CC BY
8МЕТОДИЧНА НАУКА - ВЧИТЕЛЮ МАТЕМАТИКИ
КЛАСИФ1КАЦ1Я МАТЕМАТИЧНИХ ОЗНАЧЕНЬ
О.В. Амброзяк, астрант,
Черкаський нацюнальний умверситет м. Б. Хмельницького,
м. Черкаси, УКРА1НА, e-mail: Olga27_1989@jukr.net
з.......%-—
У cmammi проанал1зовано тдходи науковц1в до процесу визначення понять та видтення eudie озна-чень. Узгоджено термтолоаю та взаемозв 'язок мiж поняттями «визначення» та «означення». Ав-торська класифкщя математичних понять направлена на поглиблене засвоення вчителями вuдiв означень i повинна допомогти гм навчити учтв конструювати рiзнi означення одного й того ж по-няття з усвiдомленням гх рiвнозначностi.
Ключом слова: поняття, означення, клатфшпря eiidie означень, методика наечання математики.
Постановка проблеми. Людина сприймае навколишнш св^ за допомогою оргатв чуття, а отриман дат опрацьовуе за допомогою мислення. Зрозумшо, що для цього використовуються не самi об'екти, що спостер^ються, а 'х щеашзоваи пси-холопчт утворення, що е абстрактними одиницями, яю юнують в уявленнях, спе-цифiчнi форми мислення, а саме поняття. Оскшьки процес утворення та оперування поняттями неможливий без !х матерiалiза-ци, тобто словесного представлення та iме-нування, особливого значення набувають означення понять. Як вщомо, в них (озна-ченнях) розкриваються iстотнi властивосп та основт вiдмiнностi, що дають змогу працювати у напрямку поглиблення знань. За цих умов актуальним стае визначення ролi означень та процесу 'х формулювання у ходi загального формування понять, що вивчаються в школг
Анал1з актуальних дослщжень. У на-уковш лiтературi можна знайти тдтвер-дження постшного iнтересу до формування рiзних понять шкiльного курсу та вщпоид-но 'х означень. Зокрема цими питаннями займалися Г.П.Бевз, Г.В.Воробйов, ПГлей-зер, ДПГорський, ЯХГрудьонов, В.С.Же-
ребюн, ВКМатищук, НАМенчинська, ВВ.Н1-ктн, К.А.Рупасов, З.1.Слепкань, НАТара-сенкова, Л.М.Фрщман, АЯ^нчин, ГШтей-нгауз та iншi.
Однак у дослщженнях перелчених на-уковщв немае единого пiдходу до системи означень та единоi класифшаци видiв означень. Бiльше того, дослщники у своiх роботах використовують рiзнi термiни: визна-чення та означення.
Мета статл - проаналгзувати мдходи науковц1в до процесу визначення понять, р1зних видгв означень та запропонувати власну класифжацт означень понять, що вивчаються в школьному кура математики.
Виклад основного матер1алу. Вивча-ючи дослщження науковщв у рамках робо-ти над темою «Оргатзащя евристично' дь яльносп учнiв основно' та старшо' школи у процесi формування геометричних понять», нами будо розглянуто основт чоти-ри пiдходи до означення понять, запропо-нованi Д.П.Горським [3]. Але перш тж го-ворити про створення класифжаци видiв означень узгодимо термiнологiю.
Як зазначае Н.А.Тарасенкова [7], ви-значенням поняття називаеться процес видшення iстотних властивостей об'екта
<2Л)
(предмета) та Гх вiдокремлення вiд неГстот-них властивостей. Мета зазначеного проце-су полягае у тому, щоб вiдповiсти на пи-тання, чим саме е даний об'ект (предмет), що вiдображаеться у понята. Таким чином, для того, щоб здшснити визначення понят-тя потрiбно навести у стверджувальнш фо-рмi його ютотт властивостГ
На нашу думку, розглядаючи процес формування поняття, також доцшьно розрГ-зняти визначення та означення поняття. Ми дотримуемося думки Н.А.ТарасенковоГ [7], згiдно якоГ визначення поняття е процесом вiднаходження та фшсування iстотних властивостей об'екпв, а означення поняття е не чим шшим як результатом зазначеного процесу, що виражаються у деякГй словес-нiй конструкцГГ. Наприклад, процес визна-чення прямокутника передбачае побудову теГ геометричноГ фiгури, видшення Г! iсто-тних властивостей.
Визначення прямокутника: «1) геомет-рична фiгура - паралелограм; 2) наявнiсть чотирьох прямих купв».
Означення прямокутника: «Паралелограм, у якого вс кути прямi, називаеться прямокутником».
Таким чином, у своему дослщженш стосовно процесу використовуватимемо термш «визначення», а до словесного ви-раження - «дефГтцш» або «означення».
Стосовно ролi означень при вивчент наукових понять, зокрема математики, ми погоджуемося з думками ЗХСлепкань [6] та Н.О.МенчинськоГ [5] з приводу того, що роль i мiсце означень при формуваннi понять залежить вiд:
• самого поняття, що вводиться (на-приклад, означення степеня з нульовим по-казником безпосередньо сприяе розвитку пам'ятГ учтв, а означення ромба розвивае вмшня аналГзувати, видiляти головне, ств-вiдносиги об'екти);
• лопчно'Г структури означення (наприклад, означення коефщента одночлена сприяе розвитку пам'яп i сприймаеться учнями цiлiсно, а означення вписаного кута сприяе розвитку вмшня видГляти структур-нi складовi означення, видГляти головне, привчае учнiв до необхщносп аналiзу та
перевiрки вах iстотних ознак);
• вiкових особливостей школярiв, Гх готовносп до розумшня означень (наприклад, означення цитндра модифiкуеться вiд тша, утвореного внаслщок обертання прямокутника до тша, утвореного з двох крупв, якГ не лежать в однш площинi i су-мiщаються паралельним перенесенням та вах вiдрiзкiв, що сполучають вщпоидш точки цих кругiв. Така трансформащя по-яснюеться психологичною готовнiстю учтв усвщомлювати поняття нескГнченноГ кГль-косп вiдрiзкiв, якi утворюють щiльну бiчну поверхню).
Якщо розглядати педагопчну роль означень, слщ зазначити, що, навчаючи дь тей давати правильнi означення, вчителГ привчають Гх в усьому шукати iстотнi влас-тивосгi, важливi ознаки. Цим самим така дiяльнiсгь сприяе глибокому розумiнню речей, факпв та явищ, що вивчаються.
Побудова означень, зокрема означень через рщ та видову ознаку, привчае школя-рiв правильно вiднаходити положення речей, об'екпв, понять в системi iнших, що дозволяе ознайомитися з класифiкацiею як методом наукового тзнання.
НеобхГдно вiдзначити ще одну особли-вiсть математичних означень: Гх побудова та формулювання е одним iз дiевих засобiв привчити учтв ясно, лакотчно i точно ви-словлювати сво! думки словами.
Звичайно, як ми вже зазначали, озна-чення е словесною формою представлення думки, тому саме означення не е ефектив-ним, але робота з його формулювання роз-кривае наведенi вище функцГГ.
Для того, щоб усвщомити специфiку щодо побудови означень математичних понять розглянемо Гх класифшацш. 1снуе багато видiв дефiнiцiй, бiльшiсть з яких використовуеться у шкГльному курсi гео-метрГГ. Вiдсутнiсть единоГ класифшацп означень ми пояснюемо варiативнiстю та розматстю критерiю подГлу. Спробуемо навести рГзн класифГкацГГ означень.
У залежност1 в1д того, що означаеть-ся, знаковий вираз (термш, символ) чи об'ект, що позначаеться цим виразом, означення подГляються на номГнальнГ та
©
реальн (рис. 1).
Рис. 1. Класифшащя означень за об'ектом, що означаеться
Ном1нальт означення визначають тер-мши, символи або вирази, якГ застосову-ються для побудови моделi реального свГ-ту. Цей вид означень використовуеться для скорочення виразiв Гз ранiше введених те-рмшв або символГв, або для уточнення значення вже вГдомого термiна або символу. Вважаеться, що вони е засобом збага-чення мови науки г уточнення семантики ГГ висловлень.
Реальт означення визначають об'ект, що позначаеться цим виразом.
Взаемозв'язок мГж номГнальними Г реа-льними означеннями досить псний, оскГль-ки номшальне означення легко може стати реальним Г навпаки.
За способом пояснення означення по-дГляються на остенсивт, конструктивнГ та вербальнГ.
Остенсивнг означення - це пояснення
значення ств шляхом безпосередньоГ де-монстрацГГ означуваного предмету. Остенсiя - це пряма вказiвка на означуване явище або предмет, тому остенсивт означення пов'язують слова з речами та предметами. У шюльнш практиц таю означення даються на прикладах, тому найчаспше використовуеться при вивченн математики у початковш школГ. Наприклад, демон-струючи геометричну фГгуру вчитель дае Гй назву (це квадрат, прямокутник, коло).
Серед остенсивних означень НЯВшенюн [2] видГляе контекстуальна означення, у яких введення нового поняття зводиться до перечислення його контекспв. Контекст ставить поняття у зв'язок з шши-ми поняттями Г тим самим опосередковано розкривае його змГст. Наприклад, означення дГГ множення у другому класГ «Додаван-ня однакових доданюв називаеться мно-женням» та означення кола «ЛЫя, яка е межею круга, називаеться колом».
Прикладом неконтекстуальних остен-сивних означень е означення видГв лшй 1 класГ, коли назва фГгур прив'язуеться до зорового образу (ГлюстрацГГ, яка представлена у пщручнику чи на дошт) (рис. 2).
Рис. 2. Види лiнiй: прямi,кривi та ламан для формування неконтекстуального остенсивного означення в 1 клаа
Д.П.Горський [3] у своГй працГ вводить поняття конструктивних означень як озна-чень, у яких виокремлення означуваного об'екта здшснюеться через вказування його походження або способу утворення, вини-кнення, побудови.
Окремим випадком конструктивних означень е так зват рекурентш (рекурсив-нг) означення, у яких вказуються деяю ба-зиснГ елементи означуваноГ множини Г правила, що дають змогу отримувати новГ елементи з вже наявних. Таю означення найчаспше зустрГчаються в алгебрГ. Зокре-ма яскравим прикладом рекурентного
означення е арифметична прогреая: "Ари-фметичною прогресiею називають посль довтсть, кожний член яко!, починаючи з другого, дорiвнюе попередньому члену, до якого додано одне й те саме число."
Нерекурсивт означення найчаспше зус^чаються в геометри. Наприклад, «Трикутником називаеться фiгура, яка складаеться з трьох точок, що не лежать на однш прямш та трьох вiдрiзюв, що попарно 1х сполучають» або «Конусом називаеться геометричне тшо, утворене внаслiдок обер-тання прямокутного трикутника навколо прямо!, що мютить один iз його катепв».
Вepбальнí oзначeння - це дефЫщя зна-чення невiдoмиx виpaзiв чеpез в^ази, зна-чення якиx вiдoмi.
Сеpед веpбaльниx oзнaчень мoжнa ви-oкpемити тaкi види:
1) Явт oзначeння понять, щo пoв'язyють два поняття - oзнaчyвaне та oзнaчaльне. ^и цьoмy oзнaчaльне пoиятгя мicтить теpмiни, яю в cвoю чеpгy пoтpебy-ють oзнaчения, а зaмiнa цик теpмiиiв ïx oзнaчениями пpизвoдить дo aгpимaния бiльш шиpoкoгo фopмyлювaния oзнaчення дaнoгo пoияття. Дo цьoгo raacy вiднocять oзнaчения чеpез найближчий p^ та видoвi oзнaки та явт oзнaчення чеpез aкcioми.
Означeння чepeз найбжжчш pió та вu-àoei ознат e oдним iз нaйбiльш пoшиpениx y шкiльнoмy ^pci математики. Цей вид oзнaчень зacтocoвyють для введення озна-чень тонять, якi знaxoдятьcя y poдo-видoвиx вiднoшенняx. Одне пoиягтя зaдaeтьcя чеpез iнше з шиpшим oб'eмoм. Цей npo^c e c^-ченним, ocкiльки в pезyльтaтi пpиxoдимo дo пoиягь, яю вже не мoжиa визначити чеpез шиpшi пoияття. Ui пoиягтя називаютьюя пе-pвиииими. Оcoбливicть цьoгo виду aзнaчень пoлягae y тому, що вибip нaйближчoгo poдy та xapaктеpиcтичнoï влacтивocтi не визнача-eгьcя однозначно.
Фopмyлюючи таке означення, пaгpiбнo включиги в нього пеpш за вте вказiвкy на piд, пicля чого пеpелiчиги тi ознаки, якi в> днocять це поняття до певного виду, вказа-ти вci неoбxiдиi видoвi вiдмiннocтi.
Загальна cxемa такого означення мae вигляд: поняття А це таке поняття В, що во-лoдie влacтивicтю m. У цш cxемi А - озна-чуване поняття; В - найближче poдoве поняття до означуваного; m - влacтивicть, яка вкaзye на те, що А e о^емим видом зазна-ченого poдy В. Haпpиклaд, poзглянемo означення poмбa, поданого y пiдpyчникy з геoметpiï для 8 клacy M.I.Бypди, H.A.Тapacенкoвoï: «Пapaлелoгpaм, y якого вci cтopoни piвиi, нaзивaeтьcя poмбoм» [1, 37]. У цьому oзнaчениi (А) poмб - означу-ване поняття; (В) пapaлелoгpaм - найближче poдoве поняття; (m) piвиicть вcix cropm пapaлелoгpaмa - xapaктеpиcтичнa власти-вють.
Явт oзначeння чepeз акcíoмu викopиc-тoвyютьcя дуже piдкo, зoкpемa в aлгебpi та y вищiй математит. Тaкi означення ^ий-мaютьcя в межax науки без доведення i не пoтpебyють зведення до бшьш пpocтиx понять, ocкiльки caме вони означають rap-шoпoчaткoвi поняття теopiï. Яcкpaвим ^и-кладом e означення нaтypaльниx чиcел че-pез aкcioми Пеано: 1) одиниця не cnioye за жодним нaтypaльним чиалом, тобто не мae пoпеpедньoгo; 2) кожне нaтypaльне чиcлo cлiдye не бшьше як за одним нaтypaльним чиcлoм; 3) aкcioмa iидyкцiï; 4) чиало, наступи за нaтypaльним також e нaтypaль-ним; акаоми 5-7 oпиcyють пpaвилa apиф-метичниx дiй. Чиала, що задовольняють ак-cioмaм Пеано нaзивaютьcя нaтypaльиими.
2) àecкpuптuвнí означення об^к-пв, позначення виpaзiв. Це вид означень, що зacтocoвyeтьcя або для введення нoвиx ш-дивiдyaльниx oб'eктiв i ïx назв, або для ви-дiления об^кив iз чиcлa icиyючиx за допомогою влacтивocтей, що xapaктеpизyють вщношення oб'eктy до вже вiдoмиx об^кив. Тобто, таке означення зaдae один i тшьки один oб'eкт, ^ичому його icиyвaния не e нaпеpед заданим i пoтpебye пеpевipки. ^икладом такого означення e означення чиала п як математично1' конетанги, що ви-знaчaeтьcя y Евклiдoвiй геомет^и як вщ-ношення довжини кола до його дiaметpa та пpиблизнo дopiвиюe 3,14.
3) oзначeння ввeàeння пíàпopядкoванux змтнш мютять y co6í тpи види означень: чеpез aбcтpaкцiю, чеpез пеpелiк та означен-ня-домовленоап.
Означeння чepeз абcтpакцíю дae змогу означиги мaтемaтичиi поняття як амейство клaciв еквiвaлеитнocтi за деяким вщношен-ням еквiвaлеитнocтi. Haпpиклaд, тд векто-poм можна poзyмiти ^ac еквiвaлеитниx нaпpямлениx вiдpiзкiв. Пpи oзнaченняx че-pез aбcтpaкцiю пoпеpедньo poзглядaють piзнoмaиiтиi oб'eкти, що вxoдягь до означуваного поняття, а лише потсм вводять нове поняття. Щоб пpaцювaти з такими клacaми вид^ють по одному най^оап-шому пpедcгaвникy з кожного клacy та ви-кopиcтoвyють ïx. Пpи цьому aTOpa^'i' по-виниi бути визнaчеиi так, щоб вони не за-
(g)
лежали вщ вибору представниюв. Таю означення найчаспше використовуються у тих випадках, коли дефЫци iншого виду неможливi або складно реалiзуються.
Означення через перелж полягають у об'еднани обсяпв означальних понять у обсяг означуваного поняття (наприклад, цiлi числа це натуральт, 1м протилежт i
число нуль).
Означення-домовленостг присвоюють поняттю певний обсяг. Наприклад, факто-рiал нуля, степшь з нульовим показником, степшь з вiд'eмним показником та шш1
Таким чином, пiдсумовуючи вище ска-зане, отримуемо класифiкацiйну схему, представлену на рис. 3.
Рис. 3. Класифжацш означень понять за способом пояснення
За формою пред'явлення розрiзняють словест, словесно-символiчнi та символiчнi означення (рис. 4).
Словесш
Словесно-символiчнi
Означення
Символiчнi
Рис. 4 Класифкащя означень за формою пред'явлення
До словесних означень вiдносять означення через найближчий рiд i видовi ознаки, конструктивы, означення через абстраквд та означення-домовленосп (рис. 5).
За характером ствердження означення подiляються на заперечт та звичайнi (рис. 6).
Заперечне означення мютять вiдомостi не про те, що мiститься в понят1, а про те, чого в ньому немае. Тобто, означення називаеться заперечним, якщо в ньому перелiчуються ознаки, якi не належать змюту означуваного поняття i тчого не сказано про ii ознаки, яю повиннi на-лежати змюту означуваного поняття. Цей вид означень вказуе на ознаки, яю не належать поняттю. Саме тому таке означення може тчого не визначити.
Осюльки означення понять полягае у фшсаци його ^отних ознак, то в залежносп вiд ю-лькосп цих ознак означення можуть бути перевизначеними (занадто широкими, надлишков^,
<2П)
звичайними, недовизначеними (занадто вузью, недостатнi, неточт) (рис. 7).
Рис. 5. Класифшащя словесних означень
Рис. 6. Класифшащя означень за характером ствердження
Перевизначеш
Означення
1 г
Звичайнi
Недовизначенi
Рис. 7. Класифiкацiя означень за юльюстю iстотних ознак
Як зазначае В.К.Матищук [3], занадто широкими (перевизначеними) е таю означення, яю мютять зайвi iстотнi ознаки, а означення, в яких мютиться недостатня ю-льюсть iстотних ознак е занадто вузькими (недовизначеними).
На нашу думку така класифшащя не е правильною, осюльки в означент мае мю-титися така юльюсть iстотних ознак, щоб вони ус разом були необхiдними i достат-
нiми умовами для однозначного стввщне-сення об'екпв до певного поняття. Тому, якщо у тверджент, яке претендуе на роль означення, не вистачае, або навпаки, вказа-но забагато iстотних ознак, то таке твер-дження не може бути строгим означенням.
У залежност1 в1д природи зв 'язк1в„ в яких перебувають властивосп, задiянi в формулювант, означення подiляють на кон'юнктивнi та диз'юнктивт (рис. 8).
Рис. 8. Класифжащя означень за природою зв'язюв У кон 'юнктивних означеннях ва iстот- нi властивост1, якi задiянi в означеннi
(218>
пов'язан сполучником «i», або перелiчу-ються комою. Для однозначного вщнесен-ня поняття необхiдно, щоб Bei ютотт влас-тивостi одночасно належали його змюту.
У диз'юнктивних означеннях ютотт властивосп, яю задiянi в означенн пов'язанi логiчною операцieю
«диз'юнкцiя», тобто сполучником «або». Тому для однозначного встановлення поняття достатньо, щоб в зм^ входила хоча б одна ютотна ознака.
Яким би не було означення поняття, кожне з них мае певну будову, що склада-еться з двох частин: означуваного поняття, змют якого розкриваеться та означального (означальних) понять за допомогою якого (яких) розкриваеться змют означуваного поняття.
У залежност1 eid дотримання вимог до означення ix можна подiлити на корект-н та некоректн1 (рис. 9).
Рис. 9. Класифжащя означень за дотриманням правил формулювання
У своему дослщжент В.К.Матищук [4] говорить про використання поруч iз на-уковими означениями у шюльному курсi математики бшьш доступы формулювання, якi не повнютю, або навiть зовсiм не зводять означуване поняття до ратше встановлених. Автор розглядае педагогiчнi означення як таю, що зводять поняття, що розглядаеться, до шших понять, яю у свою чергу добре вiдомi учням з досвiду, що про ix змiст i обсяг спещально не потрiбно го-ворити. При цьому слiд пам'ятати, що будь-яке означення, наукове чи педагопч-не, повинно правильно вщображати науко-вi концепци, якi прийнят на даний момент у наущ. Лише за те!.' умови допустимою i правомiрною з точки зору вжових особли-востей школярiв е подiбна замiна.
Ми не вважаемо доцшьним включати педагопчт означення до класифжавд, оск1льки 'х використання скорiше е виклю-ченням та обумовлене педагогичною пози-цiею вчителя.
Висновки. Таким чином, ми спробу-вали створити власну класифiкацiю мате-матичних означень, яка, на нашу думку, може бути застосована до означень будь-яких iншиx наук. Слiд зазначити, що знан-ня ще'' класифшаци мае допомогти вчите-лям навчити учтв конструювати означення понять та усвщомлювати 'х рiвнозначиiсть. Вважаемо, що методика формулювання
кожного виду означень та специфжи робо-ти з ними обов'язково потребуе подальшо-го дослщження та розробки.
1. Бурда М.1. Геометр1я : тдруч. для 8 кл. загальноосвт. навч. закл. / М1.Бурда, Н.А.Т-арасенкова. - К.: «Зодшк-ЕКО», 2008. - 240 с.
2. Виленкин Н.Я. Определения в школьном курсе математики и методика работы над ними / КЯ.Виленкин, С.К.Абайдулин, Р.К.Та-варткиладзе // Математика в школе. - 1984. -№ 4-5. - С. 43-47.
3. Горский Д.П. О видах определений и их значений в науке / Д.П.Горский. - М.: Наука, 1964 -158 с.
4.Матыщук В.К. Определения в преподавании математики / В.К.Матищук // Математика в школе. -1947. - № 3. - С. 14-25.
5. Менчинская Н.А. Психология усвоения понятий (основные проблемы и методы исследования) / Н.А.Менчинская // Известия АПН РСФСР. -1950. - Вып. 28. - С. 3-17.
6. Слепкань З.1. Психолого-педагоггчт та методичн основи розвивального навчання математики /З.1.Слепкань. - Тернопть: Шдручн. та поаб, 2004. - 240 с.
7. Тарасенкова Н.А. Поняття як об'екти засвоення / Н.А.Тарасенкова // Дидактика математики: проблеми i досл1дження: м!жнар. зб. наук. робт / редкол.: О.1.Скафа (наук. ред.) та т.; Донецький нац. ун-т; 1нститут педаго-аки Акад. пед. наук Украгни; Нацюнальний пед. ун-т iм. М.П.Драгоманова. - Донецьк, 2001. -Вип. 16. - С. 69-80.
Резюме. Амброзяк О.В. КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ. В статье проанализировано подходы исследователей к процессу определения понятий и выделения видов определений. Согласовано терминологию и взаимосвязь между понятиями процесса определения и самим определением. Авторская классификация определений математических понятий направлена на углубленное усвоение учителями видов определений и должна помочь научить учеников конструировать различные определения одного и того же понятия с осознанием их равнозначности.
Ключевые понятия: понятия, определения, классификация видов определений, методика обучения математике.
Abstract. Ambrozyak O. CLASSIFICATION OF MATHEMATICAL DEFINITIONS.
This article analyzes the various approaches in psychology, pedagogy and methodology of teaching mathematics to the process of definitions of concepts and different approaches to their definitions. The author shows an example of the effect the contents of the concept, the logical structure of the definition and age characteristics of student on the role and place of the definitions in the formation of mathematical concepts. Agreed terminology and the relationship between the concepts of the process of identifying and defining. It is characterized by the features of definitions of mathematical concepts for the formation of the students thought operations and methods of heuristic activity. Author developed classification of definitions of mathematical concepts on the basis of understanding the specifics of their the construction. The main criteria for the implementation of the classification adopted are: 1) determined by the nature of the object; 2) a method of explanation; 3) the form of presentation; 4) the nature of the approval; 5) the number of essential features; 6) the nature of the logical links; 7) compliance with the rules of formulating definitions. Author's classification of mathematical concepts aimed at the depth assimilation types definitions of teachers and to help them teach students to construct different definitions of the same concept with the knowledge of their equivalence. The developed classifications of types of definitions can be used not only to mathematical concepts, but also to the concepts of other sciences.
Key words: the concept, definitions, classification of definitions, methodology of teaching mathematics.
References
1. Burda M. I. and N. A. Tarasenkova. 2008. Geometry for 8th form. - Kiev: «Zodiak-EKO». -240p.
2. Vilenkin N., Abaydulin S. K., Tavartki-ladze R. K. Definitions in school courses of mathematics and methods of work on them. Mathematics in School. 1984, vol.4-5. PP. 43-47.
3. Gorskiy D. P. On the types of definitions and them values in science. - Moscov: Nauka, 1964. -158p.
4. Matyschuk V. K. The definitions in the teaching of mathematics. Mathematics in School.
1947, vol.3. PP. 14-25.
5. Menchinskaya N. A. Psychology of learning of concepts (the basic problems and research methods). Izvestiya APN RSFSR. 1950, vol.28. PP. 3-17.
6. Slepkan', N. A. Psycho-pedagogical and methodological foundations of developmental education of mathematics. - Ternopol': Pidruchnyki ta posibnyki, 2004. - 240p.
7. Tarasenkova, N. A. The concepts as objects of learning. Didactics of mathematics: Problems and Investigations. 2001, vol.16. PP.6980.
ш представлена професором O.I. Скафою. Надшшла доредакци 05.07.2013р.
