CC BY
19МЕТОДИКА ФОРМУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ПОНЯТЬ (РОЗВИВАЛЬНИЙ П1ДХ1Д)
С.П.Семенець, доктор педагог. наук, доцент, Житомирський державний умверситет м. 1вана Франка,
м. Житомир, УКРА1НА
У контекстг розвивального пгдходу розкрито особливостг змгстового / процесуаль-ного компонентов методики формування математичних понять, розроблено навчаль-но-методичну модель управлтня навчально-математичною д1яльн1стю учтв у ход1 1х засвоення.
Ключов1 слова: розвивальне навчання, методика навчання математики, формування математичних понять.
Постановка проблеми. Основою кож-но1 науково! теори та навчально! дисциптни е система теоретичних понять, якими вони оперують. Психолопчним закономiрносгям формування в дггей наукових понять прис-вячен роботи Л.С.Виготського, Г.С.Костю-ка, В.В.Давидова, П.Я.Гальперша, С.МКа-баново!-Меллер, Н.Ф.Тализiноi, НАМен-чинсько! та iнших. Вагомий внесок у розро-блення методики формування в учтв математичних понять зробили украшсью науко-вцi: Г.ПБевз, ВГБевз, М.1.Бурда, О.1.Скафа, С.О.Скворцова, З.1.Слепкань, Н.А.Тарасенкова, В.ОШвець та iншi.
Мета статт1 - у контекст концепци розвивально! осв^и розкрити особливосп змiстового i процесуального компоненпв методики формування математичних понять, розробити навчально-методичну модель управлшня навчально-математичною дiяльнiсгю учтв у ходi !х засвоення.
Пщ поняттям розумiють форму мис-лення, в якiй вiдображено загальнi ютотш, специфiчнi властивосгi й особливосп пре-дметив або явищ навколишньо! дшсносп. Зокрема, в укра!нському тлумачному словнику поняття трактуеться як одна з форм мислення, результат узагальнення сутте-вих ознак об'екта вивчення. Термшом „поняття" оперують для позначення розу-
мового образу певного об'екта чи явища або класiв об'екпв i явищ [1]. Фундатор теори розвивального навчання В.В.Давидов наголошував: „Формування в д^ей узагальнень i понять вважаеться од-нiею з головних цшей шкшьного викла-дання" [2, с. 11]. Особливою математич-них понять е те, що вони стосуються прос-торових форм i кшьюсних вiдношень об'ективно! реальносгi, вiдображених у мисленнi на основi змiстово-теоретичних дiй абстрагування та узагальнення.
Вивчення понять, об'екгiв та !х озна-чень може здiйснюватися в рiзних контекстах: логичному, змiстовому (предметному), тзнавальному (гносеолопчно-му), семантичному та iнших. У методицi навчання математики доцшьно вибрати логiчну основу, що враховуе специфiку математичних висловлень. Ураховуючи, що навчання можливе гiльки в дiяльностi, формування математичних понять забезпечуеться, якщо виконуеться цiлiсна навчальна д1яльнють, тобто зад1яш ва й структурш компонента: потреби мотиви <=> цш <=> умови 1 засоби досягнення щлей д1'1 операцп [3].
Одним iз провiдних принципiв педагогично! психологи е принцип едносп знань i дiй. Вид^ють два роди знань:
(68)
© 8ешепе1з 8.
знання про предмета i явища дiйсностi (поняття) та знання про ди, якi з ними по^бно виконувати. З цього приводу З.1.Слепкань зауважуе: „Недолшом тради-цiйного i сучасного навчання математики е недостатня увага до знань другого роду. Часто учш та студенти, яю добре знають означення математичних понять, не вмшть застосовувати 1х до доведення теорем i розв'язування задач, у тому чист й прикладного змюту. Тому ди, адекватнi знанням, зокрема поняттям, мають стати не тшьки засобом, але й предметом засвоення" [4, с. 51]. Саме в розвивальнш математичнiй освiтi ставиться завдання навчити не тшьки знанням (знанням про поняття), але й знанням про способи 1х одержання та застосування.
З огляду на вищезазначене, необхiдно розв'язувати проблему походження математичних понять, 1х структури та способiв застосування в задачних ситуацiях, а отже, визначити ди, що адекватнi видам озна-чень математичних понять, обгрунтувати 1х властивостi. Ми подiляемо думку Н.Ф. Тализшо'1, що „формування понять передбачае, по-перше, засвоення системи спещальних операцiй для встановлення необхiдних i достаттх ознак понять. Подруге, засвоення системи операцiй: пiдведення тд дане поняття i одержання наслщюв iз належностi об'екта даного класу. Операцiйна частина i становить власне психолопчний механiзм поняття. Без нього поняття не може бути ш сфор-моване, нi застосоване до розв'язування рiзних задач. Через зазначену систему операцiй i вiдбуваеться управлшня форму-ванням понять" [5, с. 32].
Найпоширетший спосiб означення понять у математищ через найближчий рщ i видову ознаку. Структура ще1 ди може бути представлена в символьнш формi так:
Ух&Х А(х) о В(х).
Або словесно: найближчий р]д термт о ендова ознака.
Операци, що розкривають дiю означення, е такими: 1) вибiр найближчого
родового об'екта; 2) накладання на об'ект обмеження, що розкриваеться у видових характеристиках.
Згщно з дiяльнiсним пiдходом необ-хщно акцентувати увагу на специфiцi дш, що дозволяють видiлити родовi об'екти, видовi вiдмiнностi. Означення через найближчий рщ та видовi ознаки можуть мати так1 рiзновиди: 1) означення об'екпв шляхом видiлення характеристичноi властивосп; 2) означення, що формулю-ються на основi операц11 заперечення;
3) конструктивш i рекурсивнi означення;
4) неявт означення первiсних понять через систему аксюм.
Означення математичних об'екпв шляхом описання характеристичноi властивостi грунтуеться на лог1чних операцiях, пов'язаних iз встановленням найближчого роду, видових ознак i з'ясуванням лог1чного зв'язку мiж ними. Логiчна природа таких означень може бути кон'юнктивною, диз'юнктивною, грунтуватися на операцii заперечення або такою, що зводиться до названих лог1чних операцiй. Заперечувальнi означення формулюються тодi, коли певний клас об'ектiв розбитий на множини й об'екти однiеi множини мають певт властивостi ('м присвоено термiн), але юнують об'екти цього класу, що не мають таких властивостей. У конструктивних i рекур-сивних означеннях характеры властивост1 об'ектiв розкриваються через операци, на основi яких цi об'екти конструюються. Особливiстю рекурсивних означень е те, що спочатку вказуються деяю базовi об'екти деякого класу та задаються операцii, що дозволяють одержати новi об'екти цього ж класу. Неявне означення первiсних понять розкриваеться через систему аксюм, у якш висвплюються iхнi змiстовi характеристики.
Таким чином, означення формулюються на основi одше1' й т1е' ж логично' дii, хоча 11 змiстове наповнення в кожному конкретному випадку може бути рiзним (за допомогою характеристично' властивосп, заперечення властивостей, конструктивних дш, неявного задання).
Формування математичних понять мае здшснюватися вщповщно до визначено!' структури логично!' ди, а вивчення видiв означень проходити зпдно з лопкою сходження вiд абстрактного до конкретного й передбачати застосування понять на практищ (у ходi розв'язування задач, застосування факпв теори).
До означень висуваються вимоги, на яких наголошуе З.1.Слепкань [6]:
1. Вiдсугнiсть порочного кола. Це означае, що поняття, яке означаеться, не повинне явно чи неявно м^итись у новому понятп, через яке воно означаеться.
2. Вщсутшсть омошма. Це означае, що кожний термш (символ) мае траплятися не бiльше одного разу як такий, що вщповщае означуваному поняттю. У разi порушення ща вимоги один i той самий термш (символ) позначатиме рiзнi поняття.
3. Означення не мае мiстити понять, яю ще не означалися.
Концепщя розвивально'1' освiти передбачае видiлення „клтинки" -генетично вих1дного теоретичного поняття, на основ1 якого розкриваеться суттсть ycieï р1зноматтност1 навчального матерiалу в структурах його теоретичног та практичноï (задачног) складових. На нашу думку, такою „кл^инкою" курсу шюльно'1' математики слугуе поняття „матема-тичног моделУ', яке виконуе роль генетично вихщного.
Загальне означення математично'1' моделi X деякого об'екта (системи об'екпв) У може бути сформульоване на основi поняття математичноï структури. Множина (система) математичних об'екпв 1^,х2,..,1я ¡з введеними в шй математичними операщями (вщно-шеннями) X <^1,а2,...,ап , що задоволь-няють властивосп X Д, /?2,..., Д. , е математичною моделлю множини (системи) об'екпв У Д, у2.., ут ¡з виконува-ними в шй д1ями У Sn , яю
мають властивосп У \, Л2,..., Лг , якгцо:
1) мiж елементами, операцiями (дiями) та властивостями, що виконуються в цих множинах, можна встановити взаемно однозначну вiдповiднiсть;
2) результат ди мiж двома елементами в множинi Х вщповщае елемент множини У, що е результатом вщповщно! ди мiж вщповщними елементами цiеi ж множини.
Таким чином, означення матема-тичног модел1 формулюеться через поняття 1зоморф1зму мгж множинами р1зног природи, задовольняе властивост1 вгдношення еквгвалентностг (рефлексив-тсть, симетричтсть I транзитивтсть). Саме це дае змогу:
• зробити висновок про юнування рiзних математичних моделей об'екта, процесу, явища, адже за властив^ю етвалентносп, якщо Хг - математична ^ерпретащя моделi Х, то Хг буде математичною об'екта У;
• вивчати найр1зномашттгш процеси, яю за сво!ми зовнiшнiми характеристиками не мають шчого спiльного (наприклад, генетичний код, свiтловi та електромагштш явища, теплота та коливання в ядр1 атома);
• вщображати юльюсш характеристики та конструктивнi особливосп предмета, процесiв, явищ, що штерпретуються в алгебричних, трансцендентних, функщо-нальних, диференцiальних, iнтегральних рiвняннях, геометричних конструкцiях тощо;
• формувати змютово-теоретичш абстракци та узагальнення в процеа навчального пiзнання, що вiдiграе важливу роль i займае особливе мюце в розви-вальнiй математичнiй освт.
З урахуванням вищеназваних теоре-тичних засад, розробляеться методика формування математичних понять, в основi яко! дiяльнiсний пiдхiд, репрезенто-ваний у розробленому нами розвивально-задачному методi навчання математики. Ключовими завданнями цiеi методики е розв'язання таких освiтньо-математичних проблем:
• походження теоретичных понять шкыьног математики;
®
• формування поняття „матема-тично1 модел1" та навчання методу математичного моделювання;
• навчання способам diù у гтроцеа формулювання р1зних вид1в означень математичних понять (розв 'язування навчалъних задач);
• формування логгчног diï, що розкривае змют i структуру означення математичних об'ектхв (розв'язування навчалъно-теоретичног задач]);
• реалгзспря стшъового nidxody (на рiвнi стилiв кодування тформаци) у процеС формування математичних понять;
• формування влпнъ застосовувати математичш поняття в процеС розв 'язу-вання задач, вивчення теоретичного Mamepimy;
• рефлекая (самоанализ, самоогрнка, самоконтроль) рiвня засвоення математичних понять.
Згщно з концептею розвивально'' освГти (дГяльшсним пщходом) формування математичних понять у школярГв досягаеться завдяки оргашзаци ïx нав-чально'' дГяльносп, що нацшена на розв'язання двох взаемопов 'язаних зав-дань: вивчення способГв означень математичних понять i формування на цш основГ узагальненоï схеми дш; формування вмшь застосовувати математичш поняття тд час розв'язування задач, розвитку математичних теорш. Тому вивчення понять у розвивальнш матема-тичнш освiтi передбачае постановку та розв'язування двох навчальних задач, якГ, з огляду на свою загальнопредметну роль i значущють, можна вiднести до категори навчально-теоретичних.
Формування математичних понять у розвивальнш математичнш освiтi здшсню-еться на основi навчальноï технологи, що репрезентуе структуру розвивально-за-дачного методу навчання математики [7].
I етап. Постановка та розв'язування задач на основi сформованого способу дш (спещальна орiентацiя на успix). Створення проблемно'' задачно'' ситуацГï, що мае практичний (прикладний) змГст i
розв'язання яко'' передбачае введення нового теоретичного поняття. Рефлекая першого етапу навчального тзнання.
II етап. Постановка прикладно'' чи практично'' задачу що потребуе введення нового теоретичного поняття. Створення математично'' моделi, видiлення генетично вихщного вiдношення, яке лежить в основГ нового поняття. Вивчення математично'' моделТ визначення характеристичних властивостей означуваного об'екта. Уве-дення математичного термiна та вщповщ-ного йому символу. Розв'язування задачТ методом математичного моделювання, застосування взаемно обернених дш пiдведення пГд поняття та виведення наслщюв Гз факту належностi об'екта тзнання до поняття. РефлексГя другого етапу навчального тзнання.
III етап. Постановка першо'' навчаль-но'' задачТ, пов'язано'' з формуванням способу дш у процесГ формулювання означень математичних понять певного виду. Конструювання навчально'' моделГ (способу дГй) формулювання означень математичних понять: 1) змГстовий аналГз задачно'' ситуаци, видГлення початкового загального вГдношення, яке виявляеться в багатьох шших частинних випадках; 2) формування змГстово'' абстракци: створення математично'' моделГ - штерпретаци поняття (його генетично вихщного вГдношення) у знаковш, геометричнш (графГч-нш) формах; 3) формування змГстових узагальнень: вивчення математично'' моделГ, видГлення загальних Гстотних i специ-фГчних властивостей поняття, визначення його найближчого роду та видових ознак; 4) введення термГну (вщповщного йому символу); 5) формулювання означення поняття за схемою: терлан —> pid видовi ознаки; 6) побудова таблицу що розкривае змГст i структуру поняття, його рГзновид:_
Скорочений запис формулювання означення поняття
Структура означення
Термт: Рiд:
Видовi ознаки:
Рiзновид означення
<7D
7) контроль за виконанням попередтх дш, ощнка рiвня засвоення способу означення математичних понять.
Застосування математичних понять у ходi розв'язування задач, вивчення фактiв теори передбачае виконання двох взаемно обернених дiй: пiдведення пiд поняття та виведення наслiдкiв iз факту належносп об'екта пiзнання до поняття. Знаходження способу виконання названих специфiчних дш е змiстом друго'1' навчально'1' задачъ
Дя пiдведення математичного об'екта тд поняття складаеться з таких операцш:
1) видiлення всiх характеристичних властивостей поняття (рiд, видовi ознаки);
2) встановлення логiчних зв'язюв мiж родом i видовими ознаками поняття;
3) перевiрка, чи мае математичний об'ект такий же рiд, чи характеризуемся вiн такими ж видовими ознаками та зв'язка-ми; 4) формулювання висновку про те, чи належить або не належить математичний об'ект до класу об'екгiв, що зафшсоваш в означеннi.
Дiя виведення наслвдюв iз того, що об'ект належить до класу об'екгiв, яю охарактеризовав в понятгi, включае операци: 1) видiлення роду, до якого належить математичний об'ект; 2) встановлення характеристичних властивостей (видових ознак) уах об'екпв указаного класу; 3) з'ясування лопчних зв'язкiв мiж родом i видовими ознаками поняття.
Для вiзуалiзацiï зшсту й структури дiй у процеа застосування математичних понять будуеться таблиця:_
Застосування математичних понять
1) видыення змютових
характеристик поняття:
рiд, видовi ознаки;
2) встановлення логiчного
№я зв 'язку мiж родом i
тдведення видовими ознаками;
nid 3) nеревiрка
поняття математичного об 'екта
на наявтсть першог та
другог характеристики
поняття;
4) формулювання висновку
1) видыення роду, до якого
належить математичний
об 'ект;
2) встановлення
№я виведення на^дтв характеристичних властивостей (видових ознак), яю мають ус об 'екти вказаного класу; 3) встановлення логiчних зв 'язюв м1ж родом i видовими ознаками поняття
На третьому етапi формування математичних понять здшснюеться рефлекая (самоаналiз, самооцшка, самоконтроль) засвоення способiв розв'язування навчаль-них задач.
IV етап. Реалiзацiя побудованих навчальних моделей зпдно з лопкою сходження вщ абстрактного до конкретного: постановка (складання) та розв'язування системи частинних задач на застосування введеного поняття. Контроль виконання навчальних дш та операцiй у процесi розв'язування кожно'1 задачi. Змютова, процесуальна оцшки рiвня засвоення узагальненого способу дш (навчально!' моделi, побудовано'1 на третьому етат навчання). Референтна, цiннiсна самооцшки виконаноï навчально-математичноï дiяльностi.
V етап. Зм^овий аналiз попереднiх етатв навчання. Самоконтроль i самооцшка (зм^ова, процесуальна, референтна, цiннiсна) процесу учшня математики. Реалiзацiя варiативностi та альтернатив-ностi стосовно означення математичних понять. Введення поняття еквiвалентностi двох означень одного й того ж матема-тичного об'екта. Формування способу дiй: пщведення пiд друге означення математичний об'ект, що розкритий у першому означент; пiдведення пiд перше означення математичний об'ект, що розкритий у другому означенш. Постановка ново! зада-чi (прикладное практично!), що передба-чае введення нового теоретичного понят-тя, зм^ якого ширший.
У посiбнику [8] наведено реалiзацiю представлено! навчально-методичноï мо-
(72)
делГ з метою формування в учшв математичних понять (означуваних; первюних; понять, що вводяться описово).
Таким чином, розроблена методика формування математичних понять утшюе основнГ концептуальнГ положення розви-вально'' математично'' освГти: обгрунтуван-ня походження теоретичних знань i актуа-лГзацГя науково-теоретичного типу мис-лення; задачний тдхщ до оргашзаци про-цесу учГння математики; навчання математики у формГ навчально-математично'' дГяльносп; видГлення системотвГрного поняття та сходження вГд абстрактного до конкретного в хода навчального тзнання; рефлексГя (самоаналГз, самооцшка, самоконтроль) засвоення способу дш у процесГ розв'язування типових (навчальних) задач. Особливостям змстового i процесуального компоненпв методики вивчення теорем у розвивальнш математичнш освт будуть присвяченГ нашГ подальшГ роботи.
1. Великий тлумачний словник укратськог мови /уклад. i гол. ред. В.Г.Бусел. - К. - 1ртнь: Перун, 2003. -1440 с.
2. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении (логико-психологические проблемы по-
строения учебных предметов) /В.В.Давъдов. -М.: Педагогика, 1972. - 424 с.
3. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения /В.В.Давыдов. - М. : Интор, 1996. -544 с.
4. Слепкань З. Психолого-педагог1чш та методичш основи розвивального навчання математики /З.Слепкань. - Тернотль: Шдру-чники i поабники, 2006. - 240 с.
5. ТалызинаН.Ф. Управление процессом усвоения знаний /Н.Ф.Талызина. - М.: МГУ, 1975. - 343 с.
6. Слепкань З.1. Методика навчання математики: тдручник для студент1в математичних специальностей педагоггчних навчаль-них заклад1в /З.1.Слепкань. - К.: Зод1ак-Еко, 2000. - 512 с.
7. Семенець С.П. Особисттно розвиваль-ний тдх1д до математичног освти: розвива-льно-задачний метод навчання /С.П.Семенець //Математика в школ1. - 2008. - № 11-12. -С. 26-30.
8. Семенець С.П. Методика навчання математики (тдготовлено на основi концепцп розвивальноХ освяти): навчальний поабник /С.П.Семенець. - Житомир: Вид-во ЖДУ iм. I. Франка, 2009. - 536 с.
Резюме. Семенец С.П. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ (РАЗВИВАЮЩИЙ ПОХОД). В контексте развивающего подхода раскрыты особенности содержательного и процессуального компонентов методики формирования математических понятий, разработано учебно-методическую модель управления учебно-математической деятельностью учащихся при их усвоении.
Ключевые слова: развивающее обучение, методика обучения математики, формирование математических понятий.
Abstract. Semenets S. THE METHOD OF MATHEMATICAL CONCEPTS FORMATION (DEVELOPING APPROACH). The features of substantial and procedural components of the method of mathematical concepts formation have been revealed in the context of the developing approach. The educational and methodological model of management the educational and mathematical activity of students during their assimilation has been developed.
Key words: developing training, methods of teaching mathematics, formation mathematical concepts.
Стаття надшшла до редакцп 21.01.2012р.
©
