К вопросу о построении универсальной тепловой диаграммы идеального газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Тем 66, в. 2 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1943 р.

К ВОПРОСУ О ПОСТРОЕНИИ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ТЕПЛОВОЙ ДИАГРАММЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Г. И. ФУКС

I

Предлагается новый тип универсальной тепловой диаграммы для иде ального газа, построение которой основано на соотношении:

Ср, (1)

(2)

(3)

дТ ]р

дв \ Ср

дТ }р Т

дэ \ с

\ дТ )V Т Последние два соотношения можно переписать так:

(о)

д\п Т)ч

Из (1) (4), учитывая геометрический смысл производных, следует, что при соответственном подборе масштабов кривых

¿=/1(7) 5=/,(1пТ),

касательные к ним при данной температуре будут параллельны. На диаграмме можно нанести масштаб для Ср. Тогда направление касательной найдется, если соединить точку на масштабной прямой с началом координат.

II

На диаграмме по оси ординат слева откладывается температура, по

эе .ккал т т

оси аосцисс: вверху—энтропия -, внизу—энтальпия г---. На оси ор-

нм?> нмъ

динат справа отложены натуральные логарифмы температурКроме того, нанесен масштаб для ср.

ъв

3) В натуральной диаграмме приняты масштабы: 1°С—0.2 мм, ]- —- 500 мм

нмъ

ккал

1--—О.э мм, единица натурального логарифма температур—200 мм. Легко проее-

нм?>

рить, что эти масштабы удовлетворяют условию параллельности касательных к кривым энтальпии и энтропии в координатах / —Г и ■ 1п Г.

Для отчета изменения внутренней энергии и нанесения линий

Sv=fs(lnT)

служит наклонная прямая в левой части диаграммы. Действительно, как известно, для идеальных газов .

i — и— ART, (6)

) что для нмъ (R = 37.85 —)

\ нм? град)

дает i — и = 0.08867\

Для энтропии при р = const и V — const имеем соответственно:

dT

dsp — с

р

cLsi

Т

dT Т

откуда d{sp — sv) = (cp — cv) * (8)

Интегрируя, получим для нмъ

вр — = 0.0886 1п7\ (9)

что представляет собою прямую в координатах 1пГ—5, совпадающую, при принятом соотношении масштабов, с прямой I—и в координатах /—Т.

Для перехода к разным давлениям и объемам нанесен логарифмический масштаб для— ( —). Отрезки этого масштаба дают, как обычно, ' Рг /

величину сдвига при переходе к другим р и V (сдвиг вправо при р2<р1 и

Для удобства расчетов на диаграмме приведена таблица энтальпий идеальных газов1). От энтальпий легко перейти к теплоемкости с^. Но обычно в этом нет необходимости, так как проще использовать величины энтальпии непосредственно.

При неизменных теплоемкостях ср п

и

^р ~~ /з (1пГ)

изображаются в предложенной диаграмме параллельными, прямыми, иначе говоря, одной и той же прямой, по которой отсчет А г берется в пределах температур по левой шкале, а отсчет Дзр—по правой. Линия

sv=fz(lnT)

также будет прямой. Ее легко построить, так как прямая в левой части диаграммы дает разность бр— въ для любого интервала температур. Таким образом при неизменной теплоемкости тепловая диаграмма будет состоять только из прямых, т. е. имеет простейший вид.

В большинстве случаев совершенно достаточная точность получается, считая по средней теплоемкости с^ для данного интервала температура иначе говоря, считая изменение Ь в расчетном интервале температур линейным. Эта же прямая дает изменение и, следовательно, диаграмма также будет состоять из прямых линий.

3) По данным Чернобаева и Жив от овского-

При более точных расчетах можно нанести, используя таблицу энтальпий, несколько промежуточных значений i. Соединив их прямыми и проведя параллельные им в соответствующих интервалах логарифмической шкалы температур, найдем соответствующую кривую

Sp=faQnT).

Далее, используя прямую в левой части диаграммы, наносится

s&=/3(In7).

Кривые для воздуха (¿2 и sp2) нанесены на диаграмме.

Сравнение предлагаемой диаграммы с известными универсальными диаг^-раммами для идеальных газов приводит к следующим заключениям:

1. Диаграмма по Стодола-Зейлигеру менее точна, так как в ней принимается искусственная зависимость теплоемкости Cv от температуры ж виде линейной функции с одинаковым для всех газов свободным членом.

2. Диаграмма по Шюле требует значительного количества предварительных подсчетов для получения линии sp и sv для заданного состава газовой смеси. По мере уточнения теплоемкостей основные линии диаграммы Шюле должны перестраиваться.

При уточненных расчетах с учетом переменной теплоемкости в предлагаемой диаграмме также необходимо построить вспомогательные кривые для i и Sp. Но при этом, оказывается, можно обойтись малым числом промежуточных точек. Результаты подсчета погрешностей в величине, A sp для различных газов при различном числе промежуточных точек, сведены в следующей таблице.

и

Таблица 1

Интервал температур j Погрешности в % Примечание

|Без пром. точек 1 пром. точка 2 пром. точки

300°—2400°К ж я 3000-1200°К Щ 4.33 COs 7.09 Н20 6.68 СН4 9.50 ! 1.83(2.55) 5.28(6.62) 2.83(3.66) 2.33(2.40) 0.46(0.55) 0.70(1.17) 0.93(1.23) 1.07(1.10) В скобках приведены максимальные погреш-но сти на отдел ьн ы * участках

Данные таблицы показывают, что 2—3 промежуточные точки обеспечивают точность до 1о/0 в любом интервале температур диаграммы. Промежуточные точки лучше всего выбирать, разделив интервал температур в логарифмических координатах на разные части. Недостатками рассматриваемой диаграммы надо считать:

1. Неравномерную (логарифмическую) шкалу температур.

Если нанести достаточное число промежуточных делений для температур, это не может иметь особого значения.

2. Невозможность отсчета тепла площадками, как в натуральной Т— s диаграмме.

В действительности, как известно, этим приемом обычно не пользуются. Для политропического процесса, например, обычно рекомендуется подсчитать тепло по соотношению

Q = TAs, (Юг

где Тс средняя температура,обычно средне-арифметическая. Аналогичный расчет с большей точностью можно провести по предлагаемой диаграм-

«е. Как известно, для любого процесса с неизменной теплоемкостью •средне-термодинамическая температура равна средне-логарифмической

т,

Величина знаменателя легко отсчитывается по левой оси ординат диаграммы. С другой стороны, всякий процесс с постоянной теплоемкостью в координатах 1 —5 изображается прямой. Заменив произвольный про-

—- Б

Т

¿7 /<* с- a S

У! / У / Г ЪУ* /

Р у__

г • • - ••

2000*С

ьт

«зог

Рис. 2

цесс ломаной линией, можно определить для отдельных участков средние температуры и тепло.

Если для подсчета средней температуры отсчитать ее по правой оси ордимат на средине между начальной и конечной температурами процесса; то мы найдем средне-геометрическую температуру

(12)

которая меньше отличается от средне-термодинамической, чем среднеарифметическая.

— 5

t=V т~т2 ,

?еоо°с

т

I

АЭО'С

83«* С

Рис. 3

На рис. 2 и 3 показано проведение расчетного примера политропического процесса расширения с показателем л=1.32, от — 60 ama, tx — = 200©°С до /?2 = 3 ama газа, имеющего состав по объему:

80®/о N3, 15° о С02 и 5°/0 Н20.

cb

На рис. 2 показано определение конечной температуры. Так как п = =

са

cb —г п — 1

= j=---, то ab=-cb

cb—ab п

По шкале давлений для — =— — 20 имеем сЬ— 123.7 мм.

Р1 3

Следовательно,

_ 1 чо_; 1

-—132.7 = 32.2 мм.

1.32

Откладываем от прямой (вр — влево

Ьхй1 = Ьа

и проводим ахйх вертикально. Это дает ¿2 = 830°С. Учитывая состав газа, имеем по таблице энтальпий

При ¿1 = 2000°С, н789.8 ККаЛ

«

Ъ — 830° С, ¿з = 298.5

нм6

В координатах I — Ь отмечаются соответствующие точки и проводится прямая (рис. 3) аЬ.

Прямая АВ в координатах — 5 дает величину Дя^. Изменение внутренней энергии

ккал

нм3 ккал

Л« = — 386.5

нм3

отсчадгаем, проведя ас параллельно прямой (/— и) диаграммы. Политропа в тепловых координатах изобразится прямой АС, что дает

3 яр

Д5 = — 38-ю —

нм3

Средняя температур по (11)

= =1619%

144.5

где 144.5 мм—вертикальное расстояние между А и С, а 200 — значение-логарифмического масштаба. Тепло процесса

д= ГЛ5 = — 1619-38-Ю-3 = — 61.6^^-

нм3

Если сосчитать работу по соотношению

Ап^М.^-Ь),

п— 1

то получится

Тогда будет

д 0.0886 11<7Л 000 .ккал

КчЮп =- 1170 = 323.9--.

1.32—1 нм3

д = А и -{- Аи>

ккал

щ = ~ 386.5 + 323.9 = — 62.6:

нм?

ГЧ1