CC BY
99
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Семенець С.П. Навчально-теоретичн задач'1 з математики: моделювання процесу розв'язування прикладних задач за допомогою визначеного iнтеграла // Ф'вико-математична освта : науковий журнал. - 2016. - Випуск 4(10). -С. 112-116.
Semenets S.P. Educational-theoretical problems in mathematics: modeling the process of solving applied problems using definite integral // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2016. - Issue 4(10). - Р. 112-116.
УДК 51(07)
С.П. Семенець
Житомирський державний унверситет iменi 1вана Франка, Украна
Serqij. Semenets@zu. edu.ua
НАВЧАЛ ЬНО-ТЕОРЕТИЧН1 ЗАДАЧ1 З МАТЕМАТИКИ: МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ ЗА ДОПОМОГОЮ ВИЗНАЧЕНОГО 1НТЕГРАЛА
Постановка проблеми. Процеси демократизаций гумаызацп, европейсько''' та /^жнародно! штеграцп детермшують необхщысть розроблення моделi математично''' освти, в якш запроваджуються розвивальн технологи навчання, створюються умови для самоосвти i саморозвитку особистосл, забезпечуеться всебiчне розкриття !! здiбностей i обдарувань. Спрямованiсть математично!' освти на особистiсний розвиток вщповщае сучасним соцiальним запитам на культурноосвiчену та культуротворчу особистiсть. З шшого боку, особистiсно-розвивальна освiтня парадигма слугуе розв'язанню низки протирiч у чиннiй систем'1 математичноiпдготовки мiж:
- iнформацiйним перевантаженням процесу навчання математики та зорiентованiстю на запам'ятовування та вщтворення за наперед заданим (готовим) зразком;
- штегрованим змктом навчальних програм з математики, вимогою формування системних, фундаментальних знань i дискретним (фактологiчним, емпiричним) характером набутих знань i способiв дiй у процеа вивчення математики;
- гумаыстичною, особистiсно орiентованою, культурологiчною освiтньою парадигмою та домшуючими в навчаннi математики суб'ект-об'ектними вщносинами мiж учителем та учнями, викладачем i студентами;
- прикладною суттю математичних знань i нерозумiнням !'х походження (генези), незначною часткою задач прикладного змiсту;
- збтьшенням кiлькостi годин на самоспйну роботу i проблемою учiння математики як процесу суб'ектно!' дiяльностi.
О^м цього, на нашу думку, кнуе глибоке внутрiшне протирiччя мiж змктом дисциплiни та методикою и навчання: з одного боку, дедуктивним змктом математики, абстрактними математичними структурами, уыверсальними методами математичного дослщження, якi формують теоретичн узагальнення та розвивають науково-теоретичне мислення, а з шшого - лопкою навчального тзнання, асоцiативно-рефлекторною теорiею научiння, усталеною методикою навчання математики, що передбачають домiнування емпiричних узагальнень й актуалiзацiю емпiричного мислення, ывелювання математичних здiбностей i формування вузькоматематичних умшь i навичок.
Аналiз актуальних дослiджень. Осiбнi теоретичнi та методичн аспекти окреслено!' проблеми студiюються в роботах Е. I. Александрово''', В. I. Горбачова, Б. В. Гнеденка, М. Я. 1гнатенка, В. Г. Моторшо''', С. О. Скворцово''', О. I. Скафи, З. I. Слепкань, Н. А. Тарасенково''', О. С. Чашечниково'''. У наших новп>лх дослщженнях розкрито змiст i встановлено структуру математичних здiбностей, створено концепцiю моделi навчально-математично''' дiяльностi, а також розроблено теор^ задач розвивально''' математично'' освти. Установлено, що розвивальне навчання математики вттюе принцип розвивальноi наступност'1, зпдно з яким розроблено задачну систему i встановлено зони найближчого математичного розвитку суб'ект навчання. Насправдi на концептуальному рiвнi в теор^ навчання математики впроваджено наукову щею про доцiльнiсть постановки та розв'язування задач чотирьох рiвнiв зм'!стового теоретичного узагальнення. На нашу думку, визначена iерархiя задач, з одного боку, забезпечуе штегращю дедуктивно'' суп математики та дiяльнiсноi теорп м навчання, а з iншого - вможливлюе встановлення в навчанн математики одые''' iз чотирьох зон найближчого математичного розвитку суб'ек^в навчання: базова, навчальна, навчально-теоретична, навчально-дослщницька [1; 2; 3]. Натомкть дотепер залишаеться актуальною проблема оргаызацп навчально-математично''' дiяльностi у формi розв'язування навчально-теоретичних задач з математики, у процеа якого школярi i студенти оволодiвaють математичними методами зпдно з лопкою сходження вщ абстрактного (загального) до конкретного (часткового), вщтак, у них нaспрaвдi формуються системы знання i вмшня на рiвнi методологи математики.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Мета статп - у контекст задачного пiдходу до формування навчально-математично! дiяльностi розробити навчально-теоретичну модель процесу розв'язування прикладних задач за допомогою визначеного штеграла, навести приклад 11 реалiзацií, представлений рiвень змiстово-теоретичного узагальнення задач спiввiднести iз зоною найближчого математичного розвитку суб'ект навчання.
Виклад основного матерiалу. Достеменно вiдомо, що унiверсальними методами знаходження шляху, площ^ об'ему, роботи, енергп, маси е методи iнтегрального числення. Тому навчально-теоретична задача про знаходження узагальненого способу дм у процеа розв'язування прикладних задач за допомогою визначеного мтеграла займае одне з чтьних мкць у чиннiй системi математично! тдготовки. Прикладними називаемо теоретичнi задачi практичного змкту. Отож у процесi розв'язування прикладних задач з математики застосовуеться метод математичного моделювання, створюються математичн моделi, що iнтерпретують практичнi задачн ситуацГ!. Насправдi реалiзуеться така лопчна схема: практична задачна ситуация О математичне моделювання О математична модель О реал/'зац/'я математично¡'модел'1. Для формування узагальненого способу дм скористаемося моделлю процесу розв'язування навчально-теоретичних задач з математики [1, с. 130]:
1. Постановка навчально-теоретично! задачi на основi навчально! (кiлькох навчальних).
2. Змстовий аналiз навчально-теоретично! задачi з метою знаходження загального вщношення, характерного для певного типу навчальних задач.
3. Формування зм^ово-теоретичних абстракцiй i узагальнень, створення теоретично! моделi загального вiдношення.
4. Конструювання навчально-теоретично! моделi методу розв'язування математичних задач у виглядi етапностi Иерархи) навчально-пiзнавальних i математичних д^й як результату узагальнення процесу розв'язування навчальних задач.
5. Змютове планування та конструювання системи часткових рiзнотипних математичних задач, що розв'язуються на основi сформованого методу.
6. Контроль i корекцiя навчально-теоретичних дiй.
7. Самоаналiз i самооцiнка (змiстова, процесуальна, референтна, цмысна) засвоення моделi процесу розв'язування навчально-теоретично! задачi з математики.
Реалiзуемо представлену модель.
1. На основi навчальних задач про спосiб дм у процесi знаходження площ1 криволЫмно'|' трапецГ|', об'ему тiла обертання формулюеться навчально-теоретична задача про створення моделi процесу розв'язування прикладних задач за допомогою визначеного мтеграла (iнтеграла Рiмана).
2. За результатами змiстового аналiзу процесу розв'язування навчальних задач встановлюеться, що характерним у кожнiй з них е обчислення величин, що мтерпретуються адитивною функцiею /(х + у) = /(х) + /(у).
3. Формування змютово-теоретичних абстракцiй i узагальнень про обчислення шукано! величини як границ iнтегральноí суми або визначеного мтеграла функцп
n b
lim Z f (xi = f f (x)dx'
4. Конструювання навчально-теоретично! моделi процесу розв'язування прикладних задач за допомогою визначеного мтеграла.
4.1. Змстовий анал'в прикладное задачу визначення iiтипу. Переформулювання задач'1.
4.2. nepeeipKa того, що шукана величина iнтерпретуeться адитивною функ^ею: f (x+y) = f (x)+f (y).
4.3. Виокремлення характеристик (параметрiв) процесу, явища (задачно/ ситуацП).
4.4. Видлення зм'ннихi сталих величин. Знаходження в'дношень, уяких перебувають змiннi та стал'1 величини, встановлення !х властивостей (характеристик).
4.5. 1нтерпрета^я задачноi ситуацп засобами математики: графiчне (геометричне) представлення, введення зм'шних(нев'домих), формалiзацiя.
4.6. Розбиття шуканоi величини на n частин. Запис формули, за якою може бути обчислена кожна з величин.
4.7. Наближене обчислення шуканоiвеличини як суми n величин. Видлення i'нтегральноiсуми.
4.8. Виокремлення iнтегровноi' функцп, встановлення меж ii iнтегрування.
4.9. Знаходження шукано/ величини як границ iнтегральноi' суми, обчислення визначеного iнтеграла
n ъ
lim Z f (x, )Ax, = f f (x)dx. Запис вдповд
'=1 a
4.10. Змстовий аналiз i самоконтроль виконаних дiй.
4.11. Самоо^нка засвоення узагальненого способу дiй у процеа розв'язування прикладних задач за допомогою визначеного iнтеграла (змiстова, процесуальна, референтна, цннсна).
5. Зм^ове планування i добiр (складання) рiзнотипних прикладних задач, що розв'язуються за допомогою визначеного мтеграла.
6. Контроль i корек^я дм у ходi розв'язування навчально-теоретично! задачк
7. Самоаналiз i самооцiнка засвоення моделi процесу розв'язування навчально-теоретично! задачi про застосування визначеного мтеграла.
Представлена навчально-теоретична модель мае дворiвневу структуру, вона, з одного боку, розкривае етапысть процесу розв'язування прикладних задач за допомого визначеного мтеграла, а з Ышого - встановлюе шлях навчального пiзнання, що забезпечуе !! розроблення й усвщомлене засвоення. Окрiм цього, на кожному рiвнi передбачено самоаналiз, самооцiнку i самоконтроль, тут, власне кажучи, виконуеться особлива змiстово-теоретична дiя i складова теоретичного мислення - рефлексiя процесу улння.
a
За лопкою сходження вщ абстрактного (загального) до конкретного (часткового) реалiзуемо побудовану модель (кроки 4.1 - 4.11) у процес розв'язування тако''' прикладной' задачi.
Задача. Яку м'ш'тальну роботу для подолання сили тяжiння необхдно виконати, щоб насипати купу тску у формi конуса висотою Н / рад'!усом основи 1Н? Густина пску р i його Ыдн'шають з площини основи конуса.
1. Прикладна задача фiзичного змкту. З умови задачi очевидно, що м^мальна робота для подолання сили тяжЫня дорiвнюe потенцiальнiй енергп купи пiску. Задача переформульовуеться так: яка потенщальна енергiя купи теку коычно!' форми з висотою Н i радiусом основи Я?
2. Як фiзична величина потенцiальна енерпя iнтерпретуeться адитивною функцieю:
/ (х + у) = / (х) + / (у) .
3. Потенцiальна енергiя матерiальноí точки обчислюеться за формулою
Е = щИ,
де т - маса тiла, д - прискорення вiльного падiння, И - висота тднятого тiла.
4. За властивктю адитивностi потенцiальна енерпя купи тску дорiвнюе сумi потен^альних енергiй кожно' пiщинки
Ei = т дЬ,
де т та И змiннi, а д - стала.
Рис. 1. Математична iнтерпретацiя
5. Побудова прямого кругового конуса висотою Н i радiусом основи Я. Вибiр осi абсцис, що мктить висоту конуса i з початком в центрi його основи (рис. 1). Введення змшно''', представлення потен^ально''' енергГ'' пiщинок як е. = тqxi.
6. Побудова перерiзiв конуса П площинами, що паралельнi основi. Знаходження потен^ально''' енергГ'' одержаних шарiв тску £. = тдх1.
Тут т = рУ{, у = ^(х)• ДХ, де V - об'ем нго шару, (х.) - площа поперечного перерiзу, Дх- висота шару
тску.
Очевидно, що (х1) = л • г12, де Г - радiус основи нго шару. З подiбностi трикутникiв (див. рис. 1) одержуемо
г Н — х.
R H
Звщки r _ H_Xr .
' H
Тому 5 x ) = H _ x, )2.
H
r2
Отже, потенцiальна енерпя /-го шару nicKy
, ч к. р. д К2 (н — х,)2 х,.Дх Е, = = р = р. д^(х,.).х,. •Дх =-—--
н
7. Потен^альну енергiю купи тску знаходимо наближено за формулою
Е = Е + Е + ■■■ + Е = л р д2'К • ((н — х)2хДх + (н — х)2XДх + ■■■ + (н — X)2XДх).
н
Сума, що подана в дужках, е Ытегральною сумою.
8. Очевидно, що штегровною е функщя
/(х) = (н — х)2 •х,
м межi iнтегрування 0 < х < Н■
9. Потенцiальну енерпю купи пiску знаходимо як границю iнтегральноí суми при Дх —> 0, тобто обчислюемо визначений iнтеграл
П2 н
Е =л-р-д-К |(н — х)2.хс1х.
0
2 3 4 J 2 3 4 12
j(H _ x)2 • xdx = j(H2x _ 2Hx2 + x3)dx =
v
0
Отже, А = Е= к-Р-д'к 2 . Н1 = К'Р' д •К 2 •Н 2 .
Н2 - 12 12
Записуемо вщповщь: а =
к • р • д • Л2 • Н
12
10. Ус дм виконано зпдно з моделлю процесу розв'язування прикладних задач за допомогою визначеного Ытеграла, операцп виконано правильно.
11. Зрозумто (не зовсiм зрозумiло, незрозумiло) теоретичне пщфунтя реалiзованоí моделi (поняття визначеного Ытеграла, iнтегровноí функцп). Навчально-теоретичну модель процесу розв'язування прикладних задач за допомогою визначеного Ытеграла створено i реалiзовано самостiйно (з допомогою). У навчанн переважали колективно розподiленi форми роботи (самонавчання, провщною була роль учителя, викладача). Серед цiннiсних орiентирiв переважали цiнностi процесу пiзнання (устху i визнання, вiдповiдальностi й обов'язку, розвитку або ж превалював зовншый мотив). Результати самооцЫки фiксуються зпдно з прийнятою системою зна^в (геометричних ф^гур [4]).
Представлений рiвень змстово-теоретичного узагальнення задачi спiввiдносимо iз навчально-теоретичною зоною найближчого математичного розвитку суб'ектв навчання, у рамках яко! моделюються узагальнен способи д^й у процеа розв'язування прикладних задач з математики. Тому порiзно мають вирiшуватися навчально-теоретичн задачi, пов'язанi з моделюванням процесу розв'язування прикладних задач методами границь i похщно!. Органiзацiя повноцiнноí (цЫсно!) навчально-математично! дiяльностi здiйснюеться в умовах сшвпращ (спiвробiтництва) вчителя та учыв, викладача i студентiв, у ходi колективного i колективно розподiленого розв'язування навчально-теоретичних задач з математики. Перетворення навчально-теоретично¡'зони найближчого математичного розвитку учн'ю (студент1в) в зону ¡хнього актуального розвитку (де в1дпов1дний тип задач розв'язуеться ними самост1йно) засв1дчуе про нову ¡нтелектуальну яшсть, перех1д суб'ектв навчально-математично¡' д1яльност1 (¡хн'х математичних зд1бностей) на вищий р1вень розвитку.
Висновки. Формування навчально-математично! дiяльностi здмснюеться в умовах реалiзацií задачного пщходу, в процеа розв'язування рiзнотипних задач. Задля розвитку математичних здiбностей суб'ект навчання, активiзацií !хнього структурно-математичного мислення (як рiзновиду теоретичного) важливо, щоб задачi рiзнилися рiвнем змктового теоретичного узагальнення. Навчально-теоретичнi задачi з математики забезпечують формування системних знань, оволодЫня узагальненими способами дiй, а !х рiвень змiстово-теоретичного узагальнення слугуе актуалiзацií математичних здiбностей i, водночас, репрезентуе навчально-теоретичну зону найближчого математичного розвитку суб'ек^в навчання математики. Розроблена модель процесу розв'язування прикладних задач за допомогою штеграла Рiмана мае дворiвневу структуру й визначае узагальнений споаб дiй як для викладача (вчителя), так i студентiв (учыв). Г! методична доцiльнiсть, окрiм вищезазначеного, зумовлена логiкою навчального пiзнання, в основi яко! метод сходження вщ абстрактного (загального) до конкретного (часткового), що адекватно вiдповiдае дедуктивнiй суп математики. Моделюванню процесу розв'язування Ыших навчально-теоретичних задач з математики будуть присвячен нашi подальшi роботи.
Список використаних джерел
1. Семенець С. П. Методолопя i теорiя розвивального навчання математики : [монографiя] / С. П. Семенець. - Житомир : Вид-во О. О. бвенок, 2015. - 236 с.
2. Семенець С. П. Теорiя i практика розвивального навчання у системi методично! пщготовки майбутых учителiв математики : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня доктора пед. наук : спец. 13.00.04 „Теорiя i методика профеайно! освiти" / С. П. Семенець. - Житомир, 2011. - 44 с.
3. Семенець С. П. Задачний пщхщ до формування навчально-математично! дiяльностi та розвитку математичних здiбностей учыв / С. П. Семенець // Математика в рщнш школГ - 2016. - № 4. - С. 14-18.
4. Семенець С. П. Рефлекая як особлива задача розвивального навчання математики / С. П. Семенець // Математика в школк - 2009. - № 10. - С. 13-15.
Анота^я. Семенець С. П. Навчально-теоретичн задач! з математики: моделювання процесу розв'язування прикладних задач за допомогою визначеного '¡нтеграла.
У роботI з погляду особистсно-розвивально¡' концепци осв1ти розкрито основн суперечност'1 чинно¡' системи математично¡' Ыдготовки, серед яких ключовим названо глибоке внутр'шне протир:ччя мж зм1стом дисципл1ни та методикою ¡¡' навчання. У контекст'1 задачного п1дходу до формування навчально-математично¡' д1яльност1 розроблено навчально-теоретичну модель процесу розв'язування прикладних задач за допомогою визначеного ¡нтеграла. Доведено, що навчально-теоретичн задач/ з математики забезпечують формування системних знань, оволод'ння узагальненими способами дй, а ¡х р1вень змстово-теоретичного узагальнення слугуе актуал'зацП математичних зд1бностей ¡, водночас, репрезентуе навчально-теоретичну зону найближчого математичного розвитку суб'ект'в навчання математики. Розроблена модель процесу розв'язування прикладних задач за допомогою ¡нтеграла Р/'мана мае дворвневу структуру й визначае узагальнений спос1б д1й як для викладача (вчителя), так / студентв (учн1в). Обфунтовано, що методична доц1льн1сть представлено/' модел'1 зумовлена лог1кою навчального пзнання, в основ1 яко/' метод сходження в1д абстрактного (загального) до конкретного (часткового), що адекватно вдповдае дедуктивн1й сут'1 математики. Послуговуючись саме такою лог1кою, подано поетапне розв'язання прикладной'задач'! про м1н1мальну роботу для подолання сили тяж1ння. Специф1ка реал1зованого способу д1й полягае в його рефлексивнй складов1'й, а саме: змстовому анал1з1 / самоконтрол'1 виконано/' навчально-математично¡' д'тльност'!, а також самооц1нц1 засвоення узагальненого способу д1й у процеа розв'язування прикладних задач за допомогою визначеного ¡нтеграла (зм'стов'ш, процесуальнй, референтнй, ц!ннснш).
Ключов! слова: навчально-теоретичн задачi з математики, моделювання, прикладн задачi, зона найближчого математичного розвитку, сходження вiд абстрактного (загального) до конкретного (часткового), визначений iнтеграл.
Аннотация. Семенец С. П. Учебно-теоретические задачи по математике: моделирование процесса решения прикладных задач с помощью определенного интеграла.
В работе с точки зрения личностно-развивающей концепции образования раскрыты основные противоречия системы математической подготовки, ключевым среди которых названо глубокое внутреннее противоречие между содержанием дисциплины и методикой ее обучения. В контексте задачного подхода к формированию учебно-математической деятельности создано учебно-теоретическую модель процесса решения прикладных задач с помощью определенного интеграла. Доказано, что учебно-теоретические задачи по математике обеспечивают формирование системных знаний, овладение обобщенными способами действий, а их уровень содержательно-теоретического обобщения служит актуализации математических способностей и, одновременно, представляет учебно-теоретическую зону ближайшего математического развития субъектов обучения математике. Разработанная модель процесса решения прикладных задач с помощью интеграла Римана имеет двухуровневую структуру и определяет обобщенный способ действий как для преподавателя (учителя), так и студентов (учеников). Обосновано, что методическая целесообразность представленной модели обусловлена логикой учебного познания, в основе которой метод восхождения от абстрактного (общего) к конкретному (частичному), адекватно отвечает дедуктивной сути математики. Пользуясь именно такой логикой, подано поэтапное решение прикладной задачи о минимальной работе для преодоления силы тяжести. Специфика реализованного способа действий заключается в его рефлексивной составляющей, а именно: содержательном анализе и самоконтроле проделанной учебно-математической деятельности, а также самооценке усвоения обобщенного способа действий в процессе решения прикладных задач с помощью определенного интеграла (содержательной, процессуальной, референтной, ценностной).
Ключевые слова: учебно-теоретические задачи по математике, моделирование, прикладные задачи, зона ближайшего математического развития, восхождение от абстрактного (общего) к конкретному (частному), определенный интеграл.
Abstract. Semenets S. Р. Educational-theoretical problems in mathematics: modeling the process of solving applied problems using definite integral.
In the work from the point of view of personal-developmental concept of education disclosed the basic contradictions of the current system of mathematical training among which the key is named deep inner contradiction between the course content and method of learning. In the context of task approach to forming of educational-mathematical activities developed by the educational-theoretical model of the process of solving applied problems using definite integral. It is proved that training and theoretical problems in mathematics provide the formation of system knowledge, the acquisition of generalized methods of action, and their level of meaningful theoretical synthesis is the actualization of mathematical abilities and at the same time is educational-theoretical zone of proximal mathematics development of the subjects of teaching mathematics. The developed model of the process of solving applied tasks with the help of the Riemann integral has a duplex structure, and defines a generalized method of action for the teacher (teachers) and students (learners). It is proved that the methodological feasibility of the presented model is due to the logic of educational knowledge, based on the method of ascent from the abstract (General) to concrete (specific) that adequately corresponds to the deductive fact of mathematics. Guided by this logic, presents a solution of the applied tasks of the physical content of the minimum work to overcome the force of gravity. The specifics of the implemented course of action lies in its reflexive component, namely: content analysis and self-made teaching and mathematical activities and self-assessment the absorption of the generalized mode of action in the process of solving applied problems using definite integral (substantive, procedural, reference, value).
Key words: educational-theoretical problems in mathematics, modelling, applied problems, the mathematical zone of proximal development, of ascent from the abstract (General) to concrete (specific), definite integral.
