CC BY
5ФОРМУВАННЯ ПОНЯТТеВОГО АПАРАТУ В ПРОЦЕС1 МАТЕМАТИЧНО1 ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТ1В У ВНЗ
В. В.Корнещук, канд. педагог. наук, доцент, Одеський нацюнальний полтехмчний утверситет,
м. Одеса, УКРА1НА
Запропонований анал1з процесу формування у студент1в математичних понять I поняттевого апарату у студентгв. Розглянуто термт «поняття», його обсяг I змгст, а також класифгкацгя понять по зв 'язкам та вгдношенням. НаведенI методичш реко-мендаци викладачам з оргашзаци цього процесу формування математичних понять у студентгв.
Ключовi слова: математична тдготовка, поняття, поняттевий апарат.
Постановка проблеми. Новi напря-ми розвитку науки, економши й вироб-ництва, шформацшних технологш, бан-ювсько! справи потребують вщ спеща-лгспв рiзних галузей високого рiвня ма-тематично! тдготовки, готовност не тшьки використовувати вже вiдомий математичний апарат, але й створювати новий. Тому проблема яюсно! математи-чно! подготовки майбутнiх фахiвцiв у ВНЗ залишаеться актуальною.
Аналiз актуальних досл1джень. Одним з аспекпв означено! проблеми е формування в студенпв гнучкого й дiе-вого поняттевого апарату в процес !х-ньо! математично! тдготовки у ВНЗ, вивченню якого присвячет роботи Я.1.Груденова, Л.Ф.Кейран, Л.Д.Кудрявцева, З.1.Слепкань, О.1.Скафи, А.А.Сто-ляр, Н.А.Тарасенково!, А.В.Усово!, О.Я.Хiнчина та iнших науковщв.
Метою статтi е аналiз i систематиза-щя наукових дослiджень з питань формування окремих математичних понять i поняттевого апарату в щлому в процеа математично! тдготовки студенив у ВНЗ, визначення методичних рекоменда-цiй для викладачiв вищо! школи.
Виклад основного матерiалу. Зазна-чимо, що утворення наукових понять в математицi мае особливу значущють. Усi математичнi поняття виникають або вна-
слiдок абстрагування вiд властивостей предмейв, що реально iснують у природ^ або внаслiдок абстрагування вщ вдао-шень мiж ними. 1нод поняття е абстрак-щями вже вщомих абстракцiй. Проте всi абстракцп узятi з реального свiту й пов'язаш з ним.
Термiн "поняття" позначае деякий мисленевий образ об'екпв певного кла-су або процеав об'ективно! реальностi й нашо! свщомосп: поняття - це "цЫсна сукуптсть мiркувань, тобто думок, в яких що-небудь стверджуеться про вщ-мшт ознаки дослiджуваного об'екта, ядром яко! е судження про найбiльш за-гальнi i в той же час суттевi ознаки цього об'екта" [2; 393]; це "форма мислен-ня, в якш вщображаються загальнi ютот-нi й вщмшт (специфiчнi) властивостi i особливостi певних предмепв або явищ дшсностГ' [3; 53].
Саме в поняттях узагальнет суттевi ознаки предметiв, ix зв'язки i вщношен-ня. Поняття розвиваються за законами мислення. Поняття суттево вiдрiзняють-ся вiд уявлень - "вщтворень образiв предмепв", що залежать вiд псиxiчного стану людини й можуть вщображати несуттевi й окремi ознаки [1; 41]. На вь дмiну вiд уявлень, науковi поняття роз-кривають суттевi ознаки i властивостi предмета, явища, визначають суттевi
© КотезИеИик V.
зв'язки i вщношення мiж ними. При цьому ознаку й властивють розумiють як те, що "притаманне предметам, що вiдрiзняe !х вiд iнших предметiв або ро-бить !х схожими на iншi предмети" [2; 416, 457]. Без суттевих властивостей, що виражають якiсну визначенiсть, предмет юнувати не може.
Кожне поняття мае свш обсяг i змiст. Обсяг поняття - це множина об'екпв, якi воно охоплюе. Змiст поняття вщображае множину суттевих спiльних властивостей, притаманних уам об'ектам, що належать до поняття. Мiж змгстом поняття i його обсягом гснуе така залежнiсть: чим менший обсяг поняття, тим бiльший його змгст. Коли обсяг одного поняття стано-вить частину обсягу шшого, то перше поняття називають видовим, а iнше - родо-вим [3; 53].
Процес видшення iстотних ознак i властивостей об'екта (предмета) та !х вiдокремлення вщ неiстотних називають означенням поняття [5; 69]. Означення поняття дозволяе вщповюти на запи-тання, чим е той об'ект (предмет), що воображений у поняти.
Означення поняття у самому широкому розумiннi "е логiчною операцiею в процесi яко! розкриваються змiст поняття, тобто вказуються вiдмiннi iстотнi ознаки предмепв, вiдображених в цьому поняттi. Означити поняття - це значить у стислш формi виразити найзагальнiшi, основт й iстотнi властивостi предмета, що означаеться, не вичерпуючи всiх його властивостей, боюв, зв'язюв". Крiм того, означення поняття передбачае ви-явлення його мiсця в системi iнших понять: "означити поняття - це значить тдвести певне видове поняття тд най-ближче родове поняття й вказати його видовi вщмшностГ' [6; 26-27].
Викладач мае знати не тшьки правила означення поняття, але й типовi по-милки, що виникають тд час такого процесу. В лопщ вирiзняють так помил-ки: порушення правила спiврозмiрностi, тавтологiя в означент (предмет означа-еться через самого себе), коло в озна-
ченнi (одне поняття означаеться через шше, а це шше - через перше), означення невщомого через невiдоме (по-няття означаеться через таке поняття, ознаки якого невiдомi i яке дос не ви-значено), включення в означення несут-тевих ознак поняття. Знання таких по-милок в означент понять сприятимуть бшьш точному формулюванню понять, що наводять як викладачi, так i студен-ти [6; 31]. Означаючи певне поняття викладач, мае враховувати, що:
а) означення поняття вщображае тшьки найбшьш загальт й вщмшт вла-стивостi певного класу предмепв або явищ, воно не мае на мет вичерпати всi властивост предмета;
б) означення поняття мае в стислш формi зафiксувати вiдомi знання про предмет чи явище;
в) означення поняття не е назавжди заданим, незмiнним;
г) формально-лопчна операцiя означення поняття застосовуються тiльки пiсля з'ясування його ютотних i неюто-тних ознак, властивостей [6; 32-33].
У процес означення кожному по-няттю привласнюють термiн - словесне позначення поняття: термшом назива-еться "слово або словосполучення, що е точною назвою строго визначеного по-няття науки" [2; 518]. Провщною яюс-ною характеристикою термшу мае бути його усталена однозначнiсть. Сукуп-нiсть математичних термМв утворюе математичну термiнологiю.
У процесах мислення слова-термiни виражають сутнiсть понять, виступають "представниками" понять у свщомосп людини. Тому термiн вважають словес-ним або термiнологiчним кодом поняття. Поряд iз термiнологiчним поняття мають лопко-математичний код - символьний аналог термша [5]. Кожному математич-ному поняттю зазвичай вiдповiдае один термш, деяк з них мають вщповщт тер-мiнам символи (А, X, ? (х)).
За зав'язками i вiдношеннями поняття класифiкують на порiвнянi й непорiв-нянi, а порiвнянi поняття, у свою чергу,
роздшяють на сумгст й несумют. Так, порiвняними називають поняття, що мають певну загальну ознаку, зазвичай це родове поняття (родова ознака), в обсяг якого воно входить. Непорiвняними е поняття, як неможливо порiвняти анi за обсягом, ат за змiстом. Сумюними е поняття, що мають спшьне найближче родове поняття (родову ознаку). ïxm видовi ознаки можуть ствпадати повшс-тю або частково. Несумюними називають поняття, що мають стльне найближче родове поняття (родову ознаку) та видовi ознаки, що виключають одна одну. До несумюних вщносять так званi суперечливi поняття, тобто поняття, сума обсяпв яких повнiстю вичерпуе обсяг спшьного родового поняття, а видо-вi властивостi мають протилежний характер [6; 20].
Побудова будь-яко'1 математично'1 теорп, математично'1 дисциплши вима-гае, щоб кожне поняття, що вводиться, мало точний змiст. Поняттями, що не мають точного конкретного визначення, математична теорiя оперувати не може. Означенням нового поняття визнають тшьки таке його формулювання, що без залишку редуцюе нове поняття до вже вщомих понять ще'1 науково'1 галузь На початку викладання кожно'1 математично'1 дисциплiни викладач вводить первь снi (неозначуванi) поняття. Акцентуючи увагу студенпв на те, що щ первiснi поняття не можуть й не повинт бути означуваними, викладач мае вводити кожне нове поняття через його конкрет-не означення, зведенням його до первю-них або вже вщомих студентам понять.
Зауважимо, що введення первюних понять не виключае необхщносп ïx по-яснення, встановлення закономiрниx обов'язкових взаемозалежностей мiж ними. Таю взаемозв'язки мiж первюни-ми поняттями утворюють аксюми. Так само, як кожне нове поняття потрiбно точно визначати через зведення до пер-вюних та вiдомиx понять, так i кожне нове твердження тдлягае логiчному зведенню до аксiом або ратше доведе-
них тверджень. Отже, в основi понятте-вого апарату кожно'1 математично'1 дис-циплiни лежать кшька первiсниx, не-означуваних понять, стосовно яких на-даеться перелж iснуючиx мiж ними фор-мальних взаемозв'язкiв. Цей перелiк становить систему аксюм певно'1 математично'1 галуз! Кожне нове поняття е означуваним, тобто тдлягае обов'язко-вому означенню [7; 92].
Перелш первiсниx понять зазвичай не визначаеться однозначно змютом вщ-повiдно'i науково'1 галузi, а може доби-ратися певною мiрою довiльно залежно вiд системи викладання навчального матерiалу. Тому поняття, що в однш сис-темi викладання буде первюним, в iншiй може i буде означуваним. Означуватсть та неозначуватсть поняття не е його об'ективною властивютю, що випливае з його змюту, а цiлком залежить вiд об-рано'1 системи викладання матерiалу.
Засвоення студентами того чи шшого поняття в його формальному виглядi дозволяе легко розумии суттсть iншиx, бiльш загальних родових понять, готуе ïx до сприйняття аналопчних понять, що виникають в шших ситуащях.
Систематизацiя i класифшащя мате-матичних понять дозволяють студентам глибше усвiдомити зв'язки мiж поняттями, 'ïxнiми властивостями i вщношен-нями, краще уявляти структуру навча-льного матерiалу i математично'1 дисци-плiни загалом.
Тому викладання кожно'1 математично'1 дисциплiни мае проходити через формування поняттевого апарату, який мае задовольняти певним педагопчним вимогам. По-перше, вiн мае бути еко-номним, тобто мае включати мМмум понять, необxiдний i достатнш для за-безпечення лопчно!' гармонiйностi теорй' i найкоротшого шляху до ïï практичного застосування. По-друге, важливою е послщовтсть уведення понять: посль довнiсть уведення понять, що усклад-нюе застосування теоретичних знань при виршент задач е дидактично недо-цшьною. По-трете, поняттевий апарат
© Korneshchuk V.
мае бути дieвим, працездатним, що за-лежить вщ трактування кожного його окремого поняття (iнодi один той самий термш може позначати рiзнi поняття) [4; 42-43].
Отже, викладач мае визначити, як поняття i в якш послщовносп мають утворювати логiчний i дидактично до-цiльний поняттевий апарат кожно! математично! дисциплiни, що вивчаеться у вищш школi.
Пщсумком вищевикладеного е мето-дичнi поради щодо формування поняттевого апарату в процес математично! пiдготовки студенпв.
1. Не_вводитинов1_поияття_ф^2мадь2 но. Це означае, що виклад нового мате-рiалу не треба починати з формулюван-ня означення або деяких вихщних пере-думов i зводити до послщовного викла-ду суто математичного аспекту теорп без з'ясування того, яким чином ця тео-рiя виникла i якi явища дшсносп вона вiдображае. Необхiдно виявити його зв'язки з практикою, iз сумiжними галу-зями науки, роль у вивчент дисциплi-ни, тобто пояснити студентам, як виник-ла необхiднiсть i неминучють вивчення цього матерiалу.
2. Конкретизувати новi поняття. Не-обхщтсть конкретизации нових понять дозволяе уникнути формальност пiд час ïx уведення. Зазвичай iз самого озна-чення не видно тих нових конкретних образiв, що вводяться за його допомо-гою. Важливо, щоб студенти вже з початку ознайомлення з поняттям мали приклад того реального об'екта (математичного, фiзичного, економiчного та im), що пiдпорядковуються певному означенню, теоремi або твердженню. Конкретизащя мае для вивчення математики важливе значення ще й тому, що пов'язана з умшнями "бачити" й "чита-ти" формули.
3. Вводити новi поняття найбiльш природним для студенйв шляхом. Це означае, що студенпв потрiбно пiдготу-вати до сприйняття нових понять або ново! теми. Несподiване й нiяк невмо-
тивоване ix введення створить перед студентами додатковi труднощi, пов'я-занi iз необхщтстю долати логiчний i псиxологiчний стрибок. Те, що студенти вважають природним i лопчним, засво-юеться без зайвих зусиль, а те, що зда-еться !м незвичайним i суперечить звич-ним уявленням, повтстю не засвоюеть-ся. Доцiльно спочатку пояснити необ-xiднiсть уведення нового поняття, спи-раючись на звичт уявлення студентiв, а потiм розвивати новi уявлення про поняття в необхщних напрямах.
4. Не припускати створення уявлень про довшьшсть уведення нових понять. Iнодi введення нових понять в процей вивчення математичних дисциплш по-чинаеться словами: "нехай...", "розгля-немо...", "будемо називати..." i без по-дальших пояснень щодо ix виникнення, розглядаються властивостi, формулю-ються твердження. Незважаючи на ма-тематичну бездоганнiсть, таке введення нових понять е недостаттм для повного розумшня й засвоення студентами, оскшьки призводить до уявлення, що це поняття i самий факт його уведення до-волi випадковi.
5. Вказувати на передумови нового ма-терiалу в старому або на аналоги нового зi старим. Щоб новий матерiал був добре засвоений, потрiбно, щоб студенти розу-мiли, як нове випливае зi старого, як у ви-вченому матерiалi закладеш передумови нового. Якщо наголосити на тому, що при вивчент минулого матерiалу студенти певною мiрою вже стикалися з цим новим, то новий матерiал не бути здаватися не-звичним, а стане природним продовжен-ням старого.
6. Висновки й доведения викладати у виглядi наближення до ютини. Як вiдо-мо, доведення теорем може вщбуватися двома шляхами. Перший - послщовне мiркування, що виходить з вщомих по-ложень i приводить до необхщного ви-сновку (шлях вiд вiдомого до невщомо-го). 1нший шлях - вважати необхщний висновок правильним i доводити спра-ведливiсть такого припущення (стрибок
вщ вщомого положения до невщомого з подальшою перевiркою його справедливости Незважаючи на те, що останнш шлях зазвичай коротший, перевагу слiд надавати доведенням через послщовне покрокове наближення до результату, оскiльки воно сприяе кращому розумш-ню логiки умовиводiв та засвоенню тео-реми.
7. Практикувати шдуктивний виклад складних питань. Вивчення складного матерiалу доцiльно починати з вивчення окремих часткових випадюв, а поим, послщовно ïx узагальнюючи, переходи-ти до загального випадку.
Висновки. Отже, формування по-няттевого апарату в процес математично'1' тдготовки студентiв вiдбуваеться в двох напрямах: вщ окремого сприйняття й уявлення до найпроспших загальних математичних понять та вщ них - шляхом подальшого абстрагування - до бшьш загальних понять; вiд загальних i абстрактних математичних понять - до ïx конкретизации. Сутнiсть процесу за-своення математичних понять полягае у засвоент змiсту (iстотниx ознак) поняття, його обсягу (сукупност об'екпв, охоплених цим поняттям), ютотних зв'язкiв i вiдношень певного поняття з шшими поняттями. Крiм того, оволо-дiння поняттевим апаратом передбачае також оволодшня вмiннями оперувати
ним тд час розв'язання рiзноманiтних задач.
Сподiваемось, що проведений аналiз стане пщгрунтям для створення конкрет-них методик формування поняттевого апарату з урахування специфши окремих математичних дисциплш, що спри-ятиме подальшому вдосконаленню ма-тематично! тдготовки студенпв.
1.Кейран Л.Ф. Структура методики обучения как науки (на основе анализа методики обучения биологии) / Л. Ф.Кейран. -М.: Педагогика, 1978. - 168 с.
2. Кондаков НИ. Логический словарь / Н.И.Кондаков. - М.: Наука, 1971. - 656 с.
3. Слепканъ 3.1. Методика навчання математики: тдр. для студ. мат. спег{. пед. навч. закчадгв / ЗЛ.Слепканъ. - К: Зодгак-ЕКО, 2000. - 512 с.
4. Столяр АЛ. Педагогика математики: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов/А.А.Столяр. - Мн.: Выш. шк., 1986.
- 414 с.
5. Тарасенкова НА. Поняття як
об'екти засвоення / Н.А.Тарасенкова // Ди-
: -
дження: мгжнар. зб. наук. робт. - Вип. 16.
- Донецък: Ф1рма ТЕ АН, 2001. - С. 69-80.
6. Усова А. В. Формирование у школьников научных понятий в прог{ессе обучения / А.В.Усова. - М.: Педагогика, 1986. - 176 с.
7.Хинчин А.Я. Педагогические статьи / А.Я.Хинчин; [под ред. Б.В.Гнеденко]. - М.: Нзд-во АПН РСФСР, 1963. - 204 с.
Резюме. Корнещук В.В. ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЙНОГО АППАРАТА В ПРОЦЕССЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ В ВУЗах. В статье предлагается аначиз процесса формирования математических понятий и понятийного аппарата у студентов. Рассмотрен термин «понятие», его объем и содержание, а также классификаг{ия понятий по связям и отношениям. Даны методические рекомендаг{ии преподавателям по организации процесса формирования математических понятий у студентов.
Ключевые слова: математическая подготовка, понятие, понятийный аппарат.
Abstract. Korneshchuk V. FORMING STUDENTS' NOTIONAL APPARATUS IN THE PROCESS OF MATHEMATICAL PREPARATION AT HIGHER EDUCATION INSTITUTIONS. The process of mathematical notions and notional apparatus formation is analyzed in the article. The term "notion", its volume and contents, as well as categorization of notions by relations and links are considered. Method recommendations for lecturers as of students' mathematical notions formation are given.
Key words: mathematical preparation, conception, conceptual apparatus.
Стаття представлена професором Т.ВЖртовою.
Надшшла до редакци 28.02.2010р.
