk (1У-) + а(1р-)к, (27)

где для простоты записи символ частной производной по координате показан в виде добавочного индекса, отделенного от остальных индексов запятой. Кроме того, использованы круглые скобки для обозначения операции симметрирования индексов. Эта операция (а также операция альтернирования, обозначаемая квадратными скобками) осуществляется по наборам индексов, которые заключены в скобки.

Обратимся к условиям интегрируемости уравнений (27). В этой связи напомним, что смешанные вторые частные производные от функции многих переменных не зависят от порядка дифференцирования. Это условие является краеугольным фактом теории интегрируемости систем с частными производными типа Пфаффа. В частности, оно является необходимым и достаточным условием для локальной интегрируемости таких систем [6].

Таким образом, условия интегрируемости для (27) можно получить дополнительным дифференцированием по какой-либо другой координате с последующим альтернированием индексов, отвечающих частным производным. В результате такой операции в левой части получаемого соотношения будет получаться тождественный нуль, тогда как правая часть даст ненулевое выражение. Эти соотношения оказываются новыми уравнениями, необходимость в которых в скрытой форме содержится в самой системе (27).

Прежде чем идти дальше, сделаем некоторые небольшие упрощающие допущения. Будем считать, что ковектор У' является 4-градиентом, т.е. У' = У', а силовое поле Рл = gisPk является антисимметричным по нижним индексам. Можно доказать, что первое из них выполняется для пространств с размерностью большей чем четыре. Однако четырехмерный случай является некоторым исключением. Здесь указанное требование приходится накладывать дополнительно [7].

Второе допущение упрощает интерпретацию. Как известно, тензор электромагнитного поля, составляющий силовое поле для траекторий заряженных тел в теории тяготения Эйнштейна, является антисимметричным по нижним индексам тензором. Соответственно, если интерпретировать объект Fik как аналог тензора электромагнитного поля, а траектории системы (12), (13) как траектории заряженных частиц, то требование антисимметричности становится необходимым.

Теперь запишем условия интегрируемости системы (27) с учетом сделанных упрощений. Опуская громоздкие выкладки, приведем лишь результат. Он имеет вид

^i[igk ]j + Фj[igk ]i + Fi[iAk ]j + Fj[iA ]i + + a(i ( jt, i ] +Vj> F[1d ]) = (28)

где

Фгк = у i,k- У ¡У k, Ak = at,k- 2a-y k- У iak •

Строение системы (28) позволяет получить ее полное решение. С этой целью свернем (28) с двумя вспомогательными векторами Z'ZJ, выбор которых подчиним единственному ограничению — эти векторы должны лежать в 3-плоскости, ортогональной к вектору a = gls as . Тогда для этих векторов имеем

aZ = 0. В этом случае (28) примет вид

Ф[lZk ] + fkA ] = 0, (29)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где

Фl = Гфа, A = ZiAil, f = ZFik . Теперь уравнение (29) легко решается:

Ф1 =aZl + p/i, A =pZi +Yfl, с новыми неизвестными функциями а, в и у, отвечающими тому произволу, с которым определяется решение уравнения (29).

Освободимся от вспомогательных векторов. Учитывая, что произвол в их выборе ограничен указанной 3-плоскостью, в дополнение получим новые слагаемые, ранее обращавшиеся в нуль за счет специального выбора вспомогательных векторов

Фik =aSik + PFk + aNk,

(30)

Ak = fek + YFk + aiMk •

Как следствие, возникают новые неизвестные величины, т.е. ковекторы Nk и Mk, уточняющие произвол в решении системы (28).

Рассмотрим полученные уравнения (30). Если учесть ранее найденные выражения для тензоров ф& и Ak, условие антисимметричности тензора F^, а также тот факт, что частные производные градиентного ковек-тора yi должны быть симметричными по нижним индексам, то отсюда несложно прийти к новым следствиям

в = 0, N = Nat, Mt + yi = 0. (31)

Подчеркнем, что (30) и (31) сами по себе являются всего лишь следствиями (28). Для того чтобы решить (28)

полностью, подставим (30) и (31) снова в (28) и проанализируем результат. После приведения подобных (28) примет вид

а(г а 1 к = 0, (32)

где

а}к1 = Кё,[ка1 ] - Р,[кVI] + V] +11 ]. Отсюда легко видеть, что в дополнение к ранее найденным следствиям добавится только еще одно следствие

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

&1к1 = 0.

Подытожим результат. Имеем следующие условия интегрируемости уравнения (27):

¥',к = V' ¥к + аёк + ^¿ак, (33)

Ц,к = а('¥к> + > (34)

Ък 1 = Щтак] - %¥к] + У^Щ]. (35)

Эти уравнения, а также появившиеся новые неизвестные должны быть добавлены к исходному уравнению (27).

По поводу интегрируемости уравнения (27) возникла полная определенность. Это уравнение вполне интегрируемо, если будут выполняться уравнения (33)-(35). Но новые уравнения вводят новые неизвестные, в отношении которых тест на интегрируемость должен быть продолжен.

Найдем условия интегрируемости уравнений (33)-(35). Для этого повторим для них процедуру получения условий интегрируемости. Условия интегрируемости уравнений (33)-(35) сводятся к тому, что величины И, а и у должны быть постоянными и удовлетворять соотношению

а + уИ = 0. (36)

Поскольку (30) оказывается числовым равенством, то тем самым тест на интегрируемость оказывается завершенным.

Таким образом, система уравнений (27), (33)-(35) при условии (36) является вполне интегрируемой и в силу этого должна иметь решение, зависящее от произвольных постоянных, определяемых значениями входящих в эту систему величин, вычисленных в точке общего положения. Этот принципиальный результат не только доказывает существование решения, но и позволяет подсчитать произвол в решении. Тем не менее приведенная система является нелинейной и требует кропотливого труда для доведении результата до окончательных выражений. Поэтому покажем то, как достигается решение в одном из возможных частных случаев, когда а, у , N Ф 0. Полное исследование всех случаев можно найти в [7].

Для начала заметим, что уравнения (33) и (34) можно рассматривать как определение искомой метрики ё1к и силового поля :

аёк = VI,к- V''V к- Щак, (37)

У^'к =-а'',к + а('¥ к). (38)

Поэтому задача будет заключаться в решении оставшихся уравнений (27) и (35). Исключим с помощью (37) и (38) метрику и силовой тензор из уравнений (27) и (35). Тогда получим уравнения только для неизвестных ковекторов V'' и а1. Уравнение (35) сводится к уравнениям

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(в"^ а, ),,к = 0,

(39)

а), ,к

а (27) принимает вид

(е"2¥ )'к = 0. (40)

Теперь решение легко может быть записано явным образом. Из (40) находим, что функция в-4 должна быть полиномом второго порядка с произвольным выбором коэффициентов. Отсюда следует

V = - 1/21п(С'кх'хк + сх + с). (41)

С учетом (41) уравнение (39) дает +У

а, = Л + ' + к =-к'). (42)

с1кхх + с'х + с Тем самым мы получили выражения для ковекторов V' и а', которые будучи подставленными в (37) и (38), дадут искомую метрику и силовое поле ^ соответственно.

Метрика (37) и силовой тензор (38) дают искомые мезоструктуры, определяющие специальный класс траекторий вихревой пелены. Выделяемый уравнением (41) комплекс этих траекторий представляется прямыми линиями евклидова четырехмерного пространства. Прочие же траектории вихревой пелены оказываются более сложно устроенными кривыми.

Следует подчеркнуть, что картина, определяемая прямолинейными траекториями вихревой пелены, не является простой. Дело в том, что скорость следования вдоль этих траекторий не является равномерной. Это связано с тем, что коэффициент А в (16) зависит от координат пространственно-временного многообразия специальным образом (20). Поэтому следование вдоль таких траекторий будет обладать сильными перемешивающими свойствами. Вместе с тем такой способ раз-бегания траекторий кажется приемлемым для многих практических ситуаций. В частности, прямолинейность траекторий, по-видимому, является разумным модельным допущением для процессов взрывного характера. В этом случае точки малой окрестности разлетаются во все стороны, причем в основном по прямолинейным траекториям. При этом могут иметь место более сложно устроенные траектории, хотя на начальной стадии разлета их вклады в общую картину движения могут оказаться не столь значительными.

Укажем на другие возможные применения полученного результата.

1) Среди метрик (37) содержатся и метрики сигнатуры Лоренца. Эти метрики можно интерпретировать как общерелятивистские метрики эйнштейновской теории относительности.

2) Если проальтернировать по всем нижним индексам (35), то легко получатся соотношения

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рк, 1 ] = 0. (43)

Это означает, что силовое поле (3 8) будет удовлетворять уравнениям типа первой пары уравнений Максвелла для классического электромагнитного поля. В таком случае можно интерпретировать тензор Рл как тензор электромагнитного поля.

3) Принимая электромагнитную интерпретацию, можно использовать вторую пару уравнений Максвелла для определения осредненной компоненты вектора 4-тока в (8). В этом случае 4-ток будет иметь следующий вид:

4 = Р™ = -3^ - Г'У,. (44)

Тогда (37), (38), (41) и (42) можно применить для реализации экспериментального теста, указанного во втором параграфе данной статьи. Этот тест дает принципиальную возможность экспериментальных наблюдений за турбулентными пульсациями в масштабах космической плазмы. Экспериментальными данными в этом случае должны стать астрофизические наблюдения.

Подчеркнем, что метрика (37) служит для воспроизведения пульсационной компоненты плазменных колебаний. В этом случае метрика имеет смысл мезострук-туры для космической турбулентности. Крупномасштабная структура пространства-времени и ее метрика определяются по-другому. Для этого используются общерелятивистские уравнения Эйнштейна

% - 2gikR=Тк (45)

с тензором энергии-импульса электромагнитного поля и имеющихся материальных образований. При этом крупномасштабная метрика в теории Эйнштейна является четырехмерной, тогда как размерность турбулентных пульсаций и соответствующей (мезо)метрики может быть различной.

В связи с последними замечаниями автор полагает, что пфаффова модель турбулентности может найти применение в общей теории относительности и космологии.

6. Заключение

В развитие пфаффовой модели турбулентности в данной статье предложены примеры мезоструктур, ко-

торые могли бы служить для математического моделирования турбулентных режимов эволюции сплошной среды. Определяющим в построении этих примеров послужила концепция калибровок, позволяющая выбирать специальные виды мезоструктур инвариантно-тензорным методом.

В качестве применения калибровочной концепции были найдены примеры мезоструктур, в частности метрики и силового поля, отвечающих некоторым простым формам пространственно-временной динамики пульсаций. Показана далеко идущая аналогия, позволяющая применять полученные результаты в моделировании турбулентных явлений заряженной космической плазмы.

Поскольку естественным требованием для теории является ее проверка в экспериментах, в данной работе предложена математическая модель такого эксперимента (8)-( 10), позволяющая сравнивать наблюдаемые данные с вычисляемыми теоретическими значениями. В частности, для случая турбулентной космической плазмы показано, что такой измеряемой величиной может служить плотность заряда, определяемая на мезоско-пических масштабах разрешения. При этом для входящих в уравнения этого теста величин дана соответствующая интерпретация.

Литература

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Mukhamedov A.M. Towards a gauge theory of turbulence // Chaos, Solitons and Fractals. - 2006. - V. 29. - P. 253-261.

2. Мухамедов А.М. Эффект потери индивидуальности частицами турбулентной среды в процессе движения: связь между турбулентной мезодинамикой и турбулентной макроскопической феноменологией // Физ. мезомех. - 2014. - Т. 17. - № 2. - C. 2534.

3. Мухамедов А.М. Турбулентность: концепция калибровочных струк-

тур. - Казань: Изд-во КГТУ, 2007. - 190 с.

4. Синюков Н.С. Геодезическое отображение римановых пространств. - М.: Наука, 1979. - 256 с.

5. Норден А.П. Пространства аффинной связности. - М.: Наука, 1976. - 432 с.

6. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. - М.: Изд-во МГУ, 1962. - 239 с.

7. Мухамедов А.М. О почти проективных отображениях полей тяготе-

ния // Математические заметки. - 1980. - Т. 28. - № 1. - С. 131— 137.

Поступила в редакцию 01.07.2015 г.

Сведения об авторе

Мухамедов Альфэрид Мавиевич, к.ф.-м.н., доц., доц. КНИТУ КАИ, alfared@yandex.ru