CC BY
12
А. В. Квасников.
»
Теплообмен в политропическом процессе.
Подтропический процесс в термодинамике можно определить как процесс, одно математических выражений которого идентично с уравнением политропы,^ кривой математически строго определенной. Такое выражение есть формальный признак политропического процесса. Пользуясь характеристическим уравнением и выражением первого начала термодинамики, от уравнения политропы можно перейти к установлению закона теплообмена между рабочим телом и окружающей средой и т. о. — к установлению для процесса признаков
Последние, признаки особенно важны для по-они непосредетжете) говорят о характере обстановки взаимного превращения энергии тепловой м механической. Обратно, исходя из этих признаков, тем же Путем можно придти к связи между двумя величинами определяющими состояние тела, которое и будет выражаться уравнением политропы. Пользоваться выражением связи между давлением р и удельным объемом v представлен ^ьщне^. практические jxMHfv и* при иолитроциче-ском процессе эта связь имеется в виде PVn = const.
В цепи, связующей уравнение политропы с выражением закона теплообмена, стоят характеристическое ур-ние и 1-ое начало термодинамики, и ясно, что, если эти Промежуточные звенья изменятся, взятый предпосылкой прежний характер теплообмена даст иную связь р = f(v) и, наоборот, уравнение pvn'= const, после анализа вскроет предположение иных не прежних предпосылок. Такие изменения в выражении 1-го начала—произошли при введении зависимости теплоемкости от температуры. Процессы ранее одинаковые, характеризуемые определенны»законом теплообмена или соответствующим ему ур-нем pv|( = const., стали различны, что на первых порах внесло Путаницу. Показатель п, даваемый для предполагаемого процесса на основании опыта и предположений о направлении теплообмена, на самом деле определял теплообмен направленный прямо противоположно, ияи согласный с предположениями только в части процесса. При постоянной теплоемкости весьма легко можно было заключать о изменении характера теплообмена по изменению показателя п, делают это иногда и теперь, но результаты толкований, попрежнему, уже неверны. Каковы могут быть отклонения в толкованиях и результатах, видно из последующего.
Политропа при.Cv = const.
При постоянной теплоемкости понятие о политропическом процессе, основанное на предпосылках теплового характера, имеет вполне определённое значение. В этом случае политропическим процессом называют такое изменение состояния тела, при котором изменение температуры его Т прямо пропорционально приращению (или отнятию) тепла Q. Как условие его можно написать
■ ' (IQ — CdT, .... . . ... . . . .(1),
где постоянную величину С можно назвать «теплоемкостью» в данном процессе. МОЖно. также политропу определить как кривую характеризующую процесс, в котором Изменение работы L прямо пропорционально йЩенению тепла Q, т. е.
(1Q — a Apdv. . . .......... (2).
Это будет видно, если сог^аец^ первого начала термодинамики написать, '
* сщ^ сат = с1 ат -ь Арат, ; - *
откуда • ^ ■ ■ ■ . ■
Ар(1т = (С — Су) (!Т,
С-
Сл
Ар«|у==С(1Т=(1д.
т. о.
с,
д • *
ГЗ).
Откуда ясно, что при политропическом изменении 'отношение приращения величины внутренней энергйя* Г к приращению раб'отмгЗ§^ величина -постоянная; Введя обозначеййе С =■= ^Сг, получим: ^1
дд = рСл ат = или £(Н' = аЛ(1и
ъщт
/
но ил (3)
АЛЬ
* и«. %
* ^'' > а
■»г^им
&1
'Ч
после чего
».р.. /» | С—
р — 1, такж^-и уу
-
., • ' I
АЬ
■ 1 • ■ ^ * • »
' \ - г
1
АЮ " и« —ь\
Для получения уравнения пйли^ропы в координатах ФвеполК^^й выше написанные уравнением: г -> *д'
■ ' , Ар(!г = (С — су) ЙТ.
*Т
Подставляя вцйсто (1Т «го значение —и Дел:я части уравнений': .у
на произведение рт, получим:
. , , у рт
и отсюда / .
адо Дает
,1'Дв
(Ср — Сг X Ш V = (С — Су ) 1 п (рт) СОП*Ц . ^
рт = еопйЬ — рун........- ^ (5).
С - Ср
^ А
11
Наоборот для С подучим отсюда,
С —С?
(С),
С ~ рУ ——-, . > • • • * • (7))
Т; и—1
а связывая выражения (3) и (6) определим ц через а:
4 . < . п = я —к(а —1); .
откуда . ; 1
■ * . ■ 11 —к
(8),
■ V
' - • • . ,1—к * Пользуясь характеристическим уравнением ру = ИТ, обычно находим:
(9).
н — 1
Т1,
Ж
п —1
. . . . . (10)»
Величину работы выражаемой заштрихованной площадью (чер. 1) можно определить по уравнению (5), или после внесения выражения (7) в уравнение
Ас1Ь == (С — Су ) (1Т; •
отсюда получаем
tafi
L.=
Cv 1 — к
А п-
\
i
, 1
11—]
1
-Т,),
(Pl Vi — Р2 v-i)-
• (П>
Наиболее общиыми выражениями ДЛЯ величины работы служат:
11 — 1
.1-
а—!
Р.Лн .Pi/ •
и L
Ptji. п — 1
v.
it — 1
....(12).
; Oijn легко получаются из (11) и (10). При ' данной кривой pvn = const, необходимо кроме L найти тайЖе и Q, количество тепла, которое во время процесса получило тело извне, или отдал» его. Согласно (2)
' ■ Q = я AL.' -
уставляя 'значение я из (9),' пол^чйм:
Q-A^L
к
Для определения 'величины м<}жно восйользоваЫбя и чер. 1. По (13) заштрихованная площадь дает в некотором масштабе эту величину. Эта же площадь дает и изменение внутренней энергии, т. к. согласно (4) ,
А т
U,-U
1'2 — I- | —г- Л
п-
л (14).
1 к -f-v.; * • ■.' ■ I» . J*г ♦ •
I - К
Температуры могут быть найдены в той же Диаграмме известным графическим построением решения ур-ния pv = RT. По величине подкабательйой
■■^■¡/щвжвиа яайти показатель политропы. Таким образом все главные вопросы,
связанные с изучеадем процесса, могут быть решены графическим путем в координатах ру, Jipy ^ложных процессов, куда может входить
частью и подит^дпичеек^^е^а^а^то тейерь пользуются координатами Т S. Яри нанесенной сетке ^р^дива^/ состоящей изчи?яй р — const, и
v const, j фиксированное" йовозкение политроп^ ^акже даёт возможность решить- вопросы о изменениях р, Т, U, МШк p^fjoty L,\ количество тепла Q и показатель п. В координатах! TS политропа,—л^арифмическая кривая. Если
. с tR$c±i}^ и
то
lis
(IT
С ~ и S
С 1пТ 4- const* .
. (15).
На чер. 2 показаны все величины, которые могут быть интересны При изучении политропу в координатах ТБ1). '..Вопрос гШмфЩШ во время процесса один из Самых важны*. Как меняется характер теплообмена при -изменении показателя полйтройй п, можйо завцрчйть по выражению для С:
■ с «■/' к '
П-
отсюда
, С п—С — Cv 11 -f' Су к ^ 0. :
4 См. подробнее Ostcrtag «Die EMfopietafel /fill-
Это будет уравнение гиперболы- в координатах Сп; центр ее находится в пересечении Лпрямых
^ , 11 = 1 и С — Сг. • • Для воздуха (к = 1,4;Су = 0,175.) гипербола изображена на чер. 3.
ЛО
Верхняя ветвь ее годна для п > 1. Для 1 < п < к -—^„отрицательно, т. е. при сообщении тепла температура падает и обратно, при чем незначитель-
а д
ные изменения величины п сщьно влияют на величину . При п>к
(1 д . , ' .. ■ • ■ .
изменения значительно меньше и при п > 5 практически мало заметны. В этих пределах, при п > к и до безконечности, знаки <1 У й (1Т одинаковы. Вторая, нижняя, нетвь гиперболы указывает, что при п < 1 всегда по-
ложительно, т. е. сообщение. дещ^рмв^^^^ й—на-
оборот.-Раабодее резко в количественном отношении теплообмен меняется при изменении п в пределах О — 1. Но изменению показателя п нередко судят о переменах характера теплообмена, но суждение это чисто качественного характера,1) далеко неполное для представления о теплообмене. Это ясно и
<1 с •
из чер. 3 и непосредственно видно по величине —^ —. Из уравнения . (16)
(1 С Су — С ' л „ п —к , но С = Су
.'■ ■ (1 П ; и —1 . ' 11—1' - д,,...-...:
таким образом "
d С „ к -г 1 d С const. ,, „.
—Г— =Cv 7--rri , или - .--т = , • • -(17)
dn (п —1>2 d п (п — l)2 4 '
Отсюда ясно, что,изменение аа одну и,туже величину показателя п при
большом абсолютном значении его даст шзначительные изменения величины
Q и при малом—большие;—-наиболее значительные колебания величины С"
получаются при значении а. около единицы.
Политропа при Cv-j=Const. Оставляя первое определение политропы, имеем: v
; ;; dQ = c<i т.
при Сг = а? -j-ЪТ выражение первого начала поручим в виде:
cdt = avdTH~bT4iTH- &pdv. Делим обе части ур-ия на р v, ила RT, уйрощан получим.*;^
(ay —AR ~ =0, ;
и после интегрирования —
(ay —c)lnT-fbT4-ARlnv = const... .... .(18)
Полагая
av — с
вместо (18) будем иметь:
Ь ''' Ay
T = 1iiG, t. е. G=,e
и отсюда
A E
J npy-j- ——— 1 n V -! -1 11 G = const. 1 ay—с '
с —ap Ь pv
4 с —*av av — с R р у * е = const».
!) Напр. Б. Leimvclicr dMagramia-CharakteristikeE» Z. d. V. d. I. 1913. S. 534, 1988.
Если аналогично равенству (6) обозначим
'"' . О — ар
и i с —av
то уравнением долитроцы получим
У
n av — О •(;-...■,,' ■ ' ' рте == const. . ... . . . . (19) 1
В отличие от уравнения (5) здесь в переменной части находится пере-
av -Т с , Л.
менный множитель е . , который,кав увидйм далее, при высоких температурах вносит значительные изменения в течение криков. Сравним при одинаковых начальном 1 состоянии, п л конечной температуре величины L, Л U и Q в процессах (5) и (19). В обоих случаях:
; : : 1 Q с(Т, ~Т,) (Т^Tt), . . V . . (20)
считая, что cv— ат. Сравнивая Л U, получим:
Л U, = av (Т2 — Т4) и Д Uit==,av (Т2 — Т,) + i (Т2а — Т8,). -,
^изменение абсолюгаой^'^лйтайы^з^утреийей энергий во втором: случае £удет больше, и соответственно работа при данной разности температур на ту-же величину—меньше. На чер. 4 дано примерное относительное расположение йзохор в координатах TS для обоих случаев. Заштрихованная пло-^ щадь дает разность д Un — Л Ci ~ A Li — A Lu . Величина работы A L« определяется разностью Q—Д Un.
; A Lu ~ ay ^ (Т2 -Tj- ay (Та - Тг) - }(Т*2 - Т«,) .
' ' , A Ln - (Т2 - Tj) - -Т2,). . .. .. . (21)
Отношение же между AL и Q будем иметь в виде:
•..,.>■. A Ln _ 1 — к Ъ п-г 1 % -{- Ti 9 ^ п —к av 11 — 1 2: ' ,
" ALn = (j-f STm)Q,........... (22)
.'Ml ВДДОрфХ температура за процесс. - .-з^ЙЭЙ =z.f (у) для процесса,' в котором выполнено
It'. условие тъЦ'ыр.
** * » >| . »» ,, = a Apdv. • ,
- < По 1-му началу щ N ,
, ' ' sApdv^aydT-^ydT.-fApdv; '"
, разделив на pv, или BT^Bwjg^ , Jt:, *
'V-Ч " a* iJ + Ъ 4 Т4--Д uil,'. v
, >- >' 1 ^ I , % - _ i -
а^после интегрирования: ^ : ' ; ; после исключения из ур-ия (23) Т окончательно получим, '
\lt.~ I ■ а— К (я — 1) --к-рУ
' ' д pv 4 eavE =con«t. .(24) '
Щ: обозначение аналогичное (8), *)ожея написать:
ЯК^ ,% 1 I , 4 : ' . Jj ■ • V «л*. • ! • ' ■ ,1 .
< 1 ^ pv е8" = const. . .. :......'.(25)
Уравнения (19) и (25) разданы. Предпосылки, которые лежат в основе их вывода не тождественны, как это было при постоянной теплоемкости. В последнем случае (25), также как и при постоянной теплоемкости, между величинами Д и, Д Ь и Ц существуют простые отношения. Так
Из — получим
Также
и т. о.
ад
. т п — к т а А Ь = --т- А Ь
(IГ А (ос
1—к а Арйу = (1 и Арйт
1
(26)
1)йЬ и т. о. (IV
.ад
п
АйЬ.
т. е..(111==
"-'и.;.
п — к
¿д..
(28)
Величины д и АЬ легко вычисляются при известной разности температур, именно
и
д-
•АЬ!
; 11 - к
"'н — 1
1—к п —1
аУ (Тг — Т,)-|- - (Т\-Т\)
. (29)
. (30)
При имеющейся кривой работу можно вычислить по выражению, которое
ру
легко получается из (30) после замены Т его значением
11 — 1
2 ау
(Р1 Н-Рг V
.(31)
Из сравнения 3-х разобранных случаев ясно, что уравнения (5) и (25) характеризуют сходные по своему внутреннему содержанию процессы. Именно, они являются выражениями таких процессов, в которых изменение количества теща д всегда делится в одном и том же постоянном отношении между изменениями количеств внутренней энергии. II и рабрты АЬ.
Рассмотрим теперь втносительное положение разобранных кривых в координатах ТБ. Для случаев (5) и (19) будем иметь: > \ . . Я = сIиТ-¡-сош1.
Для последнего случая (25) согласно равенства (28): . '
(К^1!^ иг п~к
11 ■
п
отсюда
и т. о.
п
п-
п-
(
* (ах -¡-1» Т) (11'; )
сГГ
ау ~ 1н1Т
Л
(а\ 1 п Т -¡- Ъ Т) -со1Ы".
(32)
\ • ; ■ 11—1
При переменной теплоемкости" координаты 8 Т, как видно, дают более простые уравнения нежели координаты р у. Поэтому дри совместном пользовании диаграммами Т8 и р у лучш^ строить кривую Т8 и затем переносить ее в —ру. Самый перенос можно осуществить, как это сделано на чер. 5. Оси координат расположены таким образом, что оси 8 и у находятся на од-
ной прямой, а оси р и Т совпадают. В координатах TS кроме политропы имеем какую нибудь кривую у = const. (на чертеже проходящую через точку А). По оси V откладываем Л Уа, а, также R, после це^о известным построением указанным на чертеже находим ра й т. о. точку А. Принимая va за единицу, строим вспомогательную кривую A R ín у по оси у. „При переносе точки С замечаем, что
DC = Se •—Sd = A R1 ri — == A R1 и тс т. к. yd — уа = 1.
"... Vd .
Переносим отрезок DC ка кривую ARlnv и находим соответствующее у, а, зная Ус, Тд и R, графически нах.одим рс также как и для точки А. На чер. 6 кривые (5), (19) и (25) построены в координатах TS и указанным способом ' перенесены в координаты pv. Начальное состояние предположено одинаковое. Для постоянной теплоемкости имеем кривые I и у г. Для случая <1д)' кривые И и Уш, и, наконец, последний случай дается кривыми III и Viii. Пример данный на чертеже приведен для воздуха причем принято: в=г-1,6, кя= cv = 0,102 -[-0,0000300 Т, ра= 40 at"m.,Ta = 2100°abs. • Сра?йв»аУ[ случаи 1-ый*и 3-ий находим, что при одинаковой конечной температуре,^зед&зм. '.случае тепла Потеряно больше, и полученная работа
ваЙот^^едставится как
i , ■■ I -f- -— =: 1 -i--i III ,
'. Li: , 1 av j, % ■ 1 av . где -Tjb средня> хевдература за процесj (В данном примере Lm = l,35 Li ) отношение это не зависит от показателя ir. Такая зависимость имеет для отношения ' 1 ' '' - / - -
' , Ьи , b - п — 1 ' . . '
, . .... — 1 — ,— . —-—. lni • ' . ;
. . Li' av 1 — k
'При n> 1, La > Li и наоборот (В примере Ln = l,53 Li ).
Разница в вёль'^ине р&боты значительна также и для одинакового конечною объема. В данном прийёре bu: Ьш :1д =i ll6 :109:100.
Из vp-ий (19) и (25), " > ; • -
I b 11 — 1 • ' • - ь
•¿4Ц г • , av k — 1 Т - \ av Т - ' ■ - .
.¡•г"в ' v г- const, и pvne = const, нетрудно получить ур-ия для основных простейших процессов.
Для > li-goxopii имеем у^const.' и, т. о, .'п. = -±:<х>. дам случая по ур-ию i2&). Это условие дает: •
':/ ; 'ОЕ - к "(®. —'1). ' => Г+Г.ОО ■ Т. в. 1 Л = -±~СЮ .- : ' ' ' С
Для тоге,' Чтобы ур-ие (19) дайю у = const. йеобходимО'уже выполнить два условия: • >
'' ' и — :со , и ь--0. ,
При 11 = zt со' имеем ,
•' ''" 'at -^с " ' ч'-'" " ' ■ ■■■■' ■ =0, откуда с = аг. - •
, /, ■ ар—• с - , -
Т. о. условия el Q — ed Т и данная, зависимость теплоемкости от температуры (Ь —|— О) не могут дать процесс при постоянном объеме. . Для ~ изобары р = const, и й случае (19) имёем ; %и ' ■ ' '' . ' с--==ар, Ь==0,
' $ случае (25) —
к
- « — к (а — 1) = о, т. е. а г-—и добавочное условие b — 0,
- -к.-— 1
Jfc4 <Wijhi переменной тенлоемкостй нельзя получить процесса при постоянном Ь, давление при условиях - -
t 7« ' d Q = с (I Т, или á if = a Apdv. . /
Имея процесс, р = const, и переменную теплоемкость, имеем между Q и L уже не линейную зависимость, что дегво видно, если, условия р = const, и cr = ау - j- Ь Т внести в ур- не
* (1Q = av dT [ ЪТ dT-f Ар,dr.' *
Пользуясь характеристическим ур-ием. исключаем сначала Т:
d Q ^ pdv+ — pypdv-f Apdvr=^- dbif-A'pvdL, .
HO • ' i , \ ■
L = p (v— уж т. o* pv = L-b-PYe- -Поставим это значение pv в. выражение для dQ:
d Q = (I L -f ¿LdL-f-;3| p% d apR + bpV» d L+'^LdL,
и отсюда ' ' я , 1iT Ti
о— ар + Мо , i Ь : ... /о.о\
Ч~ ' '" ' * ' ' ' " * ' "л66*
Постоянная равна нулю, т. к. Q,считаем только за время процесса, т. е.. Q = 0 при L==0. На. чер.. 7, нанесена часть параболы Q = f (L) (33), прячем L считается по горизонтальной оси.
" Переходя к условию Т== const, находим из d Q =.cd Т, с-= :- -со и из равенства (27), n—1 и я = 1, что дает для случаев (19) и (25) уравнение Изотермы ' ;
ру= const:"
Для адиабаты основное условие: 0Г*. о. для случаев; (19) и 25)
последовательно будет; ,'г
. с = 0 и я=? О, '
после чего получаем уравнение адиабаты при переменной теплоемкости:,
' v- т
руке Siv — const. . . . , { ... . . :. . . , (34) : При больших температурах кривая (34) значительно отличается рт кривой рук —const. Это имеет -большое-. .-здэданце
для двигателей внутреннего сгорания. Применение ур-ия (34) вместо обычного-ур-ия адиабаты вносит весьма существенные поправки, как в толкование йиний теоретической диаграммы, так и в величину термического коэффициента полезного действия1). На чер. 8, как пример, даны кривые pvK — const.
— т • -
и рук е av = const, (воздух, ра — 40 аЪш„ Та 2100° / abs.). При расширении до одинакового объема vb, пОлучаем, что во втором случае имеется избыток площади приблизительно в 12®/0. Температура в конце .расширения получена при Cr — const. 980° abs. и при непостоянной теплоемкости 1200° abs. Различия достаточно значительны.
, f pyn —const, при Cv-™ - const.
Для этого случая справедливы следующие уравнения:
d Q == Cv d Т -f- Apdv, p?n — const., pv = R T. -Дифференцируя последние два, исключаем из них vdp и, определив pdv, подставляем значение его в первое—: -
vdp - npdv 0. pdv -J- vdp -- R d T,
pdvr= - R, dT; ■■ 1 —n .
AR _
d T —, cd Г. . •, . • • • • • . v 35)
dQ
Cv -j — 1 1—n
!) S. Lees «The Effect of Variation of s^cific Heat- With tomperaibre on theoretical Efficiency of the Diesel Engine». Engineering. 1915 r. ^ n ♦"• > Wimperis «The internal Combustion Engine».
Величина С переменна, именно:
с = av 4- -f i>T —g+ът,.. .. .. . •. : . . . . . (36)
' „ _ ft п —к _ ,
£ — ay -— , . ... » • ... . . . . . . . . . (оIj
о.. п — 1 - .
л — ' ' ^ /".¡а \
11 -—- .----: , . .. . . . . . . . - , . ' . • j . . • . • • . VMP/
агде
отсюда
,g — av
и т. о. уравнение политропы будет:. v
g —аР /
:'f g — âv
pv =_= const. . ... . ... . . . ." . (39)
, Выражения.(П7), (38) и (39), как видно, вполне совпадают с соответствую-^ тдим'и им при постоянной теплоемкости, если положить, как ¡это делалось раньше, av = cy (cv = const.). Здесь также как и для cv = const, легко получаем простейшие частные случаи. Так при g — а р получаем изобару, при \ ^ \g = a\—изохору, при g = со изотерму. При g = о получаем кривую рук = ^const., но '^со ^ш 'кё будет адиаоата, как это должно быть при постоянной ,*тад&1йи)сти; ТакШк Ъ* Обйчйо »елйчина пЬяожительная, то этй кривая для « расширения указывает, ; что тело теряет некоторое количество тепла, кото-. ^ ' jpoe согласно выражения (35). '
"" il —к av —4- ь
П — 1 1
dQ =
m нашем случае дает:
dï . . ... ... . . . .(35-а)
Легко видеть, что
Q = у (Т,2 -^2). ,l Q = dS = lt d T .
T
и
' - S = b Т j-const,
т. е. в координатах TS кривая pv« —const. будет наклонной прямой, (см. чер., 14 и 15).' ОтНошенйе Количества тепла в этом процессе к произведенной работе довольно ведши* < •
AL (Т> - Т,2) - avE-Ti)-- -^(Т22 -Tt2) ==
' — — av (Ts — Т,); ■
Т. 0 . .'.■■_■■'-'■■■: • ' '
•где Тш средняя из кргфнюс :а^дй6тйал температура.Ймея, напр., расширяю-ациеся продукты сгорания с 'Tt —'2200* и Т8 = 800°, получим
. - ." Л L 0,162 -
В общем случае тепло, которым- обмёнйвае^ся/тело при процессе,, будет
Q=-g (Тя —^ (T?2 — Tj2).' . ..' . . . . . . . .(40)
По этому выражению видно, что тепло в этом процессе при одном и том-же локаза-теле п может сообщаться телу и отниматься от него. На чер.'9,
для нахождения Q имеются две кривы* gT и -~Т2. Прямые gT цри поло-
жительных g проходят в левом квадранте и при отрицательных — в правом.
; ' ■ ю
Это дает возможность автоматически выполниться алгебраическому с.1рженйв>
Ъ 1 . '
величин цТ и - • Т2. Назовем. ■; , .
о
, . - ,--■/. - . ■ Г ' ± Т2, ;..;;. . . . .. . (41)' .
тогда,, при положительном При. у£еличввйи. тейце^^ря всегда увеличивается, "Т. е. тепло в воображаемом политропическом процессе от абсолютного нуля все время получается телом. ; ,
Отрицательное дает ВЕГачале при увеличении температуры отрицательное \У и далее йвлозйительное.—Пересечение линий £ Т и Определяет
температуру Те'. которая получается как конечная в процессе с \У=0. Величину ее находим' из условия
. 4- ~9 Те = 0. откуда Тг==--3
для нахождений величины будем иметь: - ; <•- •')
» На
чер. ,
та,ким образом' найдено для частного случая () (продукты сгорания, Су = 0,н;2-;-0,(Ю00оЗЗ.Т, 11 = 1,35). Коли■за время процесса (} будет равно дулю, то
■ . ' (Т,> — Т,) - Г — Т, 2) :. » 'О,
, V " . : ' Ф 1 ■ Ф ' ,г ■ ' ' ¿г' •; - '' ' ': -
•откуда. , -'-р^-Тт::,- Ц , . . . . . , . . . . . (43.
т. е. (} может быть равно нулю, в таком политропической процессе, когда
средняя, из крайних температура'равна—-"-(в, два раза менее Тг), или так-
же когда она равна температуре соответствующей нулевой теплоемкости (кажущейся). В самом деле* если С^ О, то * .. •;
' ; • й' -4— 1» Т г: - о и Т: -.: — ^ 'Гш . .
Точка лежащая на политропе соответствующая этой температуре делит
кривую на ,участки с отнятием й сообщением тепла. Для каждого показателя
п температура Тт будет своя, тарсе как и'для каждого соедщ^ гдза. Связь
между Тт и и найдем, подставив вместо $ в выражении (43) его значение
из (37). Тогда '. V Уд '
ау; к—в , , / \ ч' ■ х л
Тт....... . . . . .-. . . (44)
'"■-."•■. Ь п—1 . / , ...
На чер. 10 для частного случая (продукты сгорания) даны кривые уп, а также и п Тщ. Из него видно, чго практически температура .Тт может наблюдаться, при политропах .с иоьазащями »еныиими ,;1с и далеко от него не отходящими. В приведенном примере видно, что при 1Д5, Тт получает уже значение. 1825° аЪ&. При п=1,35 ио.чер. 9 для тех же продуктов сгорания имеем Тт =550°!аЙз. м . . • ' \ ; ,
Сравнивая количества тепла .вычисляемыедля процессов по —сошЬ при 'постоянной й переменной теплбёмкостях/видим, что игнорирование зависимости теплоемкости от температур есть игнорирование величины — Тг
калорий. Отношение этой вёличйяы к обычновычисляемой при .Ст'=соп&г. будет (простоты ради ведей^ воображаемый процесс от Т==;0):
~ • 'п:Ут т-"..........
,2 , ■ 2 а,у.. п—к .....
Г ^ '
На чер. 10 пунктиром нанесены у для Т== 2000° аЬк. Единица, которой измеряется у на чертеже, отмечена пунктирной вертикалью. Признавая, что
при величине поправочного слагаемого ]Г2 в 6°/0 и более уже нельзя пре-
иебрегать им, получим для предельных величин
; . ьт2 ' " ; ЬТ " ' •
- - 0,00кт,.к
. - 2 ^ , 2.0,06 , ; и для нашего'примера g = 0,888.. Определяя п получим: nt—о,91 и п2—1,06. т. о. при Т тах=2000о в политропических процессах с продуктами ггорания взятого состава пользоваться уравнением pva = const, с рассуждениями, имеющими в основе Cv--const., можно только для пределов п= 0,91—1,06. Пределы эти ограничены на чертеже двумя линиями (пунктир с точкой). Они весьма невелики и практически почти не имеют значения, так как те средние*- значения п, которыми ймёет смысл пользоваться в проектируемых предполагаемых циклах, обычно в этих пределах не находятся.
На чер. 11 при кривой 4! Т2 показано положение прямых g T для раз-
-i
личных показателей п, а также выделены некоторые величины W с. их знаками. В диаграмме Тф Для кривой руд— const, величины Q и AL легко находятся в виде отрезков прямых. Для случаев при п ^ к и и < к это сделано на чер. 12'и 13., При повышении температуры с Т, до Т., внутренняя энергия возрастает на величину выражаемую ,отрезком ас (также a^Cj при п значительно меньшем к. Чер. 13). Тепло участвовавшее в обмене находится как й ранее .в виде отрезка ad (а^ отрицательно, т. е. тепло теряется). Разность Q —дГ:: AL , : . . У<
^ ad — ac==cd , (также Cjdj) - .
выражается отрезком, который в некотором масштабе дает необходимую ра- • чботу сжатия.' . • .
'Отношение между Q и производимой работой можно найти так:
AdL = dQ — dU = (g—aW) dT = av Д^1 dT , . . . .. . (45)
и
й-
dQ == ay ^|-dT4-I)TdT;
отсюда ; :
dg ' n—k 1»(n — l) , Ъ(n — i)
T . . , . (46)
АЛЬ-- 1—к > ау(1—к) 1 аг(1^—к)
Зависимость <^ = С(Ъ) получается уже сложной. Так как из (45), считая начальнуй температуру То, .
п— 1 АЬ
Т - Т0
то
/
1—k av 5
А (п — 1)
<1Q = А — dL r А Ъ(П ^ Т0 d L
1— к . 1 av (1 — к) ' .
_ i\v (1 — к)
2 • LdL,
■'II .. '...-■■■-. ^ '.'; .. '.-'
. .с;..-. .Q = DX-f-EL2, . .... . . . . , .• » . (47) что дает параболу в координатах QL. . у ■
Аналогично можно найти отношение мёжду Ь и ди, а также и между ди и Qj причем последвее-Болучается еще сложнее.
Перейдем теперь к рассмотрению процесса в координатах TS. По уравнению (35а)/ясно, что '
• . ; S = gin Т -f- ЬТ -]-const. . ..........(47)
Это уравнение, дает логарифмические кривые, которые протекают довольно различно в зависимости от знака величины g. Прл g .< О эти кривые ка-
саются оси абсцисс при S,= co , и при со . оци касаются прямых ЬТ-f--f-const. Ряд . политроп с показателе^ п ^ 1,32 (воздух) дан на чер., 14.
|Г
Согласно уже сказанному, при Тш ~ получаем точку, разделяющую
кривую на части с получением и отнятием Tenia. Касательная в этой точке перпендикулярна к оси g, В приведенном на чертеже примере воздух при расширении до Тт 1107е теряет тепло, при ' дальней!нем расширении тепло ему сообщается. Каков,о было бы расположение относительно осей Т и S политропы с тем же показателем, но при Сv —const:, показывает пунктирная кривая. Процессы аналогичные E D, когда . Тщах .-- Тш = —Tm —Tmin , дают Как это было указано выше Q==;0, т. о. площадки за-штрихованнце у крайних, правой и девой, кривых равновелики между собою. При Су = const, процесс при той же разности температур представлялся б!ы кривой Е, D,. Площадка под кривой без дальнейших объяснений показывает насколько при подсчете теща непозволительно пользоваться постоянной теплоемкостью. При g > 0, т. е. при n>k тецлообмен получается одного направления, как это видно из уравнения {47), а также и из чер. 15, где дан ряд политроп с 11=1,5 (воздух). ^ ПодводЯ итог'рассмотрению политропы pv» — const, при переменной теплоемкости. можно заключить, что процесс этот только для очень узких пределов может толковаться также просто как и при Cv —const. Вообще же такое толкование приводит к определению неверных значений для величин определяющих конечное состояние тела, и осо(Цнй0 для' в$лйчййм которым: тело обменивается за процесс с окружающей средой. Даже о направлении теплообмена заключать по величине показателя п невозможно, нуйно знать пределы температур, между которыми процесс совершается. Сравнение отдельных процессов только на основании величины п также Невозможно без знания предельных температур, поэтому определенное изменение показателя и (если кривую изменения можно рассматривать как политропу с переменным показателем) может означать и увеличение теплообмена, и уменьшение его, и перемену направления, в зависимости от того, при каких температурах ато , изменение совершается. Помимо того, также как и для Cv — const, даже при одинаковой температуре равномерному изменению п отвечает неравномерное изменение величины С, ближе всего характеризующей теплообмен, [(см. (17)].
Об оценке изменения показателя п
В отдельных исследованиях индикаторных диаграмм двигателей внутреннего сгорания нередко линии сжатия и расширения характеризуются как политропы с переменными показателями. Рассмотрим один изчпримеров. Довольно много места уделил напр. им в одной из своих работ F. Mtijizinger 1). Принимая во внимание зависимость теплоемкости от температуры, он оперирует однако с показателем п, при качественной оценку явлений, почти также, как это было бы нужно np^i Cv = const. Он считает, указывая на это. что разность между п и к1 (к1 вычислено для Cv =|= const) дает возможность оценить степень влияния охлаждения,* догорания и пр. Показатели линий сжатия и расширения сведены в диаграммы, две из которых входят в чер. 16 и 17. Имея вес заряда и диаграмму pv, можйо было из характеристического уравнения найти температуры, которые для некоторых'точек отмечены на диаграммах. Температуру необходимо знать для определения показателя адиа-' баты к,' соответствующего исследуемому моменту. Величина его 'определяется из выражения: ' '
к": ; .
I mCV ' •
>) Mimziuger «Untersuchungen an einem 15-pferdi'gen MAN-Diesclmotor». Z.d.Y..d. 1.1914.
где ш молекулярный вес смеси и Су мгновенная теплоемкость. Так как в статае не , указан состав газа, но имеютад нескешю ведиадн для к при раз» личных температурах, пользуемся этими данными для «тыскания величин А и В в выражении: Г
к1
А4-ВТ ' >;
Для случая изображенного на = ает.), .на*
ходим их средние значения, что дает выразить Ширину теплоемкости:
Ш Су = 4,70 -{-0,000852 Т, тСр--(> 74.»0,000852Т, ' ' ' / ' ' Отсюда для выражения (37) и других-- ; ' ,
(48)
к
а\:
1,417
Принимая, что отдельные моменты расширения ложно рассматривать как мгновенные политропические процессы с постоянным показателем и, при исследовании характера теплообмена прежде всего нужно найти величину С в 'выражении: > ;
Эт^ вел^чцвд,, которую» можно назвать кажущейся мшовенной теплоемко-стьщ, будет давать понятие- о интенсивности теплообмена (без отношения к времени). Величина ^ определяется из сражения ,(37), где к имеет значение . 1,417, ау = 4,76 и п берется из таблицы I (ио кривой). Найденные аначени,. С приведены в ыо1 I и нанесены по ходу рорпшя на чер. 16, также каг
'л и к1. Из чертежа ясно, что да лее
Таблица Т.
- ■ V п • Г? ЪТ к .• : 8 + ЪТ п-^к
2б0 ' 1.182 0,642 0,403 . 1.045 0,095
300 1,477 0,598 0.488 1.086 0,096.
. 400. ,'1,476 ,, ,0,590. 0.573 1.163 0 0Ь75 У
500 1,432 0.165 I-.' ' ' 0,659 0.824 0,0675
600 1,395 -0,265« 0,745 - 0 ¡ш 0,0875
700 1.Й53 -0.831 0,829 —0,002 0 •
800 1,3 —1,856 0,923 —0.933 -0.05 ,-1
приблизительно судить по разности п—к о переменах в /теплообмене трудно, а в данном' примере и невозможно. На первой половин*1 хода порщня. действительно увеличение разности л- -к совпадает с увеличением потерь тепла нарушу, но далее медленное увеличение разности п—к сопровождается уменьшением тепловых потерь, но не увеличением, как это было справедлива при тех же внешних обстоятельствах для первой половины хода. 1Ь черт. 16 дана индикаторная диаграмма того же двигатедяг.прк среднем индикаторной давлении
Рш ==• 5;*75 а!т. -Здесь разность п—к медленно растет с угёеляйением хода поршня,'Аналогичный предыдущему подсчет дает:. * : -
,тсг'=4,10б4-0,001888Т.г_1 тер = 6,001 0,001888.Т, * —
Оценка» нагрубо по показателю п, или разности к,' дала бы неверные результаты. По табД1 И и по' кривой С-на чвр. 16 видно, -что показатель к и разность п—к-увёличивйшея к концу расширения, потери тепла наружу^ уменьшаются весьма значительно. Но^приведенным "2*м примерам ясно насколько можно следовать советам по разности п—к следить- за теплообменом. Таше неправильно будет заключение: по даннымм примерам, что увеличение п*-.к к; шонцу расширения есть следствий влияния увеличивающейся поверхности охлаждения, так как дТо ^заключение подразумевает увеличение потерь, чего на самом деле нет. Далее уже сравнение отдельных диаграмм, отдельных точек э них, по разности ж—к/затруднено не только тем, что сравниваются
моменты при различных температурах, но тавже> потому, что отдельные диаграммы, снятые при различных нагрузках^ получены для различных смесей? Таблица II. поэтому одинаковые разности и—к при одинаковых/темпе-] ратурах не дают одинаковые С1). - , :
| О шибки такой оценки увеличиваются еще более, когда I при вычислении к теплоемкость принимается постоянной. Еще более затейндася дело* когда, щждчщу, п заменяют величиной yivraнаклона .одцой прохо-
дящих мед^^щфло координат, необходимых йри построении / Брауера. На этом (основана «хара^еристика диаграммы» Leinwe^r'a2). .Сшшс^ ее можно видеть по чёр. 18. Кривая изменения ABC..? дается в координатах рт. Через начало координат проводим прямую наклонную к оси абсцисс под углом ср. Вертикалью черезточкт Л пресекаем эту наклонную и через точку пересечения проводим наклонную к оси v иод 45° прямую до встречи с этой-' осью (ка^'й п^й построении по Bpáyepy); Вертикаль через точку встречи пересекает кривую изменения в точке В. Далее, указанным на чертеже построением, Находим 1 точку 1), которая вместе с началом координат
t 11 g-fbi;
600 1,433 1,157
700 1.121 1.217
800 1,410 1,275
i j 000 1,3W 1,316
! 1000 Í 1,380 1,270
1100 1,370 1,817
1200 1,301 1,16'
1300 1,356 1,481
, определяет положение прямой ваклонной под углом ^ к оси ординат. Это и будет вторая прямая необходимая при построении политропы, угол <ъ для которой находят из выражения: ■ - '
; ;l-|-tg ?)П . . .■.....
В нашем же случае иреотщ ^ и f, и т. о. из этого выражения можно найти. 'пок^атед^ ji,v ;itoTQpli«' средним для участка АВ. Повторяя подобные построения далеё, получим ряд точек Ъ, с, Д.-.., определяющих подо-, лсшение характеристики. Если нанести также прямые соответствующие показателям Ц —1 jh' п fc, ;т^;.т.вчёние '.характеристики, хеасду. цщмш буд^г давать возможность оценить направление, изменения п.
Пересечение характеристики с прямой п — к будет точно определять участок содержаний точку, разделяющую кривую на части с отнятием и получением тецла. Недостаток характеристики' (помимо чертежных) заключаются в том, что связь между n и ^ (49) не.настолько проста, чтобы по изменению по характерйсуи.ке, 'можщр было заключить как быстро меняется п, затем построение ее и толкование просты только при Cv = const.-, • допущение чего может дать наибольшие ощибки. Чтобы ввести переменное к, нужно путем вычислений найти его ,<йо (49) щ нанести вместо прямой п == к кривую. Это лишает метод простоты и вместе с этим все. ..«е.-да^.-средатва-длв-толкований ■о теплообмене менее совершённые нежели в выше разобранных случаях (чер, 10 и 17), вследствие включения в рассмотрение лишнего звена не--посредственная связь которого с величинами С, или Q, слишком сложна., .
О значении уравнения рта == сon^t,
Техническая термодинамика, дав&я общие законы ш общие правила для исследования,тецловых процессов, дает и уже готовые результаты исследований над некоторыми частными случаями, ч Из беаковечно-большого количества процессов они наиболее просты, но они имеют большое значение при изучении настоящих, реальных, процессов, позволяя сравнить последние с идеальными, т. е, с.теми предельными, к которым желательно приблизить реальные, на течение которых отчасти влиять мы можем. К таким простым (основным)
Приникая это во внимание, можно получить несколько иные результату йз Abb. 24 у Miinzhitior'a. ^ - -- ' ■ г
2) Lpinweber «Diagramm-Charaliteristikenv. Z. 'd. V.- d. I. 1913.
процессам относятся процессы р = const.. v = eOinst., Т=== const,, н d.Q —0-. Формальное изучение их показывает, что тп являются частными случаями общего процесса, закон течения которого при постоянной теплоемкости может быть представлен как ру» comst.
В реальной обстановке основному по идее процессу неизменно сопутствует ряд побочных необратимых процессов, почему взятый в целом процесс есть также необратимый. — Для б^зконечно малого изменения в газовой "среде это В18фаз$Ггся так:
' ' (IQ'^nV-f-dl'-fApdS,
где (AY будет представлять дифференциал энергии перешедший и тепло трения, или по геенной вследствие лучеиспускания, теплопроводности, перешедшей в энергию, вихрей и т. д. Фактически-в н^ших приборах часто бывает нужно полу y^p/такие процессы,,в коюрых работа не производится и все сообщае-s^e./тепло переходит в тепловую энергию .рабочего тела. В таком случае мы поручаем процесс ^ — сшЫ., для которого, •
ч ag^dw-j-dt". , ' . - _
Отличи^ от идеального только в jo,m, что он необратим. Но формально он будет схож с идеальным если написать,'
ii рассматривать его только в однбм направлении. Теже отношения между -идеальным и реальным будут в случае р = const.,' когда
где I есть символ так называемого те илоеодерй&йй-я рабочего тела. Ойысл. изучения идеальных процессов р = const., -и у = const-, ясен: реальные—цме-ют ту-же форму изучения. "
Иг громадного количества случаев распределения сообщаемого тепла во врбмя процесса несомненно интересен случай, когда все тепло превращается в работу, т. е. когда ( газы) * l,v ••• s ::;
... (I Q. ~Apd у, что дает. Т== const.,, , <<■, и-;олуч^.^огда-работа* совершается телом без сообщения ему тетыа извне, т. е^мцщй'иЩ == (ЫШп гфодеаегг, .во-первых дают возможность получить наиболее ооверйени|йЛ/^,^1ьгш% экономии тепла идеальный цикл и, во-вторых, имеют весьма важное значение, как лучшие, желательные образцы для отдельных частей реальных циклов. Ка$ распределяется тепло в реальном процессе на самом деле вопрос и трудный и нерешенный для наших тепловых машин. Можно представить, что изучение, дре&иацежоятельств работы тела может дать точную картину-распределения Q межд'у IГ, AL и W для каждого, момента в процессе. Выяснение такой картины дало бы возможносткустановить предельный, для отдельного данного случая наилучший, процесс, который с обычным: в термодинамике идеальным может и Не сходиться, так как в нем учтено к и влияние условий реальной обстановки. Законы распределения Q однако настолько сложны и постольку еще неизвестны, что пользоваться ими невозможно. Выход из положения дают упрощенные предположения. Так предположение, что тепло в каждый момент в оущой определенно постоянно^ части переходит в работу, дает при Ст = const: простой закон течения Процесса рун = const.T предположение это если его отнести к процессу в машине, настолько Не выдерживает критики, что широкое пользование ур-нем руй — const,, и старанйя истинную кривую заменить'приблизительной по такомуу^ню, нужйо оче-. видно объяейить иначе. Прежде всего, как уже было упомянуто, это уравнение является рШциЙ пЬ форй<? Vyp-нямидля ЯрОсТейшиХ оенрвйых йроцее-сов, ^paiw действительно при г небольших изменениях температур кривые иетийнЫх процессов часто можно заменить е большим5^ приближением кривым к
pyi1i-zc const, Ур-ие pvn = const, сравнительно просто и вследствие этого при расчетах удобно для пользования. Наконец по показателю п при Су = const.' можно делать некоторые заключения о теплообмене, о быстроте падения давления. По всему этому получило распространение стремление характеризовать .¡дельные линии реального процесса в машине нолитройой с некоторым средним, для каждого типа, или комплекса уелови|,>значением для показателя ее. Если такое значение п более или менее достщерцо уставовл^цо, то это дает возможность приблизительно при предварительных подсчетах изобразить процесс и для проектируемой машины, р этом и состоит почти все практическое значение политропы. Того значения, что имеют теоретические процессы р = const., у == const., Т = cbnst. *и tKJ^b у нее нет. Кривая эта4й&ойнецно полезна пока изучаются процессы,, в которых примёнение ее вносит упропЬ-вия за хчёт небольших неточностей Хнапр. в воздуходувках, компрессорах), но конечно если не д<ШзайЬ, что! тепловые процессы происходящие в машине должны дать закон течения ЙХ в виде pv»== const., пользование'этой кривой нужно считать, только вспомогательным приемом, цель которого облегчит не:-ч сколько внешние затруднения ири подсчетах. То, что внутренняя сущность
процесса считавшагося райее' за йОлитропкческий^^—= const. ^ ,.не> имеет
значения, видно из тощ что- при явной необходимости учитывать переменность теплоемкости уравнением (25)^ не пользуются, оставляя прежнее pv11:= — const., которое уже приходится считать остатком прошлого, остатком, кото-, рый заменить надежно пока еще в некоторых случаях нёчем. Йри исёледова-виях реальных тепловых процессов ур-йе рун---const. уже теряет свое значение. Методы применяемые йри изучении могут .й-не нуждаться в определении показателей политроп для отдельных участков, или точек, кривой изменения состояния*). Еолынйнство'йх имеет в качестве вспомогательного средства энтропийную диаграмму (также тепловую, и еще анерщ^ную проф. Берстмля); это методы графические. Дело исследовайия становится еще на более твердую почву, когда сложные тепловые явления в цилиндре машины расчленяются ж исследуются отдельно, опираясь на твердые физические основы2). Такое изучение дает возможность накопить опытный материал более общего характера нежели тот, который имеется в виде известного среднего показателя для лйййй изменения в машине етррго определенного типа, и, главное, более Глубоко разъясняющего внутреннюю С)гщность самого процесса,
») Wtsisshaar «Untersuchungen über den, Verlauf der Verbrenawng im Diesolmotih-«. Z. d. V. dr 1. 191G. Neumann «Untersuchungen an der JHeselp^sclune* Forsciiungsarbeiteir.. Hüft. 245. Wilkins «lVia.ls on a Diesel Engine»-—Tlitf" Journal of tlie Ia^t. of Mech. Eng. 1916 p np. ' ; 1 1 ■ 1 ' \ ^ "
2) Nusselt «Der■'Wämeflb"ergang in der VerbrerniungskraftmaschiiteB' Z. d. T: d. I. 1914
m 1923. Eichelberg Forschungsarbeit Heft 208. ' . V,
