CC BY
4МЕТОДИКА ВИВЧЕННЯ ТЕОРЕМ У РОЗВИВАЛЬН1Й МАТЕМАТИЧН1Й ОСВ1Т1
С.П.Семенець, доктор педагог. наук, доцент, Житомирський державный умверситет м. 1вана Франка,
м. Житомир, УКРА1НА
У контекстг розвивального пгдходу розкрито особливостг змгстового / процесуального компонентов методики вивчення теорем, розроблено навчально-методичну модель управ-лтняучбово-математичною д1яльн1стюучтву ход1 X засвоення.
Ключов1 слова:розвивальне навчання, теореми, математична освта.
Постановка проблеми. Чим вщрГз-няеться математика вщ шших наук i дис-циплш? Вщповщь на це, на перший пог-ляд, непросте запитання можна дати так -своею абстрактнютю та наявнютю строгих доведень. „1з чаав греюв говорити „математика", - означае говорити „доведения" -зазначае група вчених тд колективним псевдошмом Нiкола Бурбаю [1]. ВГтчиз-няш методисти-математики серед голов-них завдань математично! освiти видГля-ють навчання учтв евристичних схем ос-новних видiв навчально! дiяльностi, ово-лодшня методами доведення математич-них тверджень, а також розвиток у них доказовосп мислення [2; 3; 4].
Мета статл - у контекстi концепцГ! розвивально! освiти розкрити особливостi змiстового i процесуального компонентiв методики вивчення теорем, розробити на-вчально-методичну модель управлшня навчально-математичною дiяльнiстю уч-нiв у ходi !х засвоення.
Виклад основного матер1алу. У навчально-методичнiй лiтературi
твердження (висловлення), що не вщно-ситься до категорГ! задач на доведення, iстиннiсть якого доводиться, називаеться теоремою. Навчати школярiв формулю-вати, доводити i застосовувати теореми е одним iз головних завдань математично! освГти, що адекватно вiдповiдае особли-востям математичного тзнання, дедуктив-
нiй сутносп математики. Окрiм цього, у шкшьному курсi математики передбачено значну юльюсть задач на доведення, що за сво!м змiстом i теоретичною значущГстю вiдiграють роль теорем. Етап доведення е важливою складовою процесу розв'язу-вання задач конструктивно! геометрГ!. Саме тому в навчанн учнГв математики створюються передумови для повнощнно-го (цшсного) розвитку доказовосп мислення, формування змстово-теоретичних опе-рацiй, до яких належить аналiз, планування, абстрагування, узагальнення г рефлексiя.
Найпоширенiшою формою формулювання теорем е така, що грунтуеться на лопчнш дГ! ГмплГкацГ! та подаеться у виглядГ умовного висловлення. Структура дГ! формулювання таких теорем мае символьну форму, що розкриваеться в лопко-математичнш моделГ:
" х е X А (х) ^ В (х).
Складовими дГ! формулювання теорем як умовного висловлення виступають операцГ!, що вщображають !х змют Г структуру: роз 'яснювально-поняттна частина ® умова висновок.
У випадку Гстинносп прямо! Г обер-нено! теореми структура дГ! формулювання теорем-критерГ!в розкриваеться в логГчнГй схемГ:
"х е X А(х) ^ В(х).
© 8ешепе1з 8.
Вiдповiднi операци виконуються у формулюваннi обернених теорем: роз 'яснювально-поняттна частина (необх1дн1сть) ®умова =^висновок I роз 'яснювально-поняттна частина (достаттсть) ®висновок кумова.
Методика вивчення теорем у розвиваль-нГй математичнш освт розробляегься на основi дiяльнiсного (задачного), системного та особиспсно орieнтованого (суб'ектного) пiдходiв. Метою та основними завданнями ща методики е розв'язання освгшьо-мате-матичних проблем:
• походження теоретичного мате-ргалу шкыьног математики;
• реал1зац1я методу математичного моделювання в ход1 розв 'язування приклад-них I практичних задач;
• навчання способам дт у процеа формулювання теорем;
• формування вмть самосттно здшснювати пошук доведення;
• розв'язування навчальних г навчаль-но-теоретичних задач тд час вивчення загальнологгчних г спецгальних методгв доведення математичних тверджень;
• формування вмть застосовувати теореми для подальшого розвитку теоргг, розв 'язування математичних задач;
• рефлексгя (самоаналгз, самооцтка, самоконтроль) засвоення теорем (форму-лювання, доведення та застосування в задачних ситуащях).
Зпдно з концепщею розвивально' освГти (дГяльнГсним пГдходом) засвоення учнями теорем досягаеться завдяки органГзавд навчально-математичноi дГяль-ностГ, нащлено'1' на розв'язання чотирьох взаемопов'язаних завдань:
1) вивчення мисленневого процесу вгд-криття, способ1в формулювання теорем I формування на цт основг узагальнених способ1в дт;
2) навчання самостгйному пошуку до-ведень, формування евристико-пошукових схем (формулювання евристичних припиав);
3) вивчення метоЫв доведення теорем, створення 1хн1х навчальних моделей (розроблення правил-ор1ентир1в);
4) формування вмть застосовувати теореми в процеа розв 'язування задач I розвитку математичног теорИ
У зв'язку з цим вивчення теорем у розвивальнГй математичнш освт передба-чае постановку та розв'язування чотирьох навчальних задач, якГ, з огляду на загальнопредметну роль i рiвень узагальненосп, можна вщнести до категори навчально-теоретичних. Дотри-муючись принципу розвивальноi наступ-носп, задачно' системи розвивальноi математичноi освГти [5], реалiзовуеться навчальна технология, що репрезентуе структуру розвивально-задачного методу навчання математики [6].
I етап
Постановка та розв'язування задач на основi сформованого способу дГй (спещальна орiенгацiя на успiх). Створення проблемно!' задачно' сшуаци, що мае практичний (прикладний) змГст г розв'язування яко' передбачае вщкриття нового теоретичного факту - теореми. Рефлекая першого етапу навчального пГзнання.
II етап
Постановка прикладно' чи практично' задачГ, у процеа розв'язування яко' використовуеться новий теоретичних факт, що буде названий теоремою. Змютовий аналГз задачГ, створення матема-тично' моделГ задачно' сшуаци, видшення понять Г вГдношень з метою дослщження закономГрних зв'язкГв мГж ними. Вивчення математично' моделГ, визначення характе-ристичних властивостей понять, з'ясування лопчних зв'язкГв мГж ними. Застосування математично' термГнологи (введення математичного термГну та вщповщного йому символу). Формулювання теореми (на Гнту'тивнГй основГ) в ГмпткативнГй формГ А ^ В. Пошук доведення та строге доведення сформульовано' теореми, що передбачае вщшукання необхГдних Г достатнГх умов для виконання тверджень. РефлексГя другого етапу навчального пГзнання.
III етап
Постановка та розв'язування навчаль-них задач (цГлГсне вивчення теореми).
Перша задача пов'язана з формуван-ням способГв дш у процесГ самостГйного вщкритта й формулювання теорем, розкривае !х змют Г структуру. Вона передбачае конструювання навчально! моделГ способу дш у ходГ самостГйного вщкритта теорем:
1) зм1стовий анал1з задачног ситуацп, видглення вгдношень г понять, що виявляються в багатьох Iнших частинних випадках;
2) формування змгстовог абстракци: створення математичног (граф1чно'г) модел1, що в1дображае 1снуюч1 зв 'язки та вгдношення мж поняттями в знаковгй, геометричнт (граф1чнт) формах;
3) формування зм1стових узагальнень: вивчення математичног моделг, встанов-лення загальних Iстотних I специф1чних зв'язтв м1ж поняттями, як1 входять до складу умови та висновку (введення термту та в1дпов1дного йому символу), висунення гтотези;
4) формулювання теореми зг1дно з1 схемою: роз'яснювально-понятйна частина ® умова висновок;
5) побудова таблицг, що розкривае змгст (символьний запис теореми), гг структуру тар1зновид:
Символьный запис теореми
Роз 'яснювально-
Структура поняттна частина:
теореми Умова:
Висновок:
Вид теореми (проста чи складена)
6) контроль за виконанням попередшх
дгй;
7) оц1нка р1вня засвоення способу дгй у процес1 тдкриття (формулювання) теорем.
Друга навчальна задача, пов'язана з навчанням самостГйного пошуку доведень, передбачае вивчення особливостей мисли-тельного процесу, який забезпечуе логГк-ний перехщ вщ умови теореми до !!
висновку. Як правило, сутшсть процесу доведення зводиться до того, щоб логГчно обгрунтувати, що умова теореми вмщуе достатт (необхщш Г достатт) умови для виконання висновку теореми. Мисленне-вий процес доведення ускладнюеться тим, що достатш ознаки в умовГ теореми задаються неявно, тобто не можуть бути одержат безпосередньо зГ змГсту названих в умовГ понять Г вщношень. З огляду на це, пошук доведення теореми можна розгля-дати як процес переходу в1д неявного задання достаттх ознак для висновку теореми до гх явного задання в знайде-ному доведеннг. Тому навчання учшв самостГйному пошуку доведень мае грунтуватися на анаштичному способГ мГркувань та анаштичному методГ доведення, а не на традицшному - синтетичному. Вважаемо, що перевага синтетичного методу доведення теорем у шкГльних пГдручниках математики та в шкшьнш практищ загалом ускладнюе розв'язування друго! навчально! задачГ.
Навчально-теоретична модель аналГтич-ного методу доведення може бути такою:
1. Змгстовий аналгз твердження, видтення того, що дано в умов1, I того, що вимагаеться довести у висновку.
2. Змгстовий анал1з умови та висновку твердження, встановлення гснуючих лог1чних зв 'язмв. Обтрунтування того, чи не е умова достатньою для того, щоб зробити висновок. Якщо так, то твердження е доведеним, якщо т - то перейти до пункту 3.
3. В1дшукання ратше доведеного твердження (аксюми), з якого випливае висновок. Якщо його знайдено, то твердження е доведеним, якщо ш - то перейти до пункту 4.
4. В1дшукання поки ще не доведеного твердження, якого достатньо, щоб зробити висновок.
5. Знаходження наступного тверджен-ня, яке е достатнгм для того, щоб виконува-лося попередне твердження. Якщо знайдене твердження вже доведене або безпосе-редньо випливае з умови теореми, то
© 8ешепе1« 8.
твердження доведене. В гншому випадку -перейти до чергового виконання пункту 5.
6. Контроль виконаних дгй у процес застосування аналгтичного методу доведення
7. Зм1стовий аналгз та оцтка (само-оцтка) засвоення аналгтичного методу доведення тверджень (знако-символьна фтсащя).
ДГевим засобом розв'язування друго' навчально-теоретично' задачГ е формуван-ня вмшь школярГв виконувати спецГальнГ дГ'1 пГдведення пГд поняття та виведення наслщкГв Гз факту належносп об'екта до поняття; оволодшня загальнологГчними та спецГальними методами доведення тверджень ('х навчальними моделями, правилами-орГентирами); засвоення еврис-тично' схеми пошуку доведення. Ця схема стае предметом вивчення в процесГ навчання самостГйному пошуку доведень математич-них тверджень. ЗмГст Г структура евристично' моделГ пошуку доведень може бути представлена таким чином:
1. Зм1стовий анал1з задачног ситуацгг, видтення того, що дано в умов1, I того, що вимагаеться довести у висновку.
2. Зм1стовий аналгз умови та висновку твердження, видтення понять I в1дно-шень, що гх пов 'язують.
3. Моделювання задачног ситуаци засобами математики:
• введення позначень (математич-ног символгки), виконання рисунку;
• встановлення в1дпов1дностей м1ж змгстом (поняттями, вгдношеннями), структурою задачног ситуаци та гг математичною моделлю;
• запис умови та висновку теореми (задач1) за допомогою логжо-математичног символгки;
• ¡нтерпрегтац1я твердження, що доводиться (понять, тдношень, лог1чних зв'язкгв) у матматичнш (граф1чнш) форм1
4. Вивчення математичног моделг (етап розгорнутог аналгтико-синтетич-ног дгяльностг):
• знаходження достаттх умов (ознак) для виконання висновку теореми (реалгзацгя аналгтичного методу доведення);
• розгортання умови теореми (формулювання пром1жних висновтв з того, що дано), виведення насл1дк1в (знаходження необх1дних умов);
• змгстовий анал1з та згставлення знайдених достаттх I необх1дних умов;
• формулювання висновку щодо ¡стинност1 твердження, яке доводиться. Якщо цей висновок ще не можна зробити, то вгдшукання нових достатшх умов, розгортання умови (одержання нових насл1дпв) - повторне виконання трьох попереднгх дгй четвертого етапу доведення.
5. Контроль за виконанням попередшх
д1й.
6. Змгстовий аналгз та оцгнка (самооцгнка) засвоення узагальненог схеми пошуку доведень теорем (розв'язування задач на доведення).
Третя задача стосуеться формування способГв Г методГв доведення теорем, засвоення школярами Г студентами вщповщних навчальних Г навчально-теоретичних моделей загальнолопчних та спещальних методГв доведення. З цГею метою об'ектом вивчення стае метод (споаб) доведення теореми. У результат! розгорнуто' аналГтико-синтетично'1 дГяль-носп створюеться навчальна (навчально-теоретична) модель методу доведення, яка визначае узагальнений споаб дш пГд час розв'язування типових задач. Важливою складовою створено' системи дш е рефлекая процесу учшня математики, в основ! яко' - ди контролю та оцшки. Серед загальнолопчних методГв доведення особливе мГсце выводиться аналГтичному та аналГтико-синтетичному методам, якГ за своею сутнгстю вщображають мисленневий процес аналГзу та синтезу. За результатами розв'язування третьо' навчально' задач! будуеться таблиця:
Метод доведення теореми
Лог1чна основа
Лог1чна схема
Навчальна модель
Змютом четверто! навчально-теоре-тично! задачi стають способи застосування теореми в задачних ситуацiях. Вони передбачають виконання загальнолопч-них дiй, що встановлюють необхiднi, досгатнi, необхiднi i достатнi умови для виконання тверджень, а також двох специфiчних дш: пiдведення пiд поняття; виведення наслщюв i3 факту належносгi об'екта до поняття.
Д1я тдведення математичного об'екта пщ поняття включае операци:
1) видыення характеристичних власти-востей поняття;
2) встановлення логгчних зв 'язкв мж родовими i видовими ознаками поняття;
3) перевiрка, чи мае математичний об'ект такий же рiд, чи характеризуешься вт такими ж видовими ознаками та зв 'язками;
4) формулювання висновку про те, чи належить або не належить матема-тичний об 'ект до класу об 'ектхв, що зафтсоват в означент.
Д1я виведення наслщюв i3 того, що об'ект належить до класу об'екпв, мстить операвд:
1) видыення роду, до якого належить математичний об 'ект;
2) встановлення видових ознак, ям мають об 'екти вказаного класу;
3) встановлення логiчних зв 'язкв мЖ родовими i видовими ознаками.
Лопчне стдування реалзуеться у форм умовного висловлення: якщо виконуеться твердження P, то виконуеться твердження
Таким чином, встановлюеться, що P -достатня умова для Q, а Q - необхщна умова для P. Д1я „лопчна екиваленттсть" розкриваеться через одночасне виконання двох умовних висловлювань: якщо виконуеться твердження P, то виконуеться твердження Q; якщо виконуеться твердження Q, то виконуеться твердження P.
Таким чином, встановлюеться, що твердження P i Q е рiвносильними.
За результатами виконано! навчально! роботи створюеться таблиця:
Застосування теореми
Щя тдведення тд поняття
Щя виведення на^дтв
Щя логiчне miдування (е^валенттсть)
Розв'язування кожно! з чотирьох навчальних задач завершуеться самоана-лГзом, самоконтролем, самоощнкою засвоен-ня способГв дГй.
IV етап
Реатзащя побудованих навчальних моделей зпдно з лопкою сходження вщ абстрактного до конкретного (формування вмГнь Г навичок): постановка (складання) та розв'язування системи задач на застосування теореми; вГдкриття (формулювання) Г доведення теорем, що пов'язанГ з доведеною (е !! наслГдком). Таким чином, маючи загальн навчально-евристичт орГентири, учнГ продовжують вивчення двох крупних змстових блокГв шкшьно! математики: теоретичного та практичного (задачного) матерГалу. Контро-люеться виконання визначених на третьому етат навчальних дГй Г операцш. Здшсню-ються змГстова, процесуальна оцГнки рГвня засвоення узагальнених способГв дш (навчальних моделей). Виконуються референтна Г цГннГсна самоощнки процесу учГння математики.
V етап
ЗмГстовий анатз попереднГх етатв навчання. Самоконтроль Г самооцГнка (змГстова, процесуальна, референтна, цГн-нГсна) виконано! навчально! дальности. РеалГзацГя варГативностГ та альтернативностГ стосовно вивчення (формулювання, дове-дення й застосування) теореми: введення поняття рГвносильносп (еквГвалентносп) двох теорем, формулювання рГвносильно! теореми, доведення теореми Гншим методом (способом), застосування теореми в нових задачних ситуащях. Постановка навчально-теоретично! задачГ, що передбачае змГстово-теоретичне узагальнення (вивчення особли-
© Semenets S.
востей формулювання, доведення Г застосу-вання теореми для загальнГшого випадку).
У посГбнику [6] наведено приклади за-стосування створено' навчально-методич-но' моделГ в процесГ вивчення теорем шкГльного курсу математики.
Висновки. Таким чином, розроблена методика реалГзовуе основш концептуаль-нГ положення розвивально' математично' освГти: обгрунтування походження теоре-тичних знань Г актуалГзащя науково-теоретичного типу мислення; задачний тдхщ до органГзаци процесу учшня математики (розв'язування навчальних Г на-вчально-теоретичних задач); навчання математики у форм! навчально-математично' дГяльностГ; сходження в ход! навчального пГзнання вГд абстрактного (загального) до конкретного (часткового); рефлексГя (са-моаналГз, самооцГнка, самоконтроль) за-своення способу дГй Г виконано' дГяльностГ. Особливостям змГстового Г процесуаль-ного компонентГв методики навчання розв'язування задач у розвивальнГй мате-матичнГй освГтГ будуть присвяченГ наш! подальшГ роботи.
1. Бурбаки Н. Архитектура математики / Н. Бурбаки. - М. : Знание, 1972. - 32 с.
2. Скафа О. I. Теоретико-методичн ос-нови формування прийом1в евристичног д1яль-ност1 в процеа вивчення математики в умо-вах впровадження сучасних техноло^й навчання : автореф. дис. на здобуття наук. сту-пеня доктора пед. наук : спец. 13.00.02 / О. I. Скафа. - К., 2004. - 40 с.
3. Слепкань 3.I. Психолого-педагог1чш та методичн основи розвивального навчання математики /3.I. Слепкань. - Тернотль : П1д-ручники i поабники, 2006. - 240 с.
4. Тарасенкова Н. А. Використання знако-во-символiчних засобiв у навчанш математики : монографiя / Н. А. Тарасенкова. - Черка-си : Вiдлуння-Плюс, 2002. - 400 с.
5. Семенець С. П. Теорiя задач розвиваль-ноХ математичноХ осв1ти / С. П. Семенець //Дидактика математики: проблеми i досли дження / Мiжнар. зб. наук. робт. - Вип. 30. -Донецьк : Вид-во ДонНУ, 2008. - С. 130-134.
6. Семенець С. П. Методика навчання математики (тдготовлено на основi концеп-цп розвивальноХ осв1ти) : навчальний поабник / С. П. Семенець. - Житомир : Вид-во ЖДУ iм. I. Франка, 2009. - 536 с.
Резюме. Семенец С.П. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ В РАЗВИВАЮЩЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ. В контексте развивающего подхода раскрыто особенности содержательного и процессуального компонентов методики изучения теорем, разработано методическую модель управления учебно-математической деятельностью учащихся при их усвоении.
Ключевые слова: развивающее обучение, теоремы, математическое образование.
Abstract. Semenets S. METHOD FOR STUDYING THEOREMS IN DEVELOPMENTAL MATHEMATICS EDUCATION. In the context of the developmental approach revealed particularly substantial and procedural components of the teaching methods of the theorems, the methodical model of management education and the mathematical activity of students during their assimilation.
Key words: Developmental training, theorems, mathematical education
Стаття надшшла доредакци 12.01.2012р.
