CC BY
6ТЕОР1Я ЗАДАЧ РОЗВИВАЛЬНО1 МАТЕМАТИЧНО1 ОСВ1ТИ
С.П. Семенець, кандидат педагог. наук, доцент, Житомирський державний умверситет ш. I. Франка,
м. Житомир, УКРА1НА
Розроб.чено та науково обгрунтовано теорт задач розвивачыин математтног освтт. Здшснено системный аначгз визначених структурно-фунщюначънж компоненпив.Спроекто-вано узагачънет способы дт,ят виконуютъся тд тс розе 'язування задач.
Глибок змши, що вщбуваються в су-стльнш свщомоси й пов'язат з шфор-мацiйно-технологiчним етапом розвитку сустльства, процесами демократизаций гуманiзацГi, мiжнародноi iнтеграцii, де-термiнують необхiднiсть побудови но-вих моделей школи i ВНЗ, постановку нових цiлей i завдань у системi освiти, що передбачають перенесення центру уваги iз сумарних технологiй навчання на особистюно розвивальнi. У цьому контекси проблема розвивально!' ма-тематично!' освгги, що нацiлюe на роз-виток уншерсальних здiбностей (нау-ково-теоретичного мислення, учшня, особистiсного становлення), стала об'ектом наших наукових пошукiв. Нау-ково-методичне забезпечення розвива-льного навчання математики в початко-вш школi [1] посилюе актуальнiсть теоретичного розв'язання та методичного забезпечення названо!' проблеми в се-реднш i старш1й ланках шкшьно!' ма-тематично!' освiти. Одним iз першочер-гових завдань е розробка навчальних програм i пiдручникiв розвивально! освгги, деяга з них уже рекомендован Мiнiстерством освiти i науки Украгни (програма з математики для початково! школи, пiдготовлена Е.1. Александро-вою; навчальнi програми з елементарно! математики та методики и навчання для студентiв фiзико-математичних факуль-тетiв вищих педагогiчних навчальних за-кладiв [2]). Окремi теоретико-методичнi аспекти розв'язання названо! проблеми, що пов'язат з навчальним моделюван-
ням, постановкою та розв' язуванням на-вчальних задач, структурою розвива-льно-задачного методу навчання математики, вже висвiтлювалися в наших роботах [3; 4]. Мета ща статт - створити науково обгрунтовану теорiю задач розвивально! математично! освiти, здшс-нити системний аналiз визначених стру-ктурно-функцюнальних компонентiв, спроектувати узагальненi способи дш, якi виконуються пiд час розв'язування задачних ситуацiй.
Теоретико-методологiчну основу дослщжень склали концепцiя навчаль-но! дiяльностi, дiяльнiсний пiдхiд до навчання математики „як головна умова забезпечення ефективност математично! освгш" [5, 47], системний i особис-тiсно орiентований пiдходи до орга-нiзацГ! процесу учшня (навчального тз-нання). О^м цього, концептуальним стало положення про те, що формуван-ня та розвиток навчально! дiяльностi проходить у процес постановки та роз-в'язування специфiчних для не! задач [6; 7]. Тому проектування й конструю-вання системи рiзнотипних задач у роз-вивальнiй математичнiй освiтi здшсню-еться на основi прийнятого нами принципу розвивально! наступносп, згiдно з яким кожен наступний тип розв'язу-ваних задач мае вiдрiзнятися вiд по-переднього вищим рiвнем змктового теоретичного узагальнення.
З огляду на вищезазначене розвива-льна математична освгга базуеться на за-дачнш систем^ що представлена в схемi 1.
®
© 8ешепе1з 8.
Схема 1. Заданна система розвивальног математичног освти
У систе]ш шкшьно! математично! освiти задач! можна подшити на задач! елементарно! математики, початюв ана-лiзу, стохастики та науково-дослщницью математичнi задач!, як! розв'язуються в рамках рiзних конкурав, зокрема Мало! академп наук. Серед перших трьох кате-горiй задач видщимо насамперед базовi. Це практичш та прикладнi задач!, змгсто-вий анашз яких дозволяе видщити деяке початкове загальне (генетично вих!дне) вщношення, що виявляеться в багатьох шших частинних випадках i використову-еться в процеа розв'язування певного типу задач. Фжсащя знайденого вщношення за допомогою деякого символу (мо-делi) створюе умови для формування вiдповiдних змiстових абстракцiй. У про-цесi реалiзацií вiдношення та сформова-них змiстових абстракцiй у вах можли-вих частинних випадках створюються можливостi для формування вщповщних змiстових узагальнень, визначення при-йомiв, створення способiв та методiв розв'язування цiлого класу задач. Завдяки цьому в навчальному процесi створю-ються умови для постановки задач, що вiдносяться до категорп навчальних. Формування узагальнених способiв дш як результат розв' язування навчальних задач дозволяе планувати та контролювати навчальш дИ, як! використовуються в процеа розв'язування всiх частинних задач. Таким чином, постановка та роз-в' язування базових задач забезпечуе зас-воення змютових абстракцiй типових
задачних ситуацш, якi на теоретичному рiвнi вивчення не можуть бути дослщ-жеш поза рухом вiд абстрактного до конкретного, поза спещальною оргат-защею змкту математики на основi цього загально наукового методу тзнання
Реалiзацiя д!яльшсного тдходу пе-редбачае створення (конструювання) способу д!й, що застосовуеться тд час розв'язування поставлених задач. 1з сформу-льованого поняття та зробленого змюто-вого анашзу випливае, що базовi задач! тгсно пов'язанi з генетично вихщним по-няттям (теоретичною „кттинкою") „ма-тематична модель", а отже, !х розв'язування передбачае реалiзацiю методу ма-тематичного моделювання. Тому побуду-емо узагальнену схему (навчальну модель) математичного моделювання як методу навчального пiзнання.
1. Постановка (формулювання) прик-ладно! чи практично! задач!
2. Змiстовий аналiз умови задачi, ви-дiлення основних характеристик (пара-метрiв) процесу, явища, створено! задач-но! ситуацп.
3. Видшення всiх змiнних величин, що характеризують об'ект пiзнання. Знаход-ження всiх вiдношень, у яких перебува-ють змiннi та сталi величини, встановлен-ня !х властивостей (характеристик).
4. 1нтерпретащя видшених змшних величин та знайдених вiдношень засоба-ми математики: графiчне (геометричне) трактування, введення змiнних (невщо-мих), математичних операцiй; визначення
виду функцп (функцюнашв, oneparopiB).
5. Конструювання в знаково-симво-льнш формi математичних стввщно-шень. Встановлення iзоморфiзму структур дослiджуваного об'екта та визначе-ного математичного апарату. Побудова математично! моделi.
6. Постановка та розв'язування математично'1 задач! Знаходження розв'язку.
7. Iнтерпретацiя одержаного розв'язку, тобто його формулювання на мовi початково! (прикладно!) задач!
8. Визначення титв прикладних задач, розв'язування яких зводиться до побудови математичних моделей такого ж виду.
9. Самоаналiз, самоконтроль i само-оцiнка (змiстова, процесуальна, референтна) засвоення методу математично-го моделювання.
Резюмуючи вищезазначене, приходи-мо до висновку про роль базових задач у розвивальному навчаннi математики: вони слугують niàipyHrnnM для органЬацй навчальног дiяльностi у формi постановки та розв'язування навчальних задач. Реашзащя тако! логши в процес! навчання математики вiдповiдае двор!вневш моделi дiяльностi, розробленiй Д.Б. Богоявленсь-кою в методi „креативного поля". Побудова ново! моделi, яка на вщмшу вiд моделi проблемно! ситуацп, де думка рухаеться, мовляв, у однш площинi (розв'язання конкретно! задач!), перед-бачае створення просторово! обласй для досл!дження за межами розв'язання поставлено! задач! Засобом реалгзацп цього може бути створена система однотипних задач, що м!стять ряд загальних законо-мiрностей. У такий спос!б забезпечуеться двор!внева модель дшльност! Перший (поверхневий) рiвень - виконуеться д!я-льн!сть з метою розв'язування конкретно! задач! i другий (глибинний) - дшльшсть щодо виявлення скритих законом!рнос-тей, як! м!стить вся система задач i знахо-дження яких не вимагаеться умовою поставлено! базово! задач! [8].
Визначення базових математичних задач певно! теми чи роздшу е одним !з найважлив!ших методичних завдань, яке, як правило, розв' язуе вчитель чи викла-дач. Вкажемо на основш характеристики таких задач:
1) наявшсть практично! (прикладно!) потреби в розв'язант задач! (задача мае
бути достатньо значуща для подальшого здшснення самостiйно! навчально! дiяль-носп чи безпосередньо пов'язана з потребами практично! дiяльнiстю людини);
2) постановка задач! вщомим математиком з метою виршення теоретично! чи практично! проблеми (задача мае глибок культурно-юторичш джерела);
3) значна кшьюсть математичних задач, якi можуть бути створет та розв'я-зат на основi базово!;
4) задача вщноситься до категорп альтернативних;
5) можливють iнтерпретацi! задачно! ситуацп засобами алгебри, аналiзу, геометр!! (базовi задачi алгебри та аналiзу мають визначний геометричний змют, геометричнi базовi задачi достатньо просто моделюються i розв'язуються засобами алгебри та аналiзу);
6) у результата розв'язування базо-вих задач встановлюються залежност мiж фундаментальними математичними поняттями, що дозволяе називати !х теоремами;
7) задача дае змогу ввести (означи-ти) нове теоретичне поняття.
Для того, щоб формувати навчальну дiяльнiсть, потрiбно розв'язувати навча-льнi задачi. За Д.Б. Ельконшим, основна вiдмiннiсть навчально! задачi вiд усiх iнших полягае в тому, що п метою i результатом е змiна самого суб'екта тзнання, що виявляеться в оволодшш пев-ним способом дш, а не в змМ предме-тiв, над якими суб'ект виконуе дп [9]. Ураховуючи визначену в теорп розви-вального навчання систему навчальних дiй [6, 159-160], можна конкретизувати дп, як виконуються в процесi розв'язу-вання навчальних задач розвивально! математично! освiти:
1) постановка навчально! задачi на основi базово! (прикладно!, практично!, математично!);
2) змютовий аналiз навчально! задачi з метою знаходження деякого загально-го вiдношення, що характерне для типових математичних задач;
3) моделювання видшеного загаль-ного вщношення, формування змютових абстракцiй i узагальнень для типових задачних ситуацш за допомогою лопч-них схем i знаково-символьних форм;
4) створення навчально! моделi спо-
©
© Semenets S.
собу розв'язування типових задач як iерархii лопко-математичних дш i опе-рацiй мiж побудованими графiчними та знаково-символьними моделями;
5) конструювання системи частин-них задач i змiстове планування !х роз-в'язування в контекст створеного зага-льного способу;
6) контроль, анашз i корекцiя вико-наних навчальних дiй;
7) ощнка рiвня засвоення загального способу розв' язування поставлено! нав-чально! задачi (змiстова, процесуальна, референтна).
Таким чином, постановка навчально! задачi передбачае:
1) теоретичне узагальнення матема-тичних задач певного типу;
2) одержання способу (методу) роз-в' язування математичних задач певного типу, який задаеться системою специ-фiчних математичних i навчально-тзна-вальних дiй i дозволяе оволодiти зага-льним способом розв'язання всiх мож-ливих частинних задач.
Навчально-теоретичт задачi в порiв-няннi з навчальними мають вищий рь вень змiстово-теоретичного узагальнен-ня й передбачають засвоення загально-лопчних i загальноматематичних мето-дiв тзнання та розв'язування задач, що забезпечуе формування цЫсно! системи знань i вмiнь на рiвнi методологи математики. Навчально-теоретичнi задачi передбачають формування узагальнених способiв дш пiд час вивчення змiстових лшш i загальних методiв, до яких належать методи:
• математичного моделювання;
• побудови математичних теорш (аксiоматичний i конструктивний);
• розв'язування задач i доведення, що мають загальнологiчну основу (аналгшч-ний, синтетичний, аналгшко-синтетич-ний, вщ супротивного, повно! iндукцii);
• доведення i дослiдження, що належать до загальноматематичних (матема-тично! шдукцп, векторний, координат-ний, геометричних перетворень, алгеб-ричний, границь, диференщального та iнтегрального числення);
• розв'язування математичних задач, що застосовуються в цщш змюто-вш лшп (розкладання на множники, iнтервалiв, рiвносильних перетворень,
замши, координатний, векторний, алгебра-1чний, геометричних перетворень).
Зпдно з побудованою задачною системою постановка навчально-теоретич-но'1 задач1 здшснюеться тсля знаходже-ння способу розв'язування навчально'1 задач1, що являе собою навчальну модель або узагальнену схему дш для реал1зац11 в типових задачних ситуащях.
Залучення школяр1в i студент1в до науки як сощально значущо! царини людсько'1 дiяльностi з метою вироблення та використання теоретично система-тизованих знань про оточуючий свiт -такi завдання ставить розвивальна мате-матична освта. Тому вiдповiдно до ство-рено'1 задачно'1 системи на найвищому (четвертому) рiвнi здiйснюеться постановка та розв'язування навчально-досль дницьких задач, що слугуе початковим етапом органiзацiï науково-дослщно'1 дiяльностi. Головна вiдмiннiсть навчаль-но-дослщницько'1 задач1 вiд розглянутих вище титв задач у ступенi новизни одер-жаного продукту. Мiрою новизни слугуе не суб'ективний, а сустльний досвщ, об'ективно новi знання та способи д1яль-ностi. Водночас навчально-дослiдницькi задачi займають найнижчий рiвень у iерархiï науково-дослiдних задач, оск1ль-ки за сво'1м змiстом та способом розв'я-зування передбачають застосування як навчальних (навчально-теоретичних), так i науково-дослщницьких дiй. На четвертому рiвнi спроектовано'1 задачно'1 системи виконуються такi дп:
• прийняття вiд учителя (викладача) або самостшна постановка навчально-дослщницько'1 задачi. Обгрунтування ïï актуальностi;
• теоретичний аналiз навчально'1 та науково'1 лiтератури. Визначення суспi-льно-iсторичних факторiв становлення та розвитку (генези) проблеми дослщження;
• структурно-математичний аналiз поставлено'1 проблеми;
• теоретичне моделювання змютових компонентiв дослiдження (визначення об'екта, предмета, мети та завдань, методов математичного тзнання та розв'я-зування задач);
• математичне моделювання та штерпретування задачно'1 ситуацп;
• формулювання гiпотези, проекту-вання та розв' язування системи частин-
@
них задач, до яко! зводиться розв' язання поставлено!задач!;
• штерпретащя та реашзащя одержаного розв'язку (створено! теорп);
• контроль i корекщя виконаних дш;
• змiстовий анал!з та оцiнка (само-оцiнка) знайденого способу розв'язування задачьпроблеми.
Таким чином, створена теор!я задач розвивально! математично! освiти базу-еться на задачному пiдходi до формування та розвитку навчально! д!яльносл; на сформульованому принцип! розвивально! наступносл; iде! едностi методов математичного, навчального, на-вчально-теоретичного й теоретичного моделювання; особливiй задачi - рефле-ксп процесу учшня (навчального т-знання). Рiзнотипшсть задач, ieрархiя р1вн1в "х змiстового теоретичного уза-гальнення, рiзнi види штерпретацш задачних ситуац1й, як i загалом мож-ливiсть суб'ектно! повед1нки на кожному з визначених етап1в, дозволяють послуговуватися 1мов1рп1спими чин-никами оргатзаци процесу уч1ння, що, у свою чергу, створюе необхiднi умови для реалiзацii стильового пщходу в навчант, формування персональних пiзнавальних стилш (стилiв навчання). Розвиток розроблено! теорп здшснюеться вщповщно до спроектовано! системи, що являе собою iерархiю чотирьох компонен-тiв (задач, якi рiзняться рiвнем змiстового теоретичного узагальнення) та реашзо-вуються через визначенi способи дш (моделювання задачних ситуацiй). Ё упровадження в умовах школи та ВНЗ е одним iз можливих шлях!в досягнення цiлей розвивально! осв!ти: розвиток науково-теоретичного мислення, фор-мування суб'eктiв навчально! (навча-льно-професшно1) дiяльностi, станов-лення особистостей як суб'ектш жит-
тeдiяльностi. Рефлекс!я процесу учiння (усвiдомлення власного досвщу з метою вищого рiвня розумшня, що передбачае самоаналiз, самооцiнку i самоконтроль) е невiд'емною операцiйно-задачною скла-довою навчально! дiяльностi, слугуе рефлексивному напрямку розвитку особис-тосп, який загалом задае система розвивально! осв!ти. Саме способам рефлекс!! (самооцiнки, самоконтролю) виконано! навчально! (навчально-професшно!) д!я-льносп будуть присвячеш наш! подальш! роботи.
1. Александрева ЭЛ. Научно-методические основы построения начачъного курса математики в системе развивающего обучения: Монография. - Омск: ГОУ ДПО ИПКРО, 2006. - 332 с.
2. Семенецъ СЛ. Ечементарна математика. Навчачъна програма (розроблена на основ! концепци розвивачъног освти). - Житомир: Вид-во ЖДУ т. 1. Франка, 2008. - 88с.
3. Семенецъ СЛ. Навчачъне моделювання методгв доведения в шюлъному кура математики //Математика в школг. - 2006. - №9. - С. 12-16.
4. Семенецъ СЛ. Навчання учню основнт
//
Математика в школг. - 2007. - №1. - С. 17-20.
5. Програма для загачъноосвтшх навча-лъних закчадгв. Математика 5-12 кчаси. -
, 2005. - 64 .
6. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения /Межд^ародная Ассо1{иаг{ия «Развивающее обучение». - М.: Интор, 1996. - 544 с.
7. Костю к ЕС., Бачч ГА., Машбиц ЕЛ. О задачном подходе к исследованию учебной
// -: 2- -рет{ия: Резюме. - Прага, 1973. - С. 17-25.
8. Богоя&ченская ДБ. Психология творческих способностей - М: Академия, 2002. - 320с.
9. Элъконин ДБ. Психологические условия
//
развитие младших школьников. - М.: Педагогика, 1970. - С. 27-38.
Резюме. Семенец СЛ. ТЕОРИЯ ЗАДАЧ РАЗВИВАЮЩЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Разработана теория задач развивающего математического образования. Проведен системный аначиз сформированных структурно-фунщионачъных компонентов. Спроектированы обобщенные способы решения задач.
Summary. Semenets S. THEORY OF DEVELOPING MATHEMATICAL EDUCATION TASKS. The theory of the problem of a developing mathematical education is worked out and proved scientifically. The system analysis of the defined structural and functional components was carried out. The generalized methods of acts during solving the tasks were projected.
Надшшла до редакци 15.11.2008р.
(щ>
