Расчет адиабатического и политропических процессов по средней теплоемкости Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

«ЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 66, в. 2 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1948 г.

РАСЧЕТ АДИАБАТИЧЕСКОГО И ПОЛИТРОПИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПО СРЕДНЕЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ

■ Г. И. ФУКС

Для расчетов адиабатического и .политропических процессов с переменной теплоемкостью обычно рекомендуют применение тепловых диаграмм. Это действительно целесообразно, особенно в том случае, если надо провести серию расчетов. Но в отдельных случаях, особенно при единичных расчетах, желательно иметь возможность аналитических подсчетов, используя обычные формальные зависимости для теплоемкостей или табличные значения. Как указывается ниже, эти расчеты можно провести с достаточной степенью точности соответственным подбором величины средних теплоемкостей.

1. Адиабатические процессы

Связь между р иТ для адиабатических процессов

= 0. (1)

Принимая линейную зависимость теплоемкости от температуры

Ср = ар + ЬТ, . (2)

получаем после интегрирования

ар 1п —— 4- Ь(Т2 — — АН 1п ——= 0. (3)

Тх Р\

Если провести интегрирование (I), считая теплоемкость неизменной и равной средней величине ср, то получится

сР\п-<- -ЛН\П - р = (4)

' ' 1 * 1

При линейной зависимости теплоемкости от температуры

Т 4- Т '

Ср = ар + Ь-±?^-, (5)

а с учетом (4)

ар + ±(Т1+ т2>)

1П -Ы- — л/г 1п =о. (6)

Тг Рх

Из СЗ) и (6) получается

1 I Ь Т 1 Т% ! ь

1п —- -|---Т2 = 1п —'1--}- -

Тх а9 Т\ ар

т 1 Т г Т '

2 Тх

(7) 113

Очевидно, что вообще

Т2 ф 7У,

т. е. применение для подсчета конечной температуры адиабатического процесса значения теплоемкости по (5) дает неправильный результат. Но средняя теплоемкость в данном интервале температур равна истинной при какой-то средней температуре (в частности, средне-арифметической при линейной зависимости теплоемкости от температуры). Можно попытаться подобрать такую среднюю температуру, что определенная по ней теплоемкость даст правильное значение конечной температуры адиабатического процесса. При линейной зависимости теплоемкости от температуры для этого достаточно в соотношении (7) положить

Т\ + 7Y Т, — 7\

г,

(8)

Действительно, при этом соотношение (7) переходит в

, т> . Ь „ . Т'Ь

In- " 4- - i >~-\n ~ - -|----

Г, а р Т{ dp

Тi Т> * т

In-2-

Ту

что при

Т2 - Т '

превращается в тождество. Следовательно, если при интегрировании в уравнении адиабаты (I) принимать теплоемкость такой, какой она будет при средне-логарифмической между начальной и конечной температурами процесса, то интегральное уравнение даст правильный конечный результат. Так как в действительности зависимость теплоемкости от температуры имеет не линейный, а более сложный характер, то указанное правило является не точным, а приближенным. Тем не менее, его вполне можно принять, так как погрешность расчетов при этом получается ничтожной, как показано ниже на нескольких примерах.

При действительных расчетах, разумеется, нет никакой необходимости проводить интегрирование и т.д. Дело сводится к использованию обычных соотношений для адиабатического процесса при неизменной теплоемкости:

Т

= const (9)

TvKi~x= const, (10)

pvl " const, (11)

с тем отличием, что показатель адиабаты kt надо подобрать, как отношение теплоемкостей при средне-логарифмической температуре между началом и концом процесса. Если заданы начальная и конечная температуры процесса, то величина кх находится сразу, что позволяет также сразу найти конечную упругость или конечный объем процесса. Если конечная температура процесса не задана, то определение ее по (9) или (10) приходится вести подбором: сначала значение kx задается наглаз, под-считывается значение конечной температуры, по ней уточняется значение kx и т. д. до достаточного совпадения. Оно получается на втором или третьем расчете (не считая предварительного). Детали расчета будут зависеть от того, чем пользоваться: формулами для теплоемкостей, табли-

цами, и какими именно. Разберем подробнее случай использования таблицы для энтальпий, данных в приложении.

п К—I Для определения —1- имеем

¿1

Ср ^

ki—1 = Cv = (ср-с„)у2—Ь) = ARM

hi Cp(t2—U) А/

Су

а при расчете на нмъ

yfej—1 0.0886A¿

* л- <13>

Дг

Для предварительного расчета можно во всех случаях считать ¿2=гг=0, т.е.

/га—1 0.0886^.

кг

(13а)

По формулам (9) и (10) (в зависимости от характера задания) определяется предварительно конечная температура Т2, по которой надо уточнить значение Для этого определяется условная температура по соотношению

7gt = 2 2 у--Ти (14)

Т2—Т,

In -li Ту

или

Тг-Тг

t2K = 2 —7,-273°С. (14а)

In

7-2

Т,

Определяем по этой температуре по таблице значение энтальпии затем

Дг = г2Л — ¿ь

M=t2k — ti k _l

и далее, по (13) новое значение —--.

ki

Пример № 1: адиабатическое сжатие воздуха от pi~ 1 ama, ti = 300°С до р2 — 100 ama.

ккал

Решение: из таблицы ^=94.4 -. По (13а)

нмъ

kx- \ _0.0886-300 = 0>28L

Из (9)

Из (14а)

kx 94.4

lg = 0.28 1 ,lg = 0.562, Tt Pi

T-, — 1995°K.

1QQC_K70

t2k = 2 - 19Q5 - 573-273 = 1351°C

In-

573

Остальные расчеты сведены в таблицу 1

Таблица 1

ик * ] к — ¿1 tí 1:к Нк — /, к у - 1 К Тг Т\ 72 Примечание

300 94.4 94.4 0.281 0.562 . 1995 Предв, расчет

1351 (1400) 1100 486.5 392.1 0.2485 0.4960 1795 1

1294 (1300) 1000 448.2 353.8 1 0.2504 0.5008 1816

1310 | 1010 452.0 357.6 | 0 2502 ' 0.5004 1814

Примечание: 1. В промежуточных подсчетах значения ик округлялись для упрощения подсчетов по таблице.

2. Точный расчет конечной температуры дает значение Т2 = 1812'К.. Пример № 2: Сжатие С02 при тех же условиях. Расчеты сведены в таблицу 2.

Таблица 2

и_к - t1 \ф { ! Нк — ¿\ | кх — 1 Л, Т, * 1 То Примечание

300 1 134.8 | 134.8 0.197 0.394 1419 Предв. расчет

1019 (1000) 7С0 531.8 397.0 0.1567 0.3134 1179

834 (800) 500 411.1 276.3 0.1603 0.3206 1199

850 550 441.1 306.3 0.1591 0.3182 1192 !

Примечание: Уточненный расчет дает 72=1194°К. Пример № 3: Сжатие СНл при тех же условиях. Расчет сведен в таблицу 3. Таблица 3

1>к и_к—11 12к 1%к — н кх — 1 к} * Ту т2 Примечание

300 \ 135.6 135.6 0.195 0.392 1413 Предв. расчет

1014 (1000) | 700 | 644.0 508.4 0.1220 0.2400 1005

692 (700) 400 398.3 262.7 0.1349 | 0.2698 1066

740 | 440 \ 429.6 294.0 0.1426 0.2652 1055

1 16 . Примечание : Точный расчет дает Т2 = 1 055°К.

Для расчета работы адиабатического процесса может служить общее соотношение

Аж'а = и1 — Но. (15)

Если вести расчет по таблице энтальпий, то удобнее выражение

А<Ша = — /2 — AR(tл — (16)

или в расчете на 1 нмъ

Ата = к — к ~ 0.0886(^ ККа~ (16а)

нмг

Учитывая зависимость внутренней энергии от температуры, можно также записать:

Аи>а = с*(Т1 — Т2)9 (17)

где су—средняя теплоемкость в интервале температур Тх(1\)— Можно также получить зависимость

(18)

И—1

где отношение средних теплоемкостей в интервале температур ТХ{Ь{)— Т2(12). Учитывая (9) и (10), легко также получить

w - №

1-1

w _ PlV 1 Г 1 I Р* Xkl~l

ft—l

"Ul. (2°)

где ki~отношение средних теплоемкостей в интервале температур — см. (14) и (14а).

Сопоставление значений конечных температур Т2, полученных указанным приемом, и истинных значений, приведенных в примечаниях к таблицам, показывает, что работа адиабатического процесса может быть вычислена с совершенно удовлетворительной точностью.

Расчет при заданных объемах и v2 не имеет существенных отличий. Для подсчета имеем:

v-l = - ^ , (21)

1 M—ARM

гае

Аналогично,

M = t%k — tu bi = itk — h.

М

М - ARM

2. Полнтропнческне процессы

Называя политропическими процессы, подчиняющиеся соотношению

pvn ~ const, (23)

где п—любое неизменное число, получаем общеизвестные связи между параметрами и выражения для работы политропического процесса, пригодные также при переменных теплоемкостях Ср и Cv. Учитывая, что

Дц. = ^(72-7\), (17)

легко получить для тепла политропического процесса

д = с9 -—к (Г2 — 7^), п— 1

где с® и к — средняя теплоемкость и отношение средних теплоемкостей

следует рассматривать как среднюю теплоемкость политропического процесса в интервале температур процесса. Давая показателю политропы п значения ОД и со, получаем соответственные связи между параметрами, а также выражения для работы и тепла (через средние теплоемкости) для изобарического, изотермического и изохорического процессов. Таким образом, политропический процесс и при переменных теплоемкостях может рассматриваться, как обобщение некоторых основных процессов.

Исключение составляет только адиабатический процесс. При п = к получается из (25) сп — 0, т. е. политропический процесс с общим теплообменом, равным нулю. Но это не исключает возможности сообщения и объема тела в равных количествах в отдельных частях этого процесса, чем он отличается от адиабатического.

Для расчетов с помощью таблицы энтальпий наиболее удобны соотно- . шемия:

£

— в интервале температур Тх—Т2. Величину

Су .

п — к

(25)

п, — 1

п — 1

(26>

К

д = 12 — 11--- АЩЪ — Ъ).

1

(27)

В частности, на 1 нмъ

(26а

д = г3«- г, -ч- 0.0886 —— (¿2 -

/г—1

(27а)

Ы8

Приложение

кксьл

Энтальпия идеальных газов на нмг (0°С, 760 мм р. ст.) в-----

НМд

Таблица 4

емпература! СС Воздух Углекислота ССЬ О я X Кислород Оз н о р) < Окись углерода СО 5Н яоёояод т ЦП и с5 н о я съ Сероводород Н,8

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

100 31.2 41.1 35.9 31.5 31.1 31.1 30.8 39.5 50.3 36.8-

200 32.6 86.4 72.5 64.0 62.0 62.6 62.0 84.4 111.2 75.2

300 94.4 134.8 110.2 97.2 93.7 94.5 93.3 135.6 181.2 115.2

400 127.1 185.7 149.0 131.8 125.8 127.2 124.4 193.2 260.0 157.2

500 160.5 239.2 189.0 167.2 158.8 160.5 156.0 256.0 345.5 201.0

600 194.6 295.1 230.4 203.4 192.3 195.0 187.2 325.2 436.8 246.6

700 229.5 352.4 273.1 240.2 226.6 229.6 219.8 •398.3 533.4 294.0

800 265.4 411.1 317 2 277.6 261.4 265.6 252.0 476.8 638.4 343.2

900 300.1 471.1 362.5 315.2 297.0 301.5 284.4 558.0 741.6 393.3

1000 337.2 531.8 409.2 353.5 332.9 338.0 317.0 644.0 852.0 445.0

1100 374.0 593.6 457.9 391.9 369 3 375.2 350.9 731.0 , , 497.2

1200 411.1 655.9 506.0 430.6 407.0 412.8 385.2 823.2 — 550.8

1300 448.2 716.7 556.0 469.6 443.7 449.8 411.9 -— 604.5

1400 486.5 782.6 606.9 508.9 480.6 488.6 455.0 —. 659.4

1500 524.5 846.8 658.8 548.6 518.4 526.5 490.5 — 715.5

1600 562.9 911.4 711.5 593.5 556.2 564.8 526.4 , , _

1700 601.3 1976.1 765.0 628.7 593.8 603.5 562.7 — — —

1800 640.1 1041.5 819.2 668.9 632.2 642.6 599.4 — — —

1900 678.9 1106.9 873.6 709.6 770.7 т. 2 634.6 — — г-

2000 718.0 1172.8 929.0 750.6 709.4 720.0 672.0 — — —

2100 757.0 1258.8 984.7 791.7 748.0 750.1 709.8 _ _ , ,

2200 797.3 1305.0 1041.0 832.9 787.2 798.6 748.0 — — —

2300 836.0 1371.7 1097.8 874.7 825.7 837.2 786.6 — — —

2400 875.5 1438.6 1154.9 916.6 864.7 876.0 826.6 — — —

2500 915.5 1505.5 1212.5 958.8 904.2 917.5 865.0 — — —

Молекулярный вес М= 28.95 44.00 18.02 32.00 28.02 28.00 2.02 16.0/) 28.03 34.08