Формування у майбутніх учителів математики вмінь доводити теореми Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

Scientific journal

PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал

Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видасться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Розуменко А.О., Розуменко А.М. Формування у майбутшх y4umenie математики вм'нь доводити теореми. Фiзико-математична освта. 2019. Випуск 3(21). С. 121-126.

Rozumenko A.O., Rozumenko A.M. Forming the knowledge to proof theorems for future teachers of mathematics. Physical and Mathematical Education. 2019. Issue 3(21). Р. 121-126.

DOI 10.31110/2413-1571-2019-021-3-018 УДК 373.5.016:519.2

А.О. Розуменко

Сумський державний педагогiчний ушверситет iменi А.С. Макаренка, Украша

angelarozumenko@ukr.net ORCID: 0000-0002-4759-3320 А.М. Розуменко

Сумський нацюнальний аграрний yнiверситет, Украша

a.rozumenko@snau.edu.ua ORCID: 0000-0002-3069-9313

ФОРМУВАННЯ У МАЙБУТН1Х УЧИТЕЛ1В МАТЕМАТИКИ ВМ1НЬ ДОВОДИТИ ТЕОРЕМИ

АНОТАЦ1Я

Формулювання проблеми. У статт/' розглянуто проблему подготовки майбутн1х учител1в математики, яка на сучасному етап1 розвитку освти набувае все бльшо/ актуальности Вчитель математики мае забезпечити не т1льки формування загальних математичних компетентностей, але й розвиток критичного мислення учн'ю, вмнь анал'зувати, узагальнювати, робити лог1чн1 висновки. Тому однею з технолог'мних складових фахово)' пдготовки майбутнього вчителя математики е умння доводити теореми. Анал'в сучасних дослджень та власний досвд роботи свдчать про те, що р1вень сформованост1 вм)нь доводити математичн) твердження у студентв математичних спец1альностей педагогЫних ун1верситет1в е недостатшм для )х майбутньо) профес1йно)' дяльност¡.

Матер/'али / методи. У ход) пдготовки статт': були використан1 так методи дослдження: пор1вняльний анал1з теоретичних положень, розкритих у науков1й та навчально-методичнй л\тератур\; спостереження за навчально-виховним процесом пдготовки майбутн1х учителв математики; анкетування та бесди ¡з студентами та випускниками математичних спец)альностей педагогчних закладв освти; узагальнення власного педагогчного досвду з викладання курсу «Методика навчання математики».

Результати. Одним )з шлях1в розв'язання дано) проблеми е формування у майбутшх учителв математики вм)нь узагальнювати знання. Формування умнь узагальнювати не тльки п1двищуе р1вень узагальнюючо) дяльност/' студентв, що позитивно впливае на весь процес навчання, але й сприяе, в силу сво)х психолог1чних особливостей, бльш глибокому засвоенню математичних знань. Для формування та удосконалення вмнь студентв робити узагальнення потр1бн1 не т1льки роз'яснення сут) цього прийому розумово) д1яльност1, але й спец1альн1 вправи, як1 пдводять до узагальнення ) спрямован) на досягнення певного рвня узагальнення. Ми пропонуемо систему завдань по формуванню у студент 'ю умнь узагальнювати при опрацюванн/ теорем шкльного курсу геометр) Методистами обфунтовано, що умння доводити математичт твердження складаються з чотирьох основних компонентв: д)я п1дведення об'екта п)д поняття; володння необхдними /' достатшми ознаками понять, про як1 йдеться у висновку; д)я вибору ознак понять, як1 в)дпов)дають даним умовам; д)я розгортання умов.Ми пропонуемо при робот': над теоремами окремо вид1ляти групи узагальнюючих ум1нь при засвоенн) формулювання теореми ) при вивченн) доведення теореми. Вважаемо, що при засвоенн) змсту теореми доцльно виокремлювати наступн1 узагальнююч) вм)ння\ видлення суттевого, загального в умов': теореми; «розп1знавання» умови теореми в заданих конкретних випадках; «конструювання» умови теореми.При робот ': над доведенням теореми ми видляемо пари ¡ндуктивних та дедуктивних узагальнюючих ум)нь: вм1ння видляти )дею доведення, складати узагальнений план доведення; розпзнавати метод /' будувати доведення теореми за вказаним методом.В)дпов)дно до кожного узагальнюючого вм1ння нами розроблено систему спец'юльних пзнавальних завдань, спрямованих на )х формування.

Висновки. Умння доводити математичн твердження у випускниюв середнх загальноосв)тн)х шкл сформован) недостатньо.

Вир1шити цю проблему може тльки вчитель, який мае достатнй р1вень сформованост1 в1дпов1дних ум1нь. Тому формування у майбутшх учителв математики вм1нь доводити теореми е одним )з завдань )х фахово)' п1дготовки. Одним )з шлях1в формування у майбутнх учителв математики вм1нь доводити теореми е вид1лення узагальнюючих умнь опрацювання змсту та доведення теорем шкльного курсу математики та виконання спец'юльних п1знавальних завдань, спрямованих на формування в1дпов1дних ум1нь.

КЛЮЧОВ1 СЛОВА: доведення теорем, майбутн) вчител) математики, узагальнююч) вм)ння, п1знавальн1 завдання.

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

ВСТУП

Постановка проблеми. Основними видами пiзнавальноí дiяльностi у процеа навчання математики е засвоення математичних понять, доведення теорем та розв'язування задач. При вивченю теорем та ix доведень розвиваеться лопчне мислення, формуються евристичнi прийоми розумовоí дiяльностi та позитивнi якостi особистостi, зокрема обГрунтоваюсть суджень та критичне мислення. Кожюй людинi необxiдно вмiти мiркувати, аналiзувати, доводити тi чи шшл твердження. Далеко не всi випускники школи та закладiв вищоí освти у своему життi будуть мати справу з математичними доведеннями, з доведеннями на основi формально'|' лопки. Разом з тим, кожному потрiбно вмiти вiдстоювати свою позицiю, доводити правильюсть свое'' думки, обГрунтовувати певю висновки тощо. Цi вмiння розвиваються саме у процесi навчання математики, зокрема при доведены теорем. Доведення теорем е одним з основних видiв навчально-тзнавально' дiяльностi у процеа засвоення математичних знань. Майбутнш учитель математики мае бути готовим до формування в учюв умЫь доводити теореми. Разом з тим, досвщ викладацько! роботи та результати анкетування дозволяють зробити висновок про те, що рiвень сформованостi вмiнь доводити теореми у студенев математичних спещальностей педагогiчниx унiверситетiв е недостатнiм для ix майбутньо! професiйноí дiяльностi.

Аналiз актуальних дослiджень. Проблему пiдготовки майбутнix учителiв математики вивчають педагоги, психологи та методисти. Найбтьш вагомими е результати наукових дослщжень математикiв-методистiв I. Акуленко (2013), Н. Аммосово' (1999), О. Дубасенюк (2003), М. Жалдака (1989), О. Матяш (2013), Г. МихалЫа (2014), В. Моторiноí (2005), О. Скафи (2004), О. Стваковського (2003), Ю. Триуса (2005) та Ыших. В системi професiйноí пщготовки вчителя математики виокремлюють три складовк змiстову (оволодiння спецiальними математичними знаннями, формування математичноi компетенцп); теxнологiчну (оволодЫня знаннями з методики навчання математики, формування вмшь застосовувати цi знання на практик); особистiсну (наявнiсть особиспсних якостей, якi е необxiдними для майбутнього вчителя). Предметом нашого дослщження е теxнологiчна складова професiйноí пщготовки майбутнix учителiв математики, а саме вмшня доводити теореми i формування вщповщних умiнь учнiв у процеа навчання (х геометрп.

Досвiд викладання курсу «Методика навчання математики» студентам педагопчного уюверситету дозволяе зробити висновок про те, що цей вид дiяльностi викликае значнi утруднення. З метою з'ясування причин такоi ситуацп та пошуку шляxiв м виршення нами на базi Сумського державного педагопчного уюверситету iменi А.С. Макаренка було проведено експериментальне дослщження. Студентам першого та другого курсiв фiзико-математичного факультету було запропоновано шiсть завдань рiзного типу, якi, на нашу думку, дозволяють певною мiрою визначити сформоваюсть умiнь доводити математичнi твердження. А саме:

1. Дайте вщповщь на питання:

1.1. Що таке аксюма?

1.2. Що таке теорема?

2. Сформулюйте теорему про вертикалью кути («Вертикалью кути рiвнi») у формi «Якщо..., то... ».

3. Сформулюйте твердження, обернене до теореми про вертикалью кути. ОбГрунтуйте його ютинюсть або хибюсть.

4. Сформулюйте твердження, протилежне теоремi про вертикалью кути. ОбГрунтуйте його iстиннiсть або хибюсть.

5. Вiдомо, що кожний квадрат е прямокутник i у кожному прямокутнику дiагоналi рiвнi. Який висновок можна зробити?

6. Вщомо, що через точку, яка лежить поза прямою, можна провести не бтьш як одну пряму паралельну даюй (аксюма паралельних). Методом вщ супротивного доведпъ твердження про те, що коли пряма перетинае одну з двох паралельних прямих, то вона перетинае i другу пряму.

В опитуванш брали участь 87 студенев рiзниx спещальностей. Результати опитування наведею в таблицi 1.

Таблиця 1

Результати опитування студенлв

№ завдання Результати наведею в %.

Вщповщь правильна, повна Вщповщь правильна, неповна Вщповщь неправильна Вщповщь вщсутня

1 1.1. 74,7 8 2,3 15

1.2. 73,6 4,5 1,2 20,7

2 25,3 26,4 16 32,3

3 23 20,7 6,9 49,4

4 13,8 11,5 9,2 65,5

5 62 2,3 5,8 29,9

6 13,8 25,3 12,6 48,3

За результатами проведеного опитування можна зробити наступю висновки. Студенти знайомi з поняттями аксiома, теорема, але при цьому мають недостатнiй рiвень сформованост вмiння доводити твердження. Менше 30 % студенев правильно i повно виконали 2 i 3 завдання, i навiть менше нiж 15 % студенев справились з виконанням 4, 5, 6 завдань. Таким чином, доведення тверджень для бтьшосп студенев е проблемою, розв'язання яко'( потребуе додатково! цiлеспрямованоí роботи викладача.

Однiею з причин такого стану е недостатня шктьна пiдготовка випускни^в. Проблема посилюеться тим, що зовюшне незалежне оцiнювання знань, до якого готуються учнi, майже не передбачае виконання завдань, спрямованих на перевiрку вмЫь учнiв доводити математичнi твердження. Вчитель математики може сформувати в учюв вмЫня доводити математичнi твердження ттьки за умови сформованостi у нього самого вщповщних умiнь. Тому вважаемо за необхщне придiляти спе^альну увагу цiй проблемi на заняттях з «Методики навчання математики».

Мета статп полягае у розробц шляхiв формування у майбутнiх учи^в математики BMiHb доводити теореми у процеа ïx фахово''' пiдготовки (вивчення курав фахового спрямування).

МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ

У xодi пiдготовки статтi були використанi такi методи дослiдження: порiвняльний аналiз теоретичних положень, розкритих у науковш та навчально-методичнiй лiтературi; спостереження за навчально-виховним процесом пщготовки майбутых учителiв математики; анкетування та беади iз студентами та випускниками математичних спе^альностей педагогiчниx закладiв освiти; узагальнення власного педагопчного досвщу з викладання курсу «Методика навчання математики».

РЕЗУЛЬТАТИ ТА ОБГОВОРЕННЯ

На нашу думку, одним iз шляxiв розв'язання дано''' методичноï проблеми е формування вмшь узагальнювати знання, яке приводить студенев до розкриття нового загального поняття, до пiдведення даного предмета тд загальне поняття або до конкретизацп загального поняття на окремих випадках.

Формування умшь узагальнювати не ттьки пiдвищуе рiвень узагальнюючо''' дiяльностi студенев, що позитивно впливае на весь процес навчання, але й сприяе, в силу сво'х психолопчних особливостей, бтьш глибокому засвоенню математичних знань.

Для формування та удосконалення вмшь студенев робити узагальнення потрiбнi не ттьки роз'яснення суп цього прийому розумово' дiяльностi, але й спе^альы вправи, якi пiдводять до узагальнення i спрямован на досягнення певного рiвня узагальнення.

Ми пропонуемо видтити узагальнюючi вмiння при опрацюваннi формулювання та доведення теорем шкiльного курсу математики ('''х вивчення передбачено програмою курсу «Методика навчання математики») та розробити спещальну систему пiзнавальниx завдань, спрямованих на формування вщповщних умшь студентiв.

Довести теорему — це означае показати, що вона як необхщний лопчний наслiдок випливае з шших тверджень, справедливiсть яких уже встановлена. Слово «доведення» вживають у двох значеннях. Так називають i процес обфунтування, i деяку лопчну конструкцiю, результат такого процесу (Бевз, 1989).

Що означае «навчання доведенням»? Нерщко цим термiном називають ттьки пошук, вiдкриття i побудову доведення студентами. Така трактовка невиправдано звужуе проблему. Навчаючи доведенням, насамперед треба вчити вщтворювати i запам'ятовувати готовi доведення теорем, передбачених програмою. Ттьки тсля того, коли студенти знатимуть i зможуть вiдтворювати конкретнi приклади доведень, доцiльно пропонувати 'м знаходити сво' способи доведення теорем i самостшно розв'язувати задачi на доведення.

Методистами обфунтовано (Слепкань, 2000), що умшня доводити математичнi твердження складаеться з чотирьох основних компонентiв:

1) дiя пiдведення об'екта пiд поняття;

2) володшня необxiдними i достатыми ознаками понять, про якi йдеться у висновку;

3) дiя вибору ознак понять, як вiдповiдають даним умовам;

4) дiя розгортання умов.

Ми пропонуемо при робот над теоремами окремо видтяти групи узагальнюючих ум'нь при засвоенн/ формулювання теореми i при eue4eHHi доведення теореми.

При засвоенн/ зм/сту теореми узагальнюючими вм/ннями е такк

1) видтення суттевого, загального в умовi теореми;

2) «розтзнавання» умови теореми в заданих конкретних випадках;

3) «конструювання» умови теореми, що сприяе формуванню вмшь застосовувати теорему.

Вщповщно до кожного узагальнюючого вмшня ми пропонуемо п/знавальн/ завдання, яю, на нашу думку, сприяють 'х формуванню:

I. Видтення суттевого.

1. Видтити умову та висновок теореми.

2. Назвати геометричн об'екти, про ям йдеться в теоремк

3. Назвати вимогу, за яко'' виконуеться висновок теореми.

4. Видтити несуттеве в умовi теореми ?

II. Розпiзнавання.

1. Указати на малюнку (умова зi скороченим записом) т геометричнi об'екти, для яких виконуеться умова теореми. Запишгть висновок теореми для даного конкретного випадку.

2. Задано дектька конкретних умов. Вибрати т з них, для яких справедлива теорема. Зробити висновок, який вщповщае висновку теореми.

III. Конструювання.

1. Зобразити геометричн ф^ури, про ям йде мова в теоремi так, щоб виконувалась умова теореми. Зробити висновок, який вщповщае висновку теореми.

2. Зобразити т ж геометричн ф^ри, але так, щоб висновок теореми був невiрним. Визначити яка з вимог умови теореми не виконуеться?

Продемонструемо вищезазначене на прикладi наступно'' теореми шкiльного курсу геометрп (Погорелов, 2004). Зауважимо, що в деяких поабниках вона подана як задача на доведення (Кушыр, 1994).

Формулювання: Якщо пряма, яка не проходить н через одну з вершин трикутника, перетинае одну з його сторш, то вона перетинае ттьки одну з двох шших його сторш.

I. Видiлення суттевого.

1. Зобразити трикутник; зобразити пряму так, щоб вона не проходила Hi через одну з вершин трикутника i перетинала одну з його сторЫ (скiльки таких прямих можна провести?).

2. Чи перетинае ця пряма ще одну сторону трикутника? Двi iншi сторони цього трикутника? Зробити висновок. Чи вiрний висновок теореми для випадку, зображеного вами на малюнку?

3. Зобразити трикутник i пряму, яка проходить через одну з його вершин i перетинае одну з його сторш. Чи виконуеться при цьому висновок теореми ? Яка з умов теореми не виконуеться ?

4. Зобразити трикутник i пряму, яка не проходить н через одну з його вершин i не перетинае ш одну з його сторн Чи виконуеться висновок теореми ? Яка з умов теореми не виконуеться ?

II. Розтзнавання.

«Втзнати» малюнок, який вщповщае названш теоремГ Що сптьного на вказаних вами малюнках ? Чим вони вiдрiзняються (положенням на площиш, взаемним розмЩенням геометричних об'еклв тощо)? Малюнки задаються викладачем.

III. Конструювання.

1. На вказаних вами малюнках ввести позначення та записати в цих позначеннях умову i висновок розглянутоУ теореми.

2. Зобразити «свш» малюнок, який вщповщае розглянутш теоремк Сформулювати теорему; видiлити суттеве в умовi теореми.

При po6omi над доведенням теореми ми видляемо пари '¡ндуктивних та дедуктивних узагальнюючихум'нь.

1. ВмЫня видтяти щею доведення, складати узагальнений план доведення.

2. Розтзнавати метод i будувати доведення теореми вщповщно до вказаного методу.

Проте формування названих умЫь, виконання вщповщних завдань викликае у студенев ряд труднощiв. Необхiдна пщготовча робота, включаючи пояснення викладача та аналiз прикладiв указаноУ дiяльностi. Починати необхщно з простих, зрозумiлих студентам доведень.

П'внавальними завданнями, що сприяють формуванню видтених умшь та поглиблюють розумшня сутi доведення теореми, на нашу думку, е там:

1) довести теорему за змшеним малюнком (змЫено положення в просторi, введено новi позначення);

2) порiвняти доведення двох теорем. Що в них сптьного ? Скласти такий план, за яким можна довести обидвi розглянут теореми (якщо це можливо);

3) стисло переповкти доведення теореми;

4) видтити окремi етапи, кроки доведення.

Так, наприклад, тсля вивчення теореми про довжину ламаноУ

ланок), можна запропонувати там завдання:

1) сформулюйте теорему про довжину ламаноУ. За допомогою теореми;

2) на малюнку зображен рiзнi ламаы. Запишiть теорему для даних конкретних випадмв;

3) у чому полягае щея доведення розглянутоУ теореми?

4) доведiть теорему для випадку п = 6 (п - число вершин ламано'О.

На нашу думку, формування вщповщних iндуктивних та дедуктивних умiнь повинно йти паралельно. Пщ час роботи над теоремами необхщно вчити студенев не тiльки видiляти iдею, орiентири, складати схеми та плани доведення, але й розгортати на Ух основi повне доведення теореми. Тому доцтьно поряд з завданнями на узагальнення використовувати завдання на конкретиза^ю знань, а саме:

1) довести теорему за вщомою схемою ;

2) користуючись загальним планом, довести теорему для конкретного випадку, зображеного на малюнку;

3) довести твердження, яке е частковим випадком вивченоУ теореми.

З метою видтення та засвоення сутност доведення розглянутоУ теореми перед студентами можна поставити таю запитання:

1. Що головне в доведены теореми?

2. Що потрiбно запам'ятати, щоб довести теорему самостшно?

На практик ми переконалися в ефективност опрацювання систематизуючих таблиць (Медяник, 1984), ям можна скласти тсля вивчення цтого роздту (або теми, яка мктить достатньо велику ктьккть теорем). Прикладом такоУ таблиц е таблиця 2 (Погорелов, 2004).

Таблиця2

Основы тереми штльного курсу геометрм (7 клас)

№ Формулювання теореми Видлення головного в доведенн теореми

1 Сума су/^жних кулв 1800 Потрiбно порiвняти цю суму з величиною розгорнутого кута або показати, що сума сумiжних купв дорiвнюе розгорнутому

2 Вертикалью кути рiвнi Потрiбно видiлити двi пари сумiжних кутiв, в яких один кут повторюеться, i скористатися Ух властивктю : сума сумiжних кутiв дорiвнюе 1800

3 Через кожну точку на прямм можна провести перпендикулярну '¡й пряму i тiльки одну План доведення: 1) вказати споаб побудови прямоУ, яка е перпендикулярною до даноУ, 2) методом вiд супротивного довести, що така пряма лише одна

4 В рiвнобедреному трикутнику кути при основi рiвнi Потрiбно видтити рiвнi трикутники (за першою ознакою) i скористатися означенням рiвних трикутникiв

5 Якщо в трикутнику два кути рiвнi, то вш рiвнобедрений Потрiбно видiлити рiвнi трикутники (за другою ознакою) i скористатися означенням рiвних трикутникiв

(яка у тдручнику доводиться для випадку п тдручника вщновпъ в пам'ятi доведення ще'|

Продовження табл. 2

№ Формулювання теореми Видлення головного в доведенн/' теореми

6 В рiвнобедреному трикутнику медiана, проведена до основи, е бкектрисою i висотою Потрiбно видтити рiвнi трикутники (за першою ознакою) i скористатися ix означенням та властивктю сумiжниx кутiв

7 Двi прям^ паралельш третй паралельн мiж собою Доводиться методом вщ супротивного

8 Якщо внутршы рiзностороннi кути рiвнi або сума внутршых одностороных кулв дорiвнюе 1800 , то прямi паралельн Доводиться методом вщ супротивного

9 Сума кутв трикутника дорiвнюе 1800 При доведеннi потрiбно замшити суму кутiв трикутника сумою внутршых одностороннix кутiв при деяких, спе^альним чином побудованих, паралельних та ачый

10 Зовншый кут трикутника дорiвнюе сумi двох внутршых кутв, не сумiжниx з ним Скористатись властивiстю внутрiшнix кутiв трикутника

11 З будь-яко' точки, яка не лежить на заданш прямм, можна опустити на цю пряму перпендикуляр, i ттьки один План доведення: 1) вказати споаб побудови перпендикуляра до прямо'', який проходить через точку, що не лежить на задана прямм, 2) методом вщ супротивного довести, що такий перпендикуляр лише один

Можна також запропонувати для домашнього завдання таблицю, яка мктить формулювання теорем, стисле 'х доведення та змшений малюнок, за яким необхщно розгорнути доведення теореми. Виконати це завдання доцтьно на окремому аркушл, щоб викладач легко м^ контролювати усвiдомлення студентами суп доведення вивчено'' теореми.

ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ

Умшня доводити математичн твердження у випускниюв середнix загальноосвiтнix шкiл сформованi недостатньо. Виршити цю проблему може ттьки вчитель, який мае достатнiй рiвень сформованостi вiдповiдниx умiнь. Тому формування у майбутых учителiв математики вмшь доводити теореми е одним iз завдань 'х фахово' пщготовки. Одним iз шляxiв формування у майбутых учителiв математики вмiнь доводити теореми е видтення узагальнюючих умшь опрацювання змкту та доведення теорем шктьного курсу математики та виконання спещальних тзнавальних завдань, спрямованих на формування вщповщних умiнь. Разом з тим, потребуе подальшого дослiдження готовнiсть майбутнього вчителя математики органiзовувати вiдповiдну навчальну дiяльнiсть учнiв.

Список використаних джерел

1. Бевз Г. П. Методика викладання математики: навч. поаб. Ки'в: Вища школа, 1989. 367 с.

2. Кушыр I. А. Методи розв'язування задач з геометрп: кн. для вчителя. Ки'в: Абрис, 1994. 462 с.

3. Медяник А. И. Учителю о школьном курсе геометрии: кн. для учителя. М.: Просвещение, 1984. 96 с.

4. Михалш Г. О. Формування основ професшно''' культури вчителя математики у процеа навчання математичного аналiзу: автореф. дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.04 / Ки'в, 2004. 37 с.

5. Моторша В. Г. Дидактичн i методичн засади профеайно''' пщготовки майбутых учителiв математики у вищих педагогiчниx навчальних закладах: дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.04 / Х., 2005. 512 с.

6. Погорелов О. В. Геометр/я: План/метр/я: п/дручник для 7-9 клас/в загальноосв/т. навч. закл. Ки'в: Школяр, 2004. 240 с.

7. Слепкань З. I. Методика навчання математики: п/друч. для студ. мат. спец/альностей пед. навч. заклад/в. Ки'в: Зодiак - ЕКО, 2000. 512с.

8. Стваковський О. В. Теоретико-методичн основи навчання вищо' математики майбутых вчителiв математики з використанням шформацшних технолопй: дис. ... д-ра пед. наук: спец. 13.00.02 / К., 2003. 534 с.

9. Триус Ю. В. Комп'ютерно-орiентованi методичн системи навчання математичних дисциплш у вищих навчальних закладах: автореф. дис. ... д-ра пед. наук: спец. 13.00.02. / К., 2005. 48 с.

References

1. Bevz, H. P. (1989). Metodyka vykladannia matematyky [Methods of teaching mathematics]. Kyiv: Vyshcha shkola [in Ukrainian].

2. Kushnir, I. A. (1994). Metody rozviazuvannia zadach z heometrii [Methods for solving geometry problems]. Kyiv: Abrys [in Ukrainian].

3. Medianyk, A. Y. (1984). Uchyteliu o shkolnom kurse heometryy [Teacher about school geometry course]. Moskva: Prosveshchenye [in Russian].

4. Mykhalin, H. O. (2004). Formuvannia osnov profesiinoi kultury vchytelia matematyky u protsesi navchannia matematychnoho analizu [Formation of foundations of professional culture of mathematics teacher in the process of teaching mathematical analysis] Extended abstract of Doctor's thesis. Kyiv [in Ukrainian].

5. Motorina, V. H. (2005). Dydaktychni i metodychni zasady profesiinoi pidhotovky maibutnikh uchyteliv matematyky u vyshchykh pedahohichnykh navchalnykh zakladakh [Didactic and methodical foundations of professional training of future mathematics teachers in higher pedagogical institutions] Doctor's thesis. Kharkiv [in Ukrainian].

6. Pohorielov, O. V. (2004). Heometriia: Planimetriia: Pidruchnyk dlia 7-9 klasiv zahalnoosvit. navch. zakl. [Geometry: Planimetry: Textbook for 7-9 forms of general education institutions]. Kyiv: Shkoliar [in Ukrainian].

7. Sliepkan, Z. I. (2000). Metodyka navchannia matematyky: Pidruch. dlia stud. mat. spetsialnostei ped. navch. zakladiv [Methods of teaching mathematics: textbook for students of mathematical specialties of pedagogical educational institutions]. Kyiv: Zodiak - EKO [in Ukrainian].

8. Spivakovskyi, O. V. (2003). Teoretyko-metodychni osnovy navchannia vyshchoi matematyky maibutnikh vchyteliv matematyky z vykorystanniam informatsiinykh tekhnolohii [Theoretical and methodological foundations of teaching higher mathematics to future mathematics teachers using information technologies] Doctor's thesis. Kyiv [in Ukrainian].

9. Tryus, Yu. V. (2005). Kompiuterno-oriientovani metodychni systemy navchannia matematychnykh dystsyplin u vyshchykh navchalnykh zakladakh [Computer-oriented methodical systems for teaching mathematical subjects in higher education] Extended abstract of Doctor's thesis. Kyiv [in Ukrainian].

FORMING THE KNOWLEDGE TO PROOF THEOREMS FOR FUTURE TEACHERS OF MATHEMATICS

A.O.Rozumenko

Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine

A.M.Rozumenko

Sumy National Agrarian University, Ukraine

Abstract.

Formulation of the problem. The quality problem of preparation future teachers of mathematics is considered in the article. It is stated that the level of skills to prove theorems that students of mathematical specialties of pedagogical universities have is insufficient for their future professional activity.

Materials and methods. During the article preparation, the following research methods were used: comparative analysis of theoretical provisions revealed in the scientific and educational and methodical literature; observing the educational process of training future teachers of mathematics; questionnaires and interviews with students and graduates of mathematical specialties of pedagogical educational institutions; generalization of owned pedagogical experience in teaching the course "Methods of teaching mathematics".

Results. One way to solve this problem is to develop the ability to summarize knowledge for future teachers of mathematics. Formation of generalization skills not only increases the level of students' generalizing activity, which positively influences the whole learning process, but also contributes, due to their psychological characteristics, to a deeper assimilation of mathematical knowledge. Forming and improving students' ability to generalize requires not only explaining the essence of this method of thinking, but also special exercises that are generalizable and aimed at achieving a certain level of generalization. We propose to underline separate groups of generalizing abilities during formulating theorems and learning to prove theorems. We believe that while learning the content of the theorem, it is advisable to distinguish the following generalizing skills: the allocation of a substantial, general conditions of the theorem; "Recognizing" the conditions of the theorem in given specific cases; "Constructing" the conditions of the theorem. During the work on the theorem proof, we distinguish pairs of inductive and deductive generalizing skills: the ability to highlight the idea of proof, making a generalized plan of proof; recognizing the method and constructing the proof of the theorem by the specified method. According to each generalization skill we offer a system of special cognitive tasks aimed at their formation.

Conclusions. The ability to prove mathematical statements in for graduates of secondary schools is insufficient. Only a teacher who has a sufficient level of relevant skills can solve this problem. Therefore, forming the ability of future teachers of mathematics to prove theorems is one of the tasks of their professional training. One way to develop the ability of teachers of mathematics to prove theorems is to allocate generalizing skills of content processing and to prove the theorems of school mathematical course and to perform special cognitive tasks aimed at the formation of appropriate skills.

Keywords: proving the theorem, future teachers of mathematics, generalizing skills, cognitive tasks.