Научная статья на тему 'О гиперповерхности в пространстве приложенных ковекторов'

О гиперповерхности в пространстве приложенных ковекторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
169
57
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КОВЕКТОР / ПСЕВДОРИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО / СВЯЗНОСТЬ ЛЕ-ВИ-ЧИВИТА / ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ / COVECTOR / PSEUDO-RIEMANNIAN SPACE / LEVI-CIVITA CONNECTION / GEODESIC LINES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бухтяк Михаил Степанович

Данная работа продолжает серию публикаций автора, посвященных погружениям различных многообразий в точечно-векторные пространства (см., например, [2,3,7]). Для исходного трехмерного аффинного пространства строится шестимерное точечно-векторное пространство D 6, точка которого -приложенный ковектор, а вектор упорядоченная пара, составленная из вектора и ковектора. Гиперповерхность полученного пространства снабжена псевдоримановой метрикой, индуцированной естественной метрикой пространства D 6. Построена связность гиперповерхности, названная «естественной», и связность Леви-Чивита. Исследованы геодезические линии обеих связностей (для первой из них до полной характеризации).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On a hypersurface in the space of applied covectors

The present paper continues a series of the author's publications devoted to immersions of various manifolds into point-vector spaces (see examples in the list of references [2,3,7]). A six-dimensional point-vector space D6 is constructed for the original three-dimensional affine space. A point of the space is an applied covector and a vector is an ordered couple composed of a vector and a covector. A hypersurface of the obtained space contains pseudo-Riemannian metrics induced by the intrinsic metrics of space D6. A connection of the hypersurface called natural has been built, as well as the Levi-Civita connection. Geodesic lines of both connections are examined (for the first one, up to the full characterization).

Текст научной работы на тему «О гиперповерхности в пространстве приложенных ковекторов»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 3(23)

УДК 514.754.7

М.С. Бухтяк

О ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРИЛОЖЕННЫХ КОВЕКТОРОВ

Данная работа продолжает серию публикаций автора, посвященных погружениям различных многообразий в точечно-векторные пространства (см., например, [2,3,7]). Для исходного трехмерного аффинного пространства строится шестимерное точечно-векторное пространство Б6, точка которого -приложенный ковектор, а вектор - упорядоченная пара, составленная из вектора и ковектора. Гиперповерхность полученного пространства снабжена псевдоримановой метрикой, индуцированной естественной метрикой пространства Б6. Построена связность гиперповерхности, названная «естественной», и связность Леви-Чивита. Исследованы геодезические линии обеих связностей (для первой из них - до полной характеризации).

Ключевые слова: ковектор, псевдориманово пространство, связность Ле-ви-Чивита, геодезические.

1. Операции над векторами и ковекторами

*

Пусть V - линейное 3-пространство над Ли V - сопряженное ему пространство ковекторов.

Множество реперов пространства V обозначим Е. Символ <, > обозначает свёртку вектора и ковектора. Пусть е = (е1, е2, ез) - базис пространства V ,

е = (, е_2, е3) - базис сопряженного пространства V*. Сопряжённость базисов означает, что

< е, е > = < е,~ё[ > = 8/ (, / = 1,2,3).

Примем интерпретацию ковекторов, описанную в [5]. Тогда ковектор Ь = Ь е1 + Ь2е2 + Ь3е3 интерпретируется упорядоченной парой параллельных плоскостей. Если первая из них П(1) проходит через начало координат О, то она и вторая (П(2)) задаются соответственно уравнениями

П(1): Ь1X + Ь2 х2 + Ь3 х3 = 0,

П(2) : Ь1 х1 + Ь2х2 + Ь3х3 = 1.

Пусть из точки О отложен и вектор ОА = а . Если В - точка пересечения прямой (ОА) и плоскости П(2), то

ОА =< аЬ > ОВ,

что и придает наглядный смысл инварианту (аЬ}. Ковектор (как и вектор) может быть отложен из любой точки, это не повлияет на истолкование геометрического смысла инварианта < аЬ > .

Таким образом, если базисы е = (е1,е2,е3), е = (,Є2,£3) сопряжены (мы

откладываем векторы первого базиса и первые плоскости пары параллельных плоскостей, изображающих ковектор второго базиса, из начала координат О), то ковектор Є изобразится упорядоченной парой параллельных плоскостей

(п(1),П(2)), каждая из которых параллельна векторам е2 и е3, причём первая

проходит через 0(0,0,0), а вторая - через точку (1,0,0). Проделав то же для остальных ковекторов, получим изображение репера (О, Є1, Є2, Є3) и корепера

(О, е1,е2, е3), где обозначены только вторые плоскости (п(2), П22), П2)), изображающие базисные ковекторы (рис. 1).

Определим отображения

/ : V х V х V хЕ^ К , /*: V* х V* х V*хЕ^ К следующим образом. Если

аг = а?Є-, Ь' = Ь\е], і, і = 1,2,3,

г ' у — ]— ’ и у у у

а^ а2 а3 Ь} ь2 ь1

то / Ц, а2, а3, е) = 2 2 а-! а2 а‘2 , /(Ь1, ь 2, Ь3, е) = Ь2 ь2 Ь2

3 3 а1 а2 а| Ь1 ь2 Ь33

Для введённых нами функций / и /* примем (на наш взгляд, более удобные) обозначения \ах,а2,а3]е и ^Ь1,Ь2,Ь^ . Таким образом,

\а1, а2, а3 ] = det | |а/1|. [ Ь, Ь_2, Ь3 ^ = det | |Ь/1|.

Определение. Величина [а1; а2, а3 ]е называется косым произведением векторов а1, а2, а3 в базисе е , а величина [^й1, Ъ_2, й3 ^ - косым произведением ковек-

торов Ь1, Ь_2, Ь3 в том же базисе.

Запишем закон преобразования базисов, а также координат вектора

(X) и

ковектора (уг) с невырожденной матрицей А = |\А\ и обратной к ней матрицей

А-=1 И!

* * е' = еА , е' = АГ1 е ,

или, в подробной записи,

е- = еА , ег' = АІ'е , Xі' = АІ'Xі, Уг , = уА. (

Эти объекты преобразуются по правилу

[51, *2, о, ] = 44А3'[а, а,, ак ]е = det (А)-[а1, а2, а3 ]е;

[Ь1,Ь2,Ь] = А'а2^'[Ь1,Ь2,Ь]е = (А-1 ).[ь1,ь2,Ь]е.

Определим операцию векторного умножения над ковекторами х = хіЄ

У = Уге в базисе е следующим образом:

[x, У ]є =

С1 2 с3

x1 x2 x3

У1 У2 Уз

Из (*) следует, что при преобразовании базиса eг - = eA

[ЬУ]є' =[x,У]є detlU/J| = [x,У]є det(A). (L2)

є

Таким образом, результат векторного умножения ковекторов есть вектор, свертка которого с каждым из ковекторов-сомножителей равна нулю. В интерпретации ковекторов, предложенной в [5], вектор [ x, у] параллелен плоскостям, изображающим первый ковектор, и плоскостям, изображающим второй ковектор. Операция векторного умножения ковекторов относительно инвариантна, если в V действует полная линейная группа, и инвариантна относительно специальной линейной группы. Для характеризации нормировки вектора [ x, у ] в этом последнем случае рассмотрим отображение

ф (x, У, є, t) = t [ x, y]є , t є К .

Для тройки векторов a1, a2, a3 тогда получаем равенство

[ф((2,[,є,t),ф((3,a1,є,t),ф(о1,a2,є,t)— -[ai,a2,a3]- = (t3 -i)[Oi,a2,a3— . Нуль в правой части равенства мы и получаем только при t = 1.

Определим операцию ковекторного умножения над векторами х = X е1 у = у'Єі в базисе е :

[X, у ]е =

е1 е 2 е3

д х1 X2 X3

у1 у2 у3

V .

При тех же условиях, что справедливы для (3), мы констатируем, что [х,У]> =[х, У] А'|| = [х, У] ае!(А-1).

Пусть имеем аффинное пространство А3 с репером

[° ^ е2 , е3 } .

Для ковектора Ь = Ь1 г + Ь2е_2 + Ь3 е3 в А3 примем геометрическую интерпретацию

[5] посредством класса аффинной эквивалентности пар параллельных плоскостей с представителем в виде пары

П1 : Ь1 х1 + Ь2 х2 + Ь3 х3 = 0,

П2 : Ь1х1 + Ь2 х2 + Ь3 х3 = 1.

В этом случае скажем, что ковектор Ъ_ отложен из точки О или что мы рассматриваем приложенный ковектор (О, Ь_). Пусть из точки О отложен и вектор

ОА = а . Если В - точка пересечения прямой (ОА) и плоскости П2, то

ОА =< аЬ > ОВ,

что и придает наглядный смысл инварианту (аЬ} . Ковектор может быть отложен из любой точки.

2. Пространство Б6

Составим шестимерное линейное пространство (Vх¥*,М, +,•) следующим образом: вектор в V х V* есть упорядоченная пара а = (а,Ь_), сложение и умножение на скаляр - покомпонентные. С каждым вектором а = (а,Ь_) связывается число

а2 =< аЬ_ > ,

которое мы называем (псевдо) скалярным квадратом вектора а. Пространство V х V* с указанным скалярным квадратом имеет структуру пространства Я6 . Ес-

ли в некотором базисе (еі) и взаимном базисе (Є) имеем а = а1 еі, Ь = ЬіЄ

то

а2 = а1Ь1.

Для квадратичной формы (1) полярной билинейной формой является

2

ар = -2(< ар > + < сЬ >) ,

где а = ( а, Ь), Р = ( с, р ) .

Если базис-строка e = (ei) подвергается линейному преобразованию

e' = eA,

то вектор а = (a, b) переходит в вектор

а ' = (A~la, bA) .

Таким образом, в линейном пространстве V х V* действует 9-членная группа преобразований, изоморфная группе матриц

(C 0 ^

.0 (C-)ТI

Рассмотрим теперь структуру (U х V3*,V3 х V3*,ф), где U - точечное множество аффинного пространства A3, V3 - его векторное пространство. Элементы множества U х V3* называем точками и обозначаем x, y , z ,.... Отображение ф упорядоченной паре (x, у), где x = (A, a), y = (B, b), сопоставляет вектор xy e V3 х V3 по правилу

xy = (AB, b - a).

Нетрудно проверить, что для построенной структуры выполнены аксиомы точечно-векторного пространства [1]. Построенное здесь шестимерное пространство будем обозначать D6.

Как отмечено выше, приложенный ковектор аффинного пространства A3 интерпретируется парой (M, a), состоящей из точки M и не проходящей через нее плоскости П - второй плоскости, изображающей ковектор a [5] (первая плоскость, изображающая ковектор, проходит через M). Пусть из точки O отложены вектор OA = a и ковектор (O, b). Прямая линия пространства D6 интерпретируется как прямолинейный ряд точек в пространстве A3 и пучок плоскостей этого же пространства, находящихся в аффинном соответствии.

2-плоскость пространства D6 задается параметрическим уравнением

(M, Y) = (M, Y0 ) + u (a, p) + v(b, q) . (2.1)

Необходимое и достаточное ограничение на направляющие векторы:

Rang {(a, p), (b, q)} = 2 .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Будем говорить, что плоскость (2.1) есть плоскость L(n,m), если

Rang {a, b } = n, Rang {p, q} = m .

Ясно, что (n,m) e{(2,2),(2,1),(2,0),(1,2),(1,1),(0,2)}. Ясно также, что плоскость L(2,2) интерпретируется как плоскость в A3, натянутая на a и b и 2-семейство ковекторов y = Y0 + up + vq , находящихся в аффинном соответствии. Остальные

плоскости Ь(п,ж) отличаются лишь понижением размерности либо одного из семейств (точек либо ковекторов), либо обоих сразу (для £(1,1)). Однако больший интерес представляет другая интерпретация.

Именно, пусть точка М совмещена с вершиной О репера. Пусть к этой же

точке приложен и ковектор у . Тогда (2.1) есть параметрическое уравнение 2-

семейства, образующий элемент которого состоит из точки

М = М о + иа + уЬ (2.2)

и плоскости

70 + ир + уд, х^ = 1. (2.3)

Плоскости (2.3) образуют связку с центром, который определяется системой уравнений

(у_0 -1 = ^ рх^ = (дх^ = 0,

и с неоднородными координатами и , у в связке. В то же время и , у есть не что

иное, как неоднородные координаты несобственной прямой, по которой плоскость (2.3) пересекает несобственную плоскость. Таким образом, (2.2) и (2.3) за-

дают аффинное отображение точек плоскости (М - М0, а, Ь ) = 0 в тангенциальную несобственную плоскость пространства А3. Не составляет особого труда построить интерпретацию остальных плоскостей Ь(п, ж).

3. Подвижной репер в пространстве Б6

В пространстве А3 подвижной репер {М,е1,е2,е3} имеет деривационные формулы

ёМ = югег, ёег = ю{ё] (, . = 1,2,3), (3.1)

где ю 1 - формы Пфаффа [4] , подчиненные уравнениям структуры

ёюг=юглю1, ёюг; = юк лю^, г, 1, к = 1,2,3. (3.2)

В пространстве Б6 рассматриваем репер

{х, 61,62,63,61,62,63} , (3.3)

где х = (М, е_3) , 8г. =(е ,0), ег = (0,е1), 1 = 1,2,3. (3.4)

Поскольку для векторов пространства Б6 операции определены покомпонентно, то деривационные формулы подвижного репера (3.3) имеют (в силу (3.1) и (3.4)) вид

ёх = Юе -ю3^,

г г . . . (3.5)

ёе, = ю1е., ёег =-юг.е1.

1 1 ^ У

Формулам (3.5) соответствуют следующие матрицы коэффициентов:

& = (ю1 ю2 ю3 -ю3 -ю2 -ю3), (3.6)

© =

ю1 ю2 ®3 0 0 0

ю2 ю2 ю2 0 0 0

ю3 ®2 3 ю3 0 0 0

0 0 0 -ю1 -ю2 —ю3)

0 0 0 -ю2 -ю2 -ю32

0 0 0 -®3 -ю2 -ю3

(3.7)

Поскольку пространство Б6 - точечно-векторное, то базовая форма 0 и слоевая форма О определяют на нашем пространстве локально-плоскую аффинную связность, что, впрочем, подтверждается и непосредственным вычислением с использованием (3.2), (3.6) и (3.7):

dЗ--Эл© = 0, й?©-©л© = 0.

Инфинитезимальная (псевдоевклидова) метрика определена квадратичной дифференциальной формой

3 2 3 3 3

+ Ю ®2 + Ю ®3

ds2 = - (ю1

Матрица указанной квадратичной формы имеет вид

).

(3.8)

0 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 -1 0

1 0 0 0 0 0 -1

2 -1 0 0 0 0 0

0 -1 0 0 0 0

0 0 -1 0 0 0

(3.9)

Без труда проверяется, что обнаруженная нами связность V пространства Б6 является связностью Леви-Чивита для инфинитезимальной метрики (3.8). В самом деле, из (3.7) и (3.9) видно, что

Vg = dg^-^ )т = 0.

4. Гиперповерхность в пространстве Б6

Рассмотрим в пространстве Б6 гиперповерхность Е, для которой вершина репера - текущая точка. Тогда 6 пфаффовых форм юг, ю3 окажутся связанными одним линейным уравнением вида

+^2® + + Х ю^ + Х ®2 + Х ю3 = 0,

постоянного ранга равного единице. Мы предполагаем, что элемент, состоящий из точки и направляющего ковектора е3 (то есть ковектора, определённого с точностью до произвольного ненулевого множителя), зависит от 5 параметров, то

есть

ю1 лю2 лю3 л лю2 ^ 0. (4.1)

Тогда последнее уравнение перепишется в виде

®3 = аю1 + а1®3 + а2®2, I = 1,2,3. (4.2)

Требуем полной интегрируемости уравнения (4.2), для чего присоединяем к нему результат внешнего дифференцирования:

(сСа1 - аю/ ) л юг + (ёаа + авю^ - ааю3 - ю^ ) л ю^ = 0, (43)

/ = 1,2,3; а = 1,2. .

Разрешая последнее уравнение по лемме Картана и полагая ю1 = ю2 = ю3 = = ю3 =ю2 = 0 , получим в обозначениях [4] соотношения

да/ = аа%а, 5аа = ^а - а^п^, / = 1,2,3; а, р = 1,2. (4.4)

Эти соотношения позволяют провести частичную специализацию репера

а1 = а2 = 0, П3 =п2 = 0. (4.5)

Смысл проведённой частичной специализации, как видно из (4.2) и (3.1), в том,

что вследствие её имеем

(М = 0 )^(< Се3, е3 > = 0).

Уравнение (4.3) теперь принимает вид

(ёа/ -а}-ю/)лю -юа лю^ = 0,

/, у = 1,2,3; а = 1,2.

Вследствие выбора базисных форм и частичной специализации репера можно записать, что

Сх = (ёМ,йе?) = юг (е/,-аг£3)-юа (0,£а), / = 1,2,3; а = 1,2. (4.6)

Нетрудно заметить, что базис касательной плоскости составляют векторы

в =(е, -аг£3), / = 1,2,3, е4 = е1 = (0, е1), е5 = е2 = (0, е_2 ) .

Теперь в исходном аффинном пространстве А3 деривационные формулы репера имеют вид

ёМ = юе , сеа=юае , ёе3 =ю!аеа+аЮe3,

Сеа = -юа е/, се = -юаеа - аюг е,

/= 1,2,3; а = 1,2.

Построим геометрическую интерпретацию касательной гиперплоскости, основываясь на (4.8). Зафиксировав параметры - как базовые так и слоевые - получим неподвижный репер в пространстве Б6. Именно,

х0 =(М(ьео), £/ =(е<),о), £/ =(0,е0), 1= 1,2,3.

Параметрические уравнения касательной гиперплоскости (при помещении нового начала координат О в точку М0) имеют вид

(^ У ) = ( 0 е 0 )+ ^ е ,0, -а/0 е 0 )+ Уа( ° е а),

/= 1,2,3; а = 1,2.

Здесь а 0 - значения коэффициентов а при фиксации всех параметров. Соответственно в пространстве А3 получим параметрические уравнения

Я = ы’е 0, у = -у1 е0- у2£ о+(1 - а°и’) £. 0, / = 1,2,3.

Эти уравнения задают отображение: каждой точке Я = ы’£0 сопоставляется 2-семейство ковекторов (параметры - у1 , у2 ), чьи вторые плоскости имеют урав-

нения

v1 x1 + v2 x2 +(a 0u1 - і) x3 + і = О .

Данные плоскости образуют связку с центром

C

О,О,

і

і О i і - aiu у

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

При этом точкам R = x'ei , принадлежащим плоскости п(Х), заданной уравнением

aj0 x1 + a° x2 + a° x3 = X = const,

отвечает одна и та же точка C (Х) = ^0,0,^—^ |. Указанное соответствие и даёт описание касательной гиперплоскости.

Рис. 2. Вторая плоскость из интерпретации касательной гиперплоскости

Соотношения (4.4) после частичной специализации репера принимают вид 5ap = aanja, Sa3 = 0, a, p = 1,2 .

Величина a3 есть инвариант. Для его характеризации рассмотрим распределение

ю1 = ю2 = О ,

в общем случае неинтегрируемое. Вдоль этого подмногообразия имеем соотношения

(С£3, е3> = а3(dM, е3> .

Матрица Грама для базиса касательной плоскости имеет вид

Г= I 2

0 0 - а^ 1 0

0 0 -а2 0 1

-а1 -а2 -2а3 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

(4.7)

Заметим, что ранг матрицы Г равен 5 при a3 Ф 0 и 4 при a3 = 0, других же значений он не принимает.

Квадратичная метрика пространства Б6 индуцирует нормаль гиперповерхности, натянутую на вектор

п = (е3,агЄ ) . (4.8)

Мы, однако, нормализуем нашу поверхность вектором

еб = е3 =( 0 є 3).

В репере (3.4) имеем соответственно

е1 = (1 0 0 0 0 -ах), е2 = (0 1 0 0 0 -a2),

е3 = (0 0 1 0 0 -а3),

е4 =(0 0 0 1 0 0 ),

е5 =(0 0 0 0 1 0 ),

е6 =(0 0 0 0 0 1 ).

Теперь (4.8) вместе с результатом дифференцирования векторов е1,..., е6 приводят к деривационным формулам

где

1 2 3 3 1 3 2

dx = ю е1 + ю е2 + ю е3 -ю1 е -ю2е ,

^і =ю/е і +а ю е“-Дагe3, deг = -юіе1, і,і = 1,2,3; а = 1,2,

Даі = daг - а і ю/ - аг ю3.

Для дальнейшего полезна формула

С (Даг-) = -Са}- л ю/ - акю/ люк}- - Сц лю3 - а{ю3 л ю3 = = ю/ л Да;- + ю^ л Даг- + аг-ю^^ л юО^,

/, у = 1,2,3; а = 1,2.

Введём в рассмотрение вектор-строку из пфаффовых форм

( 1 2 3 3 3 \

ю ю ю — сю -'СЙ2 ) .

Матрица коэффициентов деривационных формул (4.9) имеет вид

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Ф =

ю| ю2 ®3 а1ю13 а1ю2 -Да1

ю2 ю2 ю2 а2®3 а2ю2 -Да2

ю3 ®2 3 ю3 а3®3 а3ю2 -Да3

0 0 0 -ю| -ю2 -ю3

0 0 0 -ю2 -ю2 -ю32

0 0 0 -®3 -ю2 -®3

(4.13)

Как видно из (4.12) и (4.13), вторая квадратичная форма гиперповерхности есть форма

II = -ю1Да1 -ю2Да2 -ю3Да3 +а>3ю3 +Ю2ю2 . (4.14)

Форму-строку (4.12) рассматриваем как базовую. Тогда слоевая форма есть матричнозначная форма

□ =

ю| ю2 ®3 а1ю13 а1ю2

ю2 ю2 ю2 а2ю3 а2ю2

ю3 ю2 ю3 а3ю3 а3ю2

0 0 0 -ю| -ю2

0 0 0 -ю2 -ю2

(4.15)

Предложение. Матричнозначные формы (4.12) и (4.15) определяют на нашей гиперповерхности аффинную связность.

Доказательство. Непосредственные вычисления показывают, что й0-0л^ = (0 0 0 0 0),

ёП-ПлП=

0 0 0 ( ёа1 - а ю1 - а1ю3

0 0 0 (а2 - а ю2 - а2ю:

0 0 0 (а3 - а ю3 - а3ю3

0 0 0 ю'3 л®!

0 0 0 ю2 лю3

( ёа1 (а2

- аг Ю1 - а1ю3

- аг Ю2 - а2 ®3

- аг Ю3 - а3®3

®3 л®32

3

2 ю3 лю2

лю'

(4.16)

Если форма кривизны связности (4.16) нулевая, то

йа, - а,ю/ - а,т3 = 0, 1, / = 1,2,3,

1 ] 1 1 3 и (4 17)

ю3 = ®2 = 0.

Внешнее дифференцирование этих соотношений приводит к тождествам. Матричнозначная форма (4.13) при выполнении условий (4.17) принимает вид

Ф =

ю] ю2 3 ю1 а1ю3 а1ю2 0

ю2 ю2 3 ю2 а2ю3 а2ю2 0

ю3> ю32 ю3 а3ю3 а3ю2 0

0 0 0 -ю1 -ю2 0

0 0 0 -ю2 -ю2 0

0 0 0 -ю3 -ю2 -ю

Наша гиперповерхность в этом случае есть гиперплоскость.

Определение. Связность V, определяемая формами 0 и О, называем естественной связностью.

Решим вопрос о геодезических линиях естественной связности, следуя [8]. Линия х = х(/) называется геодезической, если параллельно переносится вектор

( 01 \

, I = 1,..,5 .

dx

dt dt

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

dt

= ф—, или, иначе, Д9 = < dt

f9J ^

Условие параллельного переноса имеет вид V —

Idt J

Окончательно уравнения геодезических запишем в виде

d 9I + 9J QJ =ф91, I, J = 1,...,5, (4.18)

где ф - некоторая форма Пфаффа. Дифференцирование в (4.18) обыкновенное. Учитывая (4.12) и (4.15), приводим уравнения геодезических к виду

d ю1 + ю1 ю1 = фю1,

-d юа+ю^ю3 = -фю^с, (4.19)

i, j = 1,2,3;а = 1,2.

Для прояснения геометрического смысла полученных уравнений заметим, что

d 2 M = ( d ю1 +ю1 ю1) e,

d2e3 = (-dю3 + ю3ю-j ), (4.20)

i, j = 1,2,3.

Если выполнено (4.19), и только в этом случае, (4.20) принимает вид

d 2 M = фйЫ,

d 2e3 = ^de3 + (-d ю3 +ю3ю3 +фю3 )3, (4.21)

i = 1,2,3; а = 1,2.

Предложение 1. Линия на гиперповерхности пространства D6 является V -

геодезической тогда и только тогда, когда вдоль неё выполнены следующие условия:

1) точка М пробегает прямую;

2) вектор de3, e J сохраняет постоянное направление;

3) d < dM, de3 >= 0 (mod < dM, e3 >) .

Доказательство. Перепишем (4.21) следующим образом:

d2 M = фdM, d2 e3 = -Xde3 + Le3, (4 22)

ф = Х.

Здесь L = -dю3 + ю3юг3 +фю3.

Пункт 1) сомнений не вызывает, как и пункт 2). Для доказательства пункта 3) заметим, что согласно (4.22)

й < йМ,йе3 >— (ф-Х) < йМ,йе >+Ь < йМ, е3 > , откуда и следует справедливость утверждения.

5. Связность Леви-Чивита для гиперповерхности общего вида (а3 Ф 0) Ковариантное дифференцирование метрического тензора приводит к равенству

-^-(о? )т = 1

0 0 Да1 0 0

0 0 Да2 0 0

Да1 а Д 2Да3 -ю3 -ю

0 0 -к>3 0 0

0 0 -ю32 0 0

Обозначим О - слоевую форму, которая определит для метрического тензора g

связность Леви-Чивита. Тогда разность форм О и О , как показывает непосредственный подсчёт, есть форма аффинной деформации

В =

2а3

0 0 Да1 а1Да1 а2 Да1

0 0 Да2 а1Да2 а2 Да2

0 0 Да3 а1Да3 а2 Да3

0 0 юЦ а1ю13 а2 ю3

0 0 ю^ а1ю2 а2 ю^

Соответственно искомая слоевая форма имеет вид

а1Да1 2а3 а1Да2 2а3 а, Да3

^— ю3 юз Юз +^- аз®1 + —------------------

2а,

-ю,

ю1 ю2 3 Да, ю3 +—1 2а3 а1ю3 +

ю2 ю2 3 Да2 ю2 +—-2а3 а2ю3 +

ю3 ю2 3 Да3 ю3 +—3 2а3 а3ю3 +

0 0 ю3 2а3 а1ю3 2а3

0 0 ю32 2а3 а1ю^ 2а3

3 а2 Да,

а1Ю2 +-!---------

2а3

а ю3 , а2 Да2

а2®2 +-----------

2а3

а2 Да3

а3ю2 +

2 ^^3

2а3 а2 ю2 2а3

2а3

--ю2

(5.1)

Обозначим V - оператор ковариантного дифференцирования для связности Леви-Чивита. Тогда, используя (5.1) и (4.14) и действуя так же, как и для естественной связности, можем записать уравнение геодезических в виде

і 1 і І 1 1 і 2 і І 2 2 і 3 і І 3 3.

йю + ююі — ^ю , йю + ююі — ^ю , йю + ююг- =^ю +

її

2а3

—й+®| юа — —+

2а3

II,

7 3 а 3 3 а

- й ю2 +ю2 юа = -^ю2 +

(5.2)

2а3

/I,

^ ^и3

где д - некоторая пфаффова форма. Дифференцирование в этих формулах и всех последующих - обычное.

1

Для прояснения геометрического смысла полученных уравнений заметим, что из (4.9) следует

С2 х = С2 (м, е_3) = (С ю1 + юг ю) )(ё|, - а е3) + ( d ю2 + юг ю2 )(е2, -а2е3) +

+ (С ю3 +юг ю3 )(, -а3е3 ) + (-С ю3 + ю) ю3 )(0, е1) +

(ю2 +юг2 ю3)о, ) ) + II (о, е3).

При выполнении условий (5.2) получим соотношение

л2 л II

С х = дСх +------п .

2а3

Развернутая запись последнего соотношения

с2 (м, е3) = дС (м, е3 )+"2"~" (3, аг£г).

Покомпонентная запись последнего уравнения равносильна следующим уравнениям в пространстве А3 :

2— — II -

С М = дСМ +-------е3,

2а3

d 2 е3 = qde3 +--(flj + а2 £2 + а3 е3).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2а3 v !

Исключение пфаффовой формы q приводит к соотношениям, необходимо выполняющимся вдоль геодезических:

(dM,d£3,£)| d2M£3 I = (d2M,d£3,£3)dM,

_ _ / Л _ _ ^

(dM, d£3, е3 ))d2е£ --2—агег J = (2M, d£3, е3 )de3.

Для завершения дополнения характеристики геодезических линий отметим, что ковектор а£ есть ковекторная компонента вектора нормали n = (£3,ai£) гиперповерхности (введена в (4.8)).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970. 528 с.

2. Бухтяк М.С. Естественная связность на гиперповерхности пространства В6 // Геом. сб. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. Вып. 31. С. 51-57.

3. Бухтяк М.С. Об одном шестимерном пространстве // Геом. сб. Томск, 1982. Вып. 22. С. 51-61.

4. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 432 с.

5. Схоутен И.А, Стройк Д. Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. Т. 1. М.-Л.: ГОНТИ, 1939. 181 с.

6. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2005. 303 с.

7. Бухтяк М.С. Интерпретация нуль-пар трехмерного центроаффинного пространства // Исследования по математическому анализу и алгебре. Вып. 3. Томск: ТГУ, 2001. С. 39-45.

8. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин: Калининский гос-университет, 1977. 83 с.

Статья поступила 24.09.2012 г.

Bukhtyak M. S. ON A HYPERSURFACE IN THE SPACE OF APPLIED COVECTORS

The present paper continues a series of the author's publications devoted to immersions of various manifolds into point-vector spaces (see examples in the list of references [2,3,7]). A sixdimensional point-vector space D6 is constructed for the original three-dimensional affine space. A point of the space is an applied covector and a vector is an ordered couple composed of a vector and a covector. A hypersurface of the obtained space contains pseudo-Riemannian metrics induced by the intrinsic metrics of space D6. A connection of the hypersurface called natural has been built, as well as the Levi-Civita connection. Geodesic lines of both connections are examined (for the first one, up to the full characterization).

Keywords: covector, pseudo-Riemannian space, Levi-Civita connection, geodesic lines.

BUKHTYAK Mikhail Stepanovich (Tomsk State University)

E-mail: bukhtyakm@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.