Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.6

ТЕОРИЯ ПУНКТИРОВАННЫХ ТОЛЕРАНТНЫХ КУБИЧЕСКИХ СИНГУЛЯРНЫХ ГОМОЛОГИЙ

© 2007 С.И. Небалуев, И.А.Кляева1

В статье излагается теория гомологий толерантных пространств, пригодная для построения спектральных последовательностей толерантных расслоений.

Будем рассматривать категорию То, объектами которой являются толерантные пространства (X, т), состоящие из базисных множеств X и определенных на них отношений толерантности т с X X X со свойствами рефлексивности и симметричности. Морфизмами в этой категории являются отображения, сохраняющие толерантность. В этой категории имеются прямые (декартовы) произведения с покомпонентной толерантностью.

Понятие толерантного пространства было введено Зиманом в [1] и является наиболее общей математической моделью схожести. Толерантные пространства естественно появляются, например, при приближенных вычислениях и измерениях.

Толерантным отрезком длины т (т еК) назовем толерантное пространство (/т,1т), в котором 1т = [м | к= 0, /и} — множество точек деления единичного отрезка на т частей, а толерантность 1т определяется условием

N к,1 = (Кт) —!„,— фф \к-1\ < 1. тт

В гомотопической теории толерантных пространств, толерантные отрезки (1т, 1т), т е К, играют роль единичного отрезка.

__п

Для иеМ и т = (т\,..., т„) е хМ толерантное пространство (1т,*ш) =

(п п \ _

X 1Щ, X 1тЛ будем называть толерантным кубом (Т кубом) размера т =

г=1 ' г=1 7 _

= (/Их,... ,т„). Т кубы размера т = 1 = (1,..., 1) будем называть простыми.

Определение 1. Толерантное отображение и : (1-щ, —» (X, т), где т = п

= (т\,...,тп) е XК, п е К, назовем п-мерным толерантным сингулярным кубом (ТС кубом) пространства (X,т). Если т1 = ... = тп = 1, то ТС куб и : (/у, 1у) —» (X, т) назовем простым. 0-мерным ТС кубом пространства (X, т) будем называть любую точку в X и считать такие ТС-кубы простыми.

1 Небалуев Сергей Иванович, Кляева Инна Александровна, кафедра компьютерной алгебры и теории чисел Саратовского государственного университета, 410012, Россия, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

Для п ^ 0 обозначим через Qn(X) абелеву группу, свободно порожденную над Ж всеми п-мерными ТС кубами пространства (X, т), и положим Qn(X) = 0 для п < 0. Элементы этой группы Qn(X) будем называть п-мерными толерантными кубическими сингулярными цепями (ТКС цепями) в (X, т).

Для каждого п е N определим граничный гомоморфизм дп : Qn(X) ^ —» ()п-1(Х), задаваемый на свободных образующих ..., : (1^, —» X

формулой

п

дпи = 2 (-1) [С] (и) - сС) (и)} , 3=1

где

ЛЕ/ \ I к1 к]-1 к] + 1 кп\ „ ,

(ГАи) = и\ —,..., ——,е, ——,..., — , е = 0,1.

3 \Ш) Ш— Ш} + 1 Шп)

Для п ^ 0 полагаем дп = 0.

Обычным способом доказывается, что (V п е Ж) дп-) о дп = 0, что позволяет говорить о цепном комплексе ^п(Х),дп} ТКС цепей пространства (X, т). Любое толерантное отображение / : (X, т) ^ (У, ■&) индуцирует цепное отображение ^п(/) : Qn(X) ^ Qn(7)}, которое на образующих задается формулой

Qn(Г)(и) = / о и.

Определение 2. ТО куб и размерности п > 0 назовем вырожденным по 3-му аргументу (3 = 1, п), если

(V / = 17п) (у к, = 0

(к) к} кЛ (к) кп\

и\—,...,—,..., — = м —, ...,0,...,— . \Ш\ Шз Шп) \Ш\ шп/

Обозначим через Dn(X) подгруппу в Qn(X), свободно порожденную всеми вырожденными кубами. Так как дn(Dn(X)) с Dn-\(X), то имеем цепной фактор-комплекс {Cn(X) = Qn(X)|Dn(X),дn} нормализованных ТКС цепей. При этом толерантные отображения /: (X, т) ^ (У, ■&) индуцируют цепные отображения [Сп(/) : Cn(X) ^ Сп(У)}, действующие на свободные образующие и + Dn(X), и £ Dn(X) по формуле

Сп(Г)(и + Dn(X)) = Qn(f)(u) + Dn(X) = Г о и + Dn(X).

В результате получается функтор С = {Сп}, который в композиции с гомологическим функтором позволяет определить функтор толерантных кубических сингулярных гомологий (ТКС гомологий), сопоставляющий каждому пространству (X, т) группу

п^0 п^0

Достаточно стандартно доказывается следующие предложения.

н^ = 0 н^м = фИп(Сп (X)).

Предложение 1. Пусть {Са|а е А} — совокупность компонент линейной связности толерантного пространства (X, т), тогда эти компоненты можно рассматривать как свободный базис 0-мерной группы H<Q(X) толерантных кубических сингулярных гомологий, то есть

Н^Ю = 0 Ж ■ Са.

аеА

Предложение 2. Если (X, т) — толерантно стягиваемое пространство,

то его группы ТКС гомологий имеют вид

= { Ж, п =0;

Нп ()С) = \ 0, п > 0.

Так как толерантный куб (/„, является толерантно стягиваемым (см. [2, предложения 1.2.3 и 1.2.4]), то как следствие получаем

еп-\ - / ч = 0;

Повторим теперь построение ТКС гомологий, ограничившись простыми кубами. Обозначим через (X) абелеву группу, свободно порожденную простыми ТС кубами

,к2,... ,к„) : (у.1\, X и| -» (Х,х), е {0,1}, г = \,п,

для п > 0 и точками пространства (X, т) для п = 0. Граничные гомоморфизмы дп : QS(X) ^ Qsn_l(X), группы вырожденных простых сингулярных кубов Dín (X) с Оп (X), п > 0, определяются как и раньше и удовлетворяют свойству дn(Dn(X)) с Dsn_l(X). Это позволяет определить цепной комплекс {Сп(X) = ^(X)|Dn (X),дn} простых ТКС цепей и группы простых ТКС гомологий пространства (X, т):

НП (X) = Нп(Сп (X)), п > 0.

Теорема 1. Два ковариантных функтора С и Сп из категории толерантных пространств Т0 в категорию цепных комплексов являются естественно цепно гомотопно эквивалентными. Доказательство.

Выберем среди объектов категории Т0 множество моделей М, состоящее из Т кубов

уМт — М(т\,...,т„) ~ ^ •та,-

п е N и {0}, (V г = 1 ,п) т, е м} .

Функтор С на категории Т0 с моделями М является по построению неотрицательным, а согласно формуле (1), ацикличным в положительных размерностях. Но функтор С не является свободным (см. [3]), что не позволяет непосредственно использовать метод ациклических моделей. Однако, функтор С обладает рядом свойств, позволяющих использовать для доказательства идеологию метода ациклических моделей. В соответствии с

этой идеологией рассмотрим тождественные отображения v-^ = =

= 11-, п ^ 0. Имеем v-^ е Qn(M~m) и Î D„(M„). Зафиксируем классы Vm = Vm + Dn (М-щ) £ С „(Мм). Каждый элемент свободного базиса {й = и + + Dn(X)|u е Qn(X) \ Dn(X)} группы Cn(X) можно представить в следующем виде:

м = и о 1М_ + Д,(Т) = С„(и) (lM- + D„(X)) = С„(м) (ущ).

Следовательно, в Cn(X) имеется свободный базис

| С„(и)(уш) те х N, и е Нотт0(Мш,Х), и £ D„(X) |. (2)

При этом

(Уме Dn(X)) С„(и)(Уш) = 0. (3)

Вложения {in : Q (X) с Qn(X)} индуцируют цепные, естественные по (X, т) вложения

Ф = {Фп : Csn (X) ^ Cn(X)}n>c, Фп(м + Dsn(X)) = u + Dn(X). (4)

Построим еще одно естественное цепное отображение

¥ = {yn : Cn(X) ^ CS(X)}n^o, ¥n(u + Dn(X)) = jn(u) + D%(X), (5)

которое будет индуцировано определенным ниже гомоморфизмом j = {jn : Qn(X) ^ Qn (X)}. Поскольку всякие гомоморфизмы определяются на образующих, то рассмотрим произвольный ТС куб и : (I-щ, —» (X, т) размерности п > 0. Для / = 1 ,п, kj = 0,mj — 1 определим ТС кубы е Q„(X):

(V ег = 0,1,/ = \,п) M(fcb...A)(e\,...,г„) = м | 1 + Ë1,..., + Ё" ), (6)

\ mi mn )

а через них определим гомоморфизмы jn:

mi-i mn-i

jn(U) =Y_i ••• 2 U(k\,...,kn), n > 0, jo(u) = U. (7)

k1 =0 kn=0

Очевидно, что из определения jn следует

(V n > 0) y |Cn(X) = Ics(x). (8)

Цепное свойство гомоморфизма y следует из цепного свойства для j:

dn(jn (u)) = jn-i(dn(u)), (9)

которое следует из того, что его левая часть равна

n (m1-1,...,mi-1,...,mn-1) fmj-1 mi-1

Xi(-i)i Xi X u(ki ,...,kn)\zi=0 - X u(ki,...,kn)\Ei=i i=1 (k1 ,...,kj,...,kn)=(0,...,0) \-ki=0 ki=0

и после применения соотношений (см. (6))

(V к, = 0, m, - 1) u(h...k„..¿Je,.=i = u(h,...,k,.+i,...,kB)|e,.=о, легко приводится к правой части в формуле (9).

Естественность по (X, т) отображения у означает, что

(V / е Ношт0 (X, ¥), п > 0) СП (/) о у = Уп о Сп{[), (10)

и доказывается прямым сравнением правой и левой части (10) с использованием (7) и очевидного соотношения /о = (/о и)(к1,...,кп).

Осталось показать, что два естественных цепных отображения ф и у взаимно обратны с точностью до естественной цепной гомотопии. А так как из (8) следует, что у о ф = 1сп(X), то остается построить естественную цепную гомотопию ф о у ^ 1c(X). То есть для каждого пространства (X, т) надо построить семейство гомоморфизмов DX = {DX : Cn(X) ^ Cn+l(X)}n^o таких, что

(V п > 1) дп+1 оЮПп = XX - 1ад -^-1 о дп, (11)

где ^ = (ф о у)п = фп о уп. При этом должно выполняться свойство естественности:

(V / е Нотт^, ¥), п > 0) Сп+ЛЛ о^ = £>¥ о Сп(/). (12)

Гомоморфизм DX следует задать на элементах свободного базиса (2) подходящим способом. Применив (12) к и е Нот-г0(Мт,Х), получим

(Ун) 0) (УйехК) (Уме НотТо(Мш,Х))

Сп+\(и) о = о С „(и), (13)

из которого следует

(Ун) 0) (УйехК) (Уме НотТо(Мш,Х) \ £>„(Х))

(Сп(и)$ш)) = Сп+\(и) (#(%)). (14)

Из (13) и (3) получаем еще одно условие:

(У п ^ 0) (У 1ехМ) (Уме £>„(*)) Сп+1(и) (р%ш(ут)) = 0. (15)

Лемма 1. Если гомоморфизмы : Сп(М-щ) —> Сп+\(М-щ) определены так,

что выполняется свойство (15), а гомоморфизмы ^^ определяются формулой (14), тогда выполняется свойство естественности (12).

Выясним условия выполнения свойства (11). Для X = М„ и применительно к элементу е С„(М-^), это условие дает

(У т е х N. п > 0) дп+1 (#(%)) = у^ш(рш) - % - ^ (<?«%)• (16)

Лемма 2. Если гомоморфизмы удовлетворяют свойствам (16) и (15), то гомоморфизмы ^^ определяемые формулой (14), удовлетворяют условию (11).

Итак, нам надо построить цепи е С„+1(Мт), удовлетворяющие

условиям (15) и (16). Пусть и : —»X — произвольный я-мерный ТС куб. Пусть 5 = 1, п, } = 1, s, кг = 0, тг — 1. Определим новый ТС куб

Щки...^) : Х11 X 1т+1 X ... X т ^ X,

(V е, = 0,1, / = 1,5) (V к] = О,т] 7 = 5+ 1 ,п))

кя+1 кп

т^х ' тп)

кц + Ец кц+1 кп

""'тп/

=и

(к1 + е1

т1 т5 т5+1

Для каждого 5 = 1, п определим ТС кубы

(17)

^(ДI.) X (5

х 1т — Мт,

г=1

= Уш

т1

: 1,«) (V К = 0,ти,) А(п5 I ( кх к8 к; ? • • • ? ? ? • к„ • • >

1 \т1 т5 т5 тп

тах{к5, к'5} кп \ -(к. тах{к5, к'5} кп \

т8 "" тп) [т' • • • > > • • " т„)

(18)

Определим теперь цепь е Сп+\(М-щ) формулой

'п\1у±т)

' (т\-1,...,т5-1)

\я-1 V (а(п'5)

+

Ип+1 (Мш))

(19)

(20)

5=1 \(к1:...,к5)=(0,...,0)

Тогда

С„+1(и)(ю^ш(уш)) =

п ( (т\-1,...,т5-1)

= 2(-1)5-1 2 ((и о А(п'%1 -к) + Оп^)

5=1 1(к1 )=(0,...,0)

Из формулы (20) следует, что для и е Dn(X) имеет место свойство (15). Для проверки формулы (16) распишем ее левую часть

д„+1 =

п (т\-1,...,тэ-1) (5-1

й-т1 X Ш-1>'(А(~М<,......5.....

5=1 (к1,...,кх)=(0,...,0) (]=1

- ^ ^ )1 + (-^ [(А(п'5) 1к5 = 0)(к, ,...

к5)

)(к\ ,...,кг)

- 1к5(к,....£)1 + (-»"К^ к4*.....

/(к1,...,к„)

- Ъ ==т) ^ + 2 (-1) '+1\(А(п,5) к

] = 5 + 1

■(А(п,5) к=т к

(к\,...,кц)

+ ВП(МШ)\

Опуская вырожденные ТС кубы и производя множественные сокращения, получим

дп+1{ф(М) = -1 сп(мш)(Рш) + Хпш(ущ)+

т

к

1

♦ X <-'>">-11 X К-М»......

-(¿¿п'\=т) (¿1,

(т1-1,...,тх-1)

(¿1 ,...к)

♦

♦

£ (-1Г' \ 2 Г'%=")«-....... -

1ф<]%п I (к ,...,к,)=(0,...,0)

1 к=т) (к1 ,..к)

+ Вп(Мш).

(21)

Пользуясь формулой (14), найдем выражение для

п

^(дпУщ) = (ЫгМ + Вп-^М-ш)) -

]=1

]=1

Опуская промежуточные вычисления, приведем их окончательный результат

{(т1-1,...,тх-1) (к1,..к )=(0,...,0)

- (дI к=т) (к1,..к)

♦

(т1-1,...,т3-1)

♦ Е (-1)♦ \ X (Д""> к="1.....

1</<.<п 1(к1 ,..к)=(0,...,0)

(к1 )

(Д("'!<) 1 ^=т) (к1 )

+ Вп(Мш).

(22)

Формулы (21) и (22) вместе дают (16),что завершает доказательство теоремы 1.

Из теоремы 1 получаем важное следствие. Теорема 2. Определенные выше гомологические функторы И® и И5 естественно изоморфны.

Следующим шагом является сравнение ТКС гомологий с гомология-ми, определяемыми через симплициальные комплексы и через сингулярные симплексы (см. [2]). Из теоремы 2 и [2, теоремы 2.6.1] следует, что сравнивать гомологии И5 (X) надо будет с толерантными сингулярными гомологи-ями ИЛ(Х>, и с естественно изоморфными им толерантными гомологиями

И(Х>, которые являются соответственно упорядоченными и ориентировано

ными гомологиями одного и того же симплициального комплекса 5 (X), чьими вершинами являются точки из X, а симплексами — конечные наборы попарно толерантных вершин.

Теорема 3. Для каждого толерантного пространства (X, т) имеются изоморфизмы групп гомологий

(V п > 0) И3п (X) = ИЛ(Х) = Ип(Х),

естественные по (X, т). Доказательство.

(п п \ ^

X 1\, X 111 обозначим для краткости Iп, п ^ 1.

Все точки куба = {(е1,...,еп)| ег = 0,1, г = 1,п)} толерантны друг другу. Пусть (Лп, тп) — толерантный п-мерный симплекс, все точки которого Лп = {Р0,Р\,...,Рп} толерантны между собой. Будем представлять точки симплекса Л" как точки (п+ 1)-мерного куба /"+1 = {(6о, 61,..., 6„)|6г = 0,1 7 = = 0,п}, а именно

Р0 = (1,0,...,0), Р1 = (0,1,...,0), ..., Рп = (0,0.....1).

Построим сюръективное толерантное отображение рп : 1п ^ Лп, которое в координатах рп(г\,...,гп) = Р(Ь0,61,..., 6п) определяется формулами Серра

60 = ^п • еп-1 •... • еь 6к = еп • ... • ек+1 • (1 - £к),

6п = 1 — еп.

В работе [2] символом Лn(X) обозначается группа толерантных сингулярных цепей пространства (X, т), свободно порожденная толерантными сингулярными симплексами, то есть толерантными отображениями о : (Лп, тп) ^ (X, т). Определим гомоморфизмы фи : А„(Х) —» С%(Х) на образующих

Ф„(о) = (-1)"оо р„ + 1%(Х), 1,

Фо(сг) = о.

Показывается, что гомоморфизмы ф = {ф„}и^о обладают свойством цепного отображения:

дп( Ф„(о)) = ф„_1^;(о)), где о е Л^^, п ^ 0, д' — граничный гомоморфизм в {Лn(X)}n^o = Л(X). Цепное отображение ф = {ф„}и^о удовлетворяет так же свойству естественности

(V / е НотТо (X, Г)) С5п (/) о ф„ = ф„ о А„(/).

о

Обозначим через ^ = {^п : Cn(X) ^ Л^^} стандартное естественное цепное отображение (см. [4, 3.2.2]) из группы ориентированных в группу упорядоченных цепей, и рассмотрим композицию ф = ф о ц.

Следующая наша цель — построение цепного отображения у =

о

цепно гомотопически обратного к ф. Гомоморфизмы уп : СЩ(X) ^ Сп(Х) мы должны определить на свободных образующих группы СЩ (X), то есть на классах и+Оп(Х), где и : 1п ^ X — невырожденные ТС кубы. В этих построениях мы будем рассматривать конечные линейные комбинации £ а, где а, е Ж, Л, с Отображения и : 1п ^ X мы будем распространять на эти линейные комбинации обычным способом: и а/Лу) = 2 а,и \Л,. В частности, если определим дп/1 как формальную линейную комбинацию

дп/п = ^(-1У [/{-1 X {0} X /п- - Р— Х{1)Х Г-],

=

то можно записать дпи = и {дп/1^. Эти же соглашения примем и при работе с толерантными симплексами. Толерантный сингулярный симплекс о : Лп ^ X однозначно определяется упорядоченным набором (о(Ро),о(Рп)) попарно толерантных точек из (X,т). Здесь скобки (...) означают упорядоченность набора. Толерантные симплексы (Лп, тп) будем рассматривать как упорядоченные наборы точек в (/1, ьЦ)

А" = (Ро, ...,Рп\Рк = ..., е<*>) еГ1г к = Щ.

В таком случае ТС куб и : ^ ^ (X, т) определяет ТС симплекс

о = и | Лп = и | (Р0, ...,Рп) : Лп ^ X, как отображение, сохраняющее порядок. А если определить

п

д'пЛп = д'п((Ро, . . . ,Рп)) = 2 (-1У (Ро, ...,Рр...,Рп) ,

]=0

то можно записать

д'п(о) = д'п{и\лп) = и\д'плп = о(д'пЛп).

Определим вспомогательное отображение Юп, которое геометрически иллюстрируется разбиением призмы на тетраэдры.

п

Юп(Лп) = (-1)п+^(-1у £>п\лп),

]=0

где

®п\лп) = Ю(п\(Р0,... ,Рп)) = ((Р0,1),..., (Р,, 1), (Р,, 0),..., (Рп, 0)).

Лемма 3. Пусть Ь = £ агЛп — целочисленная линейная комбинация п-мерных симплексов Лп с /^, тогда

(д'п+1 о Юп) (Ь) = фп-1 о д'п) (Ь) + (-1)п+1 [Ь Х{0}- Ь X {1}] .

Определим индуктивно еще одно вспомогательное отображение Rn, геометрический смысл которого состоит в том, что куб I1 сначала разлагается на призмы, с учетом разложения куба 1с Ip а затем эти призмы разлагаются на тетраэдры с помощью Dn-i. Полагаем по определению

Roo(IO) = I°v Ri(ll) = Ri(l0 x Ii) = Do(Ro(fy) = Do(fy = -<i, 0>, Rn(in) = Rn(in-1 x Ii) = Dn-i(Rn-i(in-1)), n > 1.

Лемма 4.

(V n > i) d'n(Rn(In)) = Rn-iidnI",). Определим теперь гомоморфизмы \j7 = {\j7„ : C^(X) —> Лп(Х))n~^.o на свободных образующих

(VOO) yn(u + lfn(Xj) = u\Rn(Il).

о

Обозначим через v = {vn : An(X) — Cn(X)} стандартное естественное цепное отображение (см. [4, 3.2.3]) из группы упорядоченных в группу ориентированных цепей, и рассмотрим композицию \|/ = v о \j7.

C помощью леммы 4 доказывается, что у = {^n}n^o является цепным и естественным отображением. При этом имеют место цепные гомотопии

У о Ф - 1r, w Ф о У " 1CS (X)'

Cn (X)

которые доказываются с помощью метода ациклических носителей (см. [4]), и из которых получается утверждение теоремы 3.

В дальнейшем мы будем использовать ряд важных вспомогательных конструкций, связанных с ТС кубами. Рассмотрим произвольный толерант-

n

ный куб 1щ = I(mi,...m„) = х Ли,- Удвоим количество точек в каждом из толерантных отрезков 1Щ, i = 1 ,п, и получим новый куб Ijj = X 1мгде М, = 2ш, + i. Определим толерантное отображение d(n) : 1Т7 —> 1™

(V k, = (),Mh 7 = 17п) cfn) (j-\ где [...] означает целую часть числа.

Определение 3. Полным двойным замедлением ТС куба и : 1уц —»X назовем ТС куб и : I-g —> X такой, что М,- = 2т, + 1, i = 1 ,п, и

{{кЛ 1 [(- к, \ "

ш)1=-п\ \т, 2 / г=1,и/

(V k, = 0,M,, i = i,n)

к Мг}г=Т7«>

= u

i=i,nJ

(23)

то есть и = и о .

Определим теперь серию вспомогательных толерантных отображений

¿п,*) = ¿ти...,«*,*) . Ц х Ц ^ 1Ш,

(V к, = О,М„ /' = 1,5)0/ к, = О,т„ 7 = 5 + \,п)

к\ кц кц+1 к„

]_

т1

Ы\ " ' М/ т+\'" ' т

к 1

2 > • • • > т5 2 > > т,+1

т„

(24)

Определим гомоморфизм ф = (фп : Qn(X) ^ Qn(X)}n^о на образующих

(V п > 0) фп(и) = и, ф0(и) = и.

С помощью (23) доказывается, что ф — цепное отображение и ф(Оп(X)) с с Оп(Х). Следовательно имеется цепное отображение фх = (фх} : С(Х) ^ ^ С(Х):

фХ (и + Бп(ХУ) = и + Бп(Х),

естественное по (X, т).

Теорема 4. Имеется естественная по (X, т) цепная эквивалентность

фХ - 1С(Х)

Доказательство.

Построим доказательство этой теоремы по той же схеме, что и доказательство теоремы 1, сохранив введенные там обозначения. Нам надо построить семейство гомоморфизмов = (©Х : Сп(Х) ^ Сп+\(Х)}п^о, удовлетворяющих свойствам

(V / е ИатТо(Х, У))^ п > 0) Сп+1(/) оЮХ = ®У о Сп(/),

(V п > 1) дп+1 оЮХ = фХ - 1Сп(Х) - Юп-1 о дп. (25)

Как и в теореме 1 для построения воспользуемся формулой

(V 72 ^ 0) (УмехМ) (Уме ()„(Х) \ ЩХ»

при том, что должно выполняться свойство

(Уме Вп{Х)) Сй+1(м)(#(%)) = 0.

Для построения обеспечивающего эти условия, определим сначала

невырожденный ТС куб

(26) (27)

Ъ(т1-тп^ = : ( * (*>,)

= 5

§(«,*) (А. к_ к.

\М\' " ' М/ т/ т„

* Ли — X 1т.

1=1

5 = 1,72,

_1_

т1

1

■ тах

т,

к.

, к5

тп

(28)

Тогда полагаем по определению

п

+ В„(МШ)) = ^(-¡Г^ + Б„+1(МШ)

5=1

к

п

2

и следовательно (см. (26)

= ¿(-1Г1« о 8<л-'> + Оп+1(Х),

(29)

где

= и

и

т1

к 2

Э=1 к

к* к*

к,

М\ " '' М/ т / " '' т

1

т*

■ тах

. к'Л,

тг

(30)

Завершается доказательство по аналогии с доказательством теоремы 1.

Процедуру полного двойного замедления можно применять любое конечное число раз с сохранением доказанной выше цепной гомотопии. Если

п

и : X 1т ^ X — произвольный ТС куб, тогда его к-кратное полное двойное '=1 '

замедление — это ТС куб иУк : X 1м, ^ X, М' = 2к(т' + 1) - 1, такой, что

'=1 '

и

У к _ ггк(

= фй(и), где фк — степень относительно операции композиции.

В дальнейшем нам надо будет менять размер ТС куба по отдельным координатам. В связи с этим дадим определение.

Определение 4. Продлением ТС куба и : X 1т1 ^ X по ,-у аргументу,

'=1 '

, = 1, п, называется ТС куб и,,м, и

т1

к.

■М,

кп

тп

У 1т,\ X 1м, X I X 1Щ\ ^X, где М, ^ т, '=1 I \'=

А,..., — ), к, = 0,т„

\т\' ту ' тп I' J ' J,

^-,...,1,...,—), к, = т„М,

т\' ' ' ' тп/ ' , J

Определение 5. Толерантное пространство (X,т) с отмеченной точкой Хо е

X будем называть пунктированным, а ТС куб и : X 1т

'=1

X назовем пунктированным, если все его вершины находятся в точке Хо, то есть (V ег- = = 0,1, / = 1,я) м(е 1,..., е„) = хо.

¡п+1 п+1 \

Рассмотрим теперь произвольный куб X !т, X 1т. , п ^ 1. Обозначим

__\г=1 ' г=1 7

через ГДе т — (т1> • • • ,тп+\)-, множество точек куба лежащих во всех

¡п+1 \

гранях кроме {1}х1 X 1тЛ. Множество К-^ с индуцированной толерантностью

образует подпространство (Ят, Iт) в (7т > 1т)- Пусть на каждой грани из Я-^-заданы толерантные отображения

и{], еу) : (Ух|/т1.| х {еу} х I "х ]=\,п + \, е = 0,1, 81 = 0.

Будем говорить, что ТС кубы [и(]', е,) = 1, п + 1, е = 0,1, е1 = 0} согласованы на Ям, если для любой пары индексов = \,п + \ имеем

- - к, к,'

(V кг = 0, /72/, 7 = 1,72 + 1) — = Ej, = Ё/ =>

т

т

к

1

п

и

^ и} е })

\\т1/1=1,п+и

= и(/, Б)

\\т1/1=1,п+и

(31)

ккг

(V кгХ = 0,т„ / = \,п + 1) -¡- = б/, — = г,', \к, - к'\ ^ 1 =>

т} т} '

^ «и, Б} )

\\т1 /¡=1,п+и

} '"} хи(}', Б} )

(32)

\\"ЧН=1,п+1)

Заметим, что если (31) выполнено, то (32) автоматически выполняется после полного двойного замедления ТС кубов и(}, Б}).

Согласованное семейство {и(]\ еу)} на Л-щ определяет толерантное отображение : (Кт^т) ~~* (Xх)) которое на каждой грани совпадает с соответствующим ТС кубом и(}, Б}).

Предложение 3. Пусть : —> X — толерантное отображение,

определенное согласованным на Л-щ семейством ТС кубов {и(]\ еу)}. Тогда существует целое неотрицательное число Ь(т) такое, что для всех к ^ к(т) можно построить отображение

Фд7 :1(ми...м„+1) К(ми...Мп+ 0> мг = 2к(т1 + 1) - 1,/' = 1,и + 1,

которое постоянно на Я(м1 ,...,Мп+\)> и для которого композиция

является толерантным отображением таким, что = иук(1{-д).

Доказательство.

Это предложение доказывается с помощью метода, изложенного в работе [5] (см. доказательство теоремы 7).

В следующем предложении собраны свойства ТС куба определен-

ного в (28).

Предложение 4. Для любого ТС куба и : —»X и любого я = 1 ,п, имеем

1) (V к ^ 0) {и о = иук о ь№,~Мп;1)) мг = 2ь(тг + 1) - 1, / = ~йп;

2) и — вырожден <=> и о — вырожден;

3) и — пунктирован оио — пунктирован;

4)

* (ио Ь^-т*) Г С«) ◦ б^"*г < ^

иг \и ° ) | С и) о Ь(т1'-т "...'т"''), s + 1 < г < п,

= с1\(иоЪ{т^) = с1\(ио^)) -вырожден,

(и о = и о с1]+1 (и о = (и о - вырожден.

Аналогичные свойства имеют место для ТС кубов (см. (24)). Опи-

шем еще одну конструкцию, которая обобщает С^1'^ и полное двойное замедление. Пусть и : 1(т1...,тп) ^ X — произвольный ТС куб, и (И1 ,...,кп) —

к

к

к

произвольный набор неотрицательных целых чисел. Определим новый ТС куб

((к1,..., к„)(и) : 1(м1 ,...,мп) ^ X, Мг = 2к'(т1 + 1) - 1,' = 1, п,

((Й1,...,к„)(и)

А

Мг},=ТГп)

=и

А.

2й'-

'=1,п/

(33)

Договоримся называть ТС кубы вида и = ((к1 ,...,кпзамедленными, если существует к' ф 0. Если же из условия и = ((к1 ,...,кп)(м>) следует, что все к' = 0, то ТС куб и будем называть незамедленным. Связь замедленных кубов с предыдущими конструкциями отражена в формулах:

и о = ((к1,..., кп)(и), к1 = ... = к* = 1, к*+1 = ... = кп = 0;

иУк = ((к,...,к)(и);

и о Ь(п'*) = ((1.....1,0,...,0) (и о Д^),

* п+1-я

где ТС куб Д(п'я') = Д(т1'-,тп;*) определяется формулой (18). В следующем предложении собраны свойства замедленных кубов.

пп

Предложение 5. 1) ТС кубы и : X !т(и) ^ X, w : X !т(„) ^ X тако-

'=1 ' '=1 ' вы, что и = ((к1 ,...,кп)(^), тогда и только тогда, когда выполнены

условия

т'(и) = 2к'(т+ 1) - 1 или т^) = 2 к'(т'(и) + 1) - 1;

- 1-кИ

(V и = 0- 1, Г/ = 0,2к' - 1, / = 1,72)

Н + гд

т'(и) ¡1=1,п)

=и

1

-24,

т'(и) )г=Т7п

w

1

-и

тг (м>) /г=т

т'(и)

-2к'1

(34)

=1,п

п

2) Если ТС куб и : X 1т(и) ^ X таков, что и = ((к1 ,...,к'г)(у>'') = = ((к'1 ), то ТС куб w : ^ X, т^) = 2-к(т(и) +

+ 1) - 1, к' = тах{к', к''}, ' = 1, п, который определяется формулой (34), удовлетворяет соотношениям:

и = ((к1,...,кп)М, w' = ((к1 -к'1,...,кп -к'п)^),

w" = с((к1 - к'/ ,...,кп - к''

3) Пусть к',к'' е N и{0}, ' = 1,п, а и — произвольный п-мерный ТС куб, тогда

((Щ,..., кшк\,..., к'п )(и)) = ((к\ + щ ,...,кп + К )(и).

С помощью предложений 3-5 доказывается следующая теорема.

и

п

Теорема 5. Пусть ((X,т), Хо) пунктированное линейно связное толерант-

п

ное пространство. Для каждого ТС куба и : X 1та>(и) ^ X найдется неот-

г=1

рицательное целое число И(и) и такой ТС куб

У(и\к(и)) : 1м 1 (и) X Д 1мЩи)} ^ X, которые удовлетворяют следующим свойствам:

(П.1) (V / = Т7й)(У е = М) Щ(и)) ^ к(и); (П.2) С°(У(и\к(и))) = иук(и);

(П.3) С1(У(и\к(и))) — пунктированный ТС куб;

(П.4) если и — вырожден по }-у аргументу, то У(и\к(и)) — вырожден по (} + 1)-у аргументу;

(П.5) если и — пунктированный, то И(и) = 0, М'\и) = т('\и), г = = 1 ,п, М\(и) = 1, и

/ кх № № \ / № № \ (М| ' \М\{и)' М(!)(м)" " ' МЩи)) ~ и\тЩи)" " ' тЩи)) '

(П.6) (V ' = 2, п + 1)(У б = 0,1)

СБ(У(и\к(и))) = ((У (СБ-1(и)\А(СБ-1(и))))У(А(")-А(СБ-1(")))

>1,М1(и)

(П.7) если и = У(м>\к(м>)), то Н(и) = к(м),

V(и\к(и)) = У(м\к(м>))ук(м) о А(п'1);

(П.8) если и = С(к1 ,...,кп)(м>), то к(и) = к(м) и

V(и\к(и)) = С(к1, к1,... ,кп)(У(м\к(м)))'

(П.9) если и = м о А^-1"^, то к(и) = к(м),

V(и\к(и)) = У(м\к(м)) о А(п-3+1).

Определение 6. ТС куб У(и\к(и)) будем называть пунктированием ТС куба и, число к(и) — границей пунктируемости, а ТС кубы вида С^(У(и\к(и))) — пунктируемыми. Из теоремы 5 следует, что все ТС кубы после полного двойного замедления достаточно большой кратности становятся пунктируемыми.

Предложение 6. Для любого ТС куба и и любого целого к ^ к(и) имеем

С°(У(иу(к-к(и)) \к(и))) = иук.

Обозначим через QУ(X) и назовем группой замедленных ТКС цепей, подгруппу в Qn(X), свободно порожденную пунктируемыми кубами, а точнее

ОУ^ = (иук |и — п-мерный ТС куб, к ^ к(и)) с Qn(X), где скобки (... обозначают порожденную группу. Аналогично

БУ^ = (иук |и — вырожденный ТС куб, к ^ к(и)) = ОУ^ П О^Я).

Свойство (П.1) теоремы 5 показывает, что дn(QУ(X)) с ОУ_l(X), дп(Ву(X)) с Оу_ l(X). Следовательно, имеем цепной комплекс СУ (X) = {^(^ = = QУ(X)|DУзамедленных НТКС цепей, который с точностью до изоморфизма (Нетер) можно считать подкомплексом в С(X) = {Cn(X),дn}. Группы ZУ(X) = Кег дп, ВУ(К) = 1т дп+1 назовем группами замедленных циклов и границ комплекса {Cу(X),дn}. А группы гомологий

{НУ(X) = гУ^/БУ^, п > 0}

будем называть замедленными ТКС гомологиями пространства (X, т).

С помощью теоремы 4 и свойства (П.9) теоремы 5 доказывается следующее предложение. Предложение 7.

(V г е гУЩ)^ к е N и {0}) гУк - г е БУЩ.

Теорема 6.

(V п ^ 0)(3 Фп : Н^ = НУ(X)). (35)

Доказательство.

Для произвольной цепи с = 2 агмг е С„(Х) определим границу пункти-руемости к(с) = тах{к(и')|аг- ф 0}, к(0) = 0. Из свойства (П.1) теоремы 5 следует, что к(дпс) ^ к(с). Из определения Cу(X) и того, что при аг- ф 0 имеем к(с) ^ к(щ), следует

сУКс) = ^а^ еСУ(Х).

Поэтому можно определить отображение фп : H<Q(X) ^ Hу(X)

фп (г + Бп(X)) = гУк(г) + БУ(X).

С помощью предложения 7 доказывается, что фп корректно определено и является искомым изоморфизмом.

Доказательство теоремы 6 завершено.

Замечание. Изоморфизмы (35) следует обозначать ф^ = {фУ}, так как они зависят от X. Для любого толерантного отображения /: (X, т) ^ (У, ■&) гомологический функтор определяет гомоморфизм / : H(X) ^ Н(У). Определим индуцированный гомоморфизм /У : HУ(X) ^ НУ(У) формулой

/У = ф? о / о ф)-1,

(36)

или, что эквивалентно,

(V п > 0) (/:)п(2^ + Б^) = (Сп(т)Ук(С"(т)) + Ву(¥). (37)

Тогда мы получаем гомологический функтор ИV, а изоморфизмы (35) определяют естественный изоморфизм функторов Ив и И .

Пусть теперь — группа свободно порожденная пунктированными

ТС кубами, В%п{X) с — ее подгруппа, порожденная вырожденными

кубами. Из свойства (П.5) теоремы 5 следует, что О'^) с с QV(X), =

= ОЛЯ^(X). И так как дпШЯ)) с О^^, дпОТ) с В'^, то имеем цепной комплекс С'(X) = [Cn(X) = Q'n(X)|D'n(X),дn} пунктированных НТКС цепей, который с точностью до изоморфизма (Нетер) является подкомплексом в СV(X). Группы Znl(X) = Кег дт Б'(X) = 1т дп+1, И'(X) = ХПЩ/БПЩ будем называть пунктированными циклами, границами и пунктированными ТКС гомологиями пространства (X, т). Отметим, что в результате мы получаем гомологический функтор И с тем же правилом индуцирования гомоморфизмов, что и для ИО:

(V / е Иот^, ¥))(3 £ е Иот(И(X), И'(7))) (V г = 2 а (иг + О' (X)) е Zn (X))

Ц{г + Б'(X)) = 2 а,(/ о иг + О'(¥)) + Б'(¥). (38)

Аналогично предложению 7 доказывается Предложение 8.

(V г е Zn(ШУ к е N и [0}) гук - г е Б^Г).

Теорема 7. Для всякого линейно связного пространства (X, т) группы И' = = [Ип} пунктированных ТКС гомологий и группы ИV = [И^} замедленных ТКС гомологий изоморфны, то есть (V п ^ 0)(Ип(X) = Иу(X)). Доказательство.

Пусть ф = [фп : С^Г) ^ С^^} — отображение вложения, которое является цепным и естественным (см. (38),(36),(37)). Оно индуцирует естественный по (X, т) гомоморфизм ф* : И'(X) ^ ^(Я?) такой, что

(V г е Zn(X)) ф*(г + Б'(X)) = г + БУ(К).

Определим отображение у* : ИV(X) ^ ИV(X)

(V г е ZV(X)) у*(г + Б^Щ) = гук(г) + БУ(Г).

Легко доказывается, что у' — корректно определенный гомоморфизм, причем у* = (X). Определим еще одно отображение у*' : ИV(X) ^ И'(X) такое, что

(V г = 2 аи + е ZV(X)) у'^к(г) + Б^^) = = 2 аг (^ ((У(иг\к(иг)))^)-кС"») + Вп^) + Б'пЮ.

С помощью теоремы 5 и предложения 8 показывается, что у" — корректно определенный гомоморфизм, и при этом у*'оф* = 1h\X)- Остается показать, что ф* о у = 1hv(X) • Это следует из того, что для zwh(z) = £ щи^^ + (X) е Zy(X), согласно теореме 5, имеем

X Mi {(V(u1\h(u1 ))У<ЮгХ*») - X a-uT(Z) =

= дп+i (X а ((V(u,\h(u,)))iMi(z))v(h(z)-h(u-))) е By(X), где Mi(z) = max{Mi(и)\аг- Ф 0}. Доказательство теоремы 7 завершено.

Замечание. Изоморфизм ф* : H'(X) = HV(X) является естественным по (X, т).

Подводя итог, отметим, что в нашем распоряжении теперь имеется несколько естественно изоморфных гомологических функторов, но именно пунктированные ТКС гомологии являются подходящим инструментом для построения спектральных последовательностей толерантных расслоений.

Литература

[1] Zeeman E.S. The topology of brain and visual perception / E.S. Zeeman // The Topology of 3-Manifolds, M.K. Ford(ed). - 1962.

[2] Небалуев С.И. Гомологическая теория толерантных пространств / С.И. Небалуев. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

[3] Спеньер Э. Алгебраическая топология / Э. Спеньер. - М.: Мир, 1971.

[4] Хилтон П., Уайли С. Теория гомологий / П. Хилтон, С. Уайли. - М.: Мир, 1966.

[5] Небалуев С.И. Точные гомотопические последовательности в теории толерантных пространств / С.И. Небалуев // Чебышевский сборник: труды VI Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". - Тула: Изд-во ТГПУ, 2004. - Т. 5. -Вып. 3. - С. 64-97.

Поступила в редакцию 17/IX/2007; в окончательном варианте — 17/IX/2007.

POINTED TOLERANT CUBIC SINGULAR HOMOLOGY

THEORY

© 2007 S.I. Nebaluev, I.A. Klyaeva2

In the paper several homological functors on category of tolerance spaces, which are useful in the theory of spectral sequences of fibre tolerance spaces are constructed.

Paper received 17/IX/2007. Paper accepted 17/IX/2007.

2Nebaluev Sergey Ivanovich, Klyaeva Inna Alexandrovna, Dept. of Computer Algebra and Number Theory, Saratov State University, Saratov, 410012, Russia.